专题03图形的平移与旋转压轴专练2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题03图形的平移与旋转压轴专练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 . 题型01.平移旋转坐标变换问题 题型02.平移线段与角度计算问题 题型03.旋转线段与角度计算问题 题型04.旋转构造全等转化问题 题型05.旋转面积综合计算 题型06.旋转中心找点定位问题 题型07.中心对称性质探究问题 题型08.平移动点最值问题 题型09.旋转动点最值问题 题型10.旋转图形存在性问题 题型11.坐标与旋转规律 题型12.平移综合题 题型01.平移旋转坐标变换问题 题型特征 1. 题干给出平面直角坐标系内的点、线段、几何图形 2. 考查单纯平移、单纯旋转后的坐标变化 3. 只变位置、不变图形形状大小，求变换后对应点坐标 4. 多为填空、选择题，少量出现在解答题第一小问 5. 不掺杂复杂证明、存在性、规律循环，就是基础坐标计算 解题思路 1. 牢记平移坐标变化口诀，上下左右平移直接加减对应坐标 2. 牢记绕原点顺时针/逆时针旋转90°、180°的坐标变换规律 3. 图形变换，只抓顶点对应坐标即可，不用管整体图形 4. 按变换规则一步步代入计算，不跳步、不看错方向 5. 算出新坐标，直接写出对应点、对应图形位置即可 【典例】如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先求出点的坐标，再由平移求解即可． 【详解】解：∵正方形在平面直角坐标系中， ∴轴，轴， ∵点， ∴， ∴，即 ∵，， ∴根据平移可得，点在新坐标系中对应的坐标为． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，结合图形，完成下列问题： (1)三角形先向左平移_________个单位，再向_________平移_________单位得到三角形． (2)三角形内有一点，则在三角形内部的对应点的坐标是_________． (3)三角形的面积是_________． 【答案】(1)4；下；2； (2) (3)2 【分析】根据题图直接判断即可； （2）由平移的性质：上加下减，左减右加解答即可； （3）利用分割法求出三角形的面积即可． 【详解】（1）根据题图可知，三角形先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到三角形； （2）由平移的性质：上加下减，左减右加可知， 三角形内有一点， 则三角形内部的对应点的坐标是， 则点的坐标是， （3）解：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 【详解】解：∵的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ∵点与点关于点成中心对称， 的坐标为， ……， 以此类推可知，每6个点为一个循环， ∵， 点的坐标是：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段，，平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点与点平移后的对应点均为点，则线段平移后，点的坐标变为__________． 【答案】 【分析】先根据点B与点C平移后的对应点均为点O，得到线段，的平移规律，得出点A、D平移后的坐标，即为点F、E平移后坐标． 【详解】解：设平移后的线段为，如图所示： ∵点B与点C平移后的对应点均为点O， ∴线段沿y轴向下平移了2个单位长度，点A平移后的坐标为， 线段沿x轴向右平移了3个单位长度，点D平移后的坐标为， ∵平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形，且，， ∴点E需平移到，点F需平移到． 【跟踪专练4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将三角形先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形，并写出的坐标_____； (2)直接写出三角形的面积_____； (3)若点Q在x轴上，三角形的面积是1，直接写出点Q的坐标______． 【答案】(1)图见解析，； (2)4； (3)或． 【详解】（1）解：由平移可知，点坐标为； （2）解：三角形的面积为：； （3）解：设点Q到直线的距离为d， 则， 解得，， 则点Q横坐标为或， 点Q的坐标或． 题型02.平移线段与角度计算问题 题型特征 1. 题干给出三角形、线段、多边形，做单纯平移变换 2. 平移后图形形状、大小完全不变，只改变位置 3. 考题只求：线段长度、角度度数 4. 不结合旋转、不结合坐标，纯图形平移几何计算 5. 填空、选择、解答题都常考，基础高频、题库好搜 解题思路/步骤 1. 先找出平移前和平移后的对应边、对应角 2. 直接利用平移性质，相等的边、角互相等量代换 3. 结合三角形内角和、平行线性质求未知角度 4. 结合已知边长，直接等量替换求出线段长 5. 有重叠图形的，找准重合边，再拆分计算即可 【典例】如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点A、B、C分别与点D、E、F对应），若四边形周长为，则平移距离为_____． 【答案】2 【分析】根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可． 【详解】解：∵将一个周长为的沿射线方向平移到的位置， ∴，， ∵的周长为10厘米， ∴， ∵四边形的周长为14厘米， ∴，即， ∴ 即平移的距离是． 【跟踪专练1】如图，直线与的一边相交，，向上平移直线得到直线，与的另一边相交，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 作，利用平移的性质得到，可判断，根据平行线的性质得，，从而得到的度数． 【详解】解：如图，作． ∵向上平移直线得到直线， ， ， ，． ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】由平移的性质可得：，且，再分情况进行讨论即可． 【详解】解：由平移的性质可得：，且， ①设，则，当， 由题意得到， 即， 解得， ； ②当，设，则， 由题意得到， 即， 解得， ； ③当平移距离大时，设，则，， ， ， 故． 综上所述，则的值为①②④． 【跟踪专练3】如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ，. ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 【跟踪专练4】问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题．    如图1所示，在三角形纸片中，已知，，，，． 如图2所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移． 如图3所示，在平移过程中，设与交于点，与，分别交于点，． 操作探究： (1)在图3中，和的数量关系为_________； (2)在图3中，若，则纸片的平移距离为_________； (3)在图3中，小苏同学猜想和均为等腰三角形．这个猜想是否正确？说明理由． 迁移应用： (4)在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你求出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)猜想正确，理由见解析 (4) 【分析】（1）由，根据线段的和差关系等量代换即可证得； （2）由勾股定理可得的长，由，可得的长，然后根据列式计算即可； （3）由平移可得，由平行线的性质可得，，根据等边对等角结合等量代换证明，，即可证得； （4）由平移可知，，进而表示出，，，根据，可表示出，，然后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：，即， ，即； （2）解：，，， ， ， ，即， ，， ， ，即纸片的平移距离为； （3）解：猜想正确，理由如下： 由平移可得， ，， ，， ，， ，， ，， 和均为等腰三角形； （4）解：由平移可知，，则， 由（3）知，，， ， 设，，， ， ， ，， ， 当点与点重合时，停止平移，此时， ， ． 题型03.旋转线段与角度计算问题 题型特征 1. 题目把线段、三角形、规则多边形绕固定定点进行旋转变换 2. 只考查旋转基础变换，只求解线段长度、内角度数 3. 不掺杂平移、坐标、规律、存在性复杂综合考点 4. 旋转只改变图形位置，形状、大小完全不发生改变 5. 填空、选择、基础解答题都常考，题型常规、题库好找 解题思路 1. 先准确找出旋转中心、旋转前后的对应点、对应边 2. 确定出完整相等的旋转角，理清角度之间的关系 3. 根据旋转性质，找出全部相等的对应线段、对应角 4. 结合三角形内角和、等腰三角形性质推导角度 5. 通过等量代换，一步步算出未知角度和线段长度 【典例】如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 点在边上， ， 在中，， ． 【跟踪专练1】如图，将绕点，按逆时针方向旋转，得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质即可得． 【详解】解：∵将绕点，按逆时针方向旋转，得到（点的对应点是点，点的对应点是点）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，点是直线上的一个动点，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B和点分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，证明，得到，设，则，可得点在直线上，故当与直线垂直时，有最小值，求出直线与坐标轴的两个交点的坐标，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B和点分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴点在直线上， ∴当与直线垂直时，有最小值， 设直线与x轴，y轴分别交于点E，点F，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题为利用旋转求最短距离问题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，直角三角形的性质等知识，综合性强，难度较大﹒根据题意得到， ，根据等边三角形性质得到，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接﹒证明是等边三角形，得到﹒证明，得到，进而得到，从而得到点Q在经过定点R且的定直线上运动，即可得到当，线段的值最小，结合，求出，得到的最小值为1． 【详解】解：∵，点D是边的中点，点P是边上一个动点， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， 如图，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在经过定点R且的定直线上运动， ∴当，即时，线段的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 【跟踪专练4】在中，，点是直线上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，点在线段上，且，求的度数； (2)如图2，，过点作，交的延长线于，连接．作点关于直线的对称点，连接， ①当点在线段上时，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①，，理由见解析；② 【分析】（1）由题目条件和旋转特点得和是等边三角形，由计算，进而计算度数，由三角形外角性质计算，最后通过计算即可； （2）①结合题目条件判断是等腰直角三角形，得，由题目条件和旋转的性质通过证明，得，，从而判断，结合点与点关于直线的对称，得于点C，得，进而通过证明，则线段和的数量关系得证，借助全等得到的角度关系稍加计算，线段和的位置关系得证； ②设，则由得，在中，由勾股定理得，通过①中得到的全等关系计算，进而将转化成，计算即可得答案． 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）解：①，， 理由：，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， 点与点关于直线的对称， 于点C， 如图所示，连接，延长交于点， 点与点关于直线的对称， ，，， ， 在和中， ， ， ，， , ， ， ； ②如图所示， 设， 由①得，， 在中， ，， 由勾股定理得，， 由①得，是等腰直角三角形，， ，， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形性质，三角形的外角性质，对称点的特性，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握并综合应用这些性质是解题的关键． 题型04.旋转构造全等转化问题 题型特征 1. 题干有三角形、正方形等图形绕定点旋转，依托旋转做图形转化 2. 旋转后能自然形成两个全等三角形，利用全等转移边、转移角 3. 题干会出现共顶点、等线段结构，是最典型的旋转全等模型 4. 不单独简单求边角，需要先证全等，再转化边长、角度求解 5. 多为解答中档题、压轴小问，考试高频，组卷网题量充足 解题步骤 1. 找准旋转中心、旋转方向与旋转角度 2. 找出旋转前后两组对应相等的边 3. 利用旋转性质，推导出夹角相等 4. 按照SAS证明两个三角形全等 5. 利用全等性质，对应边相等、对应角相等 6. 完成线段、角度的转化，求出题目所求量 【典例】如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称及等边三角形的性质，熟知等边三角形的性质及中心对称的性质是解题的关键． 先求出及的长，进一步得出及的长，据此求出的长，最后用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形，O为的中点，， ∴，． 在中， ． ∵与关于点B中心对称， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【跟踪专练1】在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题是四边形中线段最值问题，考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，可得到等腰直角，通过判定，得出，因为，所以当、、三点共线时，取最大值，由，即可求出的最大值． 【详解】解：如图所示，将线段绕点顺时针旋转得到，连接、， 由旋转可得，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ，， 当、、三点共线时，取最大值，最大值为， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】综合实践【问题情境】“三月三”是广西壮族自治区盛大的传统节日，各族群众载歌载舞，开展抛绣球、搭歌台、拼几何图案等民俗活动．某数学实践小组受壮锦几何图案启发，以三角形图案为模型，围绕线段旋转展开探究，研究图形变换中线段长度与三角形面积的变化规律． 【实践探究】 (1)初步感知：如图1，是等腰直角三角形纹样，，．将代表绣球抛射路线的边绕点顺时针旋转得到线段，过点作交的延长线于点，连接．则线段的长为______；的面积为______； (2)拓展应用：如图2，为直角三角形歌台支架，且，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求线段的长以及的面积； (3)深入拓展：如图3，在等腰三角形壮锦图案中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)，的面积为 (3) 【分析】（1）证明，即可得到，，即可利用面积公式求出的面积，利用勾股定理求解； （2）过点作于点，同理证明，再由全等三角形的性质结合勾股定理求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解，同（1）可证，得到，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为，； （2）解：如图，过点作于点，    同（1）可得：， ∴， ∴ ∴的面积为，； （3）解：过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 同（1）可得：， ∴， ∴的面积为． 题型05.旋转面积综合计算 题型特征 1. 图形绕定点旋转，求旋转后阴影面积、重叠面积、扫过面积 2. 利用旋转性质转化图形位置，不用复杂割补 3. 大多是填空、选择，也常出现在解答题基础小问 4. 旋转前后图形大小不变，面积完全相等 解题步骤 1. 先找准旋转中心、旋转角度、旋转对应图形 2. 根据旋转不变性，确定旋转前后图形面积相等 3. 把不规则阴影图形，通过旋转平移转化成规则图形 4. 看清整体、空白、重叠部分，理清面积加减关系 5. 套用三角形、扇形、正方形基础面积公式计算 6. 化简算出最终面积结果 【典例】如图，将边长都为的正方形按图中所示的方式摆放，点，，…，均是正方形的对称中心，则2026个这样的正方形重叠部分的面积和为__________． 【答案】2025 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形重叠面积的规律探究，掌握全等三角形的判定与性质和图形重叠面积的规律探究是解题的关键． 先通过全等三角形证明两个正方形的重叠部分面积为正方形面积的​，再根据正方形数量确定重叠部分的个数，最后计算面积和． 【详解】解：如图所示，作于点，交的延长线于点， 易知，， ． 在和中， ， 四边形的面积＝四边形的面积， 同理可知，各个重叠部分的面积都是， 个这样的正方形重叠部分的面积和为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，延长交于点E，求出，证明是等边三角形． 垂直平分，得，，由，得，即得． 【详解】解：如图，连接，延长交于点E， ∵，． ∴． 由旋转知，，， ∴是等边三角形． ∴． ∴点在的垂直平分线上． ∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴垂直平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形旋转．熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，添加辅助线，是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)，的面积为 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质． （1）根据旋转的性质得到，可知，即可证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，可知，，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形．理由如下： 由旋转可知：． ， 是等边三角形． （2）解：是等边三角形， ， ． ． 如图2，将绕点顺时针旋转至的位置，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，连接． ； 同理可得：． ． 题型06.旋转中心找点定位问题 解题步骤 1. 找出两组旋转前后相互对应的点 2. 分别连接两组对应的点，得到两条线段 3. 分别作出两条线段的垂直平分线 4. 两条垂直平分线的交点，就是旋转中心 5. 确定中心后，再测量算出旋转角、旋转方向即可 【典例】如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为____． 【答案】 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转角、对应点）是解题的关键．根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心，找出旋转中心，据此得出旋转角的度数． 【详解】解：线段绕某点经过旋转后得到， 则如图所示，连接、，分别作线段、的垂直平分线， 设线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心， ， 旋转角为， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图，连接两个飞机图形的飞机头，连接两个飞机图形的两个左翼， 利用格点性质以及勾股定理可求出两个飞机头的点到的距离都为， ∴点在两个飞机头的连线的垂直平分线上， 两个左翼到点的距离都为， ∴点在两个左翼的连线的垂直平分线上， ∴旋转中心为点， 故选：D． 【跟踪专练2】在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了画已知图形关于某点中心对称的图形，平移（作图），找旋转中心等知识点，熟练掌握各种基本的做图技巧是解题的关键． （1）根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）先作出的中点，然后根据平移的性质作出的对应点，最后连接即可； （3）旋转中心有两种可能，由图即可直接写出旋转中心的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作： （2）解：如图，点和线段即为所求作： （3）解：如图，旋转中心有两种可能，即图中的和： 由图可知：，， 故答案为：或． 题型07.中心对称性质探究问 题型特征 1. 考查图形旋转180°形成的中心对称关系 2. 围绕中心对称的性质，探究对应点、对应线段、对应角的关系 3. 常考判断是否为中心对称图形、利用性质求值、几何探究 4. 填空、选择、作图题、解答探究题都有，常规高频，题库好搜 解题步骤 1. 找准中心对称的对称中心 2. 找出旋转180°前后的所有对应点、对应边、对应角 3. 牢记核心性质：对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分 4. 利用边角相等、线段平分的关系做等量代换 5. 推导计算角度、线段长度，完成性质探究与求值 【典例】如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据与关于点中心对称得到，，，即可得到，即可得到答案； 【详解】解：∵与关于点中心对称， ∴，，， 在与中， ∵， ∴， ∴点和点是关于中心的对称点， ∴与成中心对称， ∵点和点是关于中心的对称点， ∴直线必经过点， ∴四边形与四边形也关于点对称， ∴， 综上，正确的是①②③④． 【跟踪专练2】如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)与关于点D成中心对称 (2)8 【分析】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． （1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据等底等高确定的面积，根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形的面积，从而确定的面积． 【详解】（1）解：与关于点成中心对称． （2）解：∵是的边的中点， ∴， ∴与为等底等高的三角形， ∴． 又∵与关于点成中心对称， ∴， ∴． 【跟踪专练3】一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了矩形的中心对称性，解决此题的关键是找到对称中心． 先将图形分割成两个矩形，找出各自的对称中心，过两个对称中心作直线即可． 【详解】解：如图所示． 题型08.平移动点最值问题 题型特征 1. 图形在平移、旋转的动态变化过程中，存在运动的动点 2. 求线段长、线段和差的最大值、最小值 3. 依托平移旋转的图形变换，结合几何最短路径解题 4. 填空选择压轴居多，少量作为解答题最后小问，高频必考，题库好搜 解题步骤 1. 看清动点运动轨迹，分清是平移运动还是旋转运动 2. 利用平移、旋转性质，转化线段位置，把动线段转为定线段 3. 套用两点之间线段最短、垂线段最短的核心原理  4.找准动点取到最值的临界位置 5. 代入边长角度，计算出最大或最小值 【典例】如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_________． 【答案】14 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理、平移的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作A关于的对称点，将线段沿射线平移的长度，得到，连接、、、，根据轴对称的性质和平移的性质可推出，再由两点之间线段最短可知当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，最后利用勾股定理得到即可解答． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，连接、，则，， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴点、、三点共线，即， ∵，， ∴将线段沿射线平移的长度，得到，连接、， 此时，， ∴， ∵，， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 此时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：14． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 _____． 【答案】7 【分析】此题考查了勾股定理，坐标系中的平移，两点之间线段最短等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 将向左平移2个单位，使点B和点A重合，连接，，根据题意得到当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图所示，将向左平移2个单位，使点B和点A重合，并得到线段，连接， ∴，， ∴， ∴当点C，A，E三点共线时，有最小值，即的长度， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴的最小值为7． 故答案为：7． 【跟踪专练2】如图，在一个长方形公园中，，，凉亭P在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点E在点F左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时的长为________m． 【答案】20 【分析】本题主要考查轴对称的性质、平移的性质及勾股定理，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，，，则有，要使四边形的周长最小，则需满足的值最小，在边上取一点H，使得，作点H关于的对称点G，连接，，然后根据轴对称的性质可进行求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ∵凉亭P在的中点处， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，则需满足的值最小， 在边上取一点H，使得，作点H关于的对称点G，连接，，如图所示： 由轴对称的性质可知：， 在长方形中，，即，且， 由平移的性质可知：， ∴， 根据三角形三边不等关系可得， ∴当且仅当点G、F、P三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 过点P作于点M，如图， ∴，， ∴；即是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 故答案为． 题型09.旋转动点最值问题 题型特征 1. 定点为旋转中心，图形或点绕中心做旋转运动 2. 题目含有不停移动的动点，伴随旋转变换 3. 求线段长度、线段和差的最大值、最小值 4. 依托旋转轨迹找临界位置，不掺杂平移混合变换 5. 填空选择压轴高频，解答压轴常考小问，组卷网题量充足 解题步骤 1. 先确定旋转中心，看清动点的旋转运动轨迹 2. 明确旋转过程中，哪些线段是固定不变的定长线段 3. 找出动点旋转形成的圆形运动轨迹、最远最近临界位置 4. 利用三角形三边关系、定点到圆心距离判断最值 5. 锁定旋转取最值的特殊角度、临界位置 6. 代入已知边长，直接计算求出最大值或最小值 【典例】如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，作辅助线构造全等三角形是解题关键．取的中点，连接，根据等边三角形的性质和旋转的性质，可证，得到，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值，再结合30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 等边三角形的边长为8， ， ， ，， 是的中点， ， ， 线段绕点B逆时针旋转得到， ，， ， ，即， 在和中， ， ， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时有最小值， ，， ， 线段长度的最小值是2， 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________．    【答案】 2 【分析】连接，取的中点，连接，先由旋转的性质及等腰三角形的性质得，再由三角形中位线定理得，则，得点的轨迹为射线，且，当时，最短，即可求解 ． 【详解】解：如图所示，连接，取的中点，连接，      线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 为等腰三角形， ， 点为的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ， 点的轨迹为射线，且， ∴当时，最短， 是边长为的等边三角形， ， 点为的中点， ， ∵在中，， ， 线段长度的最小值为2． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点是斜边上的动点，将线段绕点旋转至，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】将绕点逆时针旋转得到，则，，，即为等边三角形，当时，最小，即最小，利用面积法求出点到的距离即可 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作于点， ，， 是等边三角形 ，， ∴，则 点在外部，且与点在异侧 设点到的距离为 根据垂线段最短，当时，最小，最小值为 的最小值为 题型10.旋转图形存在性问题 题型特征 1. 三角形、多边形绕定点旋转，探究旋转后能否构成特殊图形 2. 常考：旋转后等腰三角形、直角三角形、平行四边形是否存在 3. 需要分情况讨论不同旋转角度、不同位置的成立情况 4. 全是解答压轴题型，多为大题最后一问，考试高频，组卷网好搜题 解题步骤 1. 确定固定旋转中心、已知定边长、固定角度 2. 根据特殊图形的判定条件，分情况分类讨论 3. 利用旋转性质，确定旋转前后边长、角度不变 4. 结合几何图形性质列等式、找符合条件的旋转位置 5. 求出对应的旋转角度、线段长度，判断是否存在成立情况 6. 舍去不符合题意的情况，写出最终所有结果 【典例】（1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长为______； （2）如图2，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足_____条件时，． 【答案】 4 【分析】（1）根据旋转的性质可得 ，从而 ，，结合等边三角形性质可证，进而判定 为等边三角形，得出 ； （2）同理根据旋转性质和等腰直角三角形性质可证 为等腰直角三角形，得出 ，若，则在 中利用勾股定理，代入 即可得出关系式． 【详解】（1）解： 为等边三角形， ， 绕点 顺时针旋转后到 ， ， ， ， ， 为等边三角形， ； 故答案为： 4； （2）解：，理由如下： 为等腰直角三角形，， ， 绕点 顺时针旋转后得到 ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 当 时， 为直角三角形， ， ， ． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作一条直线与轴的正半轴交于点，过点作另一条直线与轴交于点，且，，绕点在坐标平面内转动，连接，当为等腰三角形时，则点的坐标是_______． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角函数的定义、以及旋转的性质，注意方程思想、分类讨论思想以及数形结合思想的应用．由点P的坐标为可知，然后分别从，，分别去分析即可求得答案． 【详解】解：点P的坐标为， ， ①如图，若，则， ， 即轴， 轴， 点的坐标为：； ②如图，若，则， ， ， 点B与点O重合， 点的坐标为：； ③如图，若，则， 过点P作轴于点C，过点B作于点D，则， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 即， 解得：， 点的坐标为：； 综上所述，B点的坐标为：或或． 故答案为：或或． 【跟踪专练2】已知：如图，在中，，，，，垂足为D，点E是点D关于的对称点，连接，． (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A沿方向所经过的线段长度），当点E平移到线段上时，求m的值； (3)如图，将绕点A顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若存在这样的P，Q两点，使为等腰三角形，直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)18 (3)或或20或 【分析】（1）由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，然后由对称的性质求解； （2）由“”可证，可得，即可求解； （3）根据题意画出满足条件的图形，然后分情况讨论，分别根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， 由对称得，，； （2）解：如图1，连接交于，设点平移到线段上于点， 点是点关于的对称点， ，，，， 将沿射线方向平移， ， ， 又， ， ， ； （3）解：由（1）可知，，， ①旋转的过程中，和线段相交，的延长线相交时，，如图2， 由旋转得，，， ，， ， ， ， ， 为等腰三角形，且是钝角， ， ， ， ， 在中，，， ； ②和线段相交，的延长线相交时，，如图3， 为等腰三角形， ， ，， ， 由旋转得，，，，， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ； ③如图4，和线段相交，相交时， 旋转的过程中，和线段，相交时， Ⅰ、当时， ，， ， ， ； Ⅱ、当时， ， ， ， ， 根据勾股定理得，， ； 综上所述，的长为或或20或． 题型11.坐标与旋转规律 题型特征 1. 平面直角坐标系中，一个点或图形绕定点连续循环旋转 2. 每次旋转固定角度，常见90°、180°、270°、360° 3. 有重复循环的旋转规律，求第n次旋转后点的坐标 4. 纯压轴题型，填空选择压轴必考，组卷网题量大超好搜 5. 只考旋转循环周期，不混杂平移、复杂几何证明 解题步骤 1. 按旋转方向和固定角度，依次算出前几次旋转后的坐标 2. 观察坐标变化，找出完整重复的循环周期 3. 用总次数 ÷ 周期数，算出余数 4. 余数为0就对应周期最后一个位置 5. 余数是几，就对应第几个位置的坐标，直接写出答案 【典例】如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据正六边形的特点分别求出每个内角的度数，根据等腰三角形的性质求出，，即可求出，再根据旋转的性质得出旋转次，正六边形回到起始位置，进而得出时，点所在位置，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，未旋转时，连接，， ∵正六边形的边长为， ∴每个内角的度数为，， ∵， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵正六边形绕点顺时针旋转个，， ∴旋转次，正六边形回到起始位置， ∵， ∴时，旋转周后，再次旋转了， ∴点在轴的负半轴上， ∵， ∴点的坐标是． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标规律探究，灵活运用周期性循环规律是解题的关键．根据线段的旋转方向和速度，以及点的运动路线，可确定点的坐标每秒为一个循环周期，进而通过计算秒在周期中的位置，求出此时点的坐标． 【详解】解：第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的负半轴上，， 第秒时，，此时在轴的正半轴上，， 第秒时，，此时在x轴的正半轴上，， 即点的坐标每秒一个循环，， 第秒时，，此时在轴的负半轴上，， 故选：． 【跟踪专练2】如图1，在的方格纸中，给出如下三种变换：变换，变换，变换．将图形沿轴向右平移1格得图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转得图形，称为作1次变换．规定：变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示作次变换．解答下列问题： (1)作变换相当于至少作______次变换； (2)请在图2中画出图形作变换后得到的图形； (3)变换与变换是否是相同的变换？请在图3中画出变换后得到的图形，在图4中画出变换后得到的图形． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题．解题的关键是作各个关键点的对应点． （1）作变换相当于将图形绕原点旋转度，对应图形与原图重合，所以至少应将沿轴翻折两次； （2），图形作变换相等于绕原点顺时针旋转度，即逆时针旋转度； （3）因为变换表示先作1次变换，再作1次变换变换表示先作1次变换，再依1次变换，所以可按此作出图形，再作判断． 【详解】（1）解：作变换相当于将图形绕原点旋转度，对应图形与原图重合，所以至少应将沿轴翻折两次， ∴作变换相当于至少作两次变换； 故答案为：2； （2）解：，图形作变换相当于绕原点顺时针旋转度，即逆时针旋转度； 如图所示，图形作变换后得到的图形； （3）解：变换与变换不是相同的变换．如图3，4所示． 题型12.平移综合题 题型特征 1. 单一图形做平移变换，不掺杂旋转变换 2. 一道题里同时考查平移的线段、角度、周长、面积多种计算 3. 结合三角形、平行线基础性质综合出题 4. 以解答题为主，也有填空选择，题库题多好找，常规必考题型 解题步骤 1. 找准平移方向、平移距离，确定平移前后对应边、对应角 2. 利用平移性质，确定对应边角相等、对应点连线平行且相等 3. 理清重叠部分、空白部分的边长关系 4. 结合几何基础性质，依次计算角度、线段、周长或面积 5. 整合结果，规范写出答题步骤即可 【典例】如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______． 【答案】6 【分析】利用平移的性质可判断四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD，根据平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵平移折线AEB，得到折线CFD， ∴四边形AEFC和四边形BEFD都为平行四边形， ∴折线AEB在平移过程中扫过的面积=S▱AEFC+S▱BEFD =AO•EF+BO•EF =EF（AO+BO） =EF•AB =[2-（-1）]×[1-（-1）] =6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形-平移，熟练掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键． 【跟踪专练1】如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【答案】D 【分析】根据平移的性质，逐项判断即可． 【详解】解：∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴BE＝CF＝a， ∵BF＝BE+CE+CF，BF＝8，EC＝4， ∴8＝a+4+a， ∴a＝2，故结论Ⅰ正确； ∵三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF， ∴AC＝DF， ∵四边形ABFD的周长为22， ∴AB+BC+CF+DF+AD＝22， ∴AB+BC+CF+AC+AD＝22， ∵三角形ABC的周长为18， ∴AB+BC+AC＝18， ∴18+CF+AD＝22，即18+a+a＝22， ∴a＝2，故结论（Ⅱ）不正确， ∴Ⅰ对Ⅱ不对， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03图形的平移与旋转压轴专练 【温馨提示】12大高频压轴题型全覆盖，每类配经典母题精讲 + 梯度跟踪专练。所有题目附标准答案 + 思路分析 + 步骤详解，无基础题，学生提分、教师备课直接用，可编辑打印。 . 题型01.平移旋转坐标变换问题 题型02.平移线段与角度计算问题 题型03.旋转线段与角度计算问题 题型04.旋转构造全等转化问题 题型05.旋转面积综合计算 题型06.旋转中心找点定位问题 题型07.中心对称性质探究问题 题型08.平移动点最值问题 题型09.旋转动点最值问题 题型10.旋转图形存在性问题 题型11.坐标与旋转规律 题型12.平移综合题 题型01.平移旋转坐标变换问题 题型特征 1. 题干给出平面直角坐标系内的点、线段、几何图形 2. 考查单纯平移、单纯旋转后的坐标变化 3. 只变位置、不变图形形状大小，求变换后对应点坐标 4. 多为填空、选择题，少量出现在解答题第一小问 5. 不掺杂复杂证明、存在性、规律循环，就是基础坐标计算 解题思路 1. 牢记平移坐标变化口诀，上下左右平移直接加减对应坐标 2. 牢记绕原点顺时针/逆时针旋转90°、180°的坐标变换规律 3. 图形变换，只抓顶点对应坐标即可，不用管整体图形 4. 按变换规则一步步代入计算，不跳步、不看错方向 5. 算出新坐标，直接写出对应点、对应图形位置即可 【典例】如图，正方形在平面直角坐标系中，已知点，若以为原点重新建立平面直角坐标系．则点在新坐标系中对应的坐标为_______（用含的代数式表示）． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，三角形经过平移得到三角形，结合图形，完成下列问题： (1)三角形先向左平移_________个单位，再向_________平移_________单位得到三角形． (2)三角形内有一点，则在三角形内部的对应点的坐标是_________． (3)三角形的面积是_________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，A、B、C的坐标分别为，，．一动点从原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，……这个动点照此规律跳下去，则点的坐标是______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知点，．将线段，，平移后，恰好组成一个首尾相接的三角形．若点与点平移后的对应点均为点，则线段平移后，点的坐标变为__________． 【跟踪专练4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将三角形先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出三角形，并写出的坐标_____； (2)直接写出三角形的面积_____； (3)若点Q在x轴上，三角形的面积是1，直接写出点Q的坐标______． 题型02.平移线段与角度计算问题 题型特征 1. 题干给出三角形、线段、多边形，做单纯平移变换 2. 平移后图形形状、大小完全不变，只改变位置 3. 考题只求：线段长度、角度度数 4. 不结合旋转、不结合坐标，纯图形平移几何计算 5. 填空、选择、解答题都常考，基础高频、题库好搜 解题思路/步骤 1. 先找出平移前和平移后的对应边、对应角 2. 直接利用平移性质，相等的边、角互相等量代换 3. 结合三角形内角和、平行线性质求未知角度 4. 结合已知边长，直接等量替换求出线段长 5. 有重叠图形的，找准重合边，再拆分计算即可 【典例】如图，将一个周长为的沿射线方向平移到的位置，（点A、B、C分别与点D、E、F对应），若四边形周长为，则平移距离为_____． 【跟踪专练1】如图，直线与的一边相交，，向上平移直线得到直线，与的另一边相交，则____________． 【跟踪专练2】如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的值为（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【跟踪专练3】如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】问题情境：数学课外活动上，小苏和小都两位同学利用三角形纸片操作探究图形的平移问题．    如图1所示，在三角形纸片中，已知，，，，． 如图2所示，小苏和小都两位同学首先沿边把这张三角形纸片剪成和两个三角形，然后将纸片沿直线的方向水平向右平移（纸片保持不动），当点与点重合时，停止平移． 如图3所示，在平移过程中，设与交于点，与，分别交于点，． 操作探究： (1)在图3中，和的数量关系为_________； (2)在图3中，若，则纸片的平移距离为_________； (3)在图3中，小苏同学猜想和均为等腰三角形．这个猜想是否正确？说明理由． 迁移应用： (4)在平移过程中，小都同学发现一个事实：始终成立．基于上述事实，纸片的平移距离为，与重叠部分（图中阴影部分）的周长为，请你求出与的函数关系式，以及自变量的取值范围． 题型03.旋转线段与角度计算问题 题型特征 1. 题目把线段、三角形、规则多边形绕固定定点进行旋转变换 2. 只考查旋转基础变换，只求解线段长度、内角度数 3. 不掺杂平移、坐标、规律、存在性复杂综合考点 4. 旋转只改变图形位置，形状、大小完全不发生改变 5. 填空、选择、基础解答题都常考，题型常规、题库好找 解题思路 1. 先准确找出旋转中心、旋转前后的对应点、对应边 2. 确定出完整相等的旋转角，理清角度之间的关系 3. 根据旋转性质，找出全部相等的对应线段、对应角 4. 结合三角形内角和、等腰三角形性质推导角度 5. 通过等量代换，一步步算出未知角度和线段长度 【典例】如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 【跟踪专练1】如图，将绕点，按逆时针方向旋转，得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的度数为_____． 【跟踪专练2】如图，点是直线上的一个动点，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在中，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【跟踪专练4】在中，，点是直线上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，点在线段上，且，求的度数； (2)如图2，，过点作，交的延长线于，连接．作点关于直线的对称点，连接， ①当点在线段上时，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，当时，直接写出的值． 题型04.旋转构造全等转化问题 题型特征 1. 题干有三角形、正方形等图形绕定点旋转，依托旋转做图形转化 2. 旋转后能自然形成两个全等三角形，利用全等转移边、转移角 3. 题干会出现共顶点、等线段结构，是最典型的旋转全等模型 4. 不单独简单求边角，需要先证全等，再转化边长、角度求解 5. 多为解答中档题、压轴小问，考试高频，组卷网题量充足 解题步骤 1. 找准旋转中心、旋转方向与旋转角度 2. 找出旋转前后两组对应相等的边 3. 利用旋转性质，推导出夹角相等 4. 按照SAS证明两个三角形全等 5. 利用全等性质，对应边相等、对应角相等 6. 完成线段、角度的转化，求出题目所求量 【典例】如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的面积为__． 【跟踪专练1】在四边形中，，，，，则的最大值为______． 【跟踪专练2】综合实践【问题情境】“三月三”是广西壮族自治区盛大的传统节日，各族群众载歌载舞，开展抛绣球、搭歌台、拼几何图案等民俗活动．某数学实践小组受壮锦几何图案启发，以三角形图案为模型，围绕线段旋转展开探究，研究图形变换中线段长度与三角形面积的变化规律． 【实践探究】 (1)初步感知：如图1，是等腰直角三角形纹样，，．将代表绣球抛射路线的边绕点顺时针旋转得到线段，过点作交的延长线于点，连接．则线段的长为______；的面积为______； (2)拓展应用：如图2，为直角三角形歌台支架，且，，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求线段的长以及的面积； (3)深入拓展：如图3，在等腰三角形壮锦图案中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，直接写出的面积． 题型05.旋转面积综合计算 题型特征 1. 图形绕定点旋转，求旋转后阴影面积、重叠面积、扫过面积 2. 利用旋转性质转化图形位置，不用复杂割补 3. 大多是填空、选择，也常出现在解答题基础小问 4. 旋转前后图形大小不变，面积完全相等 解题步骤 1. 先找准旋转中心、旋转角度、旋转对应图形 2. 根据旋转不变性，确定旋转前后图形面积相等 3. 把不规则阴影图形，通过旋转平移转化成规则图形 4. 看清整体、空白、重叠部分，理清面积加减关系 5. 套用三角形、扇形、正方形基础面积公式计算 6. 化简算出最终面积结果 【典例】如图，将边长都为的正方形按图中所示的方式摆放，点，，…，均是正方形的对称中心，则2026个这样的正方形重叠部分的面积和为__________． 【跟踪专练1】如图，将绕点逆时针方向旋转到，连接，若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【跟踪专练2】如图，为等边内一点；将绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的长与的面积． 题型06.旋转中心找点定位问题 解题步骤 1. 找出两组旋转前后相互对应的点 2. 分别连接两组对应的点，得到两条线段 3. 分别作出两条线段的垂直平分线 4. 两条垂直平分线的交点，就是旋转中心 5. 确定中心后，再测量算出旋转角、旋转方向即可 【典例】如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为____． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中，一个飞机图案绕某点旋转一定角度后能与另一个飞机图案重合，则旋转中心可能是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【跟踪专练2】在如图所示的小正方形网格中，，，，，，均为小正方形的顶点，仅用无刻度的直尺完成下列作图，作图过程用虚线表示，作图结果用实线表示： (1)图中，作关于点中心对称的三角形； (2)图中，是网格线上的一点，连接，根据网格特点在图中标出的中点，将线段平移得到线段，点的对应点为点； (3)图中，，，，，线段绕着点旋转可以得到线段，直接写出旋转中心的坐标 ． 题型07.中心对称性质探究问 题型特征 1. 考查图形旋转180°形成的中心对称关系 2. 围绕中心对称的性质，探究对应点、对应线段、对应角的关系 3. 常考判断是否为中心对称图形、利用性质求值、几何探究 4. 填空、选择、作图题、解答探究题都有，常规高频，题库好搜 解题步骤 1. 找准中心对称的对称中心 2. 找出旋转180°前后的所有对应点、对应边、对应角 3. 牢记核心性质：对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分 4. 利用边角相等、线段平分的关系做等量代换 5. 推导计算角度、线段长度，完成性质探究与求值 【典例】如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【跟踪专练1】如图，已知与关于点成中心对称，过点作直线分别交，于点，，给出下列结论：①点与点、点与点分别是关于点的对称点；②直线必经过点；③四边形与四边形的面积相等；④与关于点成中心对称．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如下图，D是的边BC的中点，连接AD并延长至点E，使，连接BE． (1)图中哪两个图形关于点D成中心对称（不用说明理由）？ (2)若的面积为4，求的面积． 【跟踪专练3】一块方角形钢板如图所示，请你根据中心对称的性质用一条直线将它分为面积相等的两部分（不写画法，保留画图痕迹，在图中直接画出）．你还有其他的分割方法吗？请在备用图中把它画出来． 题型08.平移动点最值问题 题型特征 1. 图形在平移、旋转的动态变化过程中，存在运动的动点 2. 求线段长、线段和差的最大值、最小值 3. 依托平移旋转的图形变换，结合几何最短路径解题 4. 填空选择压轴居多，少量作为解答题最后小问，高频必考，题库好搜 解题步骤 1. 看清动点运动轨迹，分清是平移运动还是旋转运动 2. 利用平移、旋转性质，转化线段位置，把动线段转为定线段 3. 套用两点之间线段最短、垂线段最短的核心原理  4.找准动点取到最值的临界位置 5. 代入边长角度，计算出最大或最小值 【典例】如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点A，B在x轴上，，点C的坐标为，点D的坐标为，则的最小值为 _____． 【跟踪专练2】如图，在一个长方形公园中，，，凉亭P在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点E在点F左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时的长为________m． 题型09.旋转动点最值问题 题型特征 1. 定点为旋转中心，图形或点绕中心做旋转运动 2. 题目含有不停移动的动点，伴随旋转变换 3. 求线段长度、线段和差的最大值、最小值 4. 依托旋转轨迹找临界位置，不掺杂平移混合变换 5. 填空选择压轴高频，解答压轴常考小问，组卷网题量充足 解题步骤 1. 先确定旋转中心，看清动点的旋转运动轨迹 2. 明确旋转过程中，哪些线段是固定不变的定长线段 3. 找出动点旋转形成的圆形运动轨迹、最远最近临界位置 4. 利用三角形三边关系、定点到圆心距离判断最值 5. 锁定旋转取最值的特殊角度、临界位置 6. 代入已知边长，直接计算求出最大值或最小值 【典例】如图，边长为8的等边三角形中，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针旋转得到，连接．则在点M运动过程中，线段长度的最小值是_______． 【跟踪专练1】如图，是边长为8的等边三角形，是射线上一动点（点在点的右侧），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点运动的过程中，线段长度的最小值是__________．    【跟踪专练2】如图，在中，，，，点是斜边上的动点，将线段绕点旋转至，连接，，则的最小值是________． 题型10.旋转图形存在性问题 题型特征 1. 三角形、多边形绕定点旋转，探究旋转后能否构成特殊图形 2. 常考：旋转后等腰三角形、直角三角形、平行四边形是否存在 3. 需要分情况讨论不同旋转角度、不同位置的成立情况 4. 全是解答压轴题型，多为大题最后一问，考试高频，组卷网好搜题 解题步骤 1. 确定固定旋转中心、已知定边长、固定角度 2. 根据特殊图形的判定条件，分情况分类讨论 3. 利用旋转性质，确定旋转前后边长、角度不变 4. 结合几何图形性质列等式、找符合条件的旋转位置 5. 求出对应的旋转角度、线段长度，判断是否存在成立情况 6. 舍去不符合题意的情况，写出最终所有结果 【典例】（1）如图1，是等边内一点，连接、、，且，，，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长为______； （2）如图2，是等腰直角内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转后得到，连接．当、、满足_____条件时，． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，过点作一条直线与轴的正半轴交于点，过点作另一条直线与轴交于点，且，，绕点在坐标平面内转动，连接，当为等腰三角形时，则点的坐标是_______． 【跟踪专练2】已知：如图，在中，，，，，垂足为D，点E是点D关于的对称点，连接，． (1)求和的长； (2)若将沿着射线方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点A沿方向所经过的线段长度），当点E平移到线段上时，求m的值； (3)如图，将绕点A顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若存在这样的P，Q两点，使为等腰三角形，直接写出此时的长；若不存在，请说明理由． 题型11.坐标与旋转规律 题型特征 1. 平面直角坐标系中，一个点或图形绕定点连续循环旋转 2. 每次旋转固定角度，常见90°、180°、270°、360° 3. 有重复循环的旋转规律，求第n次旋转后点的坐标 4. 纯压轴题型，填空选择压轴必考，组卷网题量大超好搜 5. 只考旋转循环周期，不混杂平移、复杂几何证明 解题步骤 1. 按旋转方向和固定角度，依次算出前几次旋转后的坐标 2. 观察坐标变化，找出完整重复的循环周期 3. 用总次数 ÷ 周期数，算出余数 4. 余数为0就对应周期最后一个位置 5. 余数是几，就对应第几个位置的坐标，直接写出答案 【典例】如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．线段以每秒旋转的速度，绕点沿顺时针方向连续旋转，同时，点从点出发，以每秒移动个单位长度的速度，在线段上，按照…的路线循环运动，则第秒时点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图1，在的方格纸中，给出如下三种变换：变换，变换，变换．将图形沿轴向右平移1格得图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转得图形，称为作1次变换．规定：变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示作次变换．解答下列问题： (1)作变换相当于至少作______次变换； (2)请在图2中画出图形作变换后得到的图形； (3)变换与变换是否是相同的变换？请在图3中画出变换后得到的图形，在图4中画出变换后得到的图形． 题型12.平移综合题 题型特征 1. 单一图形做平移变换，不掺杂旋转变换 2. 一道题里同时考查平移的线段、角度、周长、面积多种计算 3. 结合三角形、平行线基础性质综合出题 4. 以解答题为主，也有填空选择，题库题多好找，常规必考题型 解题步骤 1. 找准平移方向、平移距离，确定平移前后对应边、对应角 2. 利用平移性质，确定对应边角相等、对应点连线平行且相等 3. 理清重叠部分、空白部分的边长关系 4. 结合几何基础性质，依次计算角度、线段、周长或面积 5. 整合结果，规范写出答题步骤即可 【典例】如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是______． 【跟踪专练1】如图，三角形ABC沿着BC所在直线向右平移a个单位长度得到三角形DEF（点E在点C的左侧）．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若BF＝8，EC＝4，则a的值为2； 结论Ⅱ：连接AD，若三角形ABC的周长为18，四边形ABFD的周长为22，则a的值为4． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $