7.3.1 离散型随机变量的均值导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第七章 随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 【学习目标】 1. 理解离散型随机变量均值的概念，能根据分布列求出均值. 1. 掌握离散型随机变量均值的性质（），并能简单应用. 1. 能利用离散型随机变量的均值解决简单的实际问题（如水平比较、决策问题）. 【学习重点】 1. 离散型随机变量均值的定义与计算. 2. 两点分布的均值公式. 3. 均值性质的应用. 【学习难点】 1. 理解均值是加权平均数的概率意义. 2. 将实际问题转化为求随机变量的均值并作出合理决策. 学习任务一 离散型随机变量的均值定义与计算 【合作探究】 1. 问题引入：甲、乙两名射箭运动员射中环数的分布列如下： 环数 7 8 9 10 甲的概率 0.1 0.2 0.6 0.1 乙的概率 0.1 0.2 0.4 0.3 · 分别计算两人的平均环数，并比较谁的水平更高. · 解：甲的平均环数 = ； · 乙的平均环数 = . · 甲的均值为8.7，乙的均值为8.9，乙更高，故乙的水平更高 · 结论：均值反映了随机变量取值的平均水平. 1. 两点分布的均值： · 若随机变量 服从两点分布（0‑1分布），，，则 . · 即两点分布的均值等于成功概率 . 1. 求均值的步骤： · (1) 确定随机变量 的所有可能取值； · (2) 求出每个取值对应的概率； · (3) 列出分布列； · (4) 用公式 计算. 【自主梳理】 1. 均值（数学期望）定义： · 设离散型随机变量 的分布列为 ，，则 · 称为 的均值或数学期望. 1. 均值的性质：，其中 为常数. 1. 两点分布均值：. 学习任务二 均值的性质与计算 【合作探究】 1. 例1（罚球得分）： · 某运动员罚球命中概率为 ，命中得1分，不中得0分.求罚球一次得分 的均值. · 解： 服从两点分布，. 1. 例2（掷骰子）： · 掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为 ，求 . · 解： 的分布列为 ， · . 1. 均值性质应用： · 已知 ，则 . 【自主梳理】 均值的性质： · . · 可用于简化计算，例如先求 再求线性变换后的均值. 学习任务三 均值在实际决策中的应用 【合作探究】 1. 例3（猜歌名游戏）： · 猜对歌曲 的概率分别为 ，猜对时获得公益基金依次为 元.规则：按 顺序猜，只有猜对当前歌曲才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额 的分布列及均值. · 解： 的可能取值为 . · ； · ； · ； · . · 均值为 · 变式：改变顺序会影响期望，按由易到难的顺序期望最大. 1. 例4（防洪决策）： · 小洪水概率 ，大洪水概率 ，正常概率 .设备损失：大洪水 元，小洪水 元.方案1：运走设备，费用 元；方案2：建围墙（费用 元），只能挡住小洪水；方案3：不采取措施.求各方案总损失的期望，并选择最优方案. · 解： (1) 方案1：总损失 元，. (2) 方案2：遇到大洪水时损失 ，否则损失 ， · . (3) 方案3：. · 比较： 最小，故选择方案2. 【自主梳理】 利用均值决策的一般步骤： 1. 确定所有可能的方案； 1. 写出每个方案下总损失（或收益）的随机变量表达式； 1. 计算每个方案的期望值； 1. 选择期望损失最小（或期望收益最大）的方案. 【自查自纠】（正误判断） 1. 随机变量的均值一定是随机变量的可能取值之一. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 两点分布的均值等于 . （ ） 1. 样本均值随着样本容量增大一定等于总体均值. （ ） 1. 决策时只需考虑期望值，不必考虑风险. （ ） 【典例分析】 例1：已知随机变量 的分布列为 求 和 . 解： ， . 例2：抛掷一枚硬币，正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分 的均值. 解：，，. 【习题巩固】 1. 已知随机变量 的分布列为 · 则 （ ） · A. 0.7 B. 0.9 C. 1.0 D. 1.1 1. 若 ，则 （ ） · A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 1. 甲、乙两台机床生产次品数 的分布列如下： 0 1 2 3 0 1 2 0.5 0.3 0.1 0.1 0.6 0.3 0.1 · 则水平较好的机床是（ ） · A. 甲 B. 乙 C. 一样 D. 无法判断 1. 某射手射击命中目标的概率为 ，设 为一次射击命中的次数，则 ______. 1. （选做）某商场促销，顾客消费满100元可抽奖一次.袋中有3个红球和2个白球，不放回地摸2个球，若摸到2个红球得50元，摸到1红1白得20元，摸到2个白球无奖励.求一次抽奖所得奖金的均值. 【参考答案】 自查自纠： 1. ×（例：掷骰子均值3.5不在1~6中） 1. √ 1. √ 1. ×（趋近但不一定相等） 1. ×（需结合风险） 习题巩固： 1. B（） 1. A（） 1. B（；，乙期望小，更好） 1. （两点分布） 1. 解：摸2球，总数为 . · 红，得50元； · 红白，得20元； · 白，得0元. · 均值 元. 学科网（北京）股份有限公司 $