数学终极押题猜想（贵州专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以考情为骨构建13个高频模块，通过“考情分析-方法秘笈-精练通关”体系化突破中考核心考点，强化数学思维与解题迁移能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数运算与化简|7题|先化简再求值，分式先因式分解|从基础运算到综合化简，强调运算规范性| |反比例函数|12题|判断k符号，结合象限与增减性|函数图象与性质→实际应用，培养模型意识| |统计与概率|5题|三数两差计算，列表法求概率|数据收集→分析→推断，发展数据观念| |几何综合（对称/旋转）|4-5题|轴对称转化线段，旋转证全等相似|从基本图形到动态变换，提升空间观念|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 实数运算与化简求值 1 押题猜想二 反比例函数的图象与性质 9 押题猜想三 统计与概率 23 押题猜想四 平行四边形的证明与计算 31 押题猜想五 列方程解应用题 41 押题猜想六 三角函数测高 47 押题猜想七 圆的性质 61 押题猜想八 切线的性质 72 押题猜想九 二次函数的应用 82 押题猜想十 二次函数的图象与性质 96 押题猜想十一 几何综合——对称问题 100 押题猜想十二 几何综合——旋转 115 押题猜想十三 尺规制图 125 押题猜想一 实数运算与化简求值 试题前瞻·能力先查 限时：6min 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）计算、化简： (1)； (2)先化简：，然后从、1、0、3中给m选取一个合适的值，再求分式的值． 【答案】(1)1 (2)，当时，原式；当时，原式 【分析】（1）根据求解即可； （2）先通分化简，根据分式有意义的条件，选择数值，求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． ∵分式要有意义， ． ，． 当时，原式； 当时，原式． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）（1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州近两年中考每年必考，多在解答题第1题出现（选择题、填空题也有考察题目），侧重根式、负指数幂、特殊角三角函数的综合运算，以及整式、分式的化简求值。有时常以过程性考法的形式出现。 押题理由：是初中数学基础运算核心考点，能考查学生的运算规范性，属于高频必考题。 押题依据：近2年贵州贵阳、遵义等多地中考均设置此类基础运算题，分值12分。 押题秘笈：牢记运算顺序，代数式先化简再求值，分式化简时，先因式分解。注意绝对值、零指数幂的易错点。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）计算、化简求值 (1)计算：； (2)先化简再求值：，请选取一个你喜欢的a的值代入并求得该代数式的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数，二次根式运算法则等计算即可； （2）先对括号内分式通分计算，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分进行化简，然后把a的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ，，， ，，， 当时，原式 2．（2025·贵州·模拟预测）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）见解析（2） ，1 【分析】（1）先分别计算出各个代数式的值，再任选3个求和； （2）先对分式进行化简，再代入求值．化简时可先对分子分母因式分解，然后约分． 【详解】（1）解：①，②，③，④． 选①②③求和：． 选①②④求和：． 选①③④求和：． 选②③④求和：． （2）原式． 当时，原式． 3．（2025·贵州黔东南·二模）（1）计算：； （2）请你从四个整式；；；中，任意选择2个式子填入横线上，并化简：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了实数的运算和分式的化简，涉及零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，分式的运算法则等，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）先选取两个整式组成要化简的式子，再利用分式的运算法则进行化简即可． 【详解】解：（1） ， ． （2）情况1：选择和 ， ； ， ； 情况2：选择和 ， ； ， ； 情况3：选择和 ， ； ， ； 情况4：选择和 ， ； ， ； 情况5：选择和 ， ； ， ； 情况6：选择和 ， ； ． 4．（2025·贵州铜仁·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2；（2）1 【分析】此题考查了化简二次根式，负整数指数幂和特殊角的三角函数，完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简二次根式，负整数指数幂和特殊角的三角函数，然后合并即可； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后计算加减即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 5．（2025·贵州铜仁·三模）（1）计算：； （2）从下列中任选一组，的值代入方程：，并求解此方程． ，；，；，． 【答案】（1） （2），；；该方程无解 【分析】本题主要考查了实数的运算、零次幂、负整数次幂、解一元二次方程等知识点，熟练掌握实数的运算及解一元二次方程是解题的关键． （1）先运用零次幂、二次根式的运算及性质、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）分别将b，c的值分别代入方程并求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）当选时，方程为， 因式分解，得， 解得，； 当选时，方程为， 因式分解，得，解得； 当选时，方程为， ， 该方程无解． 6．（2025·贵州贵阳·一模）（1）计算：； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程． ①　②　③ 【答案】（1）0  （2）①  ②  ③ 【分析】（1）根据，计算解答即可． （2）①利用直接开平方法解答即可．　 ②利用因式分解法解答即可． ③利用公式法解答即可． 【详解】解：(1) ． (2)①解：∵, ∴ ∴或， 解得，． ②解：∵， ∴ 解得，． ③解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 7．（2025·贵州·模拟预测）（1）解不等式，并把不等式的解集表示在如图所示的数轴上； （2）在①，②，③中选两个整式求和，并求出当时的值． 【答案】（1），见解析；（2）选择①和②求和，9；选择①和③求和，9；选择②和③求和，0 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，整式混合运算的化简求值， 对于（1），根据移项，合并同类项，系数化为1，并在数轴上表示解集； 对于（2），分三种情况将两个整式求和，再将a值代入求值． 【详解】解：（1）移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 把不等式的解集表示在数轴上如图； （2）选择①和②求和， 当时，原式； 选择①和③求和，， 当时，原式； 选择②和③求和，， 当时，原式． （任选一种作答即可） 押题猜想二 反比例函数的图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数图象和反比例函数图象的两个交点A，B的横坐标分别为2和． (1)求反比例函数的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据一次函数的表达式和点A的横坐标求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求解即可； （2）根据题意画函数图象即可； （3）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， 把点A的坐标代入反比例函数的关系式得，解得， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由函数图象可知，不等式的解集为或． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以选择题形式考查，多结合函数图像分布与点的坐标，考查增减性应用。押题理由：反比例函数是函数模块的基础考点，能考查学生对函数性质的理解与应用。 押题依据：贵州省近两年必考题型。 押题秘笈：先判断k的符号，再看点是否在同一象限，同一象限内用增减性判断，不同象限看函数值正负。 终极猜想·精练通关 1．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，根据函数图象解不等式，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标分别代入一次函数和反比例函数，即可求解； （2）联立函数解析式，求得点的坐标，可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为； 将点代入，得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：联立一次函数和反比例函数， 得， 解得或， 令，则， 点坐标为， 可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围， 由图像可知，不等式的解集为或． 2．（2026·河南开封·一模）教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热．水温开始下降，此时水温（）与开机后用时成反比例关系，直至水温降至．接通电源后，水温（）和时间的关系如图所示． (1)请结合图象，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在及以上的总时间． 【答案】(1) (2)分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数解析式； （2）将代入两段函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：初始水温为，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热， 则加热到所用时间为：（分钟）， 当时，设，将，和，代入 得， 解得：， 则， 当时， 设，将，代入 得， ∴， 当时，， 则 （2）解：将代入， 解得：， 将代入， 解得：， 则（分钟） 所以饮水机有13分钟时间能使水温保持在及以上． 3．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 4．（2026·贵州遵义·一模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力与其运动速度的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重 … 10 15 20 30 … 速度 … 6 5 4 3 2 … (1)表格中的值为 ； (2)在图中坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (3)某次任务要求机器狗在内将货物运送至外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1)12 (2)见解析 (3)最大载重量为 【分析】（1）根据题意可得，再把代入，即可求解； （2）依据题意，连线即可作图得解； （3）根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：，即， 把代入得：， ∴； （2）解：如图所示： （3）解：， ∴， 由（1）得该反比例函数为， ， 即在每一象限内，随的增大而减小 当时，W取得最小值，最小值为， 此时机器的最大载重量为． 5．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 【答案】(1)20 (2)，见解析 (3)当时，F随L的增大而减小 【分析】（1）求出F关于L的表达式，将代入计算即可； （2）由（1）知表达式为，根据表格数据画图即可； （3）根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：由题中数据知，且L与F的乘积恒为30， ∴F关于L的函数是反比例函数，表达式为， 当时，次； （2）解：由（1）知表达式为， 在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象如答图所示． （3）解：根据函数图象可知，当时，F随L的增大而减小． 6．（25-26九年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出两点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用图象法直接作答即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴，， 把，代入，得 ，解得， ∴； （2）解：由图象可知，当时，或. 7．（2025·贵州贵阳·二模）如图，反比例函数的图像与直线交于点，的面积等于3． (1)求反比例函数的表达式； (2)利用图像，求当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：∵，的面积等于3， 即， ∴，即点坐标为， 将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）由图像可知， 当时，的取值范围是． 8．（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得． 所以反比例函数表达式为． （2）解：对于反比例函数， ∵， 所以在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点在第三象限， 所以； 点，在第一象限，，所以． 所以． 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）“善思”数学兴趣小组在学习了反比例函数相关知识后，继续探究的图象与性质．列表如下： … 1 2 3 … … 1 2 4 4 2 … (1)表中的值是________，并将函数的图象补充完整（画出大致图象即可）． (2)已知一次函数的图象经过点，，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)1，图象见解析 (2)或． 【详解】（1）解：当时，， 即 故答案为：1 图象如下： （2）根据一次函数的图象经过点，， 则， ∴， ∴； 联立和得到，， 解得（负值已舍去）， 联立和得到，， 解得或， 当时，； 画出一次函数的图象如下： 由图象的交点的横坐标可知，的解集是或． 10．（2025·贵州遵义·二模）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：， 函数图象位于第二、四象限， 点，，都在反比例函数的图象上，， ， ． 11．（2025·贵州铜仁·三模）如图，已知一次函数（是常数且）的图象与双曲线（是常数且）交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直接写出不等式组的解集：______． 【答案】(1)，； (2)； (3)或 【详解】（1）解：将点坐标代入得， ， 解得． 将点坐标代入得， ． （2）解：由（1）知，直线的函数解析式为． 将代入得，， 解得， 所以点坐标为， 则的面积为：． （3）解：将代入得，， 解得， 所以点坐标为． 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 所以不等式的解集为：或． 12．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知反比例函数（）与正比例函数交于、两点，且点坐标为； (1)求、的值； (2)直线与一次函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，结合函数图象，直接写出的取值范围： ． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：， ，， 将代入中，得， 解得：； （2）解：由（1）知反比例函数的解析式为， ， ， 联立， 解得或， ， 如下图，根据图象可得，若，则或． 押题猜想三 统计与概率 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）“黔货出山”项目是贵州农特产品走向全国的重要举措，为拓宽农产品的销路，黔东南某村百香果种植专业合作社开展亩产收益评比活动．合作社随机抽取三个种植小组（每组10户），从亩产量、销售渠道、利润空间三个维度对每户进行“亩产收益评分”，满分10分，评分越高代表收益越好，三个小组的评分情况如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： (1)乙组得分的众数为________分，丙组得分的中位数为________分； (2)观察统计图，判断亩产收益情况更均衡稳定的小组是________（选填“甲组”“乙组”或“丙组”），你得出该结论所依据的统计量是_________（选填“平均数”“众数”“方差”或“中位数”）； (3)合作社规定：评分大于或等于9分的种植户为“优质收益户”，若该村共有120户百香果种植户，选用乙组数据估算是否合理？简述理由并估计全村“优质收益户”的数量． 【答案】(1)8；8 (2)乙组；方差 (3)选用乙组数据估算不合理，见解析，44户 【知识点】求中位数、根据方差判断稳定性、由样本所占百分比估计总体的数量、求众数 【详解】（1）解：乙组中，8分出现的次数最多，4次，故乙组的众数是8分； 丙组的数据如下：， 中位数是第5个，第6个数据的平均数， 故其中位数为：（分）； （2）解：根据题意，得甲组数据为：， ， ； 乙组数据为：， ， ； 丙组数据为：， ， ； 由， 所以乙组亩产收益情况更均衡． （3）解：选用乙组数据估算不合理． 理由：样本应具有代表性，需覆盖整体种植情况，单一小组数据可能存在偏差，缺乏代表性，所以应选用三个小组的整体优质收益户占比估算，而非单一小组． 三个小组共30户，优质收益户共（户）， 所以全村“优质收益户”的数量约为（户）． 答：估计全村“优质收益户”的数量为44户． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考必考解答题，多为条形图+扇形图结合的统计题，搭配概率计算。 押题理由：统计与概率是课标核心内容，考查数据分析与随机观念，是中考稳定考点。 押题依据：2023-2025 年贵州中考均设置10分统计概率解答题，以及1-2道选择或填空题。 押题秘笈：掌握中位数、众数、方差的计算，用列表法或树状图求概率，注意 “放回” 与 “不放回” 的区别。 终极猜想·精练通关 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源，为了让学生感受这份传承千年的匠心独运，某校准备组织学生开展一场“非遗”研学活动，学校选取了四项“非遗”体验活动：A．“黄平蜡染”，B．“凯里苗绣”，C．“德江傩戏”，D．“丹寨卡拉鸟笼”．为了了解学生对以上体验活动的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一项喜欢的体验活动），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______，并把条形统计图补充完整； (2)该校一共有名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择B活动的有多少人？ (3)为更好的宣传贵州“非遗”，有名学生（恰好男女）自愿为此次研学活动撰写宣传稿，该校决定从这四名学生中选取人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到两个女生的概率． 【答案】(1)，；详见解析； (2)估计该校学生选择B活动的约有人； (3)． 【详解】（1）解：由条形统计图可知，选择A的人数有人， 由扇形统计图可知，选择A的人数占调查人数的， 本次被调查的学生有（人）， ， ， 选择B的人数为（人）； 补全条形统计图如下图所示： 故答案为：；； （2）解：（人）， 答：估计该校学生选择B活动的约有人； （3）解：列表如下： 男 男 女 女 男 （男，男） （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 由表可知，共有种等可能的结果，其中恰好选到两个女生的结果有种， 恰好选到两个女生的概率为． 2．（2025·贵州遵义·一模）某校组织七、八年级部分学生参加“一二·九”为主题的竞赛活动．成绩分为A、B、C、D四个等级，A：0≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100． 从七、八年级竞赛成绩中分别随机选取20名整理如下： 七年级成绩为：59，70，78，81，81，82，85，85，85，85，85，86，86，89，90，92，92，96，98，99． 八年级等级为C的成绩为：82，83，83，83，84，85，87； 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 85 b 80.86 八年级 85.2 a 90 81.3 根据以上信息，解答下列问题： (1)根据表格写出a=_______，b=_______，m=_______； (2)根据以上数据，你认为竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）； (3)若八年级有500名学生参赛，请计算成绩（x≥90）为优秀的学生人数． 【答案】(1)，， (2)七年级的成绩更好，理由见解析 (3)人 【详解】（1）解：七年级成绩中，出现的次数最多， ∴． 八年级抽取名学生， ∵等级人数：，等级人数：，等级人数：， ∴等级人数：， 八年级成绩从小到大排列后，第、个数分别是、， ∴． ∵， ∴． （2）解：七年级的成绩更好．理由： ∵七、八年级的平均数相同，都是，七年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数， ∴七年级的成绩更好； （3）解：八年级成绩优秀（）即等级占，八年级有名学生参赛， 则成绩为优秀的学生人数为人． 3．（2025·贵州·模拟预测）为了了解某市市民“绿色出行”的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 种类 A B C D E 出行方式 自行车 步行 公交车 出租车 私家车 请根据所给信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的市民共有　　人，其中选择B类的有　　人． (2)求扇形统计图中A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图． (3)该市每天约有10万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”的人数． 【答案】(1)800，240 (2)，见解析 (3)8万人 【详解】（1）∵(人)， ∴选择B类人数为：（人）， 故答案为：． （2）解：补全条形统计图如下 A类所占百分比： ∴A类对应扇形圆心角α的度数： A类人数为： （3）解： ∴市“绿色出行”的人数为8万人． 4．（2025·广东湛江·二模）我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 、、三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 9和10 85 1.85 8.5 8 87 0.61 8 83 2.01 （1）任务1：______，______； 【数据分析与运用】 （2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、 、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ （3）任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】任务1：，；任务2：B机器人的综合成绩最高；任务3：见解析 【详解】解：任务1：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； 任务2： 的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为：    的综合成绩为：     ， 机器人的综合成绩最高； 任务3： ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 5．（2025·贵州·一模）今年春节档期全国总观影人次超亿，总票房超80亿元．以下是甲、乙两部影片一周上映的观影人次信息．根据图中信息，回答下列问题： 两部影片观影人次折线统计图 (1)甲影片观影人次的众数为______万人；乙影片观影人次的中位数为_______万人． (2)下列说法正确的是______（填序号） ①甲影片的观影人次逐日增加； ②周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大； ③乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定； ④甲影片的日平均观影人次低于乙影片的日平均观影人次． (3)根据甲、乙两部影片累计观影人次统计数据，判断甲、乙两部影片受欢迎的程度并提出一条合理化的建议． 【答案】(1)， (2)②③ (3)根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎，建议多安排甲影片的播放次数． 【详解】（1）解：甲影片观看的人数为万人的有两天，天数最多， ∴甲影片观影人次的众数为万人； 乙影片周一到周日观影人次从小到大排列为：，则乙影片观影人次的中位数为万人； （2）解：①根据折线统计图，甲影片的观影人次没有逐日增加，故预案说法错误； ②周一：（万人）， 周二：（万人）， 周三：（万人）， 周四：（万人）， 周五：（万人）， 周六：（万人）， 周日：（万人）， 则周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大，故原说法正确； ③根据统计图，乙影片观影人次比甲影片观影人次波动小，则乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定，故原说法正确； ④甲影片的日平均观影人次为：（万人）， 乙影片的日平均观影人次为：（万人）， ， 甲影片的日平均观影人次高于乙影片的日平均观影人次，故原说法错误； 故答案为：②③； （3）解：根据甲、乙两部影片数据可知，甲影片在累计观影人次、观影人次众数、周平均观影人次等方面表现更优，更受欢迎． 建议：多安排甲影片的播放次数． 押题猜想四 平行四边形的证明与计算 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，，，． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，将沿折叠，使点O落在点E处，连接，求的面积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)24 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． 又， ． 四边形是矩形． （2）是沿折叠而得， ，． 在（1）的条件下， ， 四边形是菱形． ， 点O在上， ， ， 在矩形中，，， ，． ． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以解答题形式考查，多结合三角形全等、勾股定理进行证明与计算。 押题理由：平行四边形是四边形模块的核心，能考查学生的逻辑推理与几何计算能力。 押题依据：2023-2025年贵州中考均有此类几何证明题，分值10分。 押题秘笈：牢记平行四边形、特殊的平行四边形的判定定理，计算结合勾股定理或全等三角形。 终极猜想·精练通关 1．（24-25九年级下·贵州毕节·月考）如图，点分别在的边上，连接，连接相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（③） (2)见解析 【详解】（1）解：补充条件①或③皆可，（答案不唯一）； 故答案：①或③ （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． 补充条件①：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 补充条件③：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点到边的距离为． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，在中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上，且． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图，连接，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，的对角线，相交于点O，且E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵的对角线，相交于点O， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵的对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴由勾股定理得． 5．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵， ， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形的对角线相交于点O， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，即 ∴，， ∵四边形是菱形； ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴四边形平行四边形 ∴， ∴菱形的面积． 6．（2025·贵州黔南·一模）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)①或②，证明见解析； (2)6 【详解】（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 7．（2025·贵州黔南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，即 ， ， ∴四边形为平行四边形， 平分， ， ∵， ， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接交于点，    ∵四边形为菱形， ∴，， ，， ， ∵菱形的周长为， ， 在中， ， 由勾股定理可得：， ． 8．（2025·贵州铜仁·三模）如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列条件：；． (1)从中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的面积是 【详解】（1）解：选择：， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 选择：， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形，对角线与相交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积是． 9．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平行四边形中，分别在边上，连接．下面是两位同学的对话： 小星：由题目已知条件，若，则可证明四边形是平行四边形． 小红：设相交于点，由题目已知条件，若，则可证明四边形是平行四边形． (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明； (2)在（）的条件下，若平分，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）解：选择小星： 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 选择小红： 证明：如图，设相交于点， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由（）得四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴四边形的周长为． 押题猜想五 列方程解应用题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）贵州省龙里县被誉为“中国刺梨之乡”，当地某刺梨加工企业生产两类刺梨产品：类刺梨原汁和类刺梨果干．已知生产箱类产品和箱类产品共需消耗刺梨鲜果千克；生产箱类产品和箱类产品共需消耗刺梨鲜果千克．每箱类产品可获利元，每箱类产品可获利元． (1)求生产箱类产品和箱类产品分别需要消耗刺梨鲜果多少千克； (2)该企业计划生产两类产品共箱，且消耗的刺梨鲜果不超过千克．为获得最大利润，该企业应生产类产品多少箱？ 【答案】(1)生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克，生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克 (2)箱 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【详解】（1）解：设生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克，生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克， 由题意得，， 解得， 答：生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克，生产箱类产品需要消耗刺梨鲜果千克； （2）解：设该企业应生产类产品箱，则生产类产品箱， ∵消耗的刺梨鲜果不超过千克， ∴， 解得， 设该企业可获利元，则， ， 随的增大而增大． 又， ∴当时，有最大值， 答：为获得最大利润，该企业应生产类产品箱． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考每年必考，多为分式方程或二元一次方程组以及不等式的应用题，有时设计一次函数。侧重利润问题、乡村振兴背景下的营销问题等。 押题理由：方程建模是数学应用的核心能力，能考查学生解决实际问题的能力。 押题依据：2023-2025年贵州中考均设置10分的应用题。 押题秘笈：找准等量（不等）关系，分式方程必须检验，一元二次方程注意解的实际意义。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒 (2)当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是元． 【详解】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒， 由题意可得，，解之得：， 答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒． （2）设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元， 水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒， ，解之得：， 由题意可得，， ， 随的减小而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元． 2．（2026·湖南长沙·一模）为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． (1)求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； (2)商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元 (2)购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用为1880元 【详解】（1）解：设每副羽毛球拍单价为元，每根跳绳单价为元， 根据题意得 解得 答∶每副羽毛球拍单价为80元，每根跳绳单价为15元； （2）解：设购买羽毛球拍副，总费用为元，则购买跳绳根． 根据优惠规则可得 ∵羽毛球拍数量不少于跳绳数量的， ∴ 解得 随的增大而增大 当取最小值时，取得最小值，此时（元），（根） 答∶购买20副羽毛球拍，40根跳绳时总费用最少，最少费用是1880元． 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知乙种猕猴桃每箱售价比甲种猕猴桃每箱售价多20元，400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等． (1)求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共12箱，且甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)甲种猕猴桃每箱80元，则乙种猕猴桃每箱100元 (2)该公司最少需花费元 【详解】（1）解：设甲种猕猴桃每箱元，则乙种猕猴桃每箱元， 依题意，得 解得 经检验，是原方程的解． 当时，， 所以乙种猕猴桃每箱100元， 答：甲种猕猴桃每箱80元，则乙种猕猴桃每箱100元； （2）解：设购买甲种猕猴桃箱，则购买乙种猕猴桃为箱． 依题意，得 解得 设该公司需花费元， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值，此时， 答：该公司最少需花费元． 4．（2026·宁夏银川·一模）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)精加工数量应为个，最大利润是元 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解． （2）解：共采摘苹果个数为个， 令粗加工个数为个，则精加工个数为个， 则， 解得， 总利润为， 故越小，利润越大， 最小为， ∴总利润最大为元， 对应精加工个数为个， 故精加工数量应为个，最大利润是元． 5．（24-25九年级下·贵州毕节·月考）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． (1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价． (2)某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】(1)甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； (2)学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 【详解】（1）解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 6．（2025·贵州·一模）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． (1)若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； (2)假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 【答案】(1)每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人 (2)当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人 【详解】（1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人， 根据题意列方程得：， 解得， 答：每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人； （2）解：设六个哨所的总人数为人， ∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人， ∴每个乙型哨所的人数为人， 又每个哨所至少要有一人， ∴， ∴， ∴， 随的增大而减小， 当时，最大值，当时，最小值， 答：当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人． 押题猜想六 三角函数测高 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）项目式学习 【项目主题】探秘路灯：太阳能电池板离地面有多高？ 【项目背景】学完《锐角三角函数》后，数学兴趣小组计划运用刚学到的三角函数知识，破解太阳能路灯电池板离地高度的秘密，让数学真正“活”起来！ 【提出问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量． 实践任务】 课题太阳能路灯电池板离地面高度的测量 建立模型 如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角为，在与点相距2米的测点处安置等高的测角仪，测得点的仰角为，点在同一条直线上． 解决问题 计算太阳能路灯电池板距离地面的高度． （1）设米，用含的代数式表示的长为______米； （2）求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米）（参考数据， 【答案】（1）；（2）米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、列代数式、已知正切值求边长 【详解】（1）解：在中，，， 故． 故答案为：； （2）中，，故； 在中，． ∵， ∴，解得， ∴(米)． 答：电池板离地面的高度的长为米． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以解答题形式考查，多结合仰角、俯角、坡度解决实际测高问题。 押题理由：三角函数的实际应用是课标重点，能考查学生的建模与解直角三角形能力。 押题依据：2023-2025年贵州中考均有此类解答题，分值10 分。 押题秘笈：构造直角三角形，常用tan表示边角关系，注意辅助线的作法（作高）。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图1，黔东南山区的茶园层层叠叠，研学小组深入茶园开展实地测量工作，并绘制了观测截面示意图如图2所示．在茶园底端平坦的观测点A处，同学们抬头测得茶园顶端B的仰角为；随后沿水平方向朝着茶园方向步行30米，抵达观测点C，在C点竖直向上搭建了一段高12米的测量平台（与地面垂直），站在平台顶端D处，再次测得茶园顶端B的仰角为．设点E是B点在地面上的投影，已知A、C、E三点在同一条水平直线上，垂直于地面．（参考数据：，，，，结果保留整数） 请结合示意图和已知条件，解答下列问题： (1)求茶园顶端B到水平地面的垂直高度的长； (2)求观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E的水平距离的长． 【答案】(1)约为42米 (2)约为60米 【详解】（1）解：过点D作交于点G，如图所示， 设． 、都垂直于地面， ∴四边形是矩形． ，米，． 在中，，， ． ∵在中，，，，， ， 解得（米）． （米）． 答：茶园顶端B到水平地面的垂直高度约为42米． （2）解：由（1）得：（米）． 答：观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E的水平距离约为60米． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图1，遵义市余庆县飞龙湖呈现“湖连谷、湖中峡、峡湖相间”的独特风貌，也是“千里乌江画廊”上的核心景观区．某校九年级实践小组为绘制飞龙湖局部平面示意图，现需要测算A，B两岛间的实际距离，小组借助无人机等工具进行探究，所有测点均在同一竖直平面内．如图2，点D位于点A左侧水平岸上，测得为100m，点C为无人机航拍悬停点（在点D正上方），连接． (1)在点C处测得，求的长； (2)在点C处测得，求两岛A，B间的距离． （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，， 依题意， ， 即：的长为100m； （2）解：在中，，， ， ， ， ． 即A、B两岛的距离约为． 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）凤凰山公园是遵义市最大的开放式公园，在公园入口处由艺术大师刘海粟手书的“凤凰山公园”的牌楼！综合实践小组的同学按如图的方式测量凤凰山公园牌楼高度：①在牌楼前空地上取测量点，测得牌楼最高点的仰角；②改变测量点至处，测得此时点的仰角；③测得米，米，米（已知图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上）．请根据该小组的测量数据计算牌楼的高度．（结果精确到1米．参考数据，，） 【答案】牌楼的高度约为 【知识点】已知正切值求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、解分式方程（化为一元一次）、根据等角对等边求边长 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ，． 由题意易得，，，，， ． 设，（）， ． 在中，， ， ， ， ， ． 在中，， ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， ， 牌楼的高度约为． 4．（2026·贵州·一模）【课本再现】 （1）如图1，在锐角中，为证明成立，小明给出了的证明过程如下： 如图，过点作于点， 在中，，， 在中，，， ，． 请继续完成的证明过程． 【迁移应用】 （2）如图2，位于贵阳市东山山体公园的东山寺塔，有着“贵阳第一观景台”的美称．如图3，某测量队想测量东山寺塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求东山寺塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1）见解析；（2）东山寺塔的高度为 【详解】解：（1）如图，过作于点， 在中， ， ， 在中， ， ， ， ， ． （2）如图，根据题意，，， ， 由（1）的结论得， 即， ， 在中， ， ． 答：东山寺塔的高度为． 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）某校数学实践小组利用所学数学知识测量学校旗杆的高度．测量方案及数据如下： 项目 测量旗杆的高度 方案 利用锐角三角函数，测量：的长度，仰角，仰角． 测量示意图 测量项目 第一次 第二次 两次平均值 测量数据 ____________ (1)测量数据表中，长度的平均值为____________ ；在中，设的长为，请用含x和的代数式表示的长为____________ ； (2)根据测量数据，求旗杆的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)8， (2) 【详解】（1）解：长度的平均值为， 在中，设的长为，则，即， 故答案为：8，； （2）解：∵在中， ， 在中， ∵ 解得 答：旗杆高度约为． 6．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． (1)求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） (2)根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 【答案】(1) (2)峡谷AC的宽度约为 【详解】（1）解：， ， ， 即无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离是； （2）解：连接，过点B作于点H， 是水平线， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 峡谷的宽度约为． 7．（24-25九年级下·贵州毕节·月考）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 【答案】(1)2.6米 (2)该车库入口的限高数值为2.4米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为2.4米 8．（2025·湖北·模拟预测）某数学兴趣小组开展综合与实践活动，设计了两种不同的测量方案，记录如下： 活动项目 测量校园内旗杆的高度 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 实施过程 ①选取与旗杆底位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③站在处，用测角仪测量从眼睛处看旗杆顶的仰角； ④测量到地面的高度 ①选取与旗杆底，直立的标杆底位于同一水平地面的处，，，在同一直线上； ②测量，两点间的距离，测量直立的标杆的高度； ③站在处，眼睛、直立的标杆顶和旗杆顶恰好在同一直线上； ④测量，两点间的距离，测量到地面的高度 测量数据 ①； ②； ③ ①； ②； ③； ④ 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，，均与地面垂直； ③参考数据： 请你从以上两种方案中任选一种，计算旗杆的高度（结果保留整数）． 【答案】. 【详解】解：方案一：如图所示，过作于， ∵，， 四边形是矩形， ∴，， 在中，，， ， ， 答：旗杆的高度为； 方案二：过点作于点，交于点， 由题意可得四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴ ∴， ，即， ， ∴ 答：答：旗杆的高度为． 9．（2025·贵州贵阳·一模）杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告： 课题 测量大树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，均垂直于 ②光线经点C处平面镜反射后的光线是 ③平面镜大小忽略 ④测倾器高度忽略 测量数据 小文眼睛与地面高度米，小文到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米， 参考数据 ，， 请你根据以上测量报告，求大树AB的高度． 【答案】大树的高度约为米． 【详解】解：设米， 在中，， ， （米）， 米， ，， ∴， ，即， 解得：， 答：大树的高度约为米． 10．（2025·贵州遵义·二模）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表： 项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度 测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪． 测量情况 情况一 情况二 测量方案示意图 说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上 数据 ， (1)求“多彩贵州吉祥蛇”的高度； (2)求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， 故． （2）解：过点F作于点，于点， 则四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴，． ∵ ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 故水平距离． 押题猜想七 圆的性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州遵义·二模）如图，是的外接圆，是优弧上一点，设． (1)当时，__________； (2)猜想与之间的关系，并给予证明； (3)若点平分优弧，且，猜想的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，证明见解析； (3)是等边三角形，理由见解析． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解： 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下， 过点作于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点平分优弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考必考题型，侧重垂径定理、圆周角定理的应用。 押题理由：圆的性质是几何模块的核心考点，能考查学生对圆的基本性质的理解。 押题依据：2023-2025年贵州中考均有此类基础题，分值12分。 押题秘笈：牢记圆中的隐含条件，垂径定理的“知二推三”，圆周角定理注意“同弧所对”的条件等。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图，内接于⊙且，点E是的中点，连接并延长，与的延长线交于点D，连接、． (1)线段与线段的数量关系是_________，写出图中一个和相等的角_______（除外）； (2)请你连接、，补全图形后若，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)图见解析，等边三角形，见解析 (3) 【详解】（1）解：∵点E是的中点， ． ∴，． （2）解：补全图形如图： 是等边三角形，理由如下： 连接， ，， 是等边三角形． ． ． ． 又， 是等边三角形． （3）解：连接，交于点F，如答图所示， 由（1）知． ，， ． ∴四边形是菱形． ∴，． ∵由（2）知，点E是的中点， ． ∴在中，． 又， ． ． ， ． 2．（2025·贵州六盘水·二模）如图，四边形内接于． (1)______度； (2)连接，若，求的长； (3)当是的中点，时，求的半径． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵四边形内接于． ∴， ∴； 故答案为：． （2）解：如图，连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵ 在中，，， 设，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 3．（2025·贵州黔东南·二模）如图，已知内接于，且，直径交于点，是上的一点，使． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) 【详解】（1）是直径， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）四边形是菱形．理由如下： 是直径，， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 由（1）得， 平分， ， ， 四边形是菱形； （3）连接， 由（2）得， ． ， ， 由勾股定理得，． ， ． 在中， 由勾股定理得，， ． 4．（2025·贵州·模拟预测）如图，是的外接圆，的平分线交于点D，交于点E，的平分线交于点F，连接，且． (1)写出图中一个度数为的角：______； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)或或或；（任填一个即可） (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵是的平分线，的平分线交于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，点A、B、C分别是○O上的三点，连接交线段于点D． (1)若，则 ； (2)若D是的中点，延长至点E，使得，连接，求证； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【详解】（1）解：在中，， ∴ ∴ ∵与分别是弧所对的圆周角和圆心角 ∴ ∴ （2）由题意， ∴ ∵D是的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴△OCD∽△OEC ∴ ∴ （3）如解图，过点O作于点F， ∵ ∴ 在中, ∴ ∴ ∴ ∵D是的中点， ∴ 在中， ∴ ∴ 押题猜想八 切线的性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州贵阳·二模）如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为，连接． (1)请写出一个与相等的角：______； (2)求证：是的切线； (3)若，的半径为6，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 (3)9.6 【分析】（1）根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，即可获得答案； （2）首先证明，结合，进而证明，即可证明结论； （3）过点作于点，首先利用三角函数解得，再由勾股定理解得的长度，利用面积法求得的值，然后由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：（答案不唯一）； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：如下图，过点作于点， ∵的半径为6， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴阴影部分的面积． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以解答题形式考查，多结合切线的判定与性质，搭配勾股定理或相似三角形。 押题理由：切线是圆的综合考点，能考查学生的几何推理与计算能力，属于高频考点。 押题依据：贵州中考均设置12分左右的圆综合题，常涉及切线的性质与判断。 押题秘笈：证明切线优先“连半径，证垂直”，计算用勾股定理或相似三角形求线段长。 终极猜想·精练通关 1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：证明：连接OD，如图所示：    ∵D是的中点， ∴，平分， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵D是的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵D是的中点，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵AB是的直径， ∴， ∵， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·贵州贵阳·三模）如图，是半圆的直径，，在半圆上，且，，连接．过点作半圆的切线，分别交，的延长线于点，．连接． (1)的度数为___________； (2)求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，连接， 是半圆的直径， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）证明：如图，连接， 由（1）得：，， ， ， 与相切于点， ， ． （3）解：如图，与交于点， 由（2）得：，， ， ，且为的半径， ， ，， ， 由（1）得：， ， 在中，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：． 3．（2025·贵州安顺·三模）如图，是的直径，A，D是上的两点，过点A作的切线，交的延长线于点C． (1)在不添加辅助线的情况下，写出图中一个与相等的角：__________． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）证明：如图，连接． ， ． 是的直径， ． 是的切线， ，即， ， ． （3）解：在中，由勾股定理得． ，， ， ， ， ． 4．（2025·贵州贵阳·一模）如图，半径为2的是的外接圆，为的直径，，过点C作交延长线于点E． (1)若，则的度数为________； (2)证明：是的切线； (3)若，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：如解图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴半径， ∴是的切线． （3）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（2025·贵州贵阳·二模）如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点． (1)写出图中一个与相等的角； (2)求证：； (3)若，求的半径． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：如图所示，连接 ∵， ∴， ∵， ， 是的切线， ， ∵是直径， ， ； （2）由（1）可得， （3）解：是的切线， ， 在中，， 根据勾股定理即可得到， ， ， 的半径为． 6．（2025·贵州·二模）（1）如图①，已知是一个直角三角形，，用尺规求作的外接圆，圆心为点，不写作法，保留作图痕迹； （2）如图②，已知的三个顶点都在上，是的直径，点在上，．连接并延长到点，使得，求证：与相切； （3）在（2）的条件下，若，探究，的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：， ． 又， ． 是的直径， ，即． ， ， ， ，即， ∵是的半径， 与相切． （3）解：，的数量关系是．理由如下： 由（2）得，． 又， ． ， ． ，， ， ，即． ， ， ． 押题猜想九 二次函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1．（2026·山西太原·二模）综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； (1)任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； (2)任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； (3)任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 【答案】(1) (2)该同学初次投篮时不能命中篮筐 (3) 【详解】（1）解：由题意可知，篮球最大高度为米， 顶点C的水平坐标为米， 因此顶点坐标为； （2）解：该同学初次投篮时不能命中篮筐． 理由：由题意得：点，抛物线顶点， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ． 当时，， ∵时，篮球可命中篮筐， ∴该同学初次投篮时不能命中篮筐； （3）解：新的抛物线解析式为：， 根据题意得抛物线过点， ∴， 解得：或， 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去， 答：的值为． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以解答题形式考查，多为利润问题或抛物线型实际问题，求最值。 押题理由：二次函数的应用是函数模块的重点，能考查学生的建模与最值分析能力。 押题依据：2023-2025年贵州中考均有此类应用题，分值12分。 押题秘笈：建立函数关系式后，结合自变量的实际取值范围，用顶点坐标或增减性求最值。熟练掌握二次函数中的系数a、b、c分别在图象中的作用。 终极猜想·精练通关 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 【答案】(1) (2)所以G到F的距离 (3)增大，该男同学成绩增大 【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， （2）解：当时， ， 解得：， ， 所以G到F的距离 （3）由题意，变化后的二次函数表达式为， 将点代入得：； 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ， 所以该男同学成绩增加. 2．（2025·贵州贵阳·三模）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量与速度之间关系的部分数据如下表： 速度（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画关系最准确的是___________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 【答案】(1)③ (2)30千米/小时，1800辆/时 (3) 【详解】（1）解：当时，代入得 ， 故①不符合题意； 当时，代入得 ， 故②不符合题意； 任取表格中值代入， 所求值与表格中值相等， 故③符合题意； 故答案为：③； （2）解：由（1）得函数的解析式为， ， ∴顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， ∴当时，，为最大值， 所以，当该路段的车流速度为30千米/小时时，流量达到最大，最大流量是1800辆/时； （3）解：当时，， 当时，， 通过（2）抛物线的顶点解析式可知，当时，随的增大而增大， ， 由得， 当，时，， 当，时，， 根据反比例函数的性质得， 所以，当车流密度在范围时，该路段将出现轻度拥堵． 3．（2025·贵州贵阳·一模）如图，是一段坡比为的斜坡，在斜坡上按水平距离间隔20米修建两面墙，两面墙的高度都为3米（米），某农业种植公司在A、B两点之间搭建一个横截面为抛物线形状的温室大棚用于种植菊芋．以点O为坐标原点，过点O的水平线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．经过测量，该抛物线的表达式为． (1)求点B的坐标及该抛物线的表达式； (2)为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值不能高于5米（直线x轴分别交抛物线和线段于点D、E．斜坡与抛物线之间的竖直距离为的长），请问此温室大棚是否符合这一要求？请说明理由； (3)该农业种植公司想在另一坡比为的斜坡上再搭建一个温室大棚，两面墙的高度仍为3米，温室大棚（抛物线）的形状与本题中的抛物线相同，若斜坡与抛物线之间的竖直距离恰好符合（2）的要求（即斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值恰好为5米），求出两面墙之间的水平距离． 【答案】(1)； (2)不符合；理由见解析 (3)米 【详解】（1）解：如图，延长交x轴于点G， ∵斜坡的坡比为，米， ∴， ∴米， ∵米， ∴米， ∴，， 将，代入， 得，解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：此塑料大棚不符合这一要求，理由如下： 设斜坡的表达式为， 由（1）可得， 将代入，得， ∴， ∴直线的表达式为， ∴斜坡与抛物线之间的竖直距离， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴此塑料大棚不符合这一要求； （3）解：如图，将此斜坡放置在平面直角坐标系中， 同理可得，抛物线的表达式为，直线的表达式为， ∴斜坡与抛物线之间的竖直距离为， ∴的最大值为， 解得（负值已舍去）， ∴， 令，则， 将点代入，得， 解得或（舍去）， ∴两面墙之间的水平距离为米． 4．（2025·贵州·一模）如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们的横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 【答案】(1) (2)小星能将车开进车棚，详见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意得，， 将分别代入得 ， 解得：， 顶棚抛物线的函数关系式为：； （2）解：如图， ∵对称轴为直线：， 车身的宽为， 车身一端点的坐标为， 过作于点， 将代入 得 即， 小星能将车开进车棚； （3）解：在抛物线之间， 且， ， ． ①当都在对称轴的左侧时， 则， ∴ ， （舍）． ②当在对称轴的左侧，点在对称轴上或右侧时， 则，且， ， ， （舍），（舍） 综上所述：． 5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）一次足球训练中，小星从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式， (2)通过计算判断球能否射进球门（其他因素忽略）． (3)为了提高射门的命中率，小星重新设计足球运动的抛物线为，当小星在的范围踢足球时，足球运动的函数值的最大值为5（其他因素忽略），求n的值． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， （2）解：当时，， ∴球不能射进球门． （3）解： 当时，取得最大值为，顶点为 设小星在的范围踢足球时的解析式为， ∵在的范围踢足球时，足球运动的函数值的最大值为5 则当时， ∴ 解得：或（舍去） ∴ 当时， 解得：或（舍去） ∴ 6．（2025·贵州遵义·一模）2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动． (1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则______，______； (2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？ (3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围． 【答案】(1)， (2)当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米． (3) 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 抛物线的解析式为， ，， 解得，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可知，， 设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米， 则， 解得或（不符题意，舍去）， 答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米． （3）解：， 则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为， 由题意得：，解得， 则， 当时，， 小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米， ， 解得． 7．（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 【答案】(1)图见解析； (2)刹车距离为 (3)汽车原速度为 【详解】（1）解：图象如图所示： ∴设，将点，代入得： ， 解得 故． （2）由题意：， 则 当时，． 故刹车距离为． （3）疲劳驾驶下反应距离 由题意：， 解得 故汽车原速度为． 押题猜想十 二次函数的图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知二次函数，其中． (1)若二次函数经过，求二次函数解析式． (2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． (3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时， 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质是解题的关键． （1）把点的坐标代入函数解析式中求出即可； （2）根据抛物线开口向上得，根据函数图象的性质确定最高点和最低点，从而得出的值，即可求出点和点的坐标； （3）分开口方向向上和开口方向向下两种情况，根据图象的增减性分类讨论的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数经过， ， ， ∴二次函数的解析式是． （2）解：∵抛物线开口方向向上， ， ， ∴这个抛物线的顶点为， ∴当时，随增大而减小，当时，随增大而增大， ∴最低点， ∵， ∴当时，， ∴最高点， ∴，解得：， ∴点和点坐标为：； （3）解：①当时，如图所示： 则有当时，随增大而减小；当时，随增大而增大， 又 ∵当时，总有，此时， ； ②当时，如图所示： 则有当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 又 ∵当时，总有，此时， 综上，当时，；当时，． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以压轴题小问形式考查，多结合区间限制，求二次函数的最大 / 最小值。 押题理由：能考查学生对二次函数增减性与区间分析的综合应用能力，区分度较高。 押题依据：中考压轴题常考题型。 押题秘笈：常考自变量取值范围内求最值，分对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况讨论，结合函数增减性判断最值。 终极猜想·精练通关 34．（2025·贵州六盘水·一模）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围； (3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象的平移，直线与抛物线的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求解析式，再配方即可求解顶点坐标； （2）可得，当，当时，，解得，，由图象法可得或； （3）先求出的函数表达式为设向上平移m个单位长度后函数表达式为，与抛物线联立得，根据平移后的直线与抛物线只有一个交点，得到，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入中， 解得：， ∴， 整理得， 则顶点坐标为； （2）解：将代入， 解得 ∵，当时， 解得，， ∴或； （3）解：设直线的函数表达式为 将，代入得 ， 解得： ∴直线的函数表达式为 设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得 即 ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点， ∴， ∴． 押题猜想十一 几何综合——对称问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州铜仁·三模）综合与探究：如图，已知射线于点B，点D在射线上，，过点D作射线于点 C． (1)【操作判断】根据题意在如图①中补全图形（保留作图痕迹），则四边形的形状为 ； (2)【拓广探索】点P为射线上一动点，连接，将沿折叠得到．延长交射线于点 E． ①如图②，当点在的垂直平分线上时，求的值； ②探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析，正方形 (2)①②或，理由见解析 【详解】（1）解：补全图形如图： ∵，， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 故答案为：正方形； （2）①连接， ∵在的中垂线上， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵正方形， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴； ②或； 当点在线段上时，将绕点旋转90度，得到， 则：，，， ∴， ∴三点共线， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图：将绕点旋转90度，得到， 则：，，，， ∵， ∴三点共线； ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以压轴题形式考查，多结合轴对称的性质，转化线段或角度关系。 押题理由：对称问题是几何综合的常见模型，能考查学生的转化思想与几何推理能力。 押题依据：中考压轴题常考题型。 押题秘笈：利用轴对称的性质（对应边相等、对应角相等），转化线段，结合勾股定理求解。 终极猜想·精练通关 1．（2025·贵州贵阳·二模）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】解：（1）如图①，是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 在中，， ， ， 由折叠得，； （2）如图②，由（1）得， 在矩形中，， ， 在中，， 是的垂直平分线，， ， ∴， ∴， 是的中位线， ， ， ； （3）如图③，在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 由折叠设，则， 在中，，解得， ； 如图④，点在射线上时，点恰好落在边的垂直平分线上时， 在矩形中，， 是的垂直平分线， ， 由折叠得，， 根据勾股定理，得， ， 设，由折叠得， 在中，，解得， ； 综上得，或． 2．（2025·贵州遵义·二模）综合与探究    主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 【答案】（1）（或）；相等；（2）为正方形，理由见解析；（3）的值为或 【详解】解：（1）由折叠得，，， 或者：∵四边形是矩形， ∴，， ∴；， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：（或）；相等； （2）为正方形．理由如下： 当点与点M重合时，点P与点N重合． ∵，， ∴， 得：， 又为矩形， 故为正方形． （3）设，则， 情况一：当点在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 情况二：当点M在线段上时， 由折叠性质可知：， 由（1）可知：，即， 中，，得：， 故：． 综上：的值为或． 3．（2025·贵州遵义·一模）如图，在矩形中，，，是射线上一点，连接，沿折叠，点恰好与射线上的点重合． (1)如图，当点在边上时． ①若，则的长为______； ②若时，求的长； (2)作的平分线交射线于点，当时，求的长． 【答案】(1)①4；②2 (2)或6 【详解】（1）解：①由题可知，， 在中，由勾股定理得， ， ∴的长为4； 故答案为：①4； ②由题可知，， ， 又， ， ， ， ， ， ； （2）解： ①如图，当点在边上时， 过点作于点， 平分，， ，． ， ． ． ，， ． ， ． ，，， （HL）． ． 设，则． ． 在中，由勾股定理得， ， ． 解得，（舍去）． ． 矩形中，． ． ② 如图，当点在边延长线上时， 同①可得，，． ． ，． 综上所述：或6． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与探究 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系，他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D是直线左侧的一动点．作点C关于直线的对称点为点E，连接，直线与直线交于点F，连接，． 【动手操作】 （1）当时，根据题意，用尺规在图①上画出图形；若，，则　　　　； 【问题探究】 （2）根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，当时，若，，直接写出，，的数量关系以及的值． 【答案】（1）；（2），，见解析；（3）当时，，当时， 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理、30度直角三角形性质，解题的关键是作出图形和相关的辅助线，数形结合． （1）根据要求作点C关于直线的对称点为点E，再连接对应线段即可作图，证明是等边三角形，得到 ； （2）在点B上截取点G，使得，连接，证明，得到， ，再证明，得到，根据对称得到，最后根据，得到； （3）先证明，进而可得，再利用勾股定理和含30度的直角三角形性质解三角形即可求解． 【详解】（1）以为圆心，长为半径画圆，交与点，以为圆心，长为半径画圆，与上一个圆交点即为点，连接，直线与直线交于点F，连接，．如图所示： ∵，，，， ∴， ∵作点C关于直线的对称点为点E，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， 故答案为：； （2），证明如下： 证明：在上截取点G，使得，连接， 由对称的性质可知，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴ ∴， ∵， ∴； （3）连接交于， 由对称的性质可知，，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，在上截取点G，使得，连接，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， ∴，， 在中，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 当时，在上截取点G，使得，连接，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， 设， 在中，， ∴，， 在中，， 即， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 综上所述，当时，；当时，． 押题猜想十二 几何综合——旋转 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州·模拟预测）如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵，， ∴， 由（1）可知：， ∴； （3）如图，当点E在的延长线上时，则：， 由（1）知：， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由（2）知：， ∴； 当点在线段上时，同理，，则：， ∴； 综上：或． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以压轴题形式考查，多为证明全等或相似，以及分类讨论求线段长度。 押题理由：旋转中的手拉手模型是几何综合的经典模型，能考查学生的全等、相似推理与角度推导能力。 押题依据：近两年贵州中考压轴题均出现手拉手模型的变形题。 押题秘笈：先证明三角形全等、相似，得到边相等、角相等的结论，再推导线段关系或角度定值。 终极猜想·精练通关 1．（2026·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解 【详解】解：（1）；； ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：；； （2）①如图②，过点作，垂足为， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由旋转可知：是等腰直角三角形， 同理（1）可得：；； 设，， 则，，， ∴， ∴， ②当在内时，如图③-1，过点作，垂足为， 同理可得：，；； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在内时，如图③-2， 同理可求：，， ∴ 综上所述：长为 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，E为的中点，将绕点D顺时针旋转α（）得到. (1)求的面积. (2)旋转过程中，是否存在α使得与的面积相等？若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由. (3)旋转过程中，当所在直线经过点B时，求的长. 【答案】(1)4 (2)存在，或 (3)或 【详解】（1）解：在矩形中，， ∵E为的中点， ∴，，， ∴； （2）解：存在，理由如下： 当时，则有， ①如图1，当在上方时，                 ∵，， ∴即； ②如图2，当在下方时， 此时，点与点C重合， ∴； 综上所述，α的值为或； （3）解：①如图2，当射线经过点B时， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； ②如图3，当射线经过点B时， 记与的交点为F，作于点G. ∵， 在和中， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 设，则，可列方程，解得， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴； 综上所述，的长为或． 3．（2025·贵州六盘水·一模）【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接． (1)【操作发现】 若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______； (2)【类比探究】 如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)， (2)成立，理由见解析 (3)3或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：的数量关系不成立，位置关系成立． 理由：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵在中，， ∴， ①当时，如图， ∵, ∴ 又 ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或． 4．（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）等边；150；（2），理由见解析过程；（3） 【详解】解：（1）， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：等边；150； （2），理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：， ， ， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 押题猜想十三 尺规制图 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．只有① 【答案】B 【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分； 在图③中，利用作法得，    在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 在图②中，利用基本作图得到D点为的中点，则为边上的中线． 则①③可得出射线平分． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以选择题或填空题形式考查，多结合作图痕迹判断作图意图并计算。 押题理由：尺规作图是课标要求的基础技能，能考查学生对基本作图原理的理解。 押题依据：2023-20245年贵州中考均有此类基础题，分值 3-4 分。 押题秘笈：牢记基本作图（作角平分线、垂直平分线、垂线）的痕迹特征，结合几何性质解题。 终极猜想·精练通关 1．（2025·贵州·模拟预测）如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， ． ， ， ． 故选：C． 2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，，，点为上一点，于点，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵尺规作图的痕迹， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设与的交点为， 四边形为矩形， ，，， 为直角三角形， ，， ， ， 又由作图知为的垂直平分线， ，， 在中， ， ， ， ． 故选：D． 4．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，则的长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（2025·贵州遵义·二模）如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（   ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【详解】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧， 故选：D． 6．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 无法证明， 故选：A． 7．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是坐标轴上两点，连接，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点C．若点C的坐标为，则点C到的距离是______． 【答案】2 【详解】解：如图，过点C作于点D， 由作图痕迹可知平分， ∵，点C的坐标为， ∴， 即点C到的距离是2． 故答案为：2． 8．（2025·贵州贵阳·一模）如图，已知内接于，直径平分∠ACB，交于点D，交于点E，连接． (1)填空：   （选填“＜”、“＞”或“＝”）； (2)用尺规在图中作直线，使得直线与相切于点C；（保留作图痕迹，不写作法） (3)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)＝ (2)见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）∵直径平分∠ACB， ∴， ∴． 故答案为：＝； （2）如图，直线即为所求， （3）∵， ∴． ∵是直径， ∴， ∵， ∴． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 实数运算与化简求值 1 押题猜想二 反比例函数的图象与性质 3 押题猜想三 统计与概率 8 押题猜想四 平行四边形的证明与计算 12 押题猜想五 列方程解应用题 15 押题猜想六 三角函数测高 17 押题猜想七 圆的性质 24 押题猜想八 切线的性质 26 押题猜想九 二次函数的应用 29 押题猜想十 二次函数的图象与性质 33 押题猜想十一 几何综合——对称问题 34 押题猜想十二 几何综合——旋转 37 押题猜想十三 尺规制图 40 押题猜想一 实数运算与化简求值 试题前瞻·能力先查 限时：6min 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）计算、化简： (1)； (2)先化简：，然后从、1、0、3中给m选取一个合适的值，再求分式的值． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）（1）计算：； （2）解方程： 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州近两年中考每年必考，多在解答题第1题出现（选择题、填空题也有考察题目），侧重根式、负指数幂、特殊角三角函数的综合运算，以及整式、分式的化简求值。有时常以过程性考法的形式出现。 押题理由：是初中数学基础运算核心考点，能考查学生的运算规范性，属于高频必考题。 押题依据：近2年贵州贵阳、遵义等多地中考均设置此类基础运算题，分值12分。 押题秘笈：牢记运算顺序，代数式先化简再求值，分式化简时，先因式分解。注意绝对值、零指数幂的易错点。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）计算、化简求值 (1)计算：； (2)先化简再求值：，请选取一个你喜欢的a的值代入并求得该代数式的值． 2．（2025·贵州·模拟预测）（1）在①，②，③，④中任选3个代数式求和； （2）先化简，再求值：，其中． 3．（2025·贵州黔东南·二模）（1）计算：； （2）请你从四个整式；；；中，任意选择2个式子填入横线上，并化简：． 4．（2025·贵州铜仁·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 5．（2025·贵州铜仁·三模）（1）计算：； （2）从下列中任选一组，的值代入方程：，并求解此方程． ，；，；，． 6．（2025·贵州贵阳·一模）（1）计算：； （2）从下列三个方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程． ①　②　③ 7．（2025·贵州·模拟预测）（1）解不等式，并把不等式的解集表示在如图所示的数轴上； （2）在①，②，③中选两个整式求和，并求出当时的值． 押题猜想二 反比例函数的图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（25-26八年级下·河南南阳·期中）已知一次函数图象和反比例函数图象的两个交点A，B的横坐标分别为2和． (1)求反比例函数的关系式； (2)在同一直角坐标系中画出函数和的图象； (3)直接写出不等式的解集． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以选择题形式考查，多结合函数图像分布与点的坐标，考查增减性应用。押题理由：反比例函数是函数模块的基础考点，能考查学生对函数性质的理解与应用。 押题依据：贵州省近两年必考题型。 押题秘笈：先判断k的符号，再看点是否在同一象限，同一象限内用增减性判断，不同象限看函数值正负。 终极猜想·精练通关 1．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 2．（2026·河南开封·一模）教室的饮水机接通电源后就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到后停止加热．水温开始下降，此时水温（）与开机后用时成反比例关系，直至水温降至．接通电源后，水温（）和时间的关系如图所示． (1)请结合图象，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)在一次加热到降温过程中，求饮水机水温保持在及以上的总时间． 3．（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 4．（2026·贵州遵义·一模）在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力与其运动速度的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重 … 10 15 20 30 … 速度 … 6 5 4 3 2 … (1)表格中的值为 ； (2)在图中坐标系中描出表中相应的点，并用平滑的曲线顺次连接这些点； (3)某次任务要求机器狗在内将货物运送至外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 5．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图所示是常见的手动打气筒，打气筒的充气次数与气筒内直径（对应“粗筒”“细筒”）存在关联：当充气总量（固定气量，如给一辆自行车轮胎充至标准胎压、给1个气球充至饱满）不变时，气筒内直径越大（单次充气量越大），所需充气次数越少；气筒内直径越小（单次充气量越小），所需充气次数越多某实验小组对同一固定气量的气球进行充气测试，记录了气筒内直径L（单位：）与充气次数F（单位：次）的对应数据如表所示： 气筒内直径 2 3 5 6 充气次数F/次 15 10 6 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)若使用内直径L为的打气筒给该固定气量的气球充气，所需充气次数F为_______次； (2)在已学过的函数中选择合适的模型，求F关于L的表达式，并在已给的平面直角坐标系中画出F与L的函数图象； (3)根据函数图象，描述当时，F随L的变化规律． 6．（25-26九年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)观察反比例函数图象，当时，请直接写出自变量x的取值范围． 7．（2025·贵州贵阳·二模）如图，反比例函数的图像与直线交于点，的面积等于3． (1)求反比例函数的表达式； (2)利用图像，求当时，的取值范围． 8．（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 9．（2025·贵州遵义·模拟预测）“善思”数学兴趣小组在学习了反比例函数相关知识后，继续探究的图象与性质．列表如下： … 1 2 3 … … 1 2 4 4 2 … (1)表中的值是________，并将函数的图象补充完整（画出大致图象即可）． (2)已知一次函数的图象经过点，，请直接写出不等式的解集． 10．（2025·贵州遵义·二模）已知点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点，，都在反比例函数的图象上，比较的大小，并说明理由． 11．（2025·贵州铜仁·三模）如图，已知一次函数（是常数且）的图象与双曲线（是常数且）交于、两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)求的面积； (3)直接写出不等式组的解集：______． 12．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知反比例函数（）与正比例函数交于、两点，且点坐标为； (1)求、的值； (2)直线与一次函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，若，结合函数图象，直接写出的取值范围： ． 押题猜想三 统计与概率 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）“黔货出山”项目是贵州农特产品走向全国的重要举措，为拓宽农产品的销路，黔东南某村百香果种植专业合作社开展亩产收益评比活动．合作社随机抽取三个种植小组（每组10户），从亩产量、销售渠道、利润空间三个维度对每户进行“亩产收益评分”，满分10分，评分越高代表收益越好，三个小组的评分情况如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： (1)乙组得分的众数为________分，丙组得分的中位数为________分； (2)观察统计图，判断亩产收益情况更均衡稳定的小组是________（选填“甲组”“乙组”或“丙组”），你得出该结论所依据的统计量是_________（选填“平均数”“众数”“方差”或“中位数”）； (3)合作社规定：评分大于或等于9分的种植户为“优质收益户”，若该村共有120户百香果种植户，选用乙组数据估算是否合理？简述理由并估计全村“优质收益户”的数量． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考必考解答题，多为条形图+扇形图结合的统计题，搭配概率计算。 押题理由：统计与概率是课标核心内容，考查数据分析与随机观念，是中考稳定考点。 押题依据：2023-2025 年贵州中考均设置10分统计概率解答题，以及1-2道选择或填空题。 押题秘笈：掌握中位数、众数、方差的计算，用列表法或树状图求概率，注意 “放回” 与 “不放回” 的区别。 终极猜想·精练通关 1．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）贵州拥有丰富的非物质文化遗产资源，为了让学生感受这份传承千年的匠心独运，某校准备组织学生开展一场“非遗”研学活动，学校选取了四项“非遗”体验活动：A．“黄平蜡染”，B．“凯里苗绣”，C．“德江傩戏”，D．“丹寨卡拉鸟笼”．为了了解学生对以上体验活动的喜欢程度，随机抽取部分学生进行调查统计（每位学生只能选择一项喜欢的体验活动），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：根据图表信息，解答下列问题： (1)本次被调查的学生有______人，扇形统计图中所对应的______，并把条形统计图补充完整； (2)该校一共有名学生，根据上述调查结果，估计该校学生选择B活动的有多少人？ (3)为更好的宣传贵州“非遗”，有名学生（恰好男女）自愿为此次研学活动撰写宣传稿，该校决定从这四名学生中选取人做“宣传小天使”，请用树状图或列表法求恰好选到两个女生的概率． 2．（2025·贵州遵义·一模）某校组织七、八年级部分学生参加“一二·九”为主题的竞赛活动．成绩分为A、B、C、D四个等级，A：0≤x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100． 从七、八年级竞赛成绩中分别随机选取20名整理如下： 七年级成绩为：59，70，78，81，81，82，85，85，85，85，85，86，86，89，90，92，92，96，98，99． 八年级等级为C的成绩为：82，83，83，83，84，85，87； 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 85 b 80.86 八年级 85.2 a 90 81.3 根据以上信息，解答下列问题： (1)根据表格写出a=_______，b=_______，m=_______； (2)根据以上数据，你认为竞赛活动中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条即可）； (3)若八年级有500名学生参赛，请计算成绩（x≥90）为优秀的学生人数． 3．（2025·贵州·模拟预测）为了了解某市市民“绿色出行”的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图． 种类 A B C D E 出行方式 自行车 步行 公交车 出租车 私家车 请根据所给信息，回答下列问题： (1)参与本次问卷调查的市民共有　　人，其中选择B类的有　　人． (2)求扇形统计图中A类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图． (3)该市每天约有10万人出行，若将A，B，C这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”的人数． 4．（2025·广东湛江·二模）我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 、、三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 9和10 85 1.85 8.5 8 87 0.61 8 83 2.01 （1）任务1：______，______； 【数据分析与运用】 （2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、 、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ （3）任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 5．（2025·贵州·一模）今年春节档期全国总观影人次超亿，总票房超80亿元．以下是甲、乙两部影片一周上映的观影人次信息．根据图中信息，回答下列问题： 两部影片观影人次折线统计图 (1)甲影片观影人次的众数为______万人；乙影片观影人次的中位数为_______万人． (2)下列说法正确的是______（填序号） ①甲影片的观影人次逐日增加； ②周日甲影片与乙影片的观影人次差值最大； ③乙影片观影人次比甲影片观影人次更稳定； ④甲影片的日平均观影人次低于乙影片的日平均观影人次． (3)根据甲、乙两部影片累计观影人次统计数据，判断甲、乙两部影片受欢迎的程度并提出一条合理化的建议． 押题猜想四 平行四边形的证明与计算 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，，，． (1)若，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，将沿折叠，使点O落在点E处，连接，求的面积． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以解答题形式考查，多结合三角形全等、勾股定理进行证明与计算。 押题理由：平行四边形是四边形模块的核心，能考查学生的逻辑推理与几何计算能力。 押题依据：2023-2025年贵州中考均有此类几何证明题，分值10分。 押题秘笈：牢记平行四边形、特殊的平行四边形的判定定理，计算结合勾股定理或全等三角形。 终极猜想·精练通关 1．（24-25九年级下·贵州毕节·月考）如图，点分别在的边上，连接，连接相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 2．（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求点到边的距离． 3．（24-25九年级下·贵州贵阳·月考）如图，在中，对角线，交于点O，点E，F在对角线上，且． (1)求证：； (2)连接，，若时，求证：四边形为菱形． 4．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，的对角线，相交于点O，且E，F分别是，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 5．（25-26八年级下·湖北·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求四边形的面积． 6．（2025·贵州黔南·一模）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求线段的长． 7．（2025·贵州黔南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，平分，交于点E，过点E作交于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的大小． 8．（2025·贵州铜仁·三模）如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列条件：；． (1)从中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 9．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平行四边形中，分别在边上，连接．下面是两位同学的对话： 小星：由题目已知条件，若，则可证明四边形是平行四边形． 小红：设相交于点，由题目已知条件，若，则可证明四边形是平行四边形． (1)请你选择一位同学的说法，并进行证明； (2)在（）的条件下，若平分，，，求四边形的周长． 押题猜想五 列方程解应用题 试题前瞻·能力先查 限时：6min 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）贵州省龙里县被誉为“中国刺梨之乡”，当地某刺梨加工企业生产两类刺梨产品：类刺梨原汁和类刺梨果干．已知生产箱类产品和箱类产品共需消耗刺梨鲜果千克；生产箱类产品和箱类产品共需消耗刺梨鲜果千克．每箱类产品可获利元，每箱类产品可获利元． (1)求生产箱类产品和箱类产品分别需要消耗刺梨鲜果多少千克； (2)该企业计划生产两类产品共箱，且消耗的刺梨鲜果不超过千克．为获得最大利润，该企业应生产类产品多少箱？ 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考每年必考，多为分式方程或二元一次方程组以及不等式的应用题，有时设计一次函数。侧重利润问题、乡村振兴背景下的营销问题等。 押题理由：方程建模是数学应用的核心能力，能考查学生解决实际问题的能力。 押题依据：2023-2025年贵州中考均设置10分的应用题。 押题秘笈：找准等量（不等）关系，分式方程必须检验，一元二次方程注意解的实际意义。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示： 价格/品种 品种 品种 进价（元/盒） 标价（元/盒） (1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？ (2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？ 2．（2026·湖南长沙·一模）为满足学生的运动需求，充分发挥课间15分钟的价值，学校计划购置一批羽毛球拍和跳绳若干套．已知购买1副羽毛球拍和4根跳绳共需140元，购买2副羽毛球拍和3根跳绳共需205元． (1)求每副羽毛球拍、每根跳绳的单价； (2)商家活动：羽毛球拍打八折，跳绳不打折．根据学校需求，计划购买两种器材共60件，且羽毛球拍数量不少于跳绳数量的．应如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？ 3．（25-26八年级下·河南南阳·期中）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我县某村出产的甲、乙两种猕猴桃．已知乙种猕猴桃每箱售价比甲种猕猴桃每箱售价多20元，400元所买甲种猕猴桃箱数与500元所买乙种猕猴桃箱数相等． (1)求甲、乙两种猕猴桃每箱的售价； (2)某公司计划从该合作社购买甲、乙两种猕猴桃共12箱，且甲种猕猴桃的箱数不超过乙种猕猴桃的箱数．求该公司最少需花费多少元． 4．（2026·宁夏银川·一模）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一、某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘，一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下，该机器人的每一个机械手平均秒采摘一个成熟的苹果，它的一个机械手用秒采摘苹果的个数比用秒采摘苹果的个数多个． (1)求的值； (2)现公司有个这样的机器人，每个机器人搭载个相同的机械手同时工作小时，将采摘的苹果全部进行加工，粗加工每个苹果利润元，精加工每个苹果利润元，且要求精加工数量不多于粗加工数量的倍，为获得最大利润，精加工数量应为多少个？最大利润是多少元？ 5．（24-25九年级下·贵州毕节·月考）宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． (1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价． (2)某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 6．（2025·贵州·一模）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． (1)若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； (2)假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 押题猜想六 三角函数测高 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．（25-26九年级上·贵州毕节·月考）项目式学习 【项目主题】探秘路灯：太阳能电池板离地面有多高？ 【项目背景】学完《锐角三角函数》后，数学兴趣小组计划运用刚学到的三角函数知识，破解太阳能路灯电池板离地高度的秘密，让数学真正“活”起来！ 【提出问题】太阳能路灯电池板离地面高度的测量． 实践任务】 课题太阳能路灯电池板离地面高度的测量 建立模型 如图所示，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角为，在与点相距2米的测点处安置等高的测角仪，测得点的仰角为，点在同一条直线上． 解决问题 计算太阳能路灯电池板距离地面的高度． （1）设米，用含的代数式表示的长为______米； （2）求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米）（参考数据， 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以解答题形式考查，多结合仰角、俯角、坡度解决实际测高问题。 押题理由：三角函数的实际应用是课标重点，能考查学生的建模与解直角三角形能力。 押题依据：2023-2025年贵州中考均有此类解答题，分值10 分。 押题秘笈：构造直角三角形，常用tan表示边角关系，注意辅助线的作法（作高）。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图1，黔东南山区的茶园层层叠叠，研学小组深入茶园开展实地测量工作，并绘制了观测截面示意图如图2所示．在茶园底端平坦的观测点A处，同学们抬头测得茶园顶端B的仰角为；随后沿水平方向朝着茶园方向步行30米，抵达观测点C，在C点竖直向上搭建了一段高12米的测量平台（与地面垂直），站在平台顶端D处，再次测得茶园顶端B的仰角为．设点E是B点在地面上的投影，已知A、C、E三点在同一条水平直线上，垂直于地面．（参考数据：，，，，结果保留整数） 请结合示意图和已知条件，解答下列问题： (1)求茶园顶端B到水平地面的垂直高度的长； (2)求观测点A到茶园顶端B在水平地面上投影点E的水平距离的长． 2．（2026·贵州遵义·一模）如图1，遵义市余庆县飞龙湖呈现“湖连谷、湖中峡、峡湖相间”的独特风貌，也是“千里乌江画廊”上的核心景观区．某校九年级实践小组为绘制飞龙湖局部平面示意图，现需要测算A，B两岛间的实际距离，小组借助无人机等工具进行探究，所有测点均在同一竖直平面内．如图2，点D位于点A左侧水平岸上，测得为100m，点C为无人机航拍悬停点（在点D正上方），连接． (1)在点C处测得，求的长； (2)在点C处测得，求两岛A，B间的距离． （参考数据：，，） 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）凤凰山公园是遵义市最大的开放式公园，在公园入口处由艺术大师刘海粟手书的“凤凰山公园”的牌楼！综合实践小组的同学按如图的方式测量凤凰山公园牌楼高度：①在牌楼前空地上取测量点，测得牌楼最高点的仰角；②改变测量点至处，测得此时点的仰角；③测得米，米，米（已知图中各点均在同一竖直平面内，点，，在同一水平直线上）．请根据该小组的测量数据计算牌楼的高度．（结果精确到1米．参考数据，，） 4．（2026·贵州·一模）【课本再现】 （1）如图1，在锐角中，为证明成立，小明给出了的证明过程如下： 如图，过点作于点， 在中，，， 在中，，， ，． 请继续完成的证明过程． 【迁移应用】 （2）如图2，位于贵阳市东山山体公园的东山寺塔，有着“贵阳第一观景台”的美称．如图3，某测量队想测量东山寺塔的高度，他们在塔底的正东方的点处测得塔顶的仰角为，然后从点处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点（三点位于同一水平面内），且点在点南偏东方向上．根据以上信息，求东山寺塔的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 5．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）某校数学实践小组利用所学数学知识测量学校旗杆的高度．测量方案及数据如下： 项目 测量旗杆的高度 方案 利用锐角三角函数，测量：的长度，仰角，仰角． 测量示意图 测量项目 第一次 第二次 两次平均值 测量数据 ____________ (1)测量数据表中，长度的平均值为____________ ；在中，设的长为，请用含x和的代数式表示的长为____________ ； (2)根据测量数据，求旗杆的高度．（参考数据：，，，，，） 6．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）小明同学和爸爸去六盘水市野钟大峡谷游玩，峡谷的险峻、雄奇引起了小明的好奇心，他们想用锐角三角函数的相关知识测量峡谷的宽度．具体操作如下：他们站在岸边的点A处将无人机铅直上升到达点M处，再往峡谷方向水平飞行至点B处，在点B处测得点A的俯角为，对面同一水平线上的点C处的俯角为，据此计算峡谷的宽度．（题目中所涉及的点都在同一平面内；参考数据：，，，，）． (1)求无人机所在的位置点B与出发点A的水平距离；（结果保留根号） (2)根据题目中测量的数据计算峡谷的宽度．（结果精确到） 7．（24-25九年级下·贵州毕节·月考）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于E点，已知坡道的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到的距离）． 8．（2025·湖北·模拟预测）某数学兴趣小组开展综合与实践活动，设计了两种不同的测量方案，记录如下： 活动项目 测量校园内旗杆的高度 活动方案 方案一 方案二 方案示意图 实施过程 ①选取与旗杆底位于同一水平地面的处； ②测量，两点间的距离； ③站在处，用测角仪测量从眼睛处看旗杆顶的仰角； ④测量到地面的高度 ①选取与旗杆底，直立的标杆底位于同一水平地面的处，，，在同一直线上； ②测量，两点间的距离，测量直立的标杆的高度； ③站在处，眼睛、直立的标杆顶和旗杆顶恰好在同一直线上； ④测量，两点间的距离，测量到地面的高度 测量数据 ①； ②； ③ ①； ②； ③； ④ 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，，均与地面垂直； ③参考数据： 请你从以上两种方案中任选一种，计算旗杆的高度（结果保留整数）． 9．（2025·贵州贵阳·一模）杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告： 课题 测量大树的高度 测量工具 平面镜、测倾器和皮尺 测量示意图及说明 说明：①D、C、B、F四点共线，均垂直于 ②光线经点C处平面镜反射后的光线是 ③平面镜大小忽略 ④测倾器高度忽略 测量数据 小文眼睛与地面高度米，小文到平面镜的距离米，平面镜到测倾器的距离为米， 参考数据 ，， 请你根据以上测量报告，求大树AB的高度． 10．（2025·贵州遵义·二模）某兴趣小组为了测量多彩贵州新春灯会中“多彩贵州吉祥蛇”的高度，测量方案与数据如表： 项目课题 测量“多彩贵州吉祥蛇”的高度 测量工具 拍摄三角支架为，标杆为为，测角仪． 测量情况 情况一 情况二 测量方案示意图 说明 ， ，，D，E，F在同一条直线，A，B，C在同一直线上 数据 ， (1)求“多彩贵州吉祥蛇”的高度； (2)求支架到标杆的水平距离的长度（精确到）．（参考数据：，，） 押题猜想七 圆的性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州遵义·二模）如图，是的外接圆，是优弧上一点，设． (1)当时，__________； (2)猜想与之间的关系，并给予证明； (3)若点平分优弧，且，猜想的形状，并说明理由． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考必考题型，侧重垂径定理、圆周角定理的应用。 押题理由：圆的性质是几何模块的核心考点，能考查学生对圆的基本性质的理解。 押题依据：2023-2025年贵州中考均有此类基础题，分值12分。 押题秘笈：牢记圆中的隐含条件，垂径定理的“知二推三”，圆周角定理注意“同弧所对”的条件等。 终极猜想·精练通关 1．（25-26九年级下·贵州铜仁·月考）如图，内接于⊙且，点E是的中点，连接并延长，与的延长线交于点D，连接、． (1)线段与线段的数量关系是_________，写出图中一个和相等的角_______（除外）； (2)请你连接、，补全图形后若，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 2．（2025·贵州六盘水·二模）如图，四边形内接于． (1)______度； (2)连接，若，求的长； (3)当是的中点，时，求的半径． 3．（2025·贵州黔东南·二模）如图，已知内接于，且，直径交于点，是上的一点，使． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由； (3)若，求的长． 4．（2025·贵州·模拟预测）如图，是的外接圆，的平分线交于点D，交于点E，的平分线交于点F，连接，且． (1)写出图中一个度数为的角：______； (2)求证：； (3)若，，求的长． 5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，点A、B、C分别是○O上的三点，连接交线段于点D． (1)若，则 ； (2)若D是的中点，延长至点E，使得，连接，求证； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 押题猜想八 切线的性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州贵阳·二模）如图，已知是的直径，为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为，连接． (1)请写出一个与相等的角：______； (2)求证：是的切线； (3)若，的半径为6，求图中阴影部分的面积． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以解答题形式考查，多结合切线的判定与性质，搭配勾股定理或相似三角形。 押题理由：切线是圆的综合考点，能考查学生的几何推理与计算能力，属于高频考点。 押题依据：贵州中考均设置12分左右的圆综合题，常涉及切线的性质与判断。 押题秘笈：证明切线优先“连半径，证垂直”，计算用勾股定理或相似三角形求线段长。 终极猜想·精练通关 1．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，是的直径，D是的中点，于E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．    (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 2．（2025·贵州贵阳·三模）如图，是半圆的直径，，在半圆上，且，，连接．过点作半圆的切线，分别交，的延长线于点，．连接． (1)的度数为___________； (2)求证：； (3)若，求的长． 3．（2025·贵州安顺·三模）如图，是的直径，A，D是上的两点，过点A作的切线，交的延长线于点C． (1)在不添加辅助线的情况下，写出图中一个与相等的角：__________． (2)求证：． (3)若，，求线段的长． 4．（2025·贵州贵阳·一模）如图，半径为2的是的外接圆，为的直径，，过点C作交延长线于点E． (1)若，则的度数为________； (2)证明：是的切线； (3)若，求的长． 5．（2025·贵州贵阳·二模）如图，内接于，过点作的切线，交直径的延长线于点． (1)写出图中一个与相等的角； (2)求证：； (3)若，求的半径． 6．（2025·贵州·二模）（1）如图①，已知是一个直角三角形，，用尺规求作的外接圆，圆心为点，不写作法，保留作图痕迹； （2）如图②，已知的三个顶点都在上，是的直径，点在上，．连接并延长到点，使得，求证：与相切； （3）在（2）的条件下，若，探究，的数量关系，并说明理由． 押题猜想九 二次函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：8min 1．（2026·山西太原·二模）综合与实践 【问题背景】近年，省教育厅明确将“坚持健康第一的教育理念”纳入中考体育方案，部署“六大行动”，要求把“健康第一”从口号转变为硬任务．某校九年级以“强体魄，迎中考”为主题，针对中考球类项目举办校园篮球定点投篮赛． 素材1 学校组织九年级5个班级各抽5名学生进行定点投篮赛，采用抽签的形式决定参赛顺序，以参赛学生个人得分总和为班级得分． 素材2 说明：经赛前进行投篮实践检测，得到如下结论． （1）篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐． （2）投篮后，如果篮球（P）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”． （3）篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某一个同学在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 素材3 如图所示，本次比赛中某同学初次投篮时的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 他篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米（国际标准高度为米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 【问题解决】认真阅读以上素材内容，完成下列问题； (1)任务一：这个同学投篮时，篮球运动轨迹所成抛物线的顶点坐标为______； (2)任务二：该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由； (3)任务三：该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以解答题形式考查，多为利润问题或抛物线型实际问题，求最值。 押题理由：二次函数的应用是函数模块的重点，能考查学生的建模与最值分析能力。 押题依据：2023-2025年贵州中考均有此类应用题，分值12分。 押题秘笈：建立函数关系式后，结合自变量的实际取值范围，用顶点坐标或增减性求最值。熟练掌握二次函数中的系数a、b、c分别在图象中的作用。 终极猜想·精练通关 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：. x 0 1 2 3 4 y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2 (1)求出铅球的运动轨迹的解析式； (2)若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离； (3)为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少． 2．（2025·贵州贵阳·三模）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量（辆/时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数，速度（千米/时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量与速度之间关系的部分数据如下表： 速度（千米/时） … 5 10 20 32 40 48 … 流量（辆/时） … 550 1000 1600 1792 1600 1152 … (1)根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画关系最准确的是___________；（只填正确答案的序号） ①；②；③． (2)请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？ (3)已知满足．某市交通运行监控平台显示，当时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵． 3．（2025·贵州贵阳·一模）如图，是一段坡比为的斜坡，在斜坡上按水平距离间隔20米修建两面墙，两面墙的高度都为3米（米），某农业种植公司在A、B两点之间搭建一个横截面为抛物线形状的温室大棚用于种植菊芋．以点O为坐标原点，过点O的水平线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．经过测量，该抛物线的表达式为． (1)求点B的坐标及该抛物线的表达式； (2)为了维持大棚内合适的光照、湿度和温度，要求斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值不能高于5米（直线x轴分别交抛物线和线段于点D、E．斜坡与抛物线之间的竖直距离为的长），请问此温室大棚是否符合这一要求？请说明理由； (3)该农业种植公司想在另一坡比为的斜坡上再搭建一个温室大棚，两面墙的高度仍为3米，温室大棚（抛物线）的形状与本题中的抛物线相同，若斜坡与抛物线之间的竖直距离恰好符合（2）的要求（即斜坡与抛物线之间的竖直距离的最大值恰好为5米），求出两面墙之间的水平距离． 4．（2025·贵州·一模）如图①是某小区设计的一个车棚，其截面如图②所示，顶棚是抛物线的一部分，垂直于地面，且，以所在的直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，顶棚抛物线满足函数关系式（为常数，）． (1)求顶棚抛物线的函数关系式； (2)小星想驾驶一辆高为，宽为的货车进入车棚．通过计算判断他能驾驶这辆车进入车棚吗？ (3)如图③，为使车棚更加稳固，需增加钢筋进行加固．在顶棚之间抛物线上有两个点和（不与点重合）．它们的横坐标分别为，连接，．设点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，点与点之间部分（含点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，求出的值． 5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）一次足球训练中，小星从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式， (2)通过计算判断球能否射进球门（其他因素忽略）． (3)为了提高射门的命中率，小星重新设计足球运动的抛物线为，当小星在的范围踢足球时，足球运动的函数值的最大值为5（其他因素忽略），求n的值． 6．（2025·贵州遵义·一模）2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动． (1)当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则______，______； (2)在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？ (3)小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围． 7．（2025·贵州遵义·二模）汽车行驶在高速公路上遇到意外情况时，紧急停车需要经历反应（反应时间为秒）和制动两个过程，反应距离和制动距离分别记为和（单位：），停车距离为．（参考数据：） 汽车在反应过程保持原速度匀速运动，制动过程中的路程与行驶速度关系如下表所示： 原速度x（） 0 20 40 60 80 … 制动距离（） 0 2 8 18 32 … (1)将表格中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并求出与x的函数关系式； (2)当行驶速度为时，求刹车距离S； (3)疲劳驾驶会导致司机制动反应时间增加，反应时间为正常时间的3倍，当疲劳驾驶停车距离比正常情况下增加时，求汽车原速度为多少． 押题猜想十 二次函数的图象与性质 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州黔南·模拟预测）已知二次函数，其中． (1)若二次函数经过，求二次函数解析式． (2)若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． (3)在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求a的取值范围． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以压轴题小问形式考查，多结合区间限制，求二次函数的最大 / 最小值。 押题理由：能考查学生对二次函数增减性与区间分析的综合应用能力，区分度较高。 押题依据：中考压轴题常考题型。 押题秘笈：常考自变量取值范围内求最值，分对称轴在区间左侧、内部、右侧三种情况讨论，结合函数增减性判断最值。 终极猜想·精练通关 34．（2025·贵州六盘水·一模）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围； (3)将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值． 押题猜想十一 几何综合——对称问题 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州铜仁·三模）综合与探究：如图，已知射线于点B，点D在射线上，，过点D作射线于点 C． (1)【操作判断】根据题意在如图①中补全图形（保留作图痕迹），则四边形的形状为 ； (2)【拓广探索】点P为射线上一动点，连接，将沿折叠得到．延长交射线于点 E． ①如图②，当点在的垂直平分线上时，求的值； ②探究线段之间的数量关系，并说明理由． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以压轴题形式考查，多结合轴对称的性质，转化线段或角度关系。 押题理由：对称问题是几何综合的常见模型，能考查学生的转化思想与几何推理能力。 押题依据：中考压轴题常考题型。 押题秘笈：利用轴对称的性质（对应边相等、对应角相等），转化线段，结合勾股定理求解。 终极猜想·精练通关 1．（2025·贵州贵阳·二模）小红学习矩形的性质及判定后，综合运用相似、全等、勾股定理等知识对矩形中的折叠问题进行探究： 【问题解决】（1）如图①，在矩形中，点是边上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的度数； 【操作探究】（2）如图②，在（1）的条件下，折痕交于点，延长交边于点，若，求四边形的面积： 【拓展延伸】（3）如图③，在矩形中，，点是射线上一动点，连接，将沿直线折叠，点的对应点为点，当点恰好落在边的垂直平分线上时，求的长． 2．（2025·贵州遵义·二模）综合与探究    主题：矩形的折叠的探究某数学学习小组用一张矩形纸片，如图，矩形中，足够长进行探究活动． 【动手操作】 操作一：在上有一点P，沿折叠，使点A落在； 操作二：射线交于M，过M作交于N． 【探究发现】 （1）写出与相等的一个角为 ， 与的数量有关系为 ； 【问题探究】 （2）如图，若点A与M重合，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展应用】 （3）在折叠过程中若，求的值． 3．（2025·贵州遵义·一模）如图，在矩形中，，，是射线上一点，连接，沿折叠，点恰好与射线上的点重合． (1)如图，当点在边上时． ①若，则的长为______； ②若时，求的长； (2)作的平分线交射线于点，当时，求的长． 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）综合与探究 小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系，他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中，，，点D是直线左侧的一动点．作点C关于直线的对称点为点E，连接，直线与直线交于点F，连接，． 【动手操作】 （1）当时，根据题意，用尺规在图①上画出图形；若，，则　　　　； 【问题探究】 （2）根据（1）所画图形，猜想的大小以及，，的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图②，在等腰三角形中，，，其余条件不变，当时，若，，直接写出，，的数量关系以及的值． 押题猜想十二 几何综合——旋转 试题前瞻·能力先查 限时：10min 1．（2025·贵州·模拟预测）如图1，在中，，点、分别是边BC、上的点，连接，且．将绕点逆时针方向旋转，旋转角为α． (1)问题发现 如图2，在旋转过程中，当时，证明； (2)拓展探究 若时，在旋转过程中，试求的值． (3)问题解决 在（2）的条件下，且，当绕点逆时针旋转至、、三点在同一条直线上时，求线段的长． 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以压轴题形式考查，多为证明全等或相似，以及分类讨论求线段长度。 押题理由：旋转中的手拉手模型是几何综合的经典模型，能考查学生的全等、相似推理与角度推导能力。 押题依据：近两年贵州中考压轴题均出现手拉手模型的变形题。 押题秘笈：先证明三角形全等、相似，得到边相等、角相等的结论，再推导线段关系或角度定值。 终极猜想·精练通关 1．（2026·河南南阳·二模）综合与实践 【问题呈现】 （1）如图①，和都是等腰直角三角形，，连接，，则，之间的数量关系是_______，________． （2）如图②，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，连接，． 【类比探究】 ①如图②，点在线段上时，求证：． 【拓展提升】 ②如图③，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，E为的中点，将绕点D顺时针旋转α（）得到. (1)求的面积. (2)旋转过程中，是否存在α使得与的面积相等？若存在，求出α的值，若不存在，请说明理由. (3)旋转过程中，当所在直线经过点B时，求的长. 3．（2025·贵州六盘水·一模）【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接． (1)【操作发现】 若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______； (2)【类比探究】 如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长． 4．（2025·贵州黔东南·一模）阅读材料，并解决问题： 【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______； 【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． 【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值． 押题猜想十三 尺规制图 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．（25-26九年级下·山东烟台·期中）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．只有① 分析有理·押题有据 考情趋势：贵州中考常以选择题或填空题形式考查，多结合作图痕迹判断作图意图并计算。 押题理由：尺规作图是课标要求的基础技能，能考查学生对基本作图原理的理解。 押题依据：2023-20245年贵州中考均有此类基础题，分值 3-4 分。 押题秘笈：牢记基本作图（作角平分线、垂直平分线、垂线）的痕迹特征，结合几何性质解题。 终极猜想·精练通关 1．（2025·贵州·模拟预测）如图，中，分别以点、点为圆心、大于长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，连接，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，在中，，，点为上一点，于点，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州贵阳·二模）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交于点，则的长是（    ）      A． B． C． D． 5．（2025·贵州遵义·二模）如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（   ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 6．（2025·贵州黔东南·一模）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（2025·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是坐标轴上两点，连接，以点B为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点C．若点C的坐标为，则点C到的距离是______． 8．（2025·贵州贵阳·一模）如图，已知内接于，直径平分∠ACB，交于点D，交于点E，连接． (1)填空：   （选填“＜”、“＞”或“＝”）； (2)用尺规在图中作直线，使得直线与相切于点C；（保留作图痕迹，不写作法） (3)判断与的位置关系，并说明理由． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $