专题04 分式方程重难点题型专训（3个知识点+9大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

专题04 分式方程重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程（化为一元一次） 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程无解问题 题型五 列分式方程 题型六 分式方程的行程问题 题型七 分式方程的工程问题 题型八 分式方程的经济问题 题型九 分式方程和差倍分问题 拓展训练一 分式方程的增根问题 拓展训练二 分式方程的新定义问题 拓展训练三 分式方程的综合应用 知识点一：分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握分式方程的定义是关键；分式方程是指含有分式的方程，一般指分母中含有未知数的方程．选项B的分母均为常数，因此不是分式方程． 【详解】∵ 分式方程需满足分母中含有未知数， A、分母为x，含未知数，是分式方程； B、分母为3、4、5，均为常数，不含未知数，不是分式方程； C、分母为，含未知数，是分式方程； D、分母为x和，含未知数，是分式方程． ∴ 不是分式方程的是B． 故选B 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）请写出一个只含有未知数且根是的分式方程__________． 【答案】 【分析】根据分式方程的定义即可得出结论． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义是解答此题的关键． 知识点二：分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在分式方程的解法中，去分母后得到的整式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程去分母的方法，关键是确定最简公分母，再给方程两边同乘最简公分母转化为整式方程．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴该分式方程的最简公分母为， 方程两边同时乘以，得． 故选：B． 2．（2026·江苏无锡·一模）方程的解是：___． 【答案】 【分析】本题为分式方程求解问题，解题思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，代入最简公分母检验，得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 知识点三：用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【即时训练】 1．（2025八年级下·江苏扬州·专题练习）已知一艘轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间，并且水流的速度是3km/h．求顺水航行的速度． 【答案】顺水航行的速度是． 【分析】本题考查了分式方程的应用，解决本题的关键是分析题意，找到等量关系列出方程. 设轮船在静水中的速度为，根据“轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间”，列出方程，即可求解. 【详解】解：设轮船在静水中的速度为． 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以． 答：顺水航行的速度是． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 【答案】甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元，根据用元购买的甲种类型的数量与用元购买的乙种类型的数量一样列出方程，从而可解决问题． 【详解】解：设甲类型笔记本的单价为元，则乙类型笔记本的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲类型笔记本的单价为元，乙类型笔记本的单价为元． 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（24-25八年级上·天津和平·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 【例2】（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的分母必须含有未知数，通过合理分配给定代数式构造等式是解题的关键． 利用给定的代数式组成分式方程，需确保分母含有未知数，因此将 作为分子， 作为分母，并令其等于 ，形成分式方程． 【详解】解：分式方程是指分母中含有未知数的方程．根据给定代数式 ， 和 ， 可构造分式，并令其等于，即， 此方程满足分式方程的定义，且使用了所有给定代数式． 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2025·四川南充·二模）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 2．（24-25八年级下·上海·假期作业）已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 3．（24-25八年级下·四川内江·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ∴． 【经典例题二 解分式方程（化为一元一次）】 【例1】（25-26八年级下·四川南充·月考）分式方程的解为（    ） A． B． C．， D．无解 【答案】D 【详解】解：两边同时乘以去分母得：， 解得， 当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 【例2】（25-26八年级下·浙江金华·开学考试）分式方程的解为_______． 【答案】 【分析】先对原分式方程变形，再去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解：原方程可变形为， 方程两边同乘最简公分母，得， 移项，合并同类项得， 检验：当时，． 因此是原分式方程的解． 1．（24-25八年级下·海南海口·开学考试）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得， ∴ ∴ 解得：， 经检验是原方程的解． 2．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）若分式方程的解是，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 经检验，当时，满足分母不为0的条件，符合题意， 所以，的值为． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得． 解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的关键步骤是________； (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了关键的一步，还存在错误，请帮他写出正确的解答过程． 【答案】(1)，检验； (2)正确的解答过程见解析． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （）根据解分式方程的步骤判断即可得解； （）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：这位同学解题过程中横线处应填，解题过程缺少的关键步骤是检验， 故答案为：，检验； （2）解： ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例1】（25-26八年级下·河南周口·月考）若分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先确定增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根计算得到m的值． 【详解】解：∵分式方程有增根，且分母为和， ∴， ∴增根为， 将原方程两边同乘去分母，得： 把代入整式方程，得： 解得． 【例2】（2026·福建泉州·一模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 【答案】 【分析】将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴ 解得． 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据分式方程的解法，解出x，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 则， 解得：， ∵方程的解为正数， ， ， 又， ， ， ∴的取值范围为：且． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 【答案】/ 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再根据解为负数，结合分式方程分母不为零的限制条件，确定的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为 方程两边同乘最简公分母去分母得 整理得 ∵方程的解为负数 ∴，即 解得 又∵分式方程分母不能为， ∴，即，解得 ，则自然成立 故答案为 3．（25-26八年级上·广东广州·期末）【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，． (1)【理解应用】方程的解为______，______． (2)【知识迁移】若方程的解为，，求的值； (3)【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值． 【答案】(1)3， (2)71 (3)17 【分析】本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． （1）根据材料中的方法求解即可； （2）由题意可得，，再由完全平方公式可得求解即可； （3）方程变形为，则由方程的解得到，，则有，整理得，再将代入整理进而即可求解． 【详解】（1）解：的解为，， ，即，的解为，， 故答案为：3，； （2）方程的解为，， ，， ； （3）关于的方程的解为，， 的解为，， ，， ，， ， 整理得： 将代入，得 ， 【经典例题四 分式方程无解问题】 【例1】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）若分式方程无解，则a的值是（   ） A．2或3 B．2 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】分式方程无解分两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】首先对原方程变形，得， 方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵ 原分式方程无解， 分两种情况讨论： 情况1：整式方程本身无解，此时一次项系数为0， ∴ ，解得， 情况2：整式方程有解，但解为原分式方程的增根，原分式分母为0时，即增根为， 把代入，得，解得， 综上，的值为， 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）已知关于的方程无解，则的值为________． 【答案】1或/或1 【分析】先将分式方程去分母，化为整式方程，再进行分类讨论：①当整式方程无解时，②当分式方程有增根时，即可求解． 【详解】解： 当整式方程无解时：即，解得：； 当分式方程有增根时：增根为，即，解得． 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程无解的可能情况是化简后的解为增根（使分母为零），分式方程去分母转化为整式方程，得到解，再令解等于分母为零的值（或），求出m． 【详解】解：， ， ， ， 当解为增根时无解，即或， 若，则； 若，则． ∴或时方程无解． 故选：A． 2．（25-26八年级上·湖北·期末）以下结论：①若，，则的值为；②若是一个完全平方式，则k的值为9；③若，则；④若关于x的方程无解，则m的值为4或0．其中正确的结论是_____（填写序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查指数运算、完全平方式、分式方程的解等知识，结论①利用同底数幂的除法法则；结论②完全平方式中常数项平方根的两倍为值；结论③通过方程变形求解；结论④分式方程无解需考虑分母为零及化简后方程无解的情况，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①由，，根据同底数幂的除法法则，，故正确； ②为完全平方式，则，解得，故错误； ③由且，两边除以得，即，故正确； ④方程交叉相乘得，整理得， ∵原分式方程无解， ∴当整理后的整式方程无解时，，解得； 当整理后的整式方程有解时，解是原分式方程的增根，原方程分母为0时，或， 将代入可得，不成立，故舍去，不符合题意； 将代入可得，解得， 综上，或，故正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程无解求参数． （1）将“▲”替换为后，先统一分式的分母，再通过去分母把分式方程转化为整式方程求解，最后检验解的合理性即可得到方程的解． （2）先设“▲”为，将原分式方程化为整式方程，分式方程无解包含两种情况，一是整式方程本身无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分别分析求解即可得到“▲”的值． 【详解】（1）解：当“▲”时，原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 移项得 合并同类项得 解得 检验：当时， 所以是原分式方程的解． （2）解：设“▲”表示的数为， 原方程为 将方程变形为 方程两边同时乘以得 整理得 原分式方程无解 分两种情况讨论 情况一：整式方程无解，此情况不存在． 情况二：整式方程的解是原分式方程的增根，原分式方程的增根满足， 即 将代入 得 解得 所以“▲”表示的数是． 【经典例题五 列分式方程】 【例1】（2025·甘肃甘南·模拟预测）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设规定时间为天，再分别表示出慢马和快马的用时，通过快马速度是慢马的倍，即可列出正确方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马用时为天、快马用时为天，则． 【例2】（25-26八年级上·北京·期末）一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时，设小水管注水速度为．那么可列出关于的分式方程为_____． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据大水管的直径是小水管的2倍，得出大水管的横截面积是小水管的4倍，从而大水管的注水速度为小水管的4倍；注水过程分为两个阶段：第一阶段用小水管注水一半容积，时间；第二阶段用大水管注水剩余一半容积，时间；总时间等于两阶段时间之和． 【详解】解：设小水管注水速度为， 则注水一半容积为， 大水管的直径是小水管的2倍，因此横截面积是小水管的4倍，注水速度也为小水管的4倍，即， 第一阶段注水时间：， 第二阶段注水时间：， 总时间， 故答案为：． 1．（25-26八年级下·江苏南京·期末）从温州轨道交通线惠民路站到动车南站，线车程约千米，自驾车车程约千米．小钱乘坐线比自驾车平均速度提高了，时间缩短了小时．设小钱自驾车平均速度为每小时千米，则下列方程正确的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用，理解速度提高和时间缩短的关系是关键． 设自驾车速度为，则线速度为，根据时间缩短0.1小时列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得自驾车时间，线时间为，且时间缩短0.1小时， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）在中国古代建筑中，常通过榫（sǔn）构件和卯（mǎo）构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作1个榫构件需要的圆木为,根据题意可列方程_____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 根据用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，列方程即可得到结论． 【详解】解：设制作个榫构件需要的圆木为， 根据题意得，， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知每辆A型自行车的价格是每辆B型自行车价格的1.2倍，用6000元单独购买A型自行车的辆数比单独购买B型自行车的辆数少1辆．求每辆B型自行车的价格． 甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为． (1)甲同学所列方程中的x表示________，乙同学所列方程中的y表示________． (2)请你选择其中一位同学的方法完整地解答这个问题． 【答案】(1) 每辆B型自行车的价格（单位：元）；用6000元单独购买A型自行车的辆数 (2) 解析 【分析】（1）根据方程中的等量关系即可求解； （2）根据解分式方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵用元单独购买型自行车的辆数比单独购买型自行车的辆数少辆， ∴甲同学所列的方程为， ∴表示型自行车单价（单位：元）， ∵型自行车每辆的价格是型自行车每辆价格的倍， ∴乙同学所列的方程为， ∴表示用元单独购买型自行车的辆数； （2）解：若选择甲同学的：， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴每辆型自行车的价格是元； 若选择乙同学的：， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义，且符合题意， ∴单独购买型自行车的辆数是辆， ∴， ∴每辆型自行车的价格是元． 【经典例题六 分式方程的行程问题】 【例1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的实际应用，需先统一时间单位，再根据“骑车上学比步行上学少用分钟”的等量关系列方程。 【详解】解：∵分钟小时，小明步行速度为千米/小时，骑车速度为千米/小时， ∴步行上学用时为小时，骑车上学用时为小时， ∵骑车比步行少用小时，即步行用时小时+骑车用时， ∴可列方程：， 故选：D； 【例2】 （25-26八年级下·江苏南京·课后作业）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 【答案】3 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，熟练掌握解分式方程是解题的关键； 设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h，根据返回时间比去时多0.5小时列出分式方程． 【详解】设返回时步行速度为x km/h，则去时速度为 km/h． 去时时间为小时，返回时间为小时． 由题意，得方程． 两边同乘，得， 整理得， 解得，． 经检验，是原方程的解且符合题意， 不符合题意舍去． ∴返回时步行速度为3 km/h． 故答案为：3． 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．提速后比提速前多行驶 B．提速后比提速前少行驶 C．提速后比提速前多行驶 D．提速后比提速前少行驶 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设提速前平均速度为，则提速后速度为，根据时间等于路程除以速度，结合方程两边的式子可得答案． 【详解】解：设提速前平均速度为，则提速后速度为， 方程左边表示提速前行驶所用的时间，方程右边表示提速后行驶所用的时间， ∵方程表示两者时间相同 ∴说明相同时间内，提速后比提速前多行驶 ∴补充条件为选项A， 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川南充·期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________ 【答案】 /米 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 根据两车完全通过各自隧道和大桥的时间相等，建立速度关系；再根据货运火车完全通过山体隧道的时间，计算同一时间内客运火车行驶的路程． 【详解】解：设客运火车速度为，货运火车速度为 ， ∴客运火车完全通过山体隧道的路程为，时间， 货运火车完全通过跨河大桥的路程为 ，时间， ∵时间相等，即， ∴， ∴， ∵， ∴原方程有意义， 当货运火车完全通过山体隧道的路程为，时间为， ∴同一时间内，客运火车行驶的路程 ， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·云南昆明·月考）自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前半分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 挑战书 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距米的大柳树下，比赛枪声响后，先到达终点的是冠军． 蚂蚁 【答案】蚂蚁的速度为米/分，乌龟的速度为米/分 【分析】本题考查了分式方程的应用，设蚂蚁的速度为米/分，则乌龟的速度为米/分，根据题意列出方程求出的值即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设蚂蚁的速度为米/分，则乌龟的速度为米/分， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：蚂蚁的速度为米/分，乌龟的速度为米/分． 【经典例题七 分式方程的工程问题】 【例1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用——工程问题，熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，列方程，是解题的关键． 设乙队单独施工1个月完成总工程的，将总工程量记为单位1，根据“甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量”列方程，整理后对应选项即可． 【详解】∵总工程量记为单位1，甲单独1个月完成总工程的， ∴两队共同工作的半个月中，甲完成的工程量为，乙完成的工程量为， ∵工程全部完成，总工程量为1， ∴可得方程 ， 移项整理得 ，与选项A一致． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路________. 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系并正确列出方程是关键，注意要检验；设原计划每小时修路x米，根据实际工作效率提高和提前8小时完成任务，列出关于时间的方程． 【详解】解：设原计划每小时修路x米，则实际每小时修路米． 原计划修路时间为小时，实际修路时间为小时． 由题意得：， 解得． 经检验是原分式方程的解且符合题意． 故原计划每小时修路50米． 故答案为：50． 1．（25-26八年级上·河南安阳·期末）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线6000m的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁30m，结果提前10天完成改迁任务．设原计划每天改迁管道m，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提前10天完成任务列方程． 本题考查根据实际问题列分式方程，关键是找到原计划和实际完成任务的天数差． 【详解】解：∵设原计划每天改迁管道 ∴实际每天改迁管道 ∵总管道长度为 ∴原计划完成任务的天数为，实际完成任务的天数为 ∵实际比原计划提前10天完成任务 ∴ 故选：C 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键． 设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套，根据题意，快车间单独生产比慢车间单独生产提前10天完成，因此慢车间生产天数减去快车间生产天数等于10天，据此列出方程． 【详解】解：设慢车间每天生产茶具套，则快车间每天生产茶具套， 慢车间单独生产所需天数为天，快车间单独生产所需天数为天， 由快车间单独生产可以提前10天完成，得方程：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍． (1)求甲、乙每小时各做多少个零件？ (2)经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？ 【答案】(1)甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件 (2)培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件 【分析】（1）设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍，列出方程进行求解即可； （2）设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲每小时做个零件，那么乙每小时做个零件，根据题意得        解得    检验：当时， 原分式方程的解为           答：甲每小时做30个零件，乙每小时做24个零件； （2）解：设培训之后甲每小时提升的个数为个，那么乙每小时提升的个数为个，根据题意得      解得      检验：当时， 原分式方程的解为       （个） （个） 答：培训之后，甲每小时做34个零件，乙每小时做30个零件． 【经典例题八 分式方程的工程问题】 【例1】（2025·河南商丘·模拟预测）某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，找到等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同， ． 【例2】（25-26八年级下·重庆·开学考试）某商店购进一批对联、小马挂件、日历册，这些物品刚好包装成80个相同规格的“马年春节福袋”出售（每个福袋售价为三种商品的单价之和），其中对联、小马挂件、日历册的进价之比为，对联、小马挂件、日历册的售价分别是进价的，每个福袋中对联、小马挂件、日历册的数量之比为，年前卖出一部分福袋，剩下的年后清仓售完．年后清仓时，三种商品的售价分别调整为其进价的．把剩下的福袋按照降价后的方式全部售完后，年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，则年前卖出福袋______盒，这批福袋的总利润率是______． 【答案】 48 【分析】先根据题意设对联、小马挂件、日历册进价分别为元，即可得出对联、小马挂件、日历册售价分别为元，再根据每个福袋的对联、小马挂件、日历册的数量之比为，可设出每个福袋对联、小马挂件、日历册的数量分别为个，得出每个福袋的进价为元，每个福袋的售价为元，每个福袋的利润为元，根据降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别是进价的，可得出降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别为，即可算出降价后每个福袋的利润为元，根据题意可设年前卖出m个，则年后卖出个，根据年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，即可得出，解出m的值，然后算出总利润为元，总进价为元，即可算出总利润率． 【详解】解：∵对联、小马挂件、日历册进价之比为， ∴可设对联、小马挂件、日历册进价分别为元， ∵对联、小马挂件、日历册售价分别比其进价的， ∴对联、小马挂件、日历册售价分别为元， ∵每个福袋的对联、小马挂件、日历册的数量之比为， ∴可设每个福袋对联、小马挂件、日历册的数量分别为个， 则每个福袋的进价（元），每个福袋的售价（元）， ∴每个福袋的利润（元）， ∵年前商店一共卖出福袋若干，剩下的福袋在年后全部售完， ∴可设年前卖出m个，则年后卖出个， ∵降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别是进价的， ∴降价后的对联、小马挂件、日历册售价分别为元， ∴降价后每个福袋的售价（元）， ∴降价后每个福袋的利润为（元）， ∵年前卖出的对联的总收入为（元）， 年后卖出的对联的总收入为（元）， 且年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为， ∴， 解得：， 经检验，是该方程的解， 80个福袋总进价为（元）， 总售价为 （元）， ∴总利润为（元）， ∴总利润率为：． 1．（24-25九年级上·广西南宁·月考）数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，解题的关键是准确找出等量关系． 设第一次分钱的人数为x人，根据两次分钱的钱数相等列出方程即可． 【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得， ， 故选：C． 2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 【答案】 优惠 少 【分析】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价，总价，数量之间的关系，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了x个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个， ∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且， ∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元， ∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 【经典例题九 分式方程和差倍分问题】 【例1】（2026·山西太原·一模）某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据设出的未知数表示出星际穿越票的单价，再分别求出两种票可购买的数量，最后根据数量关系列方程即可． 【详解】解：设火星漫步票的单价为元，则星际穿越票单价为元， ∵总费用为元， ∴可购买火星漫步票数量为张，可购买星际穿越票数量为张， ∵购买的星际穿越票比火星漫步票少张， ∴． 【例2】（2025·山西晋中·三模）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 【答案】168 【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列分式方程求解即可． 【详解】解：设改良前的平均亩产量为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， 所以改良前的平均亩产量为． 1．（24-25八年级上·广西南宁·期末）为了疫情防控需要，某医疗器械厂原计划生产24000箱抗原试剂，但在实际生产时，，求实际每天生产抗原试剂的箱数．在这个问题中，若设原计划每天生产抗原试剂箱，可得方程，则被污染看不清的  应是（    ） A．每天生产的抗原试剂是原计划的3倍，结果提前10天完成 B．每天生产的抗原试剂是原计划的3倍，结果延期10天完成 C．每天生产的抗原试剂是原计划的10倍，结果提前3天完成 D．每天生产的抗原试剂是原计划的10倍，结果延期3天完成 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据方程找到等量关系是解题的关键．依题意，设原计划每天生产抗原试剂箱，实际每天生产抗原试剂箱，根据方程的左右两边的关系可知原计划所用时间比实际的时间多10天，即可求解． 【详解】解：设原计划每天生产抗原试剂箱， 由方程可知，实际每天生产抗原试剂箱，结果提前10天完成． 故选：A． 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并找出等量关系是解题的关键． 设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据时间相等列出方程即可． 【详解】解：型机器人搬运千克所用时间为， 型机器人搬运千克所用时间为， 因为时间相等，所以， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）阅读并完成任务． 翠湖公园附近设有，两类摊位，已知每个类摊位的占地面积比每个类摊位多，且场地可布置的类摊位个数与场地可布置的类摊位个数相等．每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 相等关系：布置类摊位的个数等于布置类摊位的个数 解法二 相等关系：每个类摊位的面积减去每个类摊位的面积等于 任务： (1)解法一所设未知数为______．解法二所设未知数为______； A．每个类摊位的占地面积为； B．每个类摊位的占地面积为； C．可布置类摊位个或可布置类摊位个； (2)请选择一种解法求出每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 【答案】(1)B；C (2)每个类摊位的占地面积是，每个类摊位的占地面积是 【分析】本题考查了分式方程的实际应用的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据对题干的理解和分式方程的等量关系，进行分析，然后即可求解； （2）根据解分式方程的知识，进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：解法一，设每个类摊位的占地面积为， 即； 解法二：设可布置类摊位个，则可布置类摊位也为个， 即； 故答案为：B；C； （2）解：解法一，设每个类摊位的占地面积为， 即， 解得：， 检验，时，， ∴是分式方程的解， ∴； 即每个类摊位的占地面积为，每个类摊位的占地面积是； 【拓展训练一 分式方程的增根问题】 【例1】（2025八年级下·江苏南京·专题练习）若关于的分式方程有增根，则增根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，由分式方程有增根，得到最简公分母，进而可得答案． 【详解】解：方程的最简公分母为， 由分式方程有增根，得到， 即， 则增根是， 故选：． 【例2】（25-26八年级上·河北张家口·月考）已知是关于的方程，若方程有增根，方程的增根为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是使分式方程分母为零的根，据此解答即可求解，理解增根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程有增根， ∴或， 解得， ∴方程的增根为， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）解关于x的分式方程时会产生增根，则增根可能为（　　） A．0或3 B．3 C．0 D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据分式方程增根的定义得出x＝0或3，再检验是不是整式方程的根即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：或x＝0 解得x＝0或3， 去分母得：， 检验：当x＝0时，左边=0，右边=-6， ∴左边≠右边， 即x＝0不是整式方程的根， ∴x＝0不可能为增根； 当x＝3时，左边=，右边=， ∴左边有可能等于右边， ∴x＝3可能为增根； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题，熟练掌握当分母等于0时，分式方程产生增根，并注意检验是解题的关键． 2．（2025九年级·北京·专题练习）分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根． 【答案】 整式 分式 【分析】根据分式方程的增根与无解的概念解答即可得答案． 【详解】分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根． 故答案为：整式，分式 【点睛】本题考查根据分式方程的增根与无解的概念，理解相关概念是解题关键． 3．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根与无解问题，涉及分式方程的解法、整式方程的求解及分类讨论思想的应用．解题的关键是明确增根的定义（使公分母为 0 的整式方程的根，非原分式方程的根）和分式方程无解的两种情况（产生增根导致无解；整式方程本身无解导致分式方程无解）． （1）先确定公分母并化为整式方程，将增根代入整式方程，求解 m 的值； （2）先找出所有可能的增根（使公分母为 0 的 x 值），再分别将增根代入整式方程，求解对应的 m 值； （3）分两种情况讨论：一是整式方程产生增根导致分式方程无解，利用（2）的结果；二是整式方程化为一元一次方程时，x 的系数为 0 导致整式方程无解，进而分式方程无解，综合两种情况得 m 的值． 【详解】（1）解：去分母，得． 整理，得． 若增根为，则， 解得． （2）解：若原分式方程有增根，则， 所以或． 当时，，解得； 当时，， 解得， 所以若原分式方程有增根，则． （3）解：由（2）知，当时，原分式方程有增根，即无解； 去分母后的整式方程为． 当时，整式方程无解． 综上，若原分式方程无解，则或． 【拓展训练二 分式方程的新定义问题】 【例1】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）定义新运算“◎”：，如果，那么x的值为（    ） A．1或2 B．1或3 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程． 根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：∵ ， 当 时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； 当时，， 解得 ， 经检验，是方程的根，且符合题意； ∴ 的值为1或3． 故选：B 【例2】（2025八年级上·北京·专题练习）定义新运算“”：，如果，那么的值为____． 【答案】1或3 【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程．根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可． 【详解】解：由题意得：当时， ， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 当时，， 解得：， 检验，是原分式方程的解， 故答案为：1或3． 1．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（   ） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解法，理解运算方式是解题的关键． 根据运算方式分类讨论的值，列出分式方程运算即可． 【详解】解：当时，则，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，此情况不成立； 当时，则，， ∴， 解得：， 检验：把代入可得：， 故是原方程的解； 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）对于实数，，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键． 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 3．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 【拓展训练三 分式方程的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）数学的美无处不在．数学家研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：，则x的值是（   ） A．20 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据调和数的关系，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案．解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根． 【详解】解：一组调和数：、6、， ， 解得， 经检验：是原分式方程的解． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数15，x，3，则x的值是________． 【答案】5 【分析】本题考查了分式方程的应用． 根据调和数的定义，对于三个数15，x，3，其倒数应满足关系式，通过解此方程可求出x的值． 【详解】解：由调和数的定义，得， 移项，得， 即， 所以， 解得． 经检验，是方程的解． 故答案为：5． 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末）如图，把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值（单位：），满足，若R的电阻值是的电阻值是，则的电阻值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意代入数据，列出方程，解分式方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 即的电阻值是． 故选：C． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）一个密闭不透明的口袋中有质地均匀、大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入个红球（红球与白球除颜色不同外，其它都一样），将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球．估计这个口袋中白球的个数约为 _____个． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程在概率中的应用，根据频率估计出红球的概率，设袋子中白球有x个，根据题意得：，据此即可求解． 【详解】解：设袋子中白球有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 所以袋子中白球的个数约为个， 故答案为： 3．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）学校体育组制作实心球，有甲、乙两种材质可选．已知甲材质的密度比乙材质的密度大，质量为的甲材质实心球与质量为的乙材质实心球体积相同．求甲、乙两种材质的密度分别是多少？(已知 是密度，m是质量，V是体积)， 依依和洛洛给出了不同的方法： 依依： 解：设乙材质的密度是，则甲材质的密度是． 由题意得： 洛洛： 由题意得： (1)洛洛解法中的“y”表示的是__________________． (2)选择其中一种方法，解决问题． (3)若要制作一个质量为的实心球，采用甲、乙两种材质按体积比为混合制作，则需要甲材质 ______ ，乙种材质 ______ ． 【答案】(1)甲（或乙）材质实心球体积 (2)见解析 (3)720；1080 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）根据题意可得洛洛解法中的“y”表示的是甲（或乙）材质实心球体积； （2）根据分式方程的解法计算即可； （3）设需要甲材质，则乙种材质，根据题意得，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：洛洛解法中的“y”表示的是甲（或乙）材质实心球体积； 故答案为：甲（或乙）材质实心球体积 （2）解：依依： 解：设乙材质的密度是，则甲材质的密度是． 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：乙材质的密度是，则甲材质的密度是； 洛洛： 设甲（或乙）材质实心球体积为， 由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：乙材质的密度是，则甲材质的密度是； （3）解：设需要甲材质，则乙种材质， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 此时 答：需要甲材质，则乙种材质． 故答案为：720；1080 A基础训练 1．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 2．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 3．（25-26八年级上·北京·期末）已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A．2 B． C．不存在 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解，即x的值为不存在． 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东德州·月考）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】先解分式方程得到含的的表达式，再根据解为正数、分式方程分母不为0列不等式，求解得到的取值范围． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘，得 ， 整理得， 解得， 方程的解为正数， ，即，解得， 又分式方程有意义，分母不能为0， ，即，解得， 的取值范围是且． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键．设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 故选B． B 提高训练 6．（25-26八年级下·江苏泰州·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是________．（请填写序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查分式方程，判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，根据分式方程的概念：分母里含有字母的方程叫做分式方程一一判断，得出结果即可． 【详解】解：方程①②分母中不含未知数，故①②不是分式方程； 方程③④分母中含表示未知数的字母，故是分式方程； 故答案为： ③④． 7．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，先解分式方程，用表示，再根据为非负数和分母不为零求的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘（），得， 化简得， 移项得， 解得． 由，得，即； 由，得，即． 故的取值范围是且 故答案为：且． 8．（25-26八年级上·河南漯河·期末）小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是___________． 【答案】2 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．设△表示的数为a，则方程为，通过解分式方程，得到用a表示的x的值，由方程无解得到当时，，即，求解即可． 【详解】解：设△表示的数为a，则方程为， 两边同乘，得， 解得． ∵方程无解， ∴其增根， 故， ∴， ∴△处的数应是2． 故答案为：2． 9．（24-25八年级下·江西吉安·期末）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某县教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，根据题意可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是米/分，则：甲同学的速度为米/分，由题意，得： 故答案为：． 10．（24-25八年级下·重庆九龙坡·开学考试）某水果店进了一批苹果、橘子、车厘子，这些水果刚好包装成50个相同规格的水果礼盒出售（礼盒的售价即是三种水果的价格之和）．其中苹果、橘子、车厘子进价之比为；苹果、橘子、车厘子售价分别比其进价高；每个礼盒的苹果、橘子、车厘子的数量之比为．年前水果店一共卖出水果礼盒若干，剩下的礼盒在年后全部售完，由于存放较久，三种水果都降价．降价后的苹果、橘子、车厘子售价分别是进价的、、．把剩下的礼盒按照降价后的方式全部售完后，年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为；则这批水果最后的总利润率为______． 【答案】 【分析】设苹果、橘子、车厘子进价分别为，然后分别表示出降价前和降价后苹果、橘子、车厘子的售价，设每个礼盒中苹果，橘子，车厘子的数量分别为，年前销售礼盒z个，则年后销售礼盒个，根据年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为，列出比例式求出，然后分别表示出总成本，年前利润和年后利润即可得到答案． 【详解】解：设苹果、橘子、车厘子进价分别为，则降价前苹果、橘子、车厘子的售价分别为， ∴降价后，苹果、橘子、车厘子的售价分别为， 设每个礼盒中苹果，橘子，车厘子的数量分别为，年前销售礼盒z个，则年后销售礼盒个， ∵年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为； ∴， ∴， 解得， 经检验：是方程的解， ∴年前销售礼盒40个，年后销售礼盒10个， 这批水果的总成本为， 年前销售利润为 ， 年后销售利润为 ， ∴总利润率， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，正确设出未知数，根据已知条件求出年前和年后销售礼盒的数量是解题的关键． C 培优训练 11．（24-25八年级下·江苏南京·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】（1）解：是整式方程，不是关于的分式方程； （2）是关于的分式方程； （3）是整式方程，不是关于的分式方程； （4）是关于的分式方程 12．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入， ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解． 13．（25-26八年级上·湖南永州·月考）我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解答的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）先将方程转化为，再仿照题中求解方法解方程即可； （3）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”， ， ，； 故答案为：，； （2）解：为“十字分式方程”， ∴方程可化为， ， 或， ，． （3）解：“十字分式方程”即的两个解分别为，， ，， ． 14．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）某商店准备购进A，B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元，且用2000元购进A商品的数量和用1200元购进B商品的数量相同．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下方程： 甲： 乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义． x表示______， y表示______． (2)求出其中一个方程的解，并回答A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ 【答案】(1)每件A商品的进价，购进A和B商品的数量 (2)50元；30元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 对于（1），根据题意即可解答； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出解，并检验即可． 【详解】（1）解：甲方程是A商品的数量和B商品的数量相同，乙方程是每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元， 所以x表示每件A商品的进价，y表示购进A和B商品的数量； 故答案为：每件A商品的进价，购进A和B商品的数量； （2）解：甲： ， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：A，B两种商品每件的进价分别是50元和30元． 解：乙， 整理，得， 去分母，得， 解得，经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， ∴A，B两种商品每件的进价分别是50元和30元． 15．（24-25八年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】(1)七（2）班每天植树棵数；七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数） (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出； （2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）七（2）班每天植树棵数； 七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数）． （2）选欣欣的方程，所用等量关系：七（1）班植树150棵所用时间七（2）班植树120棵所用时间． 选兰兰的方程，所用等量关系：七（1）班每天植树的棵数-七（2）班每天植树的棵数＝10（棵）．（选择一个即可） （3）选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 分式方程重难点题型专训 （3个知识点+9大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 分式方程的定义 题型二 解分式方程（化为一元一次） 题型三 根据分式方程解的情况求值 题型四 分式方程无解问题 题型五 列分式方程 题型六 分式方程的行程问题 题型七 分式方程的工程问题 题型八 分式方程的经济问题 题型九 分式方程和差倍分问题 拓展训练一 分式方程的增根问题 拓展训练二 分式方程的新定义问题 拓展训练三 分式方程的综合应用 知识点一：分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）请写出一个只含有未知数且根是的分式方程__________． 知识点二：分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： 1）找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； 2）去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 【易错点】方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 3）解这个整式方程，求出整式方程的解； 4）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【注意事项】 1）去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项. 2）分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3）分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0的根，它不是原分式方程的根． 4）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 5）分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解. 【即时训练】 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）在分式方程的解法中，去分母后得到的整式方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏无锡·一模）方程的解是：___． 知识点三：用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解. 2）检验所求的解是否符合实际意义. 答：实际问题的答案. 【即时训练】 1．（2025八年级下·江苏扬州·专题练习）已知一艘轮船顺水航行50km和逆水航行30km共用的时间，正好等于轮船在静水中航行80km所用的时间，并且水流的速度是3km/h．求顺水航行的速度． 2．（2025·江苏徐州·模拟预测）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜10元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样，求甲乙两种类型笔记本的单价． 【经典例题一 分式方程的定义】 【例1】（24-25八年级上·天津和平·期末）岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【例2】 （25-26八年级下·江苏南京·课后作业）请你利用代数式，，组成一个分式方程：______． 1．（2025·四川南充·二模）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 2．（24-25八年级下·上海·假期作业）已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 3．（24-25八年级下·四川内江·期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 【经典例题二 解分式方程（化为一元一次）】 【例1】（25-26八年级下·四川南充·月考）分式方程的解为（    ） A． B． C．， D．无解 【例2】（25-26八年级下·浙江金华·开学考试）分式方程的解为_______． 1．（24-25八年级下·海南海口·开学考试）分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）若分式方程的解是，则的值为__________． 3．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以________，得． 解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填________，解题过程缺少的关键步骤是________； (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了关键的一步，还存在错误，请帮他写出正确的解答过程． 【经典例题三 根据分式方程解的情况求值】 【例1】（25-26八年级下·河南周口·月考）若分式方程有增根，则m的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（2026·福建泉州·一模）已知关于x的分式方程有增根，则m的值________． 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 3．（25-26八年级上·广东广州·期末）【阅读材料】对于两个不等的非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．例如：方程的解为，． (1)【理解应用】方程的解为______，______． (2)【知识迁移】若方程的解为，，求的值； (3)【拓展提升】若关于的方程的解为，，求的值． 【经典例题四 分式方程无解问题】 【例1】（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）若分式方程无解，则a的值是（   ） A．2或3 B．2 C．1或3 D．1或2 【例2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）已知关于的方程无解，则的值为________． 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（25-26八年级上·湖北·期末）以下结论：①若，，则的值为；②若是一个完全平方式，则k的值为9；③若，则；④若关于x的方程无解，则m的值为4或0．其中正确的结论是_____（填写序号）． 3．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知分式方程，由于印刷问题，数“▲”看不清楚． (1)若“▲”表示的数为，求分式方程的解； (2)若原分式方程无解，试求出原分式方程中“▲”表示的数． 【经典例题五 列分式方程】 【例1】（2025·甘肃甘南·模拟预测）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列分式方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·北京·期末）一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器的一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程用时，设小水管注水速度为．那么可列出关于的分式方程为_____． 1．（25-26八年级下·江苏南京·期末）从温州轨道交通线惠民路站到动车南站，线车程约千米，自驾车车程约千米．小钱乘坐线比自驾车平均速度提高了，时间缩短了小时．设小钱自驾车平均速度为每小时千米，则下列方程正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）在中国古代建筑中，常通过榫（sǔn）构件和卯（mǎo）构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作1个榫构件需要的圆木为,根据题意可列方程_____________． 3．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）周末骑自行车去郊游成了新的时尚．某骑行社团欲团购一批自行车，已知每辆A型自行车的价格是每辆B型自行车价格的1.2倍，用6000元单独购买A型自行车的辆数比单独购买B型自行车的辆数少1辆．求每辆B型自行车的价格． 甲同学所列的方程为；乙同学所列的方程为． (1)甲同学所列方程中的x表示________，乙同学所列方程中的y表示________． (2)请你选择其中一位同学的方法完整地解答这个问题． 【经典例题六 分式方程的行程问题】 【例1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）学生骑共享单车上学已成为一种时尚．小明家距学校3千米，若骑共享单车上学可比他步行上学少用分钟，已知他骑车的速度是他步行速度的倍，设小明步行的速度为每小时x千米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【例2】 （25-26八年级下·江苏南京·课后作业）某校组织学生步行到科技展览馆参观，学校与展览馆相距6km，返回时由于步行速度比去时慢，结果时间比去时多用了半小时，那么学生返回时步行速度是________km/h． 1．（25-26八年级上·江苏南通·期末）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．提速后比提速前多行驶 B．提速后比提速前少行驶 C．提速后比提速前多行驶 D．提速后比提速前少行驶 2．（25-26八年级上·四川南充·期末）春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________ 3．（25-26八年级下·云南昆明·月考）自从上次龟兔赛跑乌龟大胜兔子以后，它就成了动物界的体育明星，可是偏偏有一只蚂蚁不服气，于是它给乌龟下了一封挑战书．比赛结束后，蚂蚁并没有取胜，已知乌龟的速度是蚂蚁的倍，它比蚂蚁提前半分钟跑到终点，请你求出它们各自的速度． 挑战书 乌龟先生： 我与你进行比赛，兔子先生做裁判，从小柳树开始跑到相距米的大柳树下，比赛枪声响后，先到达终点的是冠军． 蚂蚁 【经典例题七 分式方程的工程问题】 【例1】（25-26八年级上·山东滨州·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．设乙队单独施工一个月能完成总工程的，根据题意，可列方程（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·江苏南京·期末）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长为的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，施工队实际工作效率比原计划提高了，结果提前完成任务，则原计划每小时修路________. 1．（25-26八年级上·河南安阳·期末）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线6000m的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁30m，结果提前10天完成改迁任务．设原计划每天改迁管道m，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）“茶”，是承载着文人雅趣的中国传统文化．某茶具厂需生产5400套茶具，原计划由慢车间单独生产，改进技术后增加了快车间，快车间每天生产的茶具数量是慢车间的1.5倍，由快车间单独生产可以提前10天完成．设慢车间每天生产茶具套，则可列方程为______． 3．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）甲、乙二人分别用某种模具做一款机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间是乙做60个所用时间的1.2倍． (1)求甲、乙每小时各做多少个零件？ (2)经过培训之后，甲、乙二人每小时做的机器零件个数都有所提升．乙每小时提升的个数是甲每小时提升个数的1.5倍，甲做68个零件与乙做60个零件所用时间相同，求培训之后甲、乙每小时分别做多少个零件？                         【经典例题八 分式方程的工程问题】 【例1】（2025·河南商丘·模拟预测）某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·重庆·开学考试）某商店购进一批对联、小马挂件、日历册，这些物品刚好包装成80个相同规格的“马年春节福袋”出售（每个福袋售价为三种商品的单价之和），其中对联、小马挂件、日历册的进价之比为，对联、小马挂件、日历册的售价分别是进价的，每个福袋中对联、小马挂件、日历册的数量之比为，年前卖出一部分福袋，剩下的年后清仓售完．年后清仓时，三种商品的售价分别调整为其进价的．把剩下的福袋按照降价后的方式全部售完后，年前卖出的对联的总收入与年后清仓卖出的对联的总收入之比为，则年前卖出福袋______盒，这批福袋的总利润率是______． 1．（24-25九年级上·广西南宁·月考）数学家斐波那契编写的《算盘书》中有如下分钱问题：第一次由一组人平分10元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 【经典例题九 分式方程和差倍分问题】 【例1】（2026·山西太原·一模）某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山西晋中·三模）山西省宁武县被中国粮食行业协会命名为“中国高原莜麦之乡”，莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______ 1．（24-25八年级上·广西南宁·期末）为了疫情防控需要，某医疗器械厂原计划生产24000箱抗原试剂，但在实际生产时，，求实际每天生产抗原试剂的箱数．在这个问题中，若设原计划每天生产抗原试剂箱，可得方程，则被污染看不清的  应是（    ） A．每天生产的抗原试剂是原计划的3倍，结果提前10天完成 B．每天生产的抗原试剂是原计划的3倍，结果延期10天完成 C．每天生产的抗原试剂是原计划的10倍，结果提前3天完成 D．每天生产的抗原试剂是原计划的10倍，结果延期3天完成 2．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末），两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是________． 3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）阅读并完成任务． 翠湖公园附近设有，两类摊位，已知每个类摊位的占地面积比每个类摊位多，且场地可布置的类摊位个数与场地可布置的类摊位个数相等．每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 相等关系：布置类摊位的个数等于布置类摊位的个数 解法二 相等关系：每个类摊位的面积减去每个类摊位的面积等于 任务： (1)解法一所设未知数为______．解法二所设未知数为______； A．每个类摊位的占地面积为； B．每个类摊位的占地面积为； C．可布置类摊位个或可布置类摊位个； (2)请选择一种解法求出每个类摊位和每个类摊位的占地面积各是多少？ 【拓展训练一 分式方程的增根问题】 【例1】（2025八年级下·江苏南京·专题练习）若关于的分式方程有增根，则增根是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河北张家口·月考）已知是关于的方程，若方程有增根，方程的增根为______． 1．（24-25八年级下·陕西西安·月考）解关于x的分式方程时会产生增根，则增根可能为（　　） A．0或3 B．3 C．0 D．以上都不对 2．（2025九年级·北京·专题练习）分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的________方程的根，也是使________方程的分母为0的根． 3．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）阅读材料，解决下列问题：增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，如果分式方程去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，该根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根．已知关于x的分式方程． (1)若方程的增根为，求m的值； (2)若方程有增根，求m的值； (3)若方程无解，求m的值． 【拓展训练二 分式方程的新定义问题】 【例1】（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）定义新运算“◎”：，如果，那么x的值为（    ） A．1或2 B．1或3 C．2 D．3 【例2】（2025八年级上·北京·专题练习）定义新运算“”：，如果，那么的值为____． 1．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）当时，定义一种新运算：例：．若，求的值．小明的答案是，小亮的答案是．下列判断正确的是（   ） A．只有小明的答案正确 B．只有小亮的答案正确 C．小明和小亮的答案合在一起才正确 D．小明和小亮的答案都不正确 2．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）对于实数，，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为_____． 3．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【拓展训练三 分式方程的综合应用】 【例1】（24-25八年级下·福建泉州·期中）数学的美无处不在．数学家研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：，则x的值是（   ） A．20 B．12 C．10 D．8 【例2】（25-26八年级上·湖南娄底·期末）数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数15，x，3，则x的值是________． 1．（24-25八年级上·广西桂林·期末）如图，把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻值（单位：），满足，若R的电阻值是的电阻值是，则的电阻值是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）一个密闭不透明的口袋中有质地均匀、大小相同的白球若干个，在不允许将球倒出来的情况下，为估计白球的个数，小华往口袋中放入个红球（红球与白球除颜色不同外，其它都一样），将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到红球．估计这个口袋中白球的个数约为 _____个． 3．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）学校体育组制作实心球，有甲、乙两种材质可选．已知甲材质的密度比乙材质的密度大，质量为的甲材质实心球与质量为的乙材质实心球体积相同．求甲、乙两种材质的密度分别是多少？(已知 是密度，m是质量，V是体积)， 依依和洛洛给出了不同的方法： 依依： 解：设乙材质的密度是，则甲材质的密度是． 由题意得： 洛洛： 由题意得： (1)洛洛解法中的“y”表示的是__________________． (2)选择其中一种方法，解决问题． (3)若要制作一个质量为的实心球，采用甲、乙两种材质按体积比为混合制作，则需要甲材质 ______ ，乙种材质 ______ ． A基础训练 1．（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 3．（25-26八年级上·北京·期末）已知关于x的分式方程，则x的值为（　　） A．2 B． C．不存在 D．0 4．（25-26八年级上·山东德州·月考）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A． B．且 C．且 D． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 B 提高训练 6．（25-26八年级下·江苏泰州·课后作业）下列方程：①；②；③；④，是分式方程的是________．（请填写序号） 7．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 8．（25-26八年级上·河南漯河·期末）小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是___________． 9．（24-25八年级下·江西吉安·期末）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某县教育体育局向全县中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，根据题意可列方程为__________． 10．（24-25八年级下·重庆九龙坡·开学考试）某水果店进了一批苹果、橘子、车厘子，这些水果刚好包装成50个相同规格的水果礼盒出售（礼盒的售价即是三种水果的价格之和）．其中苹果、橘子、车厘子进价之比为；苹果、橘子、车厘子售价分别比其进价高；每个礼盒的苹果、橘子、车厘子的数量之比为．年前水果店一共卖出水果礼盒若干，剩下的礼盒在年后全部售完，由于存放较久，三种水果都降价．降价后的苹果、橘子、车厘子售价分别是进价的、、．把剩下的礼盒按照降价后的方式全部售完后，年前礼盒装销售的苹果的收入与年后降价后礼盒装销售的苹果收入之比为；则这批水果最后的总利润率为______． C 培优训练 11．（24-25八年级下·江苏南京·课堂例题）判断下列方程是不是关于的分式方程（经审题可知，下列各方程的未知数均是字母）． (1)； (2)； (3)（是常数．）； (4)． 12．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1) (2) 13．（25-26八年级上·湖南永州·月考）我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 14．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）某商店准备购进A，B两种商品，每件A商品的进价比每件B商品的进价多20元，且用2000元购进A商品的数量和用1200元购进B商品的数量相同．根据题意，甲、乙两名同学分别列出了如下方程： 甲： 乙： (1)根据甲、乙两名同学所列的方程，请你分别指出未知数x，y表示的意义． x表示______， y表示______． (2)求出其中一个方程的解，并回答A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ 15．（24-25八年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 学科网（北京）股份有限公司 $