专题07 分式章末63道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题07 分式章末63道压轴题型专训（9大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程综合运算 题型七 分式方程解的情况求值问题 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 【经典例题一 分式的求值】 1．（25-26八年级上·云南大理·期末）阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知； 即， ． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的性质与完全平方公式的应用，核心方法为“倒数法”，即通过对已知分式和目标分式取倒数，结合代数变形求解． 【详解】（1）解：由，知， ∴， ∴； （2）解：对取倒数，得． ∵， ∴， ∴． 2．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）先求出，再根据求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ， ∴． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【教材呈现】小红练习了人教版八年级上册数学118页第7题，并进行了深入研究： 7.已知，，求的值 解： 的值为． (1)【解决问题】已知，，求的值； (2)【知识迁移】已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． （1）把进行平方计算，利用完全平方公式化简后得出，将，代入计算即可求出的值； （2）把进行平方计算，得出，将代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴的值为． （2）解：∵ ∴ ∴的值为． 4．（24-25八年级下·浙江金华·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是利用倒数法求解分式的值，灵活的运用倒数法是解本题的关键． （1）由，可得，从而可得答案； （2）由，可得，再进一步可得答案； （3）由条件结合题干信息可得，，再代入，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 代入， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】本题考查了分式的求值，设参数求解是解答的关键． （1）设，则，，…，，所以，然后进行分式的化简即可得到结论； （2）设，则，，，然后把它们分别代入所求的代数式中，再进行分式的化简计算即可． 【详解】（1）证明：设，则，，…，， …， ， ； （2）解：设，则，，， 所以． 6．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． (1)已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． (3)已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 【答案】(1)是， (2)1 (3)①②或 【分析】本题考查异分母分式的减法运算，分式求值，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义的法则，进行计算，判断即可； （2）根据新定义，推出，代入分式进行求解即可； （3）①根据新定义，进行求解即可；②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：是； ， ∴“信度值”； （2）由题意，得： ， ∴， ∴， ∴； （3）①由题意，得： ， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵为正整数，且为正整数， ∴或， ∴或． 7．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）光明中学有两块边长为的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮． 方式一：如图①，在正方形空地上留两条宽为的小路； 方式二：如图②，在正方形空地四角各留一块边长为的小正方形空地植树，其余种植草皮． 学校按这两种方式购买草皮的价格分别为3000元和5000元． (1)写出按图①，图②两种方式购买草皮的单价； (2)当，时，求出这两种方式购买草皮的单价．（仅保留整数） 【答案】(1)图①购买草皮单价为元；图②购买草皮单价为元 (2)方式一购买草皮的单价为30元，方式二购买草皮的单价为28元 【分析】本题主要是列分式以及求分式的值的问题，试着找出题中的数量关系； （1）先根据图①得出种植草皮的面积为，进而得出购买草皮的单价，再根据图②种植草皮的面积为，进而得出购买草皮的单价； （2）将，代入（1）的分式求出相应的值即可． 【详解】（1）解：图①阴影部分面积为，图②阴影部分面积为． 图①购买草皮单价为元； 图②购买草皮单价为元； （2）解：当，时， （元）， （元）， 即方式一购买草皮的单价为30元，方式二购买草皮的单价为28元． 【经典例题二 分式规律性计算】 8．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）观察下列等式： ，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：； (2)计算：； (3)计算：______．（直接写出答案） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查裂项相消法的应用，解题关键是观察等式规律并正确裂项，易错点是裂项时系数或项的对应关系出错，解题思路为：先分析等式规律，再对每一项进行裂项，通过中间项抵消计算结果． 【详解】（1）观察已知等式，规律为：（其中）； 对于，根据规律可得：； 故答案为：，． （2）根据规律，将每一项裂项： 故答案为：． （3）裂项规律：（其中）； 故答案为：． 10．（2025·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． （1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【详解】（1）解：观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． 即：． 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为：． 证明：∵左边， 右边， ∴左边边右边． ∴等式成立． 故答案为：． 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）观察下列各式： ①，        ②， ③，        ④， ……  ……； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明. 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）观察每个式子右边都等于2，左边分子、分母共有三项相加，第n个式子的前两项是，，分子第三项是，分母第三项是，根据此规律写出第6个等式即可； （2）根据解析（1）发现的规律写出第n个式子即可；根据分式性质化简分式即可． 【详解】（1）解：第6个等式为； 故答案为：． （2）解：第个等式为， 左边 右边． 故答案为：． 【点睛】本题是一道找规律的题，主要考查了分式的化简，用代数式表示数字规律，解题的关键是如何用一个统一的式子表示出分式的规律． 12．（24-25八年级上·湖南永州·期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)计算：若为正整数，猜想______； (2)化简； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了非负数的性质、有理数的混合运算、分式的加法，弄清题中的拆项法则是解本题的关键． （1）根据已知等式得到一般性规律，写出即可； （2）利用（1）中得到的规律，变形后，进行计算即可； （3）利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，，，，…， 若为正整数，， 故答案为：； （2）解：由（1）可得， ； （3）解：，，， ，， ，， ． 13．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． (1)根据以上式子填空： ① ． ② ． (2)求分式的最小值． (3)已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）根据所给的规律对①②进行运算即可； （2）结合所给的规律进行求解即可； （3）结合所给的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2） ， 要求原式的最小值，则的值最大， 当时，， ∴的最小值为：； （3） ， 要使结果为整数， 则为整数， 的值为：或或或， 其和为：． 【点睛】本题主要考查分式的加减，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，及找到存在的规律． 14．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查分式的加减法，数字的规律变化，分式的化简求值，读懂题目信息，观察出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律即可求出答案； （3）根据题中给出的规律进行化简，然后将代入即可得出答案． 【详解】（1）由 可得． （2） ， ． （3） ， ∵， ∴， 原式 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 15．（24-25八年级下·上海青浦·月考）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 16．（24-25八年级下·山西运城·月考）综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)真； (2)； (3)或或或． 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：原式 ． ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 17．（24-25八年级下·四川乐山·期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是         分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1)假 (2)， (3)当x＝2或0时，分式的值为整数 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数大于分母的次数， ∴分式是假分式， 故答案为：假； （2）解： ， ； （3）解： ， ∵分式的值为整数，x为整数， ∴x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1， 解得x=2或x=0， ∴当x＝2或0时，分式的值为整数． 【点睛】本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 18．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或或或 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解： ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】 19．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 【答案】(1)真分式； (2)，，，，， (3) 【分析】本题考查分式的化简求值、新定义． （1）根据假分式和真分式的定义判断分式是真分式还是假分式；根据题目中的例子，可以将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，从而可以求得x取什么整数时，该式的值为整数； （3）先将分式化为带分式得，再由推出，进而得，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式， ， 故答案为：真分式；； （2）解：∵， ∴或或， ∴当或5或4或2或1或时，的值为整数； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴即， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 21．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)或1或 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）根据定义进行判断即可； （2）将化为，然后化成带分式的形式即可； （3）将原式化成带分式的形式，再根据题意确定x的值即可． 【详解】（1）解：的次数为0，x的次数为1，， 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式， 原分式的值为正整数，且x为整数， 或2或， 或1或． 【经典例题四 分式混合运算压轴】 22．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知，，小宇和小恒在对，进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大，请你判断谁的说法正确，并说明理由． 【答案】小宇说法正确，理由见解析． 【分析】本题考查了分式的运算，先进行运算，即，因为，所以，故有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：小宇说法正确，理由， ， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴不论取何值，的值都比的值大； ∴小宇说法正确． 23．（2026九年级·吉林·专题练习）下图是一道例题及其解答过程的一部分，其中是多项式，请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例： 先化简，再求值：，其中． 解：原式 …… 【答案】，过程见解析 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．通过观察已知条件所给的解答过程，得到，再根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，最后将的值代入计算即可． 【详解】解：由题意知． 补充剩余过程如下： ． 当时， 原式． 24．（2026·安徽蚌埠·二模）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……请根据上述规律，解答下列问题： (1)请直接写出第4个等式___________ (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并证明． 【答案】(1) (2)第个等式是，证明见解析 【分析】（1）根据前三个等式直接写出答案即可； （2）根据前三个等式得到左边，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：第个等式是， 证明：左边 右边， 猜想成立． 25．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）王老师在黑板上写了这样一道计算题：．莉莉和君君的解题步骤如下： 莉莉：原式； 君君：原式． (1)莉莉解题的依据是__________；君君解题的依据是__________；（请填写序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 【答案】(1)②；③ (2)见解析 【分析】（1）根据分式的基本性质和乘法分配律求解； （2）根据分式的运算法则计算并注意运算顺序即可求解． 【详解】（1）解：莉莉解题的依据是分式的基本性质；君君解题的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； （2）解：选择莉莉，解法如下： 原式 ． 选择君君，解法如下： 原式 ． 26．（2026·宁夏银川·一模）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③； (2)见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）根据两位同学的解答步骤，结合分式的基本性质和乘法运算律进行分析，即可解答； （2）根据分式的运算法则和运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：甲同学解法的依据是：分式的基本性质；乙同学解法的依据是乘法分配律； 故答案为：②，③； （2）解：选择甲同学： ； 选择乙同学： ． 27．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下面是小林同学分式化简的过程，请认真阅读并完成下列问题． 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)填空：①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请计算该分式化简后的正确结果，然后在，，3三个数中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】(1)①一；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变（分式的基本性质）；②三；括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 (2)； 【分析】本题考查的是分式的基本性质，分式的混合运算． （1）①根据分式的基本性质即可作出判断；②根据去括号的法则即可作出判断； （2）根据分式的混合运算法则解答即可 【详解】（1）解：①一；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变（分式的基本性质）； ②三；括号前面是“”，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； （2）解： ． 分母不为0， ，， 选择，当时，原式． 28．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是某同学化简分式的部分运算过程： (1)下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步     第六步 (2)写出正确的化简运算过程； (3)从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】(1)五 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键： （1）第五步分子相减时，变号错误； （2）根据混合运算的法则进行计算即可； （3）根据分式的分母不能为0，选择，进行计算即可． 【详解】（1）解：第五步分式减法中，出现变号错误； 故答案为：五 （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴当时，． 【经典例题五 分式中的最值问题】 29．（24-25八年级上·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的加减法，理解【方法策略】的解题思路是解题的关键． 按照【方法策略】的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】解：． ， 的最小值是1． 的最大值是3． 的最大值是5． 分式的最大值是5． 30．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料： 分式（）的最大值是多少？ 解：， ∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是． ∴的最大值是．∴（）的最大值是． 解决问题： (1)分式（）的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值． 【答案】(1)9 (2)7 (3)4，6，8 【分析】本题考查的是分式加减运算的逆运算，即， 同时考查分式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据，由，得到的最大值为8，即可解题． （2）根据，由，得到的最大值为3，即可解题 （3）根据，且值为整数，得到的值为整数，即的值为3的因数，从而可得到整数的值． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴，即：的最小值为1， ∴的最大值为8， ∴的最大值为9， 即：分式（）的最大值是9， 故答案为：9； （2）由题意可知，， ∵， ∴，即：的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为7， 即：分式的最大值是7； （3）由题意可知，， ∵分式（）的值为整数，且为整数， ∴的值为整数，， ∵， ∴的值为，1，3， ∴的值为4，6，8． 31．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读下面材料 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用，表示，例如，请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①，②，③，④中，属于对称式的是　 　（填序号）； (2)已知 ①若，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值，写出求解过程； ③若，直接写出对称式的最大值　 　． 【答案】(1)①②④ (2)①；②；③2 【分析】（1）根据对称式的定义逐个判断即可； （2）①根据已知,然后对所求代数式变形并整体代入即可解答；②将对称式化简后整理为非负数的形式即可解答；③将对称式化简后，再配方即可求得最大值． 【详解】（1）解：①，②③，④． 由定义可知属于对称式的是①②④． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴, ∴, ①， ∴； 答：对称式的值为； ②若，则， ∴， ∴ ， ， ． 答：对称式的最小值为． ③∵. ∴, 而 ， ∵， ∴的最大值为2， ∴对称式的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、数字的变化类、配方、非负数的性质、新定义等知识点，掌握分式计算法则及配方法是解答本题的关键． 32．（2025八年级下·浙江·专题练习）阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： (1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ① ；② ； (2)利用分离常数法，求分式的最大值． (3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值． 【答案】(1)，； (2)3 (3)18或12 【分析】本题主要考查分式的性质，分式的加减运算，解题的关键是运用“分离常数法”对分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式，属于分式的综合运用． （1）根据题意，，，由此即可求解； （2）用分离常数法，分式得，由此即可求解． （3）先计算得到，由、均为非零整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ①； ②． 故答案为：①；② （2）解：， ，当时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大， 当时，分母的值越大，分式的值越小， 当时，， 即当时，分式有最大值，最大值为3． （3）解：，，， ， 、均为非零整数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，的值为18或12． 33．（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 【答案】(1)见解析； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】本题主要考查了配方法的应用，完全平方公式的几何背景，熟练掌握并能灵活运用配方法是解题的关键． （）依据题意，由，则，从而，即可得解； （）依据题意，由，则，从而得解； 依据题意，由，又，可得，进而得解； （）依据题意得，，可得的最小值为，从而得解； 依据题意得，，则的最小值为，从而得解； （）依据题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，，则 ，第三个正方形的边长为，故第三个正方形的面积为，又，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵， ∴， 故答案为：； 由题意，∵， 又， ∴， ∴的最大值为， 故答案为：； （3）解：由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； 由题意得，， ∴的最小值为， 故答案为：； （4）解：由题意，设第一个正方形和第二个正方形边长分别为，， ∴，第三个正方形的边长为， ∴第三个正方形的面积为， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴第三个正方形面积的最大值为． 34．（24-25八年级下·江苏南京·期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)假分式可化为带分式_______形式； (2)利用分离常数法，求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为________． 【答案】(1)1+ (2)2＜≤5 (3)27 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）根据分离常数法求出，据此求解即可； （3）根据分离常数法求出m＝x+2，n＝﹣x+4，再根据完全平方公式求出m2+n2+mn＝（x﹣1）2+27，据此求解即可． 【详解】（1）解：＝＝1+， 故答案为：1+； （2）解：＝＝2+， ∵x2+1≥1， ∴0＜≤3， ∴2＜≤5； （3）解：∵＝＝5x﹣1﹣， 而分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+， ∴5x﹣1＝5m﹣11，n﹣6＝﹣（x+2）， ∴m＝x+2，n＝﹣x+4， ∴m+n＝6，mn＝（x+2）（﹣x+4）＝﹣x2+2x+8， 而m2+n2+mn＝（m+n）2﹣mn＝36﹣（﹣x2+2x+8）＝x2﹣2x+28＝（x﹣1）2+27， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+27≥27， ∴当x＝1时，m2+n2+mn最小值是27， 故答案为：27． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式，正确理解题意掌握分离常数法是解题的关键． 35．（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【答案】(1)真 (2) (3)最大为1 【分析】本题主要考查了分式的基本概念、分式的基本性质、分式的混合运算和化简，阅读材料获得信息再进行化简计算是解题的关键． （1）根据分子次数为0，分母次数为1，可作出判断． （2）利用已知分式，将其转化为整数与真分数的和的形式，可得答案． （3）先求出的最小值，进而可求出 的最大值． 【详解】（1）解：是真分式． （2）解：设， 则 ， 解得， . （3）解：考虑，求其最小值， ∵，， 当时，最小为1 最大为1． 【经典例题六 解分式方程综合运算】 36．（24-25八年级下·河南开封·月考）对于两个不为0的数m，n，我们规定“*”运算：．请解方程：． 【答案】 【分析】根据定义将方程变形为分式方程，求解并验根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程即为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 解得：， 经检验，时，，是方程的解， ∴方程的解是． 37．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得． 解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的关键步骤是________； (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了关键的一步，还存在错误，请帮他写出正确的解答过程． 【答案】(1)，检验； (2)正确的解答过程见解析． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）根据解分式方程的步骤判断即可得解； （）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：这位同学解题过程中横线处应填，解题过程缺少的关键步骤是检验， 故答案为：，检验； （2）解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：． 38．（25-26八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，解决问题：对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程 的两个解分别为 (1)方程的两个解中较大的一个为 ； (2)解关于x的方程； (3)关于x的方程 的两个解分别为 求 的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）方程可化为，再根据题意即可求解； （2）移项得，再化简得即可求解； （3）把方程化简为，再根据题意解，再代入计算. 【详解】（1）解：，即 ，， 则方程 的两个解中较大的一个为； （2）解：，即， ， ， 解得； （3）方程变形为：， ，解得， ，解得， ， ， ． 39．（25-26八年级下·江苏南京·月考）形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】(1)2；5 (2)7 (3)或或或 【分析】（1）根据，结合题意可得答案； （2）原方程变形为，则根据定义可得，再根据计算求解即可； （3）原方程可变形为，可证明方程是“十字分式方程”，则，进而得到，则，根据是整数，得到是整数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴方程是“十字分式方程”， ∵关于x的方程的两个解是，， ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴是的整数，即是整数， 又∵k是整数， ∴或， ∴或或或． 40．（25-26八年级上·河南安阳·期末）下面是婷婷同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得：    第一步 移项，得：        第二步 合并同类项，得：        第三步 系数化为1，得：        第四步 检验：当时，．    第五步 ∴原方程的解为．        第六步 (1)这位同学解题过程中的横线处应该填________，解题过程错误在第________步；错误原因是________． (2)请你帮她写出正确的解答过程． 【答案】(1)，第一步，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程去分母的方法及解后检验的必要性是解题的关键． （1）先根据分式方程去分母的规则，确定方程两边应乘的最简公分母； 再对照每一步变形，找出错误步骤并分析原因． （2）先确定最简公分母，将分式方程化为整式方程；再按整式方程的步骤求解，最后进行检验． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以 ，得， 婷婷同学的第一步写成了 ，漏乘了常数项 与 的乘积． 故答案为：；；去分母时，漏乘了常数项“”． （2）解：， 解：方程两边同乘，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 检验，时， 原方程的解为 41．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以，得：，① 去括号，得：，② 移项，得：，③ 解得：，④ 检验：当时，，⑤ 所以，原分式方程的解为． (1)填空：第___________步开始出现了错误（只填序号）； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】（）根据去括号法则判断即可求解； （）按照解分式方程的步骤解答即可求解； 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：该同学的做法从第②步去括号未变号，出现了错误， 故答案为：②； （2）解：方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 42．（25-26八年级上·广东韶关·月考）探索并解决问题． 【计算】 请你计算下列算式，观察并归纳其中的规律： （1） ； （2） ； （3） （4） 【归纳】 - ． 这个结果与上面的计算有什么联系吗？ 【应用】 （1）计算： ⋯； （2）解分式方程： 【答案】【计算】（1）（2）（3）（4）【归纳】；【应用】（1）（2） 【分析】【计算】（1）（2）（3）（4）利用拆项的方法计算即可； 【归纳】由上述解答可总结，前面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差； 【应用】（1）利用总结的规律将每个式子进行拆分，然后进行加减运算即可； （2）利用总结的规律将每个式子进行拆分，合并后得到，解这个分式方程即可，最后要检验得出的解是否为分式方程的增根． 【详解】解：【计算】（1）； （2）原式； （3）原式； （4）原式； 【归纳】原式； 这个结果与上面的计算是有联系的，上面计算中的每个分数可以拆分为形如这个结果的两个分数的差； 【应用】（1）原式．．． ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴． 【经典例题七 分式方程解的情况求值问题】 43．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查分式方程：将分式方程去分母整理为，然后： （1）方程的解为正数，则解为正数且不为增根4，据此列出不等式组求解即可； （2）分为0和不为0两种情况讨论即可． 【详解】（1）去分母得： 整理得：． ∵方程的根为正数， ∴且， 解得：且； （2）分式方程化为：， ∵方程无解， ∴方程有增根或等式不成立， ①当方程有增根时，即， 即， ∴， ②当时，等式不能成立， ∴， 综上所述，a的值为． 44．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题． （1）原方程化为整式方程，然后代入增根求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化简后的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 方程整理，得． ∵是原分式方程的增根， ∴， 解得． （2）解：， 方程整理，得． 因为原分式方程有增根，所以或， 解得或． ∵不可能是整式方程的根， ∴原分式方程的增根为，所以， 解得． （3）解：， 方程整理，得． ①当时，整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解，则或． 由（2），得． 综上所述，或． 45．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 46．（24-25八年级上·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，， 故答案为：，． 47．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1)第4个方程为：，得或， (2)第个方程为：，得或， (3)或． 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确． （1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题； （2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可； （3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，第4个方程为：， 得或， 经检验，或是该方程的解； （2）解：根据题意可知，第个方程为：，即； 得或， 经检验，或是该方程的解； （3）解：n为正整数，关于x的方程的一个解是， 即方程的一个解是， 则， 得或， 解得或． 48．（2025九年级上·河南安阳·学业考试）已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 【答案】(1)一，正确解法见解析 (2) 【分析】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解．也考查了解分式方程． （1）检查甲同学解方程过程，找出错误步骤分析即可； （2）原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解． 【详解】（1）解：甲同学从第一步开始出现错误， 正确的解法： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解； （2）解：去分母，得：， ∵原方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得， 解得， ∴原方程有增根时，． 49．（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【答案】(1)×，√ (2)有可能， (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“友好数对”的定义是解题的关键． （1）根据“友好数对”定义分别判断即可； （2）根据“友好数对”定义计算即可； （3）根据“友好数对”定义计算即可． 【详解】（1）解：关于x的分式方程， ∵不是方程的解， ∴数对不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵是方程的解， ∴数对是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）解：当时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴， 即时，数对有可能是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴是关于x的分式方程的解， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 50．（2026·山西吕梁·一模）随着我国科技事业的不断发展和航天技术的需要，某航天企业推出甲、乙两种型号的卫星零部件加工机器人．已知甲型号机器人比乙型号机器人平均每小时多加工15个零部件，甲型号机器人加工900个零部件所用时间与乙型号机器人加工600个零部件所用时间相同．则甲、乙两种型号机器人平均每小时分别加工多少个零部件？ 【答案】甲型号机器人平均每小时加工45个零部件，乙型号机器人平均每小时加工30个零部件 【详解】解：设甲型号机器人平均每小时加工个零部件，则乙型号机器人平均每小时加工个零部件. 根据题意，得.         解得.             经检验，是原分式方程的解，且符合题意.     .             答：甲型号机器人平均每小时加工45个零部件，乙型号机器人平均每小时加工30个零部件. 51．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）【调查活动】小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校少10%． 【问题解决】请你根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两校的学生人数各是多少？ (2)甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 【答案】(1)甲校的学生人数是900人，乙校的学生人数是1000人 (2)甲校的人均图书册数是20册，乙校的人均图书册数是18册 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． （1）设乙校的人数为人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可； （2）根据（1）求得的两校学生人数，直接计算人均图书册数． 【详解】（1）解：设乙校的人数为人，则甲校的学生人数为人 根据题意可列分式方程：， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （人）， 答：甲校的学生人数是900人，乙校的学生人数是1000人； （2）解：甲校人均图书为（册）， 乙校人均图书为（册）， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． 52．（25-26八年级下·江苏南京·月考）为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲、乙两车间生产11040个龙年福字．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产240个福字，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产600个福字． (1)从开始加工到完成这批福字一共需要多少天？ (2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的福字数量之比为，且改进工艺后乙车间比甲车间提前8天完成剩下生产任务，问改进工艺后甲车间每天生产多少个福字？ 【答案】(1)16天 (2)360个 【分析】（1）设从开始加工到完成这批福字一共需要x天，等量关系式：甲天完成的福字数乙天完成的福字数，据此列方程求解即可； （2）设改进工艺后甲车间每天生产个福字，乙车间每天生产个福字，列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设从开始加工到完成这批福字一共需要x天， 由题意得， 解得； 答：从开始加工到完成这批福字一共需要16天． （2）解：设改进工艺后甲车间每天生产个福字，乙车间每天生产个福字． 4天后，甲、乙还各需加工：（个）； 根据题意得， 解得； 经检验：是所列方程的解，且符合题意， （个）； 答：改进工艺后甲车间每天生产360个福字． 53．（25-26八年级上·江苏南通·期末）李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产汽车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含的代数式表示出新能源车每千米行驶费用________元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多元．请你帮李师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 【答案】(1) (2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并正确列出代数式是解题关键． （1）先计算出行驶千米的总费用，再平均一下即可； （2）根据两种车每千米费用的差值，构造分式方程，求解并检验即可． 【详解】（1）解：由题意可得，新能源车行驶千米的费用为（元）， ∴每千米行驶费用为元． 故答案为：； （2）解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ∴可列方程， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元． 54．（25-26八年级下·河北沧州·月考）项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； (2)完成任务二． 【答案】(1)；每枝A种花卉的价格为a元 (2) 【分析】（1）若设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，则每枝A种花卉的价格为元，每枝种花卉的价格为元，表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量，即可求解； （2）单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，完成小盆栽的插花任务的效率为，完成大盆栽的插花任务的效率为，根据完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同，列方程．即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． ， 表示用320元购买的种花卉数量，表示用800元购买的种花卉数量， 即小组成员乙设每枝种花卉的价格为元． 故答案为：；每枝A种花卉的价格为a元． （2）解：由题意得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 55．（25-26八年级上·江西·期末）如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【答案】(1)，，“丰收2号” (2)12 【分析】本题主要考查了列代数式，解分式方程解决实际问题，解题的关键找准等量关系列出方程． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据单价列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量高， 故答案为：，，“丰收2号”； （2）解：“丰收1号”小麦试验田隔离网长度为， “丰收2号”小麦试验田隔离网长度为， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴a的值是12． 56．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少20元，用600元购进甲种商品和用1000元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量乙商品数量 ______ 解法二 设…… 等量关系：乙种商品进价甲种商品进价      (1)解法二所列方程中的表示______（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件， (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； 【答案】(1)③ (2)；甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法．理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙种商品进价甲种商品进价及可知表示：购进甲种商品和乙种商品各件． 故选：③； （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． ． 甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元． 【经典例题九 分式的新定义问题】 57．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解． 根据和解方程的定义，方程的解应为，代入原方程求解． 【详解】解：∵方程是和解方程 ∴解为， 将代入原方程： ， ， ， ． 58．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“______阶分式”； (2)分式与分式A互为“5阶分式”，求分式． 【答案】(1)6 (2)． 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，正确理解题意和熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）利用同分母分式的加减计算即可求解； （2）根据“5阶分式”的定义，分式与分式A的和为5，建立等式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴分式与互为“6阶分式”； 故答案为：6； （2）解：∵分式与分式A互为“5阶分式”， ∴， 解得． 59．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读材料∶ 新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”． (1)若，，求a，b的“快乐返校学习数”c； (2)若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c； (3)若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查分式的化简求值，明确题意，利用题中的新定义是解题的关键． （1）把，代入式子求出答案； （2）把代入化简求解即可； （3）根据题意和题目中的定义，求出答案即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， 两边同时除以， 得， ， ， ， ， 故a，b的“快乐返校学习数”是； （3）解：把，代入， c为正整数，为整数， 或， 故整数的值为或． 60．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2)是，见解析 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据给出的“巧分式”的定义可得；将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； （2）解：分式的“巧整式”为． ， ； ， 又是整式， 是“巧分式”． 61．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 【答案】(1)， (2)；． 【分析】本题考查了新定义，分式的化简求值，分式的值，正确的理解题意是解题的关键． （）根据新定义，把，代入即可求出的值； （）根据新定义把，代入即可求出的值； 根据是整数，即可求出整数的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，，是，的“友好数”， ∴ ； ∵是整数，且是整数， ∴． 62．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： ，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“________阶分式”； (2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值． 【答案】(1)5 (2)详见解析 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，分式的化简，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义的含义是解决此题的关键． (1)根据新定义计算即可得解； (2)将代入得，求证计算结果为2即可； (3)列出等式,再根据分式的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：， 分式与互为“5阶分式” 故答案为：5； （2）证明：把代入得， , 与互为“2阶分式”； （3）解：分式与互为”1阶分式”, , , ,即, 又为正数， ， 的值为． 63．（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 【答案】(1)假分式 (2)， (3) 【分析】本题考查分式的化简，分式的求值，熟练掌握新定义是解题的关键： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； ． （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ∴， ∴符合条件的负整数的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 分式章末63道压轴题型专训（9大题型） 题型一 分式的求值 题型二 分式规律性计算 题型三 分式值为整数时的求值问题 题型四 分式混合运算压轴 题型五 分式中的最值问题 题型六 解分式方程综合运算 题型七 分式方程解的情况求值问题 题型八 分式方程的实际应用 题型九 分式的新定义问题 【经典例题一 分式的求值】 1．（25-26八年级上·云南大理·期末）阅读下面的解题过程． 已知，求的值 解：由，知； 即， ． 说明：该题的解法叫做“倒数法” 请你利用“倒数法”解下面题目： 已知， (1)求的值； (2)求的值 2．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）阅读理解： 例题：已知实数满足，求分式的值． 解：． 的倒数 ∴ (1)已知实数满足，求分式的值． (2)已知实数满足，求分式的值． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）【教材呈现】小红练习了人教版八年级上册数学118页第7题，并进行了深入研究： 7.已知，，求的值 解： 的值为． (1)【解决问题】已知，，求的值； (2)【知识迁移】已知，求的值． 4．（24-25八年级下·浙江金华·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴4即 ∴，∴ 根据材料回答问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求x的值． (3)若，，，，且，求的值． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）【教材呈现】 a，b，c，d都不为0，，，若，则．如下证明这个结论的正确性，设，则，，所以，同理，，所以． 【类比分析】 （1）若，且…，求证． 【学以致用】 （2）若x，y，z都不为0，且，求的值． 6．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”． (1)已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”． (2)已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值． (3)已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是． ①求（用含的代数式表示）； ②若的值为正整数，为正整数，求的值． 7．（24-25八年级上·山东青岛·单元测试）光明中学有两块边长为的正方形空地，现设想按两种方式种植草皮． 方式一：如图①，在正方形空地上留两条宽为的小路； 方式二：如图②，在正方形空地四角各留一块边长为的小正方形空地植树，其余种植草皮． 学校按这两种方式购买草皮的价格分别为3000元和5000元． (1)写出按图①，图②两种方式购买草皮的单价； (2)当，时，求出这两种方式购买草皮的单价．（仅保留整数） 【经典例题二 分式规律性计算】 8．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）观察下列等式： ，，，． 运用以上规律，回答下列问题： (1)填空：； (2)计算：； (3)计算：______．（直接写出答案） 10．（2025·安徽安庆·二模）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 11．（2025·安徽合肥·模拟预测）观察下列各式： ①，        ②， ③，        ④， ……  ……； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：________（用含的等式表示），并证明. 12．（24-25八年级上·湖南永州·期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)计算：若为正整数，猜想______； (2)化简； (3)若，求的值． 13．（2025八年级下·江苏无锡·专题练习）观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． (1)根据以上式子填空： ① ． ② ． (2)求分式的最小值． (3)已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 14．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【经典例题三 分式值为整数时的求值问题】 15．（24-25八年级下·上海青浦·月考）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 16．（24-25八年级下·山西运城·月考）综合与实践 在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式．当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，，一名这样的分式就是真分式． 我们知道，假分数可以化为带分数，例如：． 类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ． (1)分式是_________分式．（填“真”或“假”） (2)参考上面的方法，将分式化为带分式． (3)如果分式的值为整数，求x的整数值． 17．（24-25八年级下·四川乐山·期中）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式．类似地，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，如：；． (1)分式是         分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式、分别化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． 18．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 19．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”，分子比分母大，或者分子，分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（即整式与真分式的和的形式）． 如：． 解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；将假分式化为带分式为______； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)若分式的值为，直接写出的取值范围是______． 20．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 21．（24-25八年级上·云南昆明·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 【阅读材料】类比分数学习分式 我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和差的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题时颇为有效． 通过阅读上述材料，解决下列问题： (1)分式是______（填“真分式”或“假分式”）； (2)假分式化为带分式的形式为______； (3)如果分式的值为正整数，求满足条件的整数x的值． 【经典例题四 分式混合运算压轴】 22．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知，，小宇和小恒在对，进行化简后，小宇说不论取何值，的值都比的值大；小恒说不论取何值，的值都比的值大，请你判断谁的说法正确，并说明理由． 23．（2026九年级·吉林·专题练习）下图是一道例题及其解答过程的一部分，其中是多项式，请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例： 先化简，再求值：，其中． 解：原式 …… 24．（2026·安徽蚌埠·二模）观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；……请根据上述规律，解答下列问题： (1)请直接写出第4个等式___________ (2)猜想第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并证明． 25．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）王老师在黑板上写了这样一道计算题：．莉莉和君君的解题步骤如下： 莉莉：原式； 君君：原式． (1)莉莉解题的依据是__________；君君解题的依据是__________；（请填写序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择其中一名同学的做法，完成解答过程． 26．（2026·宁夏银川·一模）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： (1)甲同学解法的依据是___________，乙同学解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 27．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下面是小林同学分式化简的过程，请认真阅读并完成下列问题． 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)填空：①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______． ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误，错误的原因是______． (2)请计算该分式化简后的正确结果，然后在，，3三个数中选择一个合适的数作为的值，代入求值． 28．（25-26八年级上·河南新乡·期末）下面是某同学化简分式的部分运算过程： (1)下面的解题过程从第 步开始出现错误； 解：原式    第一步     第二步     第三步     第四步     第五步     第六步 (2)写出正确的化简运算过程； (3)从，0，3，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 【经典例题五 分式中的最值问题】 29．（24-25八年级上·山东威海·期中）【方法策略】对于分式，求它的最大值． 解：原式． ， 的最小值是2． 的最大值是2． 的最大值是4． 即分式的最大值是4． 【问题解决】根据上述方法，求分式的最大值． 30．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料： 分式（）的最大值是多少？ 解：， ∵，∴．∴的最小值是3．∴的最大值是． ∴的最大值是．∴（）的最大值是． 解决问题： (1)分式（）的最大值是 ； (2)求分式的最大值； (3)若分式（）的值为整数，请直接写出整数x的值． 31．（24-25八年级上·福建福州·期中）阅读下面材料 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：；含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是和，像等对称式都可以用，表示，例如，请根据以上材料解决下列问题： (1)式子①，②，③，④中，属于对称式的是　 　（填序号）； (2)已知 ①若，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值，写出求解过程； ③若，直接写出对称式的最大值　 　． 32．（2025八年级下·浙江·专题练习）阅读材料： 在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行， 如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式x﹣1的和的形式．根据以上阅读材料，解答问题： (1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式： ① ；② ； (2)利用分离常数法，求分式的最大值． (3)已知：，，设，若x，y均为非零整数，求的值． 33．（25-26八年级上·吉林·期末）下面是八年级数学的拓展学习片段： 例题：求证：． 证明：∵， ∴， ∴． 认真学习例题后，解答下面问题： (1)求证：； (2)若，则的最小值为_____． 若，则的最大值为_____． (3)的最小值为_____． 的最小值为_____． (4)有三个正方形，第一个正方形和第二个正方形面积的和为，第三个正方形的边长等于第一个正方形和第二个正方形边长的和，直接写出第三个正方形面积的最大值． 34．（24-25八年级下·江苏南京·期中）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：＝＝x+＝x﹣1+，这样，分式就拆分成一个分式与一个整式x﹣1的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)假分式可化为带分式_______形式； (2)利用分离常数法，求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，则m2+n2+mn的最小值为________． 35．（25-26八年级上·北京·月考）阅读下列材料，并解答问题： 【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式． 例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 方法1：； 方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数）， ， 对于任意x，上述等式均成立， ，解得， ． ， 这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式． 【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5． (1)分式是 分式（填“真”或“假”）； (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； (3)当时，求分式的最大值． 【经典例题六 解分式方程综合运算】 36．（24-25八年级下·河南开封·月考）对于两个不为0的数m，n，我们规定“*”运算：．请解方程：． 37．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得． 解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的关键步骤是________； (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了关键的一步，还存在错误，请帮他写出正确的解答过程． 38．（25-26八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，解决问题：对于两个不等的非零实数a，b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程 的两个解分别为 (1)方程的两个解中较大的一个为 ； (2)解关于x的方程； (3)关于x的方程 的两个解分别为 求 的值． 39．（25-26八年级下·江苏南京·月考）形如（a，b不为零，且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”，例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则______，______． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． (3)若关于x的方程的两个解是，，若是整数，求满足条件的整数k的值． 40．（25-26八年级上·河南安阳·期末）下面是婷婷同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得：    第一步 移项，得：        第二步 合并同类项，得：        第三步 系数化为1，得：        第四步 检验：当时，．    第五步 ∴原方程的解为．        第六步 (1)这位同学解题过程中的横线处应该填________，解题过程错误在第________步；错误原因是________． (2)请你帮她写出正确的解答过程． 41．（25-26八年级上·江西赣州·期末）下面是某位同学解分式方程的过程： 解：方程两边同乘以，得：，① 去括号，得：，② 移项，得：，③ 解得：，④ 检验：当时，，⑤ 所以，原分式方程的解为． (1)填空：第___________步开始出现了错误（只填序号）； (2)请写出正确的解题过程． 42．（25-26八年级上·广东韶关·月考）探索并解决问题． 【计算】 请你计算下列算式，观察并归纳其中的规律： （1） ； （2） ； （3） （4） 【归纳】 - ． 这个结果与上面的计算有什么联系吗？ 【应用】 （1）计算： ⋯； （2）解分式方程： 【经典例题七 分式方程解的情况求值问题】 43．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）已知分式方程． (1)当取何值时，方程的解为正数？ (2)当取何值时，方程无解？ 44．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 45．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 46．（24-25八年级上·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 47．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 48．（2025九年级上·河南安阳·学业考试）已知关于x的分式方程． (1)当时，甲同学的解题过程如下： 解：（第一步）去分母，得：， （第二步）去括号，得：， （第三步）合并同类项，得：， （第四步）系数化为1，得：， （第五步）检验：当时，，所以是增根， （第六步）所以原分式方程无解． 甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法； (2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值． 49．（24-25八年级上·福建厦门·期末）新定义：如果两个实数、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”． ①（ ）； ②（ ）． (2)请判断数对是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． (3)若数对是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【经典例题八 分式方程的实际应用】 50．（2026·山西吕梁·一模）随着我国科技事业的不断发展和航天技术的需要，某航天企业推出甲、乙两种型号的卫星零部件加工机器人．已知甲型号机器人比乙型号机器人平均每小时多加工15个零部件，甲型号机器人加工900个零部件所用时间与乙型号机器人加工600个零部件所用时间相同．则甲、乙两种型号机器人平均每小时分别加工多少个零部件？                 51．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）【调查活动】小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《A市初中生阅读水平的现状》，随机走访了A市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书18000册； ②甲校比乙校人均图书册数多2册； ③甲校的学生人数比乙校少10%． 【问题解决】请你根据上述信息，解答下列问题： (1)甲、乙两校的学生人数各是多少？ (2)甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 52．（25-26八年级下·江苏南京·月考）为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲、乙两车间生产11040个龙年福字．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产240个福字，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产600个福字． (1)从开始加工到完成这批福字一共需要多少天？ (2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的福字数量之比为，且改进工艺后乙车间比甲车间提前8天完成剩下生产任务，问改进工艺后甲车间每天生产多少个福字？ 53．（25-26八年级上·江苏南通·期末）李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产汽车． 燃油车 油箱容积：升 油价：元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：________元 (1)用含的代数式表示出新能源车每千米行驶费用________元； (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车的每千米行驶费用多元．请你帮李师傅计算一下，这两款车的每千米行驶费用各是多少元？ 54．（25-26八年级下·河北沧州·月考）项目学习方案： 项目情景 元旦将至，某学校购买花卉装点校园，同学们需完成了解花卉知识（包括花语等知识），购买花卉、插花、摆放盆栽等任务 素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜5元，用800元购买的B种花卉数量为用320元购买的A种花卉数量的2倍 任务一 小组成员甲设用320元购买的A种花卉的数量为x枝，由题意得，方程：______①； 小组成员乙设______②，由题意得，方程： 素材二 插花时，技术小组成员丙发现自己在单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务，并且完成35盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同 任务二 求m的值 (1)任务一中横线①处应填______，横线②处应填______； (2)完成任务二． 55．（25-26八年级上·江西·期末）如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 56．（25-26八年级上·山东滨州·期末）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少20元，用600元购进甲种商品和用1000元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量乙商品数量 ______ 解法二 设…… 等量关系：乙种商品进价甲种商品进价      (1)解法二所列方程中的表示______（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件， (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； 【经典例题九 分式的新定义问题】 57．（25-26八年级上·甘肃嘉峪关·期末）定义：如果一个关于分式方程的解是，我们就说这个方程是和解方程．比如就是一个和解方程．如果关于的分式方程是一个和解方程，求的值． 58．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“______阶分式”； (2)分式与分式A互为“5阶分式”，求分式． 59．（24-25八年级下·福建泉州·期中）阅读材料∶ 新定义：任意两数α、b，按规定 得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”． (1)若，，求a，b的“快乐返校学习数”c； (2)若，且，求a，b的“快乐返校学习数”c； (3)若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？ 60．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）（运算能力）定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题： (1)下列分式中是“巧分式”的有_______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式的“巧整式”为，请判断是否是“巧分式”，并说明理由． 61．（24-25八年级上·北京延庆·期中）对于实数，，，给出如下定义：若，则把实数叫作实数，的“友好数”． (1)已知，，求，的“友好数”； (2)已知，，是，的“友好数”． 用含的式子表示； 若是整数，直接写出整数的值． 62．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如： ，则分式与互为“3阶分式”． (1)分式与互为“________阶分式”； (2)已知正数x，y满足，求证：分式与互为“2阶分式”； (3)若分式与互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求的值． 63．（25-26八年级上·河北承德·期末）阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是__________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式分别化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $