考点01 因式分解（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

考点01 因式分解 考点一：因式分解的概念 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 因式分解与整式乘法的互逆关系 整式乘法 乘积→和差（化简结果是多项式） 因式分解 和差→乘积（化简结果是整式的乘积） ①因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形； ②可用整式乘法（将因式相乘）的结果与原多项式对比，验证因式分解的准确性 考点二：因式分解的基本方法 提公因式法 公因式的概念 多项式各项都含有的相同因式 确定公因式的方法 ①系数：取各项系数的最大公约数； ②字母：取各项相同的字母； ③指数：相同字母取最低次幂。 步骤 ma + mb + mc = m(a + b + c) 公式法 平方差公式 a²- b²= (a + b)(a - b) （结构：平方的差→和差乘积） 完全平方公式 a² + 2ab + b²= (a + b)²； a²- 2ab + b²= (a - b)² （结构：平方和±2倍积→和/差平方） 考点三：因式分解的一般步骤 1.提：若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 2.套：提取公因式后（或无公因式），再考虑能否用平方差公式或完全平方公式继续分解。 3.检查：检查每个因式是否还能继续分解，必须分解到不能再分解为止。 题型一：判断是否为因式分解 ·因式分解的结构：多项式=整式乘积； ·因式分解的结果：①整式乘积；②“=”成立； 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A选项是整式乘法，结果为和的形式，不是因式分解； B选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解； C选项，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义，是因式分解； D选项，结果为和的形式，不是几个整式的积，不是因式分解. 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解； B、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； D、，将多项式化为两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义，是因式分解. 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【详解】解：选项A，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且等式成立，符合因式分解的定义； 选项B，等式右边为，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； 选项C，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； 选项D，等式右边的不是整式，不符合因式分解的要求． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【详解】解：A．从左到右是整式乘法，结果是多项式和的形式，不属于因式分解； B．，原等式不成立，不属于因式分解； C．左边是多项式，右边为整式乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； D．右边不是整式乘积的形式，不属于因式分解． 题型二：提公因式法进行因式分解 注意： ①不要漏项：提公因式后，括号内的项数应与原多项式项数相同。例如，3x²y - 6xy² = 3xy(x - 2y)，括号内不能漏掉“1”。 ②有一对相反数存在的多项式，可以先提其中一个式子中的“-”出来： 例：m（m-n）-n（n-m）=m（m-n）+n（m-n） 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若，，则____． 【答案】 【难度】0.85 【分析】提取公因式，将已知条件代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：， 将，代入得． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）多项式的公因式是__________． 【答案】 【难度】0.95 【分析】当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数，字母取各项相同的字母，且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：先求系数部分的最大公因数，和的最大公因数是． 再确定字母部分，两项共有的相同字母为和，的最低次数是，的最低次数是，仅出现在第二项，不属于公因式部分，即多项式的公因式是． 3．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解：． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】将因式分解，再把所给式子整体代入即可． 【详解】解：∵，， ∴． 5．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若，则______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】先对已知条件变形整理得到关于的二次等式，再对所求多项式提取公因式因式分解，代入二次等式计算即可得到结果． 【详解】解：已知， 移项得 ， 两边平方得 ， 展开整理得 ， 对所求多项式因式分解： ． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 【答案】． 【难度】0.85 【分析】先对原式变形得到公因式，再提取公因式化简整理即可得到结果． 【详解】解： ． 8．（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型三：公式法进行因式分解 · 符号问题：当多项式第一项系数为负时，通常先提取负号，使括号内第一项系数为正。 例如，-a²- b²+ 2ab = -(a²- 2ab + b²) = -(a - b)²。 ·分解不彻底：分解要彻底。 例如，x⁴- 1 = (x² + 1)(x² - 1)，还要继续分解到(x² + 1)(x + 1)(x - 1)才算完成。 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.84 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）利用因式分解计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.86 【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知k为正整数，试判断能否被4整除，并说明理由． 【答案】能，理由见解析 【难度】0.65 【详解】解：能，理由如下： ∵； 为正整数， ∴为正整数， 为4的倍数， 能被4整除. 4．（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知直角三角形的两直角边长分别为6和8，其第三边长为c，试对下列代数式先化简再求值：． 【答案】，． 【难度】0.65 【分析】先根据二次根式的性质化简，再利用勾股定理求出的值，代入计算即可． 【详解】解： 直角三角形的两直角边长分别为6和8，其第三边长为c， ， 当时，原式． 题型四：综合运用提公因式和公式法进行因式分解 1. 一提：优先提取多项式各项的公因式，系数取最大公因数，字母取最低次幂； 2. 二套：提完公因式后，观察剩余部分，套用平方差公式或完全平方公式； 3. 三查：检查分解结果是否彻底，直到不能再分解为止。 1. 忘记先提公因式，直接套用公式，导致分解不彻底； 2. 公因式提取不完整，漏掉系数或字母； 3. 完全平方公式符号混淆，中间项正负判断错误； 4. 分解后结果含有括号内还能合并、或者仍有公因式的情况。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【难度】0.65 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入，的值计算各因式的取值得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 得到三个因式码为13，21，31， 按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 【答案】A 【难度】0.65 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：∵ ， ∵8对应明文“我”，对应明文“阴”，对应明文“爱”，对应明文“江”， ∴组合后明文可为“我爱江阴”． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.82 【分析】（1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） ． 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.59 【分析】（1）先变形找出公因式，再提取公因式完成分解； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解，直至不能分解为止． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1)（x－y）（2m＋n）（2m－n） (2) 【难度】0.85 【分析】（1）利用提公因式以及平方差公式进行因式分解即可； （2）利用提公因式以及完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.73 【详解】（1）解： （2）解： 题型五：根据因式分解的结果求参数 1. 对应系数法：将因式展开，与原式各项系数一一对应，列方程求解参数； 2. 整体代入法：对所求代数式变形，利用因式分解凑出已知整体，代入求值； 3. 若多项式可分解为某个整式平方，利用完全平方式的判别关系求参数。 1. 展开因式时多项式乘法计算出错； 2. 完全平方式求参数漏解（参数常有正负两个值）； 3. 不会整体代换，强行求出单个未知数，计算量大且易出错； 4. 忽略题目中参数的取值限制条件。 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】A 【难度】0.85 【分析】利用因式分解与整式乘法互逆的关系，展开因式分解的结果，对比对应项系数求出和的值，再计算． 【详解】解：∵，又， ∴ 对比对应项系数得，， 解得， 将代入得， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【难度】0.85 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解： ， ∵多项式因式分解的结果是， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式因式分解的结果为，则__________． 【答案】6 【难度】0.85 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是整式乘法的逆运算是关键． 通过比较因式分解后的形式与原始多项式的系数，建立方程求解． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果为， ∴ ∴ 得方程组： 解得： ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·湖南娄底·月考）如果是的一个因式，则的值为______． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 根据是的一个因式，可得当时，代数式，把代入，求解即可． 【详解】∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 7．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 题型六：分组法进行因式分解 ·关键：辨析结构（①有公因式；②有平方差；③有平方和+2倍积） 1. 二二分组：将四项式分成两组，分别提公因式，组内分解后整体再提公因式； 2. 三一分组：适用于四项中有三项能构成完全平方式的情况，凑成平方差形式再分解； 3. 分组原则：分组后能继续提公因式或套用公式。 1. 分组随意，分组后无法继续分解； 2. 添括号时符号出错，括号前是负号，括号内各项没有变号； 3. 分组后只完成组内分解，忘记整体再次提取公因式。 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【分析】先对已知等式配方求出a，b的值，再根据三角形三边关系确定正整数c，最后计算周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数为0， ∴，， 解得：，， 根据三角形三边关系，得：， 即， ∵是正整数 ∴ ∴的周长为：． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，证明见解析 【难度】0.75 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 【答案】(1)； (2)48或． 【难度】0.65 【分析】将式子分成两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； （2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解： （2）因为， 所以， 即， 所以， 因为a，b，c为等腰的三边长， 所以或， 当时，腰长为，底边为， 由三线合一性质可知：底边长一半的平方加上高长的平方等于腰长的平方， 底边上的高是：， 面积是：， 当时，腰长为，底边为， 同理可得：底边上的高是：， 面积是： 答：等腰的面积是48或 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.64 【分析】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 5．（25-26八年级下·山东济南·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【难度】0.64 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 题型七：“十字相乘”法进行因式分解 ·针对部分二次三项式 x2+px+q 1. 把常数项q拆分为两个数a、b的积； 2. 满足a+b=p（一次项系数）； 3. 直接写成：x2+px+q=(x+a)(x+b)； 注意：对于二次项系数不为1的式子：拆二次项、拆常数项，交叉相乘求和等于一次项系数。 1. 常数项正负拆分错误，符号搭配混乱； 2. 二次项系数不为1时，交叉相乘验算马虎； 3. 分解后忘记反向验算，导致因式乘积与原式不一致； 4. 混淆十字相乘与完全平方公式。 1.（25-26八年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习： 因为，所以； 因为，所以； 因为=，所以 =； 因为， 所以； 因为_________， 所以__________=． 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶ (1)；    (2)；    (3) 【答案】；（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．根据阅读材料得到：，． （1）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （2）因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． （3）将看作一个整体．因为，，所以利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：由已知条件易得：，． 故答案为：；； （1）； （2）； （3）． 2.（24-25八年级上·甘肃临夏·月考）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可； 理解阅读材料，掌握十字相乘法的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵常数项，一次项系数， ∴； （2）∵常数项，一次项系数， ∴； （3）①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 3.（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【分析】根据题意可得或或或，分别解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴或或或， 解不等式组得， 解不等式组得， 解不等式组，可知不等式组无解； 解不等式组，可知不等式组无解； 综上所述，或． 题型八：数形结合——因式分解的几何意义 1. 根据几何图形（正方形、长方形、组合图形）用两种不同方式表示面积； ①各部分面积相加；②整体图形直接列式； 2. 利用面积相等列出等式，通过因式分解化简式子； 3. 结合图形边长为正，判断因式的正负取值。 1. 图形边长关系梳理错误，面积表达式列错； 2. 忽略几何边长必须为正数的隐含条件； 3. 代数式化简时因式分解不彻底； 4. 不能准确将几何图形转化为代数多项式。 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据，再根据长方形一边长为，得出另外一条边长即可． 【详解】解： ， ∵长方形一边长为， ∴长方形的另外一条边长为． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，因式分解的应用，根据题意分别求得和，进而根据关系式得出，进而求得出的值． 【详解】解：根据题意，得，，且， 又∵， 故， 解得．即a的值为． 故选：D． 3．（25-26八年级下·山西·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【答案】(1) (2)21 (3)12 【难度】0.72 【分析】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【详解】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． （3）由完全平方公式可得： ， ∴，： ∴， ∵为正数， 故． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【详解】解：A．从左到右是整式乘法，不是因式分解； B．右边变形后出现分式，不是整式，不是因式分解； C．左边是多项式，右边是整式的乘积，是因式分解； D．右边是乘积与多项式的和，不是几个整式乘积的形式，不是因式分解． 2．（21-22八年级下·山东济南·期中）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误． 【详解】A、，故本选项符合题意； B、，则，故本选项不符合题意； C、，则，故本选项不符合题意； D、，则，故本选项不符合题意． 3．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 【答案】④ 【难度】0.85 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.83 【分析】（1）利用平方差公式分解即可； （2）提取公因式即可； （3）先提公因式再利用完全平方公式分解即可； （4）先利用完全平方公式分解，再用平方差公式分解即可． 【详解】（1） 解：原式； （2） 解：原式； （3） 解：原式= ； （4） 解：原式= 5．（25-26八年级下·河南郑州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【详解】（1）解： . （2）解： . 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）在实数范围内把下列各式分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.81 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 . 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.6 【分析】（1）先凑成公因式，然后提取公因式即可解答； （2）先展开，然后再加括号，最后再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【难度】0.65 【分析】先利用平方差公式分解因式，把原式化简，再将，代入计算即可求值． 【详解】解： ， 当，时，原式． 9．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【难度】0.77 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）小丽发现：两个连续奇数的平方差能被8整除．请你判断这个结论是否正确，若不正确请举出反例，若正确，请说明理由． 【答案】正确，见解析 【难度】0.75 【详解】解：正确； 理由：设两个连续奇数分别为，（其中为整数）， ， 两个连续奇数的平方差能被8整除． 11．（21-22七年级下·四川成都·期中）符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【难度】0.5 【分析】（1）根据题意可得，则可得到，据此可得答案； （2）根据题意可得，求出的展开结果，根据结果中不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，据此求解即可； （3）根据题意可得，则可求出，把所求式子变形为，然后把代入继续变形求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ， ∵二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【难度】0.65 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 13．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在六年级下册学习了“完全平方公式”和八年级上册又学习了用“完全平方公式”因式分解后，小明进一步深入研究了问题：已知，在不求的值的情况下，求出的值．小明的具体做法如下： 请参照上述小明的方法解决下列问题： (1)若，，则_________；（直接填写最后的结果） (2)若满足，请求出的值； (3)现有，两个正方形纸片，如图1，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，且使在同一条直线上，点在正方形纸片的边上，取的中点，连接；如图2，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，顶点在边上，，的延长线分别与正方形纸片的边，相交于点，．已知这两个正方形纸片的边长之和为6，图1中阴影部分的面积为17，请求出图2中阴影部分的面积． 【答案】(1)21 (2)28 (3)16 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值即可； （2）根据，进行求值即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 根据，图1中阴影部分的面积为17，求出，，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解： ； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ， 即， 为的中点， ， 图1中阴影部分的面积为17， ， ， ， ， 图2中阴影部分的面积为： ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 因式分解 考点一：因式分解的概念 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 因式分解与整式乘法的互逆关系 整式乘法 乘积→和差（化简结果是多项式） 因式分解 和差→乘积（化简结果是整式的乘积） ①因式分解与整式乘法是方向相反的恒等变形； ②可用整式乘法（将因式相乘）的结果与原多项式对比，验证因式分解的准确性 考点二：因式分解的基本方法 提公因式法 公因式的概念 多项式各项都含有的相同因式 确定公因式的方法 ①系数：取各项系数的最大公约数； ②字母：取各项相同的字母； ③指数：相同字母取最低次幂。 步骤 ma + mb + mc = m(a + b + c) 公式法 平方差公式 a²- b²= (a + b)(a - b) （结构：平方的差→和差乘积） 完全平方公式 a² + 2ab + b²= (a + b)²； a²- 2ab + b²= (a - b)² （结构：平方和±2倍积→和/差平方） 考点三：因式分解的一般步骤 1.提：若多项式各项有公因式，则先提取公因式。 2.套：提取公因式后（或无公因式），再考虑能否用平方差公式或完全平方公式继续分解。 3.检查：检查每个因式是否还能继续分解，必须分解到不能再分解为止。 题型一：判断是否为因式分解 ·因式分解的结构：多项式=整式乘积； ·因式分解的结果：①整式乘积；②“=”成立； 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型二：提公因式法进行因式分解 注意： ①不要漏项：提公因式后，括号内的项数应与原多项式项数相同。例如，3x²y - 6xy² = 3xy(x - 2y)，括号内不能漏掉“1”。 ②有一对相反数存在的多项式，可以先提其中一个式子中的“-”出来： 例：m（m-n）-n（n-m）=m（m-n）+n（m-n） 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若，，则____． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）多项式的公因式是__________． 3．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：______________． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知，，则的值为______． 5．（25-26八年级下·福建厦门·期中）若，则______． 6．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解：_______． 7．（25-26七年级上·上海青浦·期中）分解因式：． 8．（25-26八年级下·山东济南·月考）因式分解： (1)； (2)． 题型三：公式法进行因式分解 · 符号问题：当多项式第一项系数为负时，通常先提取负号，使括号内第一项系数为正。 例如，-a²- b²+ 2ab = -(a²- 2ab + b²) = -(a - b)²。 ·分解不彻底：分解要彻底。 例如，x⁴- 1 = (x² + 1)(x² - 1)，还要继续分解到(x² + 1)(x + 1)(x - 1)才算完成。 1．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）利用因式分解计算下列各题： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知k为正整数，试判断能否被4整除，并说明理由． 4．（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知直角三角形的两直角边长分别为6和8，其第三边长为c，试对下列代数式先化简再求值：． 题型四：综合运用提公因式和公式法进行因式分解 1. 一提：优先提取多项式各项的公因式，系数取最大公因数，字母取最低次幂； 2. 二套：提完公因式后，观察剩余部分，套用平方差公式或完全平方公式； 3. 三查：检查分解结果是否彻底，直到不能再分解为止。 1. 忘记先提公因式，直接套用公式，导致分解不彻底； 2. 公因式提取不完整，漏掉系数或字母； 3. 完全平方公式符号混淆，中间项正负判断错误； 4. 分解后结果含有括号内还能合并、或者仍有公因式的情况。 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）分解因式： (1) (2) 5．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）分解因式： (1)； (2)． 6．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）把下列各式因式分解： (1) (2) 7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）分解因式： (1) (2) 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 题型五：根据因式分解的结果求参数 1. 对应系数法：将因式展开，与原式各项系数一一对应，列方程求解参数； 2. 整体代入法：对所求代数式变形，利用因式分解凑出已知整体，代入求值； 3. 若多项式可分解为某个整式平方，利用完全平方式的判别关系求参数。 1. 展开因式时多项式乘法计算出错； 2. 完全平方式求参数漏解（参数常有正负两个值）； 3. 不会整体代换，强行求出单个未知数，计算量大且易出错； 4. 忽略题目中参数的取值限制条件。 1．（25-26八年级下·山东青岛·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B．9 C． D．6 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 3．（25-26八年级下·四川成都·期中）多项式因式分解的结果是，则p的值为_____． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式因式分解的结果为，则__________． 5．（25-26八年级上·湖南娄底·月考）如果是的一个因式，则的值为______． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 7．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 题型六：分组法进行因式分解 ·关键：辨析结构（①有公因式；②有平方差；③有平方和+2倍积） 1. 二二分组：将四项式分成两组，分别提公因式，组内分解后整体再提公因式； 2. 三一分组：适用于四项中有三项能构成完全平方式的情况，凑成平方差形式再分解； 3. 分组原则：分组后能继续提公因式或套用公式。 1. 分组随意，分组后无法继续分解； 2. 添括号时符号出错，括号前是负号，括号内各项没有变号； 3. 分组后只完成组内分解，忘记整体再次提取公因式。 1．（24-25八年级上·福建福州·期中）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，则的周长为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 4．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 5．（25-26八年级下·山东济南·期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 题型七：“十字相乘”法进行因式分解 ·针对部分二次三项式 x2+px+q 1. 把常数项q拆分为两个数a、b的积； 2. 满足a+b=p（一次项系数）； 3. 直接写成：x2+px+q=(x+a)(x+b)； 注意：对于二次项系数不为1的式子：拆二次项、拆常数项，交叉相乘求和等于一次项系数。 1. 常数项正负拆分错误，符号搭配混乱； 2. 二次项系数不为1时，交叉相乘验算马虎； 3. 分解后忘记反向验算，导致因式乘积与原式不一致； 4. 混淆十字相乘与完全平方公式。 1.（25-26八年级上·广西·期末）阅读下面内容并完成后面的练习： 因为，所以； 因为，所以； 因为=，所以 =； 因为， 所以； 因为_________， 所以__________=． 请你根据以上各式找出规律，并对下列多项式进行因式分解∶ (1)；    (2)；    (3) 2.（24-25八年级上·甘肃临夏·月考）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)． 3.（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 4．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型八：数形结合——因式分解的几何意义 1. 根据几何图形（正方形、长方形、组合图形）用两种不同方式表示面积； ①各部分面积相加；②整体图形直接列式； 2. 利用面积相等列出等式，通过因式分解化简式子； 3. 结合图形边长为正，判断因式的正负取值。 1. 图形边长关系梳理错误，面积表达式列错； 2. 忽略几何边长必须为正数的隐含条件； 3. 代数式化简时因式分解不彻底； 4. 不能准确将几何图形转化为代数多项式。 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）在学习了因式分解知识后，数学兴趣小组的同学进行如下探究活动：如图，将两张边长为的正方形裁剪掉一部分，剩余部分面积（阴影部分）分别记为和，当时，可得与的关系式为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．4 3．（25-26八年级下·山西·期中）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·山东济南·期中）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）把下列各式分解因式． (1) (2) (3) (4) 5．（25-26八年级下·河南郑州·期中）分解因式： (1)； (2)． 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）在实数范围内把下列各式分解因式： (1) (2) 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）因式分解： (1)； (2)． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中，． 9．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）小丽发现：两个连续奇数的平方差能被8整除．请你判断这个结论是否正确，若不正确请举出反例，若正确，请说明理由． 11．（21-22七年级下·四川成都·期中）符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为．例如：，请根据以上阅读材料完成下列 (1)若二阶行列式，求x的值； (2)若二阶行列式的运算结果是关于x的多项式，且该多项式不含x的一次项，求a的值； (3)若二阶行列式，求的值． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 13．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在六年级下册学习了“完全平方公式”和八年级上册又学习了用“完全平方公式”因式分解后，小明进一步深入研究了问题：已知，在不求的值的情况下，求出的值．小明的具体做法如下： 请参照上述小明的方法解决下列问题： (1)若，，则_________；（直接填写最后的结果） (2)若满足，请求出的值； (3)现有，两个正方形纸片，如图1，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，且使在同一条直线上，点在正方形纸片的边上，取的中点，连接；如图2，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，顶点在边上，，的延长线分别与正方形纸片的边，相交于点，．已知这两个正方形纸片的边长之和为6，图1中阴影部分的面积为17，请求出图2中阴影部分的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $