7.4.2 超几何分布导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第七章 随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 7.4.2 超几何分布 【学习目标】 1. 理解超几何分布的概念，能判断一个随机变量是否服从超几何分布. 1. 理解超几何分布与二项分布的区别与联系. 1. 能利用超几何分布解决一些简单的实际问题（如不放回抽样中的次品数、选人等）. 【学习重点】 1. 超几何分布的定义及其概率计算公式. 2. 超几何分布的均值公式 . 3. 超几何分布与二项分布的区别（是否独立、是否放回）. 【学习难点】 1. 正确识别超几何分布模型中的参数 . 2. 理解“不放回抽样”导致的不独立性，从而不能用二项分布. 学习任务一 超几何分布的概念与公式 【合作探究】 1. 问题引入： · 已知 100 件产品中有 8 件次品，现从中不放回地随机抽取 4 件，设抽取的 4 件产品中次品数为 . (1) 每次抽取是否独立？为什么？ (2) 是否服从二项分布？ · 答：不放回抽样各次结果不独立，不满足 重伯努利试验条件，故 不服从二项分布. 1. 超几何分布的定义： · 一般地，设一批产品共有 件，其中有 件次品.从 件产品中不放回地随机抽取 件，用 表示抽取的 件产品中的次品数，则 的分布列为 · 其中 的取值范围要满足 且 ，即 的最小值为 ，最大值为 . · 称随机变量 服从超几何分布，记作 . 1. 参数理解： (1) ：总体中的个体总数 (2) ：总体中特殊个体总数（如次品数） (3) ：抽取的样本容量 (4) ：样本中的特殊个体数 1. 超几何分布的均值：.（与二项分布均值形式相同，但方差不同） 【自主梳理】 1. 超几何分布的概率公式：. 1. 适用条件： (1) 总体由两类不同个体组成（如正品/次品，男生/女生）； (2) 不放回地抽取； (3) 随机变量是样本中某一类个体的个数. 1. 均值：. 学习任务二 超几何分布的概率计算 【合作探究】 例1（选人问题）： 从 50 名学生中随机选出 5 名学生代表，求甲被选中的概率. 解：设 表示选出的 5 人中甲被选中的次数（只能取 0 或 1），则 服从超几何分布，. . 利用组合数性质：，故 . 实际上，甲被选中的概率等于 . 例2（零件检验）： 一批零件共 30 个，其中 3 个不合格.随机抽取 10 个，求至少有 1 件不合格的概率. 解：设 为不合格品数，. 直接法：. 计算 与 可简化：，故 . 也可用间接法. 例3（有放回与不放回对比）： 袋子中有 100 个球，40 黄 60 白.随机摸 20 个，用 表示黄球个数. 有放回： 不放回： 计算 ，通过统计软件可得不放回的概率（约 0.7988）大于有放回的概率（约 0.7469），说明不放回抽样估计更可靠. 结论：当 远小于 时，超几何分布可用二项分布近似. 【自主梳理】 超几何分布与二项分布的区别： 特征 超几何分布 二项分布 抽样方式 不放回 放回（或独立重复） 试验独立性 不独立 独立 每次概率 变化 固定 适用条件 总体有限，个体数固定 无限总体或放回抽样 近似关系 当 时，可用二项分布近似 — 学习任务三 超几何分布的简单应用 【合作探究】 1. 例：一箱 24 罐饮料中有 4 罐有奖券，随机抽取 2 罐，求有奖券的概率. · 解： 为有奖券罐数，. · . 1. 例：从 12 名候选人（含甲班 4 人）中选 4 人组成学生会，求甲班恰有 2 人被选的概率. · 解： 为甲班人数，. · . 【自主梳理】 超几何分布解题步骤： 1. 判断是否满足超几何分布特征（两类、不放回、计数）； 1. 确定参数 ； 1. 列出概率公式； 1. 代入计算，注意组合数的化简. 【自查自纠】（正误判断） 1. 超几何分布适用于放回抽样. （ ） 1. 超几何分布中，每次抽取的概率是变化的. （ ） 1. 当总体容量很大时，超几何分布可以用二项分布近似. （ ） 1. 超几何分布的均值等于 . （ ） 1. 从 10 个球（3 红 7 白）中不放回取 4 个，红球数服从超几何分布. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：从 100 件产品（含 5 件次品）中不放回抽取 10 件，求恰好有 2 件次品的概率. 解：， . 例2：某班有 30 人，其中 10 人是女生，现随机选 5 人参加比赛，求至少有 1 名女生的概率. 解：设 为女生人数，. . 计算 ，化简得 ，故 . 【习题巩固】 1. 下列随机变量中，服从超几何分布的是（ ） · A. 从 10 件产品（3 件次品）中有放回地取 3 件，次品数 · B. 从 50 名学生中抽 5 人，其中男生人数 （已知男生 20 人） · C. 抛一枚硬币 10 次，正面次数 · D. 袋中有 5 红 5 白，不放回取 2 个，红球数 1. 一批产品共 100 件，其中有 10 件次品，从中不放回地抽取 5 件，则恰好有 2 件次品的概率为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 从含有 3 个红球、7 个白球的袋中不放回地取 4 个球，则取到红球个数的均值为（ ） · A. 0.8 B. 1.2 C. 1.4 D. 1.6 1. 学校从 15 名候选人中选 5 人组成学生会，其中甲班有 3 名候选人，则甲班恰好有 2 人被选中的概率为______.（用组合数表示） 1. （选做）某批产品共有 件，其中 件次品，不放回抽取 件.证明：. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. B、D（A 有放回是二项分布；C 是二项分布；B 和 D 是不放回两类计数） 1. A（超几何分布公式） 1. B（） 1. 提示：利用组合恒等式或 可分解为 个指示变量之和，每个指示变量的期望为 ，由期望线性性得证. 学科网（北京）股份有限公司 $