7.3.2 离散型随机变量的方差（导学案）数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2 离散型随机变量的方差 导学案 （1）通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. （2）会求离散型随机变量的方差、标准差. （3）掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法. （4）会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 1． 创设情境，引入新知 “均值相同，谁更可靠？—— 射击比赛的选人难题” 要从甲、乙两名同学中选出一人代表班级参加射击比赛。根据以往成绩记录，两人击中目标靶的环数X（甲）和 Y（乙）的分布列如下： 思考：请计算以上两个分布列的期望，得出什么结论? 预设：甲、乙两名同学射击的环数均值都是 8 环 追问：甲、乙两名同学射击的平均环数都是 8 环。那是不是说明他们的射击水平完全一样？ 预设：不一样，分布列中的概率不同. 教师：当两个随机变量的均值相等时,我们需要引入一个新的统计量来描述它们的波动情况，这就是我们今天要学习的 ——离散型随机变量的方差 2． 探究新知 引导： 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 思考：下图分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，你可以发现什么？ 思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 定义：的偏离程度．我们称 ———————————————————————————————————— 为随机变量的 （variance），有时也记为，并称为随机变量的 （standard deviation），记为． 思考：随机变量X的方差和标准差的意义是什么？ 牛刀小试： 练1：判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）离散型随机变量的期望反映了取值的概率的平均值．( ) （2）离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平．( ) （3）离散型随机变量的方差反映了取值的波动水平．( ) （4）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. 思考：方差的计算可以简化吗？ 3． 应用新知 例5 拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差． 4． 探究新知 探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 归纳总结：关于方差性质的四点说明 (1)当a=0时，D(aX+b)=D(b)= ，即常数的方差等于0. (2)当a=1时，D(X+b)= ，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. (3)当b=0时，D(aX)= ，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. (4)当a，b均为非零常数时，随机变量η=aX+b的方差D(η)=D(aX+b)= . 牛刀小试： 练3：判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”． （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) （2）若a是常数，则. ( ) （3）离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．( ) （4） 若a，b为常数，则.( ) （5）离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的. ( ) 练4:已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 练5：若随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 5． 应用新知 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示． 表7.3-9股票A收益的分布列 表7.3-10股票B收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.3 0.4 0.3 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 要求：随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度．在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释，请举例说明 归纳总结：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤： （1）比较 .离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高. （2）在均值相等或接近的情况下计算 .方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. （3）下结论.依据均值和方差给出结论. 跟踪练习：两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的方差D(ξ)=____. 归纳总结：求离散型随机变量ξ的方差的一般步骤 (1)理解ξ的意义，明确其 ； (2)判定ξ是否服从 (如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊发布则继续下面步骤； (3)求ξ取每个值的 ； (4)写出ξ的分布列，并利用分布列 检验； (5)根据方差定义求 . 6． 能力提升 类型一：求离散型随机变量的方差 例题1 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 题型二：利用离散型随机变量的方差定义和性质求参 例题2 已知随机变量的分布列为 若随机变量，，，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 总结：利用离散型随机变量的均值、方差的定义和性质，建立 （组），解方程（组）即可得解. 题型三：离散型随机变量的均值和方差的综合应用 例题3已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 题型四：离散型随机变量方差在决策问题中的应用 例题4 为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 总结：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较 ：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的水平高. (2)在均值相等的情况下计算 ：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论. 7． 课堂小结 作业1：第121页 练习 第1,2,3,4题 第127 页 习题3.2 第1,2,5,6,7题； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量的方差》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3.2 离散型随机变量的方差 导学案 （1）通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义. （2）会求离散型随机变量的方差、标准差. （3）掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法. （4）会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 1． 创设情境，引入新知 “均值相同，谁更可靠？—— 射击比赛的选人难题” 要从甲、乙两名同学中选出一人代表班级参加射击比赛。根据以往成绩记录，两人击中目标靶的环数X（甲）和 Y（乙）的分布列如下： 思考：请计算以上两个分布列的期望，得出什么结论? 预设：甲、乙两名同学射击的环数均值都是 8 环 追问：甲、乙两名同学射击的平均环数都是 8 环。那是不是说明他们的射击水平完全一样？ 预设：不一样，分布列中的概率不同. 教师：当两个随机变量的均值相等时,我们需要引入一个新的统计量来描述它们的波动情况，这就是我们今天要学习的 ——离散型随机变量的方差 2． 探究新知 引导： 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势” . 因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小 . 所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 问题1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 思考：下图分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，你可以发现什么？ 可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 预设：我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．类比，一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？答案是肯定的 定义：的偏离程度．我们称 为随机变量的方差（variance），有时也记为，并称为随机变量的标准差（standard deviation），记为． 思考：随机变量X的方差和标准差的意义是什么？ 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度， 反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散 . 牛刀小试： 练1：判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）离散型随机变量的期望反映了取值的概率的平均值．( ) （2）离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平．( ) （3）离散型随机变量的方差反映了取值的波动水平．( ) （4）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) 预设：× × √ × 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. 预设：由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为 ，； ，． 因为（等价地，），所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定． 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化． ． 思考：方差的计算可以简化吗？ 预设：方差描述随机变量取值的离散程度，了解方差的性质，除了简化计算外，还有助于更好地理解其本质． 3． 应用新知 例5 拋掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差． 预设：随机变量的分布列为． 因为，． 所以． 即该运动员罚球1次得分X的均值是0.8． 4． 探究新知 探究：离散型随机变量X加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量X乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 预设：离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即 一般地，可以证明下面的结论成立： 归纳总结：关于方差性质的四点说明 (1)当a=0时，D(aX+b)=D(b)=0，即常数的方差等于0. (2)当a=1时，D(X+b)=D(X)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. (3)当b=0时，D(aX)=a2D(X)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. (4)当a，b均为非零常数时，随机变量η=aX+b的方差D(η)=D(aX+b)=a2D(X). 牛刀小试： 练3：判断正误，正确的填“正确”，错误的填“错误”． （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) （2）若a是常数，则. ( ) （3）离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．( ) （4） 若a，b为常数，则.( ) （5）离散型随机变量的方差与标准差的单位是相同的. ( ) 预设：× √ √ × × 练4:已知随机变量X满足，，下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 预设：由，解得，由，解得.故选：D. 练5：若随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 预设：因为，所以，故.故选：C. 5． 应用新知 例6 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示． 表7.3-9股票A收益的分布列 表7.3-10股票B收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2 概率 0.1 0.3 0.6 概率 0.3 0.4 0.3 （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 师生共同分析：股票投资收益是随机变量, 期望收益就是随机变量的均值. 投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下, 可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低, 方差越大风险越高, 方差越小风险越低. 预设：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为 ，． 因为，所以投资股票A的期望收益较大． （2）股票A和股票B投资收益的方差分别为 ， ． 因为和相差不大，且，所以投资股票A比投资股票B的风险高． 在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小． 要求：随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度．在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释，请举例说明 预设：如果随机变量是某项技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性； 如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度； 如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低. 归纳总结：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤： （1）比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高. （2）在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. （3）下结论.依据均值和方差给出结论. 跟踪练习：两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的方差D(ξ)=____. 预设：ξ的所有可能取值为0，1，2， 归纳总结：求离散型随机变量ξ的方差的一般步骤 (1)理解ξ的意义，明确其可能取值； (2)判定ξ是否服从特殊分布(如两点分布等)，若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊发布则继续下面步骤； (3)求ξ取每个值的概率； (4)写出ξ的分布列，并利用分布列性质检验； (5)根据方差定义求D(ξ). 6． 能力提升 类型一：求离散型随机变量的方差 例题1 盒中装有3个黄球和1个红球，现从盒中每次随机取出1个球且不放回，直至取出红球．设在此过程中，取到黄球的个数为，则（    ） A．1 B． C． D．2 预设：由题意得，的所有可能取值为， ， ， 所以的期望为， 所以． 故选：B. 题型二：利用离散型随机变量的方差定义和性质求参 例题2 已知随机变量的分布列为 若随机变量，，，则下列选项正确的为（    ） A． B． C． D． 预设：依题意，由分布列可得，解得，A正确； ， ， 因为， 所以，， 解得，，B错误，C正确； 所以随机变量的分布列为： 由分布列可知D正确； 故选：ACD 总结：利用离散型随机变量的均值、方差的定义和性质，建立方程（组），解方程（组）即可得解. 题型三：离散型随机变量的均值和方差的综合应用 例题3已知离散型随机变量X的分布列如下，若，则（   ） X 0 a 2 P b A． B． C． D． 预设：由题意知，解得，因为，则， 则，解得， 则 . 故选：C. 题型四：离散型随机变量方差在决策问题中的应用 例题4 为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求X，Y的概率分布； (2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人. 预设：（1）依题意，，解得，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，乙射中7环的概率为， 的概率分布为： X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 的概率分布为： Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）由（1）可得 （环）， （环）， ， ， 由于，说明甲平均射中的环数比乙高，又因为，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会. 总结：利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论. 7． 课堂小结 作业1：第121页 练习 第1,2,3,4题 第127 页 习题3.2 第1,2,5,6,7题； 作业2：配套辅导资料对应的《离散型随机变量的方差》.  学科网（北京）股份有限公司1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $