7.4.1 二项分布导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第七章 随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布 【学习目标】 1. 了解 重伯努利试验及其特征，能判断一个随机试验是否为 重伯努利试验. 1. 理解二项分布的概念，能写出二项分布的分布列. 1. 掌握二项分布的均值与方差公式，并能应用于实际问题. 【学习重点】 1. 重伯努利试验的判定. 2. 二项分布的分布列及其概率计算. 3. 二项分布的均值 ，方差 . 【学习难点】 1. 理解二项分布模型中的“独立重复”条件. 2. 区分二项分布与超几何分布（后续学习）. 3. 将实际问题抽象为二项分布模型. 学习任务一 重伯努利试验与二项分布的概念 【合作探究】 1. 伯努利试验： · 只包含两个可能结果的试验称为伯努利试验.例如：抛硬币（正面/反面）、检验产品（合格/不合格）、射击（中靶/脱靶）. 1. 重伯努利试验： · 将一个伯努利试验独立地重复进行 次，称为 重伯努利试验.其特征： (1) 每次试验只有两种结果（成功/失败）； (2) 每次试验在相同条件下进行，成功概率 保持不变； (3) 各次试验结果相互独立. 1. 判断下列试验是否为 重伯努利试验： · (1) 抛一枚硬币 10 次； · (2) 某射手每次射击中靶概率 0.8，连续射击 3 次； · (3) 从一批次品率为 5% 的产品中有放回地抽取 20 件. · 均是 重伯努利试验. 1. 二项分布的定义： · 在 重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概率为 ，用 表示事件 发生的次数，则 的分布列为 · 称随机变量 服从二项分布，记作 . 【自主梳理】 1. 二项分布的概率公式：. 1. 二项分布的均值与方差：，. 1. 二项分布与两点分布的关系： 时的二项分布即为两点分布. 学习任务二 二项分布的概率计算 【合作探究】 1. 例1（抛硬币）：抛掷一枚均匀硬币 10 次，求： · (1) 恰好出现 5 次正面的概率； · (2) 正面朝上频率在 内的概率. · 解：. · (1) . · (2) 频率在 等价于 ， · ，可查表或计算. 1. 例2（高尔顿板）：小球从顶端放入，碰到钉子后等可能向左或向右落下，共经过 10 排钉子，最后落入底部格子，格子编号表示向右的次数.求 的分布列. · 解：每次碰到钉子向右的概率 ，共 10 次独立试验，故 ， · ，. 1. 例3（赛制问题）：甲、乙比赛，每局甲胜概率 0.6，乙胜概率 0.4.问采用 3 局 2 胜制还是 5 局 3 胜制对甲更有利？ · 解：设甲最终获胜概率为 . · 3 局 2 胜：. · 5 局 3 胜：（计算略）. · ，故 5 局 3 胜对甲更有利. 【自主梳理】 二项分布应用步骤： 1. 明确伯努利试验及“成功”定义，确定 ； 1. 确定试验次数 ，判断独立性； 1. 设 为成功次数，则 ； 1. 利用公式计算所需概率. 学习任务三 二项分布的均值与方差 【合作探究】 1. 公式推导：若 ，则 ，. · 证明思路： 可表示为 个独立两点分布之和，由期望和方差的可加性即得. 1. 应用：抛掷一枚均匀硬币 100 次，正面次数的期望为 ，方差为 . 【自主梳理】 · 均值 ，反映平均成功次数. · 方差 ，反映波动大小. 【自查自纠】（正误判断） 1. 在 重伯努利试验中，各次试验的结果必须相同. （ ） 1. 二项分布的分布列之和等于 1. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 两点分布是 的二项分布. （ ） 1. 二项分布的方差与 成正比. （ ） 答案：1.×（结果可以不同，但概率相同） 2.√ 3.√ 4.√ 5.√（，与 成正比） 【典例分析】 例1：某射击运动员每次射击命中目标的概率为 0.8，连续射击 5 次，求命中次数 的分布列. 解：，，. 例2：某批产品的次品率为 0.1，有放回地抽取 4 件，求恰好有 2 件次品的概率. 解：，. 【习题巩固】 1. 下列随机试验中，可以看作 重伯努利试验的是（ ） · A. 甲、乙、丙三人进行射击，每人击中目标概率分别为 0.6,0.7,0.8，记录击中次数 · B. 从一批产品中不放回地抽取 5 件，记录次品数 · C. 同时抛掷两枚均匀硬币，记录正面朝上的枚数 · D. 投掷一枚骰子 10 次，记录点数 6 出现的次数 1. 若 ，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，则 和 分别为（ ） · A. 4, 2.4 B. 4, 2 C. 2.5, 2.4 D. 2.5, 2 1. 某篮球运动员投篮命中率为 0.6，他独立投篮 4 次，则恰好命中 3 次的概率为______. 1. （选做）某乒乓球比赛采用 7 局 4 胜制，甲每局获胜概率为 0.6，求甲以 4:2 获胜的概率. 【参考答案】 自查自纠：已附答案. 习题巩固： 1. D（每次试验独立且概率相同） 1. A（） 1. A（，） 1. 1. 解：甲以 4:2 获胜，即前 5 局甲胜 3 局且第 6 局甲胜， · . 学科网（北京）股份有限公司 $