7.3.2 离散型随机变量的方差 导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第七章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差 【学习目标】 1. 会根据离散型随机变量的分布列求出方差、标准差. 1. 掌握离散型随机变量方差的性质，并能简单应用. 1. 能利用离散型随机变量的方差解决一些简单的实际问题（如稳定性比较、风险决策等）. 【学习重点】 1. 离散型随机变量方差与标准差的定义及计算. 2. 方差的性质：. 3. 方差与标准差在实际问题中的意义. 【学习难点】 1. 理解方差是“偏差平方的加权平均”的概率意义. 2. 区分方差与标准差，理解它们反映离散程度的含义. 学习任务一 离散型随机变量的方差概念与计算 【合作探究】 1. 问题引入：甲、乙两名同学射击成绩的分布列如下： 环数 7 8 9 10 甲的概率 0.1 0.2 0.6 0.1 乙的概率 0.1 0.3 0.4 0.2 · 分别计算两人的平均环数，发现均为8.7.既然均值相同，如何评价两人的射击水平？ · 提示：观察成绩的离散程度.画出概率分布图（想象条形图），乙的分布更集中于均值附近，说明乙更稳定. 1. 定量刻画离散程度： · 样本方差定义为“各数据与样本均值的偏差平方的平均值”.类似地，随机变量 的方差定义为 · 其中 . · 标准差 . 1. 简化计算公式： · 其中 . 1. 计算例：抛掷一枚均匀骰子，点数 的分布列 ，已知 ， · ， · . 【自主梳理】 1. 方差定义： · ，标准差 . 1. 简化公式：. 1. 意义：方差（或标准差）越小，随机变量取值越集中，波动越小；方差越大，取值越分散. 学习任务二 方差的性质 【合作探究】 1. 探究：已知 ，求 和 . (1) 常数平移：（因为每个 与 的偏差不变）； (2) 缩放：； (3) 一般线性变换：. 1. 验证：若 服从两点分布，，，则 ，， · . 【自主梳理】 方差的性质： 1. . 2. 常数的方差为0. 3. 两点分布方差：. 学习任务三 方差在实际问题中的应用 【合作探究】 1. 例6（股票投资风险）： · 股票 收益分布列： 收益（元） -1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 · 股票 收益分布列： 收益（元） 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 · 求两者的期望收益与方差，并判断投资哪种股票风险更高. · 解： · ； · ； · ，； · ，. · 结论：，但 ，股票 期望收益略高，但风险也更高. 1. 实际背景解读： (1) 测试成绩 → 方差反映稳定性. (2) 加工误差 → 方差反映精度. (3) 投资收益 → 方差反映风险. 【自主梳理】 利用方差作决策： · 当均值相同时，方差越小越好（更稳定、更精确、风险更低）. · 当均值不同时，需结合实际情况权衡：是否愿意以高风险换取高期望收益. 【自查自纠】（正误判断） 1. 方差反映随机变量取值的平均水平. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 离散型随机变量的方差可能为零. （ ） 1. 两点分布的方差等于 . （ ） 1. 标准差是方差的平方. （ ） 【典例分析】 例1：已知随机变量 的分布列为 求 和 . 解： ， ， ， . 例2：随机变量 满足 （ 为常数），求 . 解： 取唯一值 ，，，. 【习题巩固】 1. 已知随机变量 的分布列为 · 则 的值为（ ） · A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 1. 若 服从两点分布，且 ，则 （ ） · A. 0.4 B. 0.6 C. 0.4 或 0.6 D. 0.5 1. 设随机变量 的方差 ，则 （ ） · A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 1. 甲、乙两个班级目测误差的分布列如下： · 甲班： 误差 -2 -1 0 1 2 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 · 乙班： 误差 -2 -1 0 1 2 概率 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 · 判断哪个班级的目测精度更高. 1. （选做）投资 ， 两种项目，其利润（万元）的分布列如下： · ： 利润 10 20 30 概率 0.2 0.6 0.2 · ： 利润 5 20 35 概率 0.3 0.4 0.3 · 从期望和风险两个角度评价哪种投资项目更好. 【参考答案】 自查自纠： 1. ×（方差反映离散程度，均值反映平均水平） 1. ×（应为 ） 1. √（单点分布） 1. ×（两点分布方差为 ） 1. ×（标准差是方差的平方根） 习题巩固： 1. D（，，） 1. C（由 ，解得 或 ） 1. D（） 1. 解：，，； · ，，. · 乙班方差更小，精度更高. 1. 解：， · ，均值相同. · ， · . · 项目 方差小，风险更低，更优. 学科网（北京）股份有限公司 $