专题01 二次根式的概念重难点题型专训（3个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

专题01二次根式的概念重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式中的参数 题型五 利用二次根式的性质化简 拓展训练一 二次根式非负性综合问题 拓展训练二 二次根式的含隐条件问题 知识点一：二次根式的相关概念 1、二次根式的概念：形如(a≥0) 的式子叫做二次根式． 2、最简二次根式和同类二次根式的概念 最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 3、二次根式的主要性质 （1）；（2）； （3）； （4）积的算术平方根的性质：； （5）商的算术平方根的性质：. 【即时训练】 1．（2025·四川巴中·一模）的相反数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的相反数为 2．（25-26八年级上·江西九江·月考）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式．直接利用二次根式的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、当时，原式无意义，故该选项不符合题意； B、当时，原式无意义，故该选项不符合题意； C、，原式无意义，故该选项不符合题意； D、一定是二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 知识点二：二次根式有意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖北随州·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】代数式有意义， ， ， 2．（2026·广东中山·一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可. 【详解】解：代数式有意义， 被开方数满足 ， 移项得 ， 系数化为得 ． 知识点三：二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）对于式子，计算结果正确的是（    ） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【详解】解：． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）填空：_____；_____． 【答案】 7 2 【分析】利用二次根式的基本性质进行计算即可．即二次根式的性质；二次根式的性质． 【详解】解：（1）； （2） ． 【经典例题一 二次根式的识别】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式． 根据二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】A． 当时，即是二次根式； B． ，，即是二次根式； C． ，即是二次根式； D． 当时，即不一定是二次根式； 故选：D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 【答案】错 【分析】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：根据二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式．中被开方数为，满足，且含有根号，因此是二次根式，不能因为其运算结果为整数而否定其二次根式的本质． 故小红的说法是错误的． 故答案为：错． 1．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，一般地，形如的式子叫做二次根式，据此求解即可． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式． ②：被开方数，无意义，不是二次根式． ③：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． ④：被开方数为，当，即时才有意义．但题目未限定的范围，无法保证被开方数非负，故不是二次根式． ⑤：无论取何值，，被开方数恒正，是二次根式． ⑥：分母，被开方数恒正，是二次根式． 综上，符合条件的有①⑤⑥，共3个， 故选B． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）解答下列各题： (1)下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． (2)当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． (3)当满足 时，在实数范围内有意义． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式“被开方数非负”的定义，逐一判断选项； （2）根据二次根式有意义的条件，列不等式求解； （3）根据分式有意义（分母不为0）和二次根式有意义（被开方数非负）的条件，列不等式求解． 【详解】（1）解：，则是二次根式； 是二次根式； ，则不是二次根式； ，则是二次根式． 故选． （2）解：在实数范围内有意义， ，即． （3）解：在实数范围内有意义， 则，， 即， 解得． 【经典例题二 求二次根式的值】 【例1】（24-252八年级下·云南昆明·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可； 【详解】A.，无意义，故A错误； B.是二次根式，故B正确； C.是三次根式，故C错误； D.没有说明a的取值范围，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键． 【例2】（2025·广东潮州·一模）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 【答案】 【分析】根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是， ， ， 则所表示的数是， 故答案为． 【点睛】此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为________． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 3．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)B (2)86 (3)17 【分析】（1）根据转化思想解答即可； （2）仿照材料中的例题解答过程解答即可； （3）仿照材料中的例题解答过程解答即可． 【详解】（1）解：材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想； （2）解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ； （3）解：我们从这个式子的结构出发，构造（）的对偶式． ． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·陕西安康·月考）已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 【例2】（25-26八年级上·四川内江·期中）已知实数满足，那么的值为_____． 【答案】2025 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，实数的运算，根据二次根式有意义的条件求得m的取值范围，再根据绝对值的性质进行化简并整理，最后两边同时平方后即可求得答案． 【详解】解：∵实数m满足， ∴， ∴， ∴， 原式化为, 整理得：， 两边同时平方得：， 则， 故答案为：2025． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）使式子在实数范围内有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，根据二次根式有意义的条件即可求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：B． 2．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若，则的值是________． 【答案】9 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，由二次根式有意义的条件得出，从而得出，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， 当时，， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)x取一切实数 (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式被开方数为非负数以及平方的非负性求解； （2）根据二次根式被开方数为非负数求解； （3）根据二次根式被开方数为非负数以及分式分母不为零求解； 【详解】（1）解：依题意有，因为，故x取一切实数； （2）解：依题意得，解这个不等式，得； （3）解：依题意得且，解这个不等式，得． 【经典例题四 求二次根式中的参数】 【例1】（2025八年级·全国·模拟预测）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 【例2】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 1．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 2．（2025·河南洛阳·二模）代数式的值为0时，的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的值为零的条件，掌握二次根式的值为0的条件为被开方数为0成为解题的关键． 根据二次根式的值为0的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵代数式的值为0， ∴，解得：． ∴的值为3． 故答案为：3． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级下·陕西安康·月考）若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，再代入等式求出的值，最后根据二次根式的性质计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵二次根式有意义要求被开方数为非负数， ∴，解得， 把代入原等式，得， 解得， 根据二次根式的性质，当时，， ∵， ∴． 【例2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）化简：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式化简，将平方根内的数字和变量分别化简，数字部分分解质因数后提取平方因子，变量部分根据指数奇偶性提取偶数次方． 【详解】解：． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）下列命题中，真命题的是（   ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】D 【分析】判断每个命题的真假：①由等式得，与结论矛盾；②由对称点坐标求和，计算；③极差为时可能为或；④计算化简后等式成立. 【详解】∵命题①：==，∴，即，与结论矛盾，故为假命题； ∵命题②：点与关于原点对称，∴且，解得，，∴，故为假命题； ∵命题③：数据2，4，x，的极差为7，最小值可能为或，最大值可能为或. 若为最大值，则，；若为最小值，则，；其他情况极差不为7，∴或，故为真命题； ∵命题④：，与右边相等，故为真命题； ∴真命题为③④． 故选D. 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知的结果为3，那么的取值范围为______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质． 将原式化为绝对值方程 ，分段讨论求解． 【详解】解：原式可化为 当时，， 解得 ， 但 不在的范围，无解； 当时，，恒成立； 当时，， 解得 ，符合条件； 综上所述，． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【详解】（1）解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． （2）解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． （3）解：． 【拓展训练一 利用二次根式的性质化简】 【例1】 （24-25八年级下·湖北武汉·月考）若a、b、c满足，，，，，则下列说法中：（1）中两负一正，（2），（3），（4），（5）．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据已知式子结合二次根式和绝对值的性质得到，，，，进而判断出，，，再分别判断． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴，，异号， ∴， ∴， ∴中两正一负，故（1）错误， ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确， ∵， ∴，又， ∴，故（3）正确， ∵，， ∴，即，故（4）正确， ∵，， ∴，故（5）错误， ∴错误的有2个， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，化简绝对值，有理数的运算，能根据运算法则判断出相应字母的符号以及绝对值的大小是解题的关键． 【例2】（24-25八年级下·全国·寒假作业）二次根式的性质 （1） 的双重非负性：即①______ ；②______ ； （2）______ （3）______ 【答案】 a（a≥0） 【详解】解：（1）的双重非负性：即①；②； （2）； （3）； 故答案为：；；；； 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是熟记二次根式的性质进行判断． 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 2．（24-252八年级下·湖北孝感·月考）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_________． 【答案】3 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴n的最小正整数值是：3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与定义，正确化简二次根式是解题关键． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)9901 【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，根据题意，利用的双重非负性灵活运用是解决问题的关键． （1）利用二次根式非负性，，，当时，只有才能满足题意，解出代入代数式即可得到答案； （2）由二次根式有意义的条件得到，从而确定，将代入代数式即可得到答案； （3）由二次根式有意义的条件得到，从而可化为，即，两边同时平方即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：中；中； ，则，即， 当时，；当时，； （3）解：中， ， 可化为，即， 将两边同时平方可得，则． 【拓展训练二 二次根式的含隐条件问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）设用含a，b的式子表示，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是将进行化简，再用、表示． 先把化简为含有和的形式，再将代入． 【详解】解： 又因为 所以， 所以， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律：______． ；；； 【答案】（，且为整数）． 【分析】本题考查了算术平方根，数字的变化规律，掌握算术平方根的定义是关键． 根据算术平方根的定义和数字的变化规律进行计算． 【详解】解：根据题意可知，， ， ， ∴． 故答案为：（，且为整数）． 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）若，用含的式子表示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质进而化简用含有的式子表示即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简，正确化简是解题的关键． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·月考）数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律，______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 根据题目中给出的式子可以发现，根号内的第二个分数的分母是第一个分数的分母的平方，结果的分母和等号左边根号内的第一个分数的分母相同，而分子是比分母小1的算术平方根，从而可以写出一个符合要求的等式，再证明即可． 【详解】∵n是正整数， ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级下·全国·周测）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题 解法 已知，，试用含，的式子表示 利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． 【答案】 【分析】模仿题目给出的示例，先将化为，然后将分子利用已知条件，进行代换，化简即可． 【详解】解： = =． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．解题关键是将目标根式拆成已知根式与的乘积，再整理成用、表示的形式． A基础训练 1．（2026·重庆·一模）下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式． ∵选项A中的根指数为3，是三次根式， ∴A不符合要求． ∵选项B中的被开方数，式子无意义， ∴B不符合要求． ∵选项C中的被开方数可能小于0，此时式子无意义， ∴不是一定为二次根式，C不符合要求． ∵对任意实数，都有， ∴，根指数为2，满足二次根式的定义，一定是二次根式， ∴D符合要求． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合正整数与最简二次根式的性质即可求出m的值． 【详解】∵是一个整数,且m是正整数，, ∴m的最小值为3，此时的值是整数3. 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）二次根式中x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0， ∴， 解得． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】A 【分析】将x取值代入二次根式求值即可． 【详解】解：当x＝1时，原式＝， 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的计算，注意算术平方根开出来是正数，这一点是本题关键． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（  ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用分类讨论思想，根据题目条件逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：由题意得，，则化为 ① 当时： 又， ∴， 若，不满足，故，即，①正确； ② 当时： ∴ ∴ ∵， ∴所有符合条件的整式为：，，， 求和得，故②错误； ③ 当时： ， ， ∵， 分类列举得： 当，符合条件的有共3个； 当，符合条件的有共4个； 当，符合条件的有共2个； 当，无符合条件的；总共有个，不是10个，故③错误； ④ 计算所有满足条件的整式个数：有1个，有4个，有9个；时， ，无符合条件的整式；总共有个，不是17个，故④错误， 综上，只有1个结论正确． B 提高训练 6．（25-26八年级下·浙江台州·月考）当时，则二次根式_____． 【答案】1 【分析】将代入二次根式，计算后即可得到结果． 【详解】解：依题意，把代入，得． 7．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）若是整数，则的值可以是________．（写一个即可） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，若是整数，则被开方数为非负的完全平方数，由此可得到满足条件的的值． 【详解】解：要使为整数，需为非负的完全平方数. 取， 则， 经检验，，是整数，符合题意． 8．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）已知是整数，则正整数n的最大值为____． 【答案】18 【分析】根据二次根式有意义的条件可得被开方数非负，结合是正整数，可知为正的完全平方数，要得到正整数的最大值，只需要让取最小的正完全平方数即可求解． 【详解】解：∵是整数， ∴，是整数， 解得， ∴是完全平方数， 要使正整数的值最大，需使取最小的完全平方数，即， 解得． 9．（24-25八年级下·广西梧州·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式组求解． 【详解】根据题意得：， 解得． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的概念和性质，以及解一元一次不等式组． 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）当a为________时，＋1的值最小，为________； （2）当a为________时，的值最大，为________． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 C 培优训练 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． （2）根据题意将代入二次根式之中，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：当 时， ； （2）解： 当 时， ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b为实数，，且，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，结合已知可得的值，从而可得的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ． ∴的值为． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据算术平方根把公式变形即可； （）把，代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：当，时， ∴． 14．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 15．（25-26八年级下·四川自贡·月考）【观察思考】 第1个等式：；        第2个等式：； 第3个等式：；        第4个等式： ； (1)直接写出第个等式： ； (2)如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． (3)证明（2）中的运算规律． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)见解析 【分析】（1）根据题目中所给的三个等式，结合规律即可写出答案； （2）找到等式的规律，写出第个等式； （3）先将根据完全平方公式和二次根式的性质将等式左边化简，即可证明等式成立． 【详解】（1）解：观察可知，第个等式：； （2）解：观察等式的规律：第个等式为：（为正整数）； （3）证明：等式左边 ， 为正整数， ， 等式左边等式右边． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二次根式的概念重难点题型专训 （3个知识点+5大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二次根式的识别 题型二 求二次根式的值 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 求二次根式中的参数 题型五 利用二次根式的性质化简 拓展训练一 二次根式非负性综合问题 拓展训练二 二次根式的含隐条件问题 知识点一：二次根式的相关概念 1、二次根式的概念：形如(a≥0) 的式子叫做二次根式． 2、最简二次根式和同类二次根式的概念 最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 3、二次根式的主要性质 （1）；（2）； （3）； （4）积的算术平方根的性质：； （5）商的算术平方根的性质：. 【即时训练】 1．（2025·四川巴中·一模）的相反数为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江西九江·月考）下列式子一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 知识点二：二次根式有意义的条件 （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【即时训练】 1．（25-26八年级下·湖北随州·期中）若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东中山·一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 知识点三：二次根式的性质 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【即时训练】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）对于式子，计算结果正确的是（    ） A．5 B． C．25 D． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）填空：_____；_____． 【经典例题一 二次根式的识别】 【例1】（25-26八年级上·陕西西安·月考）下列各式中，不一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级下·全国·课后作业）小红说：“因为，所以不是二次根式．”小红的说法是__________的（填“对”或“错”）． 1．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列各式中，是二次根式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）请任意写一个二次根式：________． 3．（24-25八年级上·黑龙江大庆·月考）解答下列各题： (1)下列各式不是二次根式的是（    ） A．    B．    C．     D． (2)当满足 时，二次根式在实数范围内有意义． (3)当满足 时，在实数范围内有意义． 【经典例题二 求二次根式的值】 【例1】（24-252八年级下·云南昆明·期末）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·广东潮州·一模）将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________ 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知，均为实数，，则的值为________． 3．（2026·山西太原·一模）阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如和的和差对偶形式．具体探究如下： 探究：例题：已知，求的值． 解：我们从这个式子的结构出发，构造（为实数）的对偶式． ． 应用：…… 任务： (1)材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是___________． A．分类讨论思想    B．转化思想    C．数形结合思想 (2)已知，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求的值． (3)已知，求的值． 【经典例题三 二次根式有意义的条件】 【例1】（25-26八年级下·陕西安康·月考）已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【例2】（25-26八年级上·四川内江·期中）已知实数满足，那么的值为_____． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）使式子在实数范围内有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26八年级上·四川资阳·期中）若，则的值是________． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2)； (3)． 【经典例题四 求二次根式中的参数】 【例1】（2025八年级·全国·模拟预测）已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【例2】（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）已知是整数，则正整数n的最小值为______． 1．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南洛阳·二模）代数式的值为0时，的值为____________． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【经典例题五 利用二次根式的性质化简】 【例1】（25-26八年级下·陕西安康·月考）若，则代数式的值为（    ） A．2 B． C．0 D．1 【例2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）化简：___________． 1．（25-26八年级上·四川达州·期末）下列命题中，真命题的是（   ） ①若，则；②已知点和点关于原点对称，则的值为14；③若一组数据，极差为，则x的值是或．④． A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知的结果为3，那么的取值范围为______________． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： (1)___________． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． (3)利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【拓展训练一 利用二次根式的性质化简】 【例1】 （24-25八年级下·湖北武汉·月考）若a、b、c满足，，，，，则下列说法中：（1）中两负一正，（2），（3），（4），（5）．错误的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25八年级下·全国·寒假作业）二次根式的性质 （1） 的双重非负性：即①______ ；②______ ； （2）______ （3）______ 1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-252八年级下·湖北孝感·月考）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_________． 3．（24-25八年级下·山东济宁·期末）二次根式的双重非负性是指被开方数，其化简的结果，利用的双重非负性解决以下问题： (1)已知，则的值为_______； (2)若为实数，且，求的值； (3)若实数满足，求的值． 【拓展训练二 二次根式的含隐条件问题】 【例1】（24-25八年级下·全国·单元测试）设用含a，b的式子表示，则下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·广西南宁·期末）观察下列等式，如果为大于的正整数，请用含的等式表示这个运算规律：______． ；；； 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）若，用含的式子表示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃张掖·月考）数学课上，同学们探究二次根式的运算规律的过程如下，请补充完整：特例l：；特例2：；特例3：；观察、归纳，得出猜想：如果n为正整数，请用含n的式子表示这个运算规律，______． 3．（25-26八年级下·全国·周测）小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样的一道题及它的解法： 问题 解法 已知，，试用含，的式子表示 利用上述解法解答问题：已知，，试用含，的式子表示． A基础训练 1．（2026·重庆·一模）下列式子中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）若是一个整数，则正整数m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）二次根式中x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知二次根式，当x＝1时，此二次根式的值为（　　） A．2 B．±2 C．4 D．±4 5．（25-26八年级下·重庆·期中）已知整式，其中n为正整数，，，，…，均为整数，且满足，且，且满足，下列结论中正确的个数是（  ） ①若，则； ②若，则满足条件的整式M之和为； ③若，则满足条件的整式M有10个； ④所有满足条件的整式M共有17个； A．0 B．1 C．2 D．3 B 提高训练 6．（25-26八年级下·浙江台州·月考）当时，则二次根式_____． 7．（25-26八年级下·河南三门峡·期中）若是整数，则的值可以是________．（写一个即可） 8．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）已知是整数，则正整数n的最大值为____． 9．（24-25八年级下·广西梧州·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）当a为________时，＋1的值最小，为________； （2）当a为________时，的值最大，为________． C 培优训练 11．（24-25八年级上·全国·单元测试）当 时，求下列二次根式的值． (1)． (2)． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b为实数，，且，求的值． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间与下落的高度满足关系式． (1)用含，的式子表示； (2)当，时，求的值． 14．（24-25八年级下·福建福州·期中）阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 15．（25-26八年级下·四川自贡·月考）【观察思考】 第1个等式：；        第2个等式：； 第3个等式：；        第4个等式： ； (1)直接写出第个等式： ； (2)如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ． (3)证明（2）中的运算规律． 学科网（北京）股份有限公司 $