第七章 随机变量及其分布列（知识清单）数学人教A版选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布列 1．条件概率与全概率公式 (1)条件概率 (i)概念：一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)＝为 的条件概率,简称条件概率． (ii)公式:P(B|A)＝；概率的乘法公式：P(AB)＝ (2)全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An＝Ω,且P(Ai)>0,i＝1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)＝ ． 2.随机变量及其分布列 (1)离散型随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有 的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量；可能取值为 的随机变量称为离散型随机变量． (2)离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n为X的 ,简称 ． (1)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2,…,n)；②p1＋p2＋…＋pn＝ . 3.离散型随机变量的数字特征 (1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝ ＝ipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的 ,并称为随机变量X的 ,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的 (2)均值与方差的性质:E(aX＋b)＝ ;D(aX＋b)＝ (a,b为常数)． 4.二项分布与超几何分布 (1)伯努利试验:只包含 可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为 (2)二项分布:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k,k＝0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作 (3)两点分布与二项分布的均值、方差 (i)若随机变量X服从两点分布,则E(X)＝ ,D(X)＝ (ii)若X～B(n,p),则E(X)＝ ,D(X)＝ (4)超几何分布:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X＝k)＝,k＝m,m＋1,m＋2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m＝max{0,n－N＋M},r＝min{n,M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从 ． 5.正态分布 (1)定义:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数, 则称随机变量X服从正态分布,记为 (2)正态曲线的特点: (i)曲线是单峰的,它关于直线 对称； (ii)曲线在 处达到峰值； (iii)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴． (3)3σ原则:P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ,σ2),则E(X)＝ ,D(X)＝ . 易错点1 对条件概率理解不透彻 【例1】已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡,这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽到卡口灯泡的概率为(　 ) A. B. C. D. 【例2】已知A,B,C为随机事件,则下列表述中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【提醒】解决条件概率问题的步骤第一步,判断是否为条件概率,若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼,一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼,但已知事件的出现影响所求事件的概率时,也需注意是否为条件概率．若为条件概率,则进行第二步．第二步,计算概率,这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率,如求P(A|B),可分别求出事件B,AB包含的基本事件的个数,再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率,即先分别计算出P(AB),P(B),再利用公式P(A|B)＝计算 易错点2忽略概率或分布列中所有概率之和为1 【例3】若随机变量X满足,则 . 【例4】随机变量X的分布列为 X P 若,,成等差数列,则公差的取值范围是______． 【提醒】不要忽略分布列中所有概率之和为1,利用这样性质可以求分布列中的参数值,也可以帮助你检验求得的分布列中的错误. 易错点3把复杂事件表示为简单事件之积错误 【例5】甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则,每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子,出现奇数点则甲胜,出现偶数点则乙胜,胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止,且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【提醒】求解复杂事件的概率要先把该事件表示为基本事件的概率之和或之积,再利用概率的加法或乘法公式求解 易错点4 误用二项分布 【例6】小王连续抛掷一枚均匀的正方体骰子,则第4次抛掷后恰好为第2次出现向上点数为偶数的概率 为. 【提醒】注意二项分布每次实验只有2个结果,每次实验相互独立,表示n次实验中恰好反生k次的概率,不涉及哪k次. 易错点5 混淆二项分步与超几何分步 【例7】2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱,66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系,随机抽取了部分市民,调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况,得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 (1)是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； (2)用频率估计概率,从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动,记这3人中女性人数为X,求X的分布列和数学期望． 附：,（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【例8】某市为增强高中学生的数学建模能力,组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分,得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况,现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本,并按分数分成以下6组：,统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中,用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈,若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究,记分数在的人数为,求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图,以频率估计概率,现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人,这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为,当最大时,求的值. 【提醒】(1)超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,②总体一般是有限个. (2)超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型 (3)注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布. 易错点6 对正态分布的性质理解不准确 【例9】设随机变量服从正态分布,若,则 ． 【例10】李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【提醒】若随机变量X～N(μ,σ2),E(X)＝μ,D(X)＝σ2,正态曲线曲线关于直线x＝μ对称. 1．设随机变量的分布列如表所示,且,则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 2．已知随机变量X的分布列如下表所示,则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 3．已知,是两个随机事件,若,,,则（   ） A． B． C． D． 4．已知随机变量,且,且,则（    ） A． B． C． D． 5．已知甲盒中有5个白球、5个黑球,乙盒中有1个黑球,所有球除颜色外均相同,每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中,当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球,则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 6.从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 7．设为两个相互独立的随机事件,且．已知在至少一个发生的条件下,恰有一个发生的概率是,则（   ） A． B． C． D． 8．某种细胞如果不能分裂则死亡,并且一个细胞死亡的概率为,分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞,则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 9．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列,如果为数列的前项和,那么的概率为（   ） A． B． C． D． 10．甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定打6局,每局必分胜负,无平局．每局比赛中,获胜方得1分,失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是,乙在每局比赛中获胜的概率为,且各局结果相互独立．在整个比赛过程中,甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 11．一个质点在随机外力的作用下,从数轴的原点出发,每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位,共移动7次,则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 12．（多选题）设是一个试验中的两个事件,且,则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（多选题）甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为 ,乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ,记“第i次投篮的人是甲”为事件A₁,前3次中甲投篮的次数为X,则以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 14．（多选题）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布,且,．从该流水线上随机抽取4件产品,这4件产品中质量在区间上的件数记为,则（   ） A． B． C． D． 15．已知随机事件满足,则______. 16．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球,盒中装有大小相同的3个红球,从盒中随机取一个球,若是红球,则放回盒；若是黑球,则从盒中取一红球与其替换,这样称为1次操作,重复以上操作,直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后,盒中6个球恰好全是红球的概率为,则________. 17．某棋手与一款机器人进行围棋挑战赛,规则如下：棋手的初始分数为2分,每局比赛,棋手胜加1分；平局不得分；棋手负减1分．当棋手总分为0分时,挑战失败,比赛终止；当棋手总分为3分时,挑战成功,比赛终止；否则比赛继续进行．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为,且各局比赛相互独立．则恰好在第6局比赛结束后,比赛终止的概率为_____． 18．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况,特进行了一次抽样调查,分别抽取男生和女生各100名作为样本,设事件 “喜欢春节联欢晚会”, “学生为女生”,据统计有：. (1)现从这100名女生中,按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例,选出10人,再从这10人中随机选出2人,设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生,设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为,且当时,取得最大值,求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 19．有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的,且含有该酶的概率均为,若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组,每组人．在每一组中,取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶）,则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶）,则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样,利用现有采集过的血样）． (1)若,,已知某小组的混合样本检测结果呈阳性,求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； (2)用N,k,p表示该方法所需检测次数的期望值； (3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份,化验检测成本为b元/次．若,每组人数,且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上,求的取值范围．（参考数据：） ( 17 / 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章随机变量及其分布列 1．条件概率与全概率公式 (1)条件概率 (i)概念：一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率． (ii)公式:P(B|A)＝；概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． (2)全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An＝Ω,且P(Ai)>0,i＝1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)． 2.随机变量及其分布列 (1)离散型随机变量 一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． (2)离散型随机变量的分布列 一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi,i＝1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列． (1)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2,…,n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3.离散型随机变量的数字特征 (1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差,并称为随机变量X的标准差,记为σ(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． (2)均值与方差的性质:E(aX＋b)＝aE(X)＋b;D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b为常数)． 4.二项分布与超几何分布 (1)伯努利试验:只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)二项分布:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k,k＝0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p)． (3)两点分布与二项分布的均值、方差 (i)若随机变量X服从两点分布,则E(X)＝p,D(X)＝p(1－p)． (ii)若X～B(n,p),则E(X)＝np,D(X)＝np(1－p)． (4)超几何分布:一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X＝k)＝,k＝m,m＋1,m＋2,…,r,其中,n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m＝max{0,n－N＋M},r＝min{n,M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布． 5.正态分布 (1)定义:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数, 则称随机变量X服从正态分布,记为X～N(μ,σ2)． (2)正态曲线的特点: (i)曲线是单峰的,它关于直线x＝μ对称； (ii)曲线在x＝μ处达到峰值； (iii)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴． (3)3σ原则:P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ,σ2),则E(X)＝μ,D(X)＝σ2. 易错点1 对条件概率理解不透彻 【例1】已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡,这些灯泡的外形都相同且灯口向下放置,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽到卡口灯泡的概率为(　 ) A. B. C. D. 【错解展示】共有12只灯泡,电工师傅每次从中任取一只且不放回,共有种,则第1次抽到螺口灯泡,第2次抽到卡口灯泡,共有种,则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽到卡口灯泡的概率为,错误原因没有理解条件概率,错解中误当成古典概型去求. 【答案】C 【正解】设事件A为第1次抽到螺口灯泡,事件B为第2次抽到卡口灯泡,则在第1次抽到螺口灯泡的条件下,第2次抽到卡口灯泡的概率P(B|A)＝＝＝. 【例2】已知A,B,C为随机事件,则下列表述中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【错解展示】对条件概率理解不透彻,误认为A正确,注意. 【答案】AB 【正解】对选项A,只有事件为独立事件,才有,故A错误；对选项B,当事件为互斥事件时,,故B错误；对选项C,,故C正确； 对选项D,,故D正确. 【提醒】解决条件概率问题的步骤第一步,判断是否为条件概率,若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼,一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼,但已知事件的出现影响所求事件的概率时,也需注意是否为条件概率．若为条件概率,则进行第二步．第二步,计算概率,这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率,如求P(A|B),可分别求出事件B,AB包含的基本事件的个数,再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率,即先分别计算出P(AB),P(B),再利用公式P(A|B)＝计算 易错点2忽略概率或分布列中所有概率之和为1 【例3】若随机变量X满足,则 . 【错解展示】因为,所以 =,错因是没有求出a的值. 【答案】 【正解】因为满足,所以 =,所以,所以=. 【例4】随机变量X的分布列为 X P 若,,成等差数列,则公差的取值范围是______． 【错解展示】由题意知,,∴,∴．．错因是只考虑,忽略. 【答案】 【正解】由题意知,,∴,∴．又,∴,∴．同理,由,,∴,∴,即公差的取值范围是 【提醒】不要忽略分布列中所有概率之和为1,利用这样性质可以求分布列中的参数值,也可以帮助你检验求得的分布列中的错误. 易错点3把复杂事件表示为简单事件之积错误 【例5】甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则,每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子,出现奇数点则甲胜,出现偶数点则乙胜,胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止,且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【错解展示】误认为游戏恰好进行4局终止,即前4局一人比另一人多生两局,所求概率为=,错误原因是忽略当一人前两局胜,则游戏2局后就终止了. 【答案】A 【正解】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章,则第3,4局必有甲胜,乙负,且前2局中,甲胜一局乙胜一局,所以所求概率为. 【提醒】求解复杂事件的概率要先把该事件表示为基本事件的概率之和或之积,再利用概率的加法或乘法公式求解 易错点4 误用二项分布 【例6】小王连续抛掷一枚均匀的正方体骰子,则第4次抛掷后恰好为第2次出现向上点数为偶数的概率 为 . 【错解展示】第4次抛掷后恰好为第2次出现向上点数为偶数的概率为,错误原因是把“第4次抛掷后恰好为第2次出现向上点数为偶数”理解为“前4次抛掷恰好有2次出现向上点数为偶数” 【答案】 【正解】第4次抛掷后恰好为第2次出现向上点数为偶数,则前3次有1次出现向上点数为偶数,第4次向上点数为偶数,所以概率为. 【提醒】注意二项分布每次实验只有2个结果,每次实验相互独立,表示n次实验中恰好反生k次的概率,不涉及哪k次. 易错点5 混淆二项分步与超几何分步 【例7】2025年举办的江西省城市足球联赛（简称“赣超”）深受广大市民的喜爱,66个场次累计123万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系,随机抽取了部分市民,调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况,得到如下表格： 性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“赣超”联赛 男性 25 150 女性 50 75 (1)是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关； (2)用频率估计概率,从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取3人参加抽奖活动,记这3人中女性人数为X,求X的分布列和数学期望． 附：,（结果精确到0.001）． α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【错解展示】第（2）小题误用超几何分布.注意题中有“用频率估计概率”,每个人被抽调的概率相等,用二项分布. 【正解】（1）假设：喜欢观看“赣超”联赛与性别无关, , 则假设不成立,即有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关. （2）喜欢观看“赣超”联赛的市民中女性的概率为：,则. 的可能取值为0,1,2,3. ,, ,, 所以的分布列为： 0 1 2 3 则. 【例8】某市为增强高中学生的数学建模能力,组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分,得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况,现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本,并按分数分成以下6组：,统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中,用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈,若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究,记分数在的人数为,求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图,以频率估计概率,现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人,这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为,当最大时,求的值. 【错解展示】第（2）小题误用正态分布,第（3）小题误用超几何分布.注意第（2）小题是从有限个学生中抽取3人,用超几何分步；第（3）小题有“以频率估计概率”,用二项分布. 【正解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中,用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈, 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人,则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知,,则,. 令, 当,解得. 因为,所以时,, 当时,,所以当时,最大. 【提醒】(1)超几何分布的特点是：①整体一般由两部分组成,比如“正,反”、“黑,白”、“男生、女生”“正品、次品”等,②总体一般是有限个. (2)超几何分布主要应用于抽查产品,摸不同类型的小球等模型 (3)注意特殊背景下的“超几何分布”被转化为“二项分布”,如从两类对象中不放回地抽取n个元素,当两类对象的总数量很大时,超几何分布近似于二项分布. 易错点6对正态分布的性质理解不准确 【例9】设随机变量服从正态分布,若,则． 【错误展示】由,所以,得,错误原因对正态分布中的的性质理解不正确. 【正解】由,由正态分布的性质知,与, 关于对称,,解得 【例10】李明上学有时坐公交车,有时骑自行车,他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到,假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布,．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【错解展示】误认为,是方差,误选A. 【答案】C 【正解】对于A中,随机变量服从正态分布,且,可得随机变量的方差为,即,所以A错误；对于B中,根据给定的正态分布密度曲线图像,可得随机变量, 所以,所以B错误；对于C中,根据正态分布密度曲线图像,可得时,随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积,所以,所以C正确；对于D中,根据正态分布密度曲线图像,可得,,即,所以D错误.故选C. 【提醒】若随机变量X～N(μ,σ2),E(X)＝μ,D(X)＝σ2,正态曲线曲线关于直线x＝μ对称. 1．设随机变量的分布列如表所示,且,则（   ） 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A．0.2 B．0.1 C．0.15 D．0.4 【答案】C 【解析】由分布列的性质得,①,又由,得②,由①②解得,．故选C． 2．已知随机变量X的分布列如下表所示,则（    ） X a a＋1 P x A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,所以,由题意得,, 所以．故选C. 3．已知,是两个随机事件,若,,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为,所以,由于,所以, 所以,由于,所以,所以. 4．已知随机变量,且,且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正态分布关于均值对称,又,可得,所以,又, 所以,由此可得,解得． 5．已知甲盒中有5个白球、5个黑球,乙盒中有1个黑球,所有球除颜色外均相同,每次从甲盒中随机取出2个球放入乙盒中,当两个盒子中黑球个数相等或甲盒中的球全部取出时停止取球.已知第2次取出的球放入乙盒后停止取球,则第1次取出的是2个白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记第2次取出的球放入乙盒后停止取球为事件,第1次取2白球为事件. 则,,所以. 故第2次取出的球放入乙盒后停止取球,则第1次取出的是2个白球的概率为. 6.从一批含有13件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ＋1)＝(    ) A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【解析】的可能取值为.,,. ∴的分布列为： ξ 0 1 2 P 于是,故.故选C. 7．设为两个相互独立的随机事件,且．已知在至少一个发生的条件下,恰有一个发生的概率是,则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设,由题意,在至少一个发生的条件下,恰有一个发生的概率是, 则, 即,解得,即. 8．某种细胞如果不能分裂则死亡,并且一个细胞死亡的概率为,分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞,则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】一个细胞的谱系经过两轮演化后仍存活的概率为,因此两个细胞经过两轮演化后还有细胞存活的概率是． 9．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列,如果为数列的前项和,那么的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由知,在7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则的概率为.故选B． 10．甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定打6局,每局必分胜负,无平局．每局比赛中,获胜方得1分,失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是,乙在每局比赛中获胜的概率为,且各局结果相互独立．在整个比赛过程中,甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】情况一：甲赢3局,乙赢3局,且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分,符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、甲甲甲乙乙乙共5种,此时概率；情况二：甲赢4局,乙赢2局,从6局中选4局甲赢,有种,其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种,则符合题意的获胜情况有9种,此时概率；情况三：甲赢5局,乙赢1局,符合题意的情况有种,此时概率；情况四：甲赢6局,乙赢0局,此时概率；综上,概率． 11．一个质点在随机外力的作用下,从数轴的原点出发,每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位,共移动7次,则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 【答案】D 【解析】设质点向正方向移动的次数为（）,则向负方向移动的次数为,质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：,每次移动向正、负方向的概率均为,因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布,概率公式为：,其中为组合数,为常数,因此,概率的大小由组合数决定,“最可能的位置”对应最大时的,时,时, 时,时,时,时 时,时综上,组合数在和时取得最大值, 当时,代入得：,当时,代入得：, 质点最可能移动到的位置坐标为或. 12．（多选题）设是一个试验中的两个事件,且,则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A,,, , ,,,故选项A正确； 选项B,,故选项B错误；选项C,,故选项C正确；选项D,,,,,,故选项D错误. 故选AC. 13．（多选题）甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为 ,乙每次投篮的命中率均为 .由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为 ,记“第i次投篮的人是甲”为事件A₁,前3次中甲投篮的次数为X,则以下结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A,表示在第1次投篮的人是乙的条件下,第2次投篮的人的概率为甲的概率, 因为乙投篮未命中则换甲投篮,乙每次命中率均为,所以乙未命中的概率为,所以,故A正确；对于B,表示在第1次投篮的人是甲的条件下,第2次投篮的人的概率为甲的概率, 因为甲每次命中率均为,所以, ,故B错误； 对于C,表示前3次中甲投篮的次数为1次的概率,有三种情况：第一种情况是第一次甲投篮未中,第二次乙投篮命中,其概率为；第二种情况是第一次乙投篮命中,第二次乙投篮未命中,其概率为；第三种情况是第一次乙投篮未命中,第二次甲投篮未命中, 其概率为；所以,故C正确；对于D,的可能取值为,,由C选项可知,,,所以,故D正确. 14．（多选题）某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布,且,．从该流水线上随机抽取4件产品,这4件产品中质量在区间上的件数记为,则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】A选项,由,得,故,由正态分布的对称性可知,A正确；B选项,,B正确； C选项,由题意得,故,C错误；D选项,,D正确. 15．已知随机事件满足,则______. 【答案】 【解析】由条件概率公式可知. 16．已知盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球,盒中装有大小相同的3个红球,从盒中随机取一个球,若是红球,则放回盒；若是黑球,则从盒中取一红球与其替换,这样称为1次操作,重复以上操作,直到盒中6个球全是红球为止.记次重复操作后,盒中6个球恰好全是红球的概率为,则________. 【答案】 【解析】若4次重复操作后,盒中6个球全是红球,则1次抽到红球,3次抽到黑球,包含第一次、第二次和第三次抽到红球三种情况,所以, 若5次重复操作后,盒中6个球全是红球,则2次抽到红球,3次抽到黑球,包含第一次和第二次、第一次和第三次、第一次和第四次、第二次和第三次、第二次和第四次、第三次和第四次抽到红球六种情况, 所以 ,所以. 17．某棋手与一款机器人进行围棋挑战赛,规则如下：棋手的初始分数为2分,每局比赛,棋手胜加1分；平局不得分；棋手负减1分．当棋手总分为0分时,挑战失败,比赛终止；当棋手总分为3分时,挑战成功,比赛终止；否则比赛继续进行．已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为,且各局比赛相互独立．则恰好在第6局比赛结束后,比赛终止的概率为_____． 【答案】 【解析】设比赛终止后,棋手获胜的局数为． （1）6局比赛后棋手胜.则最后1局棋手胜, ①若,则前5局均为平局,只有1种情形； ②若,则在前5局中除平局外出现有1胜1负情形,且为“负胜”的顺序,共有种情形； ③若,则在前5局中除平局外出现2胜2负情形,且为“负胜负胜”的顺序,共有种情形． 所以6局比赛后,棋手胜的概率为． （2）6局比赛后棋手负.则最后1局棋手负. ①若,则在前5局中除平局外出现有1负0胜的情形,且负局可以在任意位置,有种情形； ②若,则在前5局中除平局外出现有2负1胜的情形,且为“负胜负”的顺序,有种； ③若,则在前5局中除平局外出现有3负2胜的情形,且为“负胜负胜负”的顺序,只有1种情形． 所以6局比赛后,棋手负的概率为． 综上,6局后比赛终止的概率为． 18．某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对 “春节联欢晚会” 的喜爱情况,特进行了一次抽样调查,分别抽取男生和女生各100名作为样本,设事件 “喜欢春节联欢晚会”, “学生为女生”,据统计有：. (1)现从这100名女生中,按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例,选出10人,再从这10人中随机选出2人,设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为. 求的概率分布列和期望; (2)将样本的频率视为概率. 现从全校的学生中随机抽取名学生,设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为,且当时,取得最大值,求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【解析】（1）由,所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人, 故的取值为, 则, 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知,女生有 100 人, 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 60 人, 又因为,所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人, 由于样本的频率视为概率,所以从全校的学生中随机抽取1名学生, 他喜欢春节联欢晚会的概率为, 则随机变量, 令,解得, 因为,所以或40或41. 19．有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的,且含有该酶的概率均为,若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组,每组人．在每一组中,取每人的血液混合成一个样本进行检测． 若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶）,则该组内所有人员无需再进行后续检测． 若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶）,则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样,利用现有采集过的血样）． (1)若,,已知某小组的混合样本检测结果呈阳性,求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率； (2)用N,k,p表示该方法所需检测次数的期望值； (3)设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份,化验检测成本为b元/次．若,每组人数,且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上,求的取值范围．（参考数据：） 【解析】（1）设小组中有酶的人数为X,则． 已知混合样本阳性,即,则恰有2人有酶的概率为 ． （2）设每组检测次数,则的分布列为 1 p 期望为 则总检测次数的期望； （3）若分组检测,检测次数的期望为． 总成本期望为, 若逐一检测,则总成本为．由节省50%以上得． 代入,,,得, 整理得,因此,,故的取值范围是. ( 17 / 19 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $