第十一章 二次根式重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

**基本信息** 二次根式单元重难点压轴卷，覆盖全章知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合分类讨论等数学思想与实际问题建模，适配单元复习检测，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|二次根式定义、估值、同类二次根式|结合分类讨论思想（第5题）、规律探究（第6题）| |填空题|8/16|性质化简、同类二次根式、分母有理化|设置辨析题（第13题）、规律计算题（第15题）| |解答题|11/68|混合运算、代数式求值、实际应用|突出数学建模（第27题园艺问题）、阅读探究（第24题化简方法）|

第十一章 二次根式重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·辽宁铁岭·月考）下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2；被开方数为非负数，结合定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的根指数为，不符合二次根式根指数为的要求，故A不是二次根式； 选项B中，当时被开方数为负数，式子无意义，故B不一定是二次根式； 选项C中对任意实数，都有， ，满足二次根式定义，故C一定是二次根式； 选项D中，当时，被开方数为负数，式子无意义，故D不一定是二次根式． 2．（2025·重庆·模拟预测）估计的值在（   ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 【答案】D 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再通过比较被开方数和相邻完全平方数的大小，估算原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，，且， ∴，即， ∴原式的值在与之间． 3．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键． 根据给定条件 ，可确定绝对值符号内的正负，从而化简表达式． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ 原式， 故选：A． 4．（25-26八年级下·陕西安康·月考）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则m，n的值分别为（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】因为给定的根式是二次根式，所以它们的根指数必须为2；又因为它们是可以合并的最简二次根式，所以它们的被开方数相等，据此列方程组求解即可． 【详解】解：∵两个根式均为最简二次根式，且可以合并， ∴根指数都为2，且被开方数相等， ∴ 解第二个方程，移项合并同类项，得， 即， 把代入， 得． 5．（24-25八年级下·山西大同·月考）我们这样探究二次根式的结果：当时，如，则，此时的结果是本身；当时，，此时的结果是零；当时，如，则，此时的结果是的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（    ） A．分类讨论 B．数形结合 C．整体 D．转化 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键； 根据题意可知，探究过程是分三种情况讨论的，因此可知体现了数学思想是：分类讨论； 【详解】解：根据题意可知，探究过程是分三种情况讨论的，因此可知体现了数学思想是：分类讨论； 故选：A 6．（25-26八年级下·山东威海·期中）观察下列式子： ①；②；③；④；…． 请你按照规律写出第n（）个式子是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察等式，找出规律，写出第n个式子即可． 【详解】解：由规律可得，第n个式子为： ． 故选项A、B、D错误，选项C正确 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式，解题的关键是观察等式，找出规律． 7．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知两个二次根式，进行如下操作：令，将加上，结果记为，令，将加上，结果记为；令，将加上，结果记为，以此类推，下列说法正确的个数是（　　） ①的最小值为； ②当时，； ③； ④若，则有唯一解． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，分母有理化，完全平方公式等， ①利用二次根式的性质和非负数的性质可得，即可判断①； ②由题意得：，即可判断②； ③运用分式的运算法则即可判断③； ④运用分母有理化和乘法公式即可判断④； 熟练掌握二次根式的性质、分母有理化、找到运算结果的变化规律是解题的关键． 【详解】解：①∵，∴结论①错误； ②当时， ， ， ， ， …… ， ， ∴ ， ∴结论②正确； ③∵ ， ∴结论③正确； ④∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴结论④正确． 故选：C． 8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现：当，时：，，，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（   ） A．30米 B．50米 C．60米 D．100米 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米，根据矩形面积计算公式得到，仿照题意可推出，则当时，有最小值，最小值为60，据此可得答案． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为60， ∴需要用的篱笆最少60米， 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）________． 【答案】 / 【分析】先根据二次根式的性质将原式化为绝对值形式，再判断的符号，根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解： 根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，可得． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）________． （2）________． 【答案】 60 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，熟练掌握此知识点是解题的关键． （1）利用二次根式的乘法运算法则，将被开方数拆成两个数的乘积，分别开方后相乘即可； （2）利用二次根式的乘法运算法则，将被开方数分别开方后相乘即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：． （2） ， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）当______时，最简二次根式与是同类二次根式． 【答案】1 【分析】当两个最简二次根式为同类二次根式时，这两个最简二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴符合题意． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______． 【答案】2 【分析】根据n为正整数， 是大于1的整数，先求出n的值可以为2、8，再结合是大于1的整数来求解． 【详解】解：∵，是大于1的整数， ∴． ∵n为正整数 ∴n的值可以为2、8， n的最小值是2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了无理数的估算，理解无理数的估算方法是解答关键． 13．（25-26八年级下·山东临沂·期中）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式． 两种解答中，_________的解答是错误的； 若时，___________． 【答案】 乙 199 【分析】利用二次根式的性质化简进行判断即可． 【详解】解：乙没有考虑化简后的正负， 乙的解答是错误的， ， ， ， 原式 ； 故答案为：①乙；②199． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 14．（25-26九年级上·全国·月考）若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论：①；②；③若（其中为有理数）则；④若，则．以上结论正确的有______（写出所有正确结论的序号）． 【答案】②④ 【分析】本题考查了有理化因式，二次根式的混合运算，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 利用有理化因式进行变形计算后，逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：①， 故①错误，不合题意； ②， 故②正确，符合题意； ③ ， 若， 则， 解得， ∴，故③错误， ④∵， 又∵，∴， 故④正确，符合题意； 综上，结论正确的有个． 故答案为：②④． 15．（25-26八年级下·湖北咸宁·月考）观察下列分母有理化运算，寻找规律． ， ， 利用上面的规律计算：______． 【答案】2021 【分析】利用已知规律先计算括号里面，再套用平方差公式求值． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行二次根式的分母有理化，理解和掌握二次根式分母有理化的规律是解决本题的关键． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________ 【答案】 【分析】先得出①②两个正方形的边长，然后根据进行求解即可． 【详解】解：由图可知：①号正方形的面积为50，则边长为；②号正方形的面积为18，则边长为， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·新疆和田·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】根据二次根式乘法法则和除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 18．（25-26八年级上·广东佛山·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】的值为 【分析】根据最简二次根式，同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 答：的值为． 【点睛】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提． 19．（25-26九年级上·全国·单元测试）对于题目先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式． 在两人的解法中谁的解答是错误的，为什么？ 【答案】甲的解答是错误的，理由详见解析. 【分析】根据二次根式的性质解答即可. 【详解】甲的解答是错误的． 理由：∵时，， ∴原式， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握这一性质是解答此题的关键. 20．（25-26八年级上·广东梅州·期末）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程： (1)填空：______的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小明； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简求值即可得解； （2）根据二次根式的性质化简求值即可得解． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴ ， ∴小明的计算错误，小颖的计算正确． 故答案为：小明． （2）解：当时，， ∴ ． 21．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． (1)若与是互为“6相关代数式”，则　　； (2)若其中（a是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，计算求解即可． 【详解】（1）解：与是互为“6相关代数式”， ， ． （2）解：与是互为“相关代数式”， ， 整理得，， 是有理数， ，， 解得． 22．（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 【答案】 【观察·发现】④；⑤；⑥ 【归纳·猜想】 【应用·运算】①，验证见解析；② 【分析】本题考查了实数的规律题． [观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案； [归纳•猜想]由已知等式总结规律即可； [应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可； ②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可． 【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥， 故答案为：④；⑤；⑥； [归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为， 故答案为：； [应用·运算]①由所得规律可得，验证如下： ， 故答案为：； ②若， 则，， 解得：，， 则， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·四川巴中·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解： 小芳：解： （1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； （2）先化简，再求值：，其中； （3）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简． 【答案】（1）小亮，；（2），8；（3）a 【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质把原式化简，把a=-2代入计算即可． （3）由数轴可得：c＜b＜0＜a，再根据二次根式的化简法则计算即可． 【详解】解：（1）小亮的解法是错误的， 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； （2）原式==， ∵a=-2＜3， ∴原式=a+2（3-a）=a+6-2a=6-a=8． （3）由图可知：c＜b＜0＜a， ∴a-b＞0，a-c＞0， ∴ = =a-b+c-（a-b）+a-c =a-b+c-a+b+a-c =a． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 24．（25-26八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 25．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）根据给出的例题方法进行分母有理化，可得到化简结果和规律． （3）先利用规律对各项化简，通过抵消中间项得到最简结果，再用平方差公式计算． （4）利用得到的规律将两个差转化为分子为1的分式，再通过比较分母大小判断原式大小． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：根据规律可得 ． 26．（25-26八年级下·福建莆田·期中）阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑： ， 的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________； (2)已知． ①若x是整数，且，求的值； ②若x，y分别是一张长方形纸片的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．y的整数部分__________． 【答案】(1)，； (2)①；② 【分析】（1）直接利用无理数的估算方法进行求解即可； （2）①先利用无理数的估算写出的整数部分和小数部分，再分别求出的值，进而代入求值即可；②先根据题意表示出，，再利用无理数的估算即可解答． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为4，小数部分为， 即； （2）解：①，即， 的整数部分为1，小数部分为， ∴， ∵x是整数，且， ∴， ∴； ②由题意得，， ∴， ∵，即 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴整数部分为4． 27．（22-23八年级下·湖北荆州·月考）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号． ∴的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当______时，有最小值为______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】(1)3，6 (2) (3)60米 【分析】（1）根据例题中的公式计算即可； （2）先化简，再运用公式计算即可； （3）由题意得篱笆的长为米，再根据例题中的公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴，当且仅当时取等号． ∴的最小值为6． 故答案为：3，6． （2）， ∵， ∴， 又∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 即的最小值为； （3）根据题意可得，垂直于墙的一边长为米，则篱笆的长为米， ∵∴， 又∵， ∴，当且仅当时取等号， ∴的最小值为60， 即需要用的篱笆最少是60米. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，理解题中例题解法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 二次根式重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·辽宁铁岭·月考）下列各式中一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·模拟预测）估计的值在（   ） A．5与6之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．8与9之间 3．（25-26九年级上·四川宜宾·期中）当时，代数式的值是（    ） A． B．1 C． D． 4．（25-26八年级下·陕西安康·月考）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则m，n的值分别为（   ）． A．， B．， C．， D．， 5．（24-25八年级下·山西大同·月考）我们这样探究二次根式的结果：当时，如，则，此时的结果是本身；当时，，此时的结果是零；当时，如，则，此时的结果是的相反数．这种分析问题的方法所体现的数学思想是（    ） A．分类讨论 B．数形结合 C．整体 D．转化 6．（25-26八年级下·山东威海·期中）观察下列式子： ①；②；③；④；…． 请你按照规律写出第n（）个式子是(   ) A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·重庆沙坪坝·期中）已知两个二次根式，进行如下操作：令，将加上，结果记为，令，将加上，结果记为；令，将加上，结果记为，以此类推，下列说法正确的个数是（　　） ①的最小值为； ②当时，； ③； ④若，则有唯一解． A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河南南阳·月考）【阅读材料】学习了《二次根式》后，小颖同学发现：当，时：，，，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（   ） A．30米 B．50米 C．60米 D．100米 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）________． 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： （1）________． （2）________． 11．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）当______时，最简二次根式与是同类二次根式． 12．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）已知m为正整数，若是整数，则根据可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为______． 13．（25-26八年级下·山东临沂·期中）先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式． 两种解答中，_________的解答是错误的； 若时，___________． 14．（25-26九年级上·全国·月考）若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论：①；②；③若（其中为有理数）则；④若，则．以上结论正确的有______（写出所有正确结论的序号）． 15．（25-26八年级下·湖北咸宁·月考）观察下列分母有理化运算，寻找规律． ， ， 利用上面的规律计算：______． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________ 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·新疆和田·月考）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（25-26八年级上·广东佛山·月考）若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 19．（25-26九年级上·全国·单元测试）对于题目先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式； 乙的解答为：原式． 在两人的解法中谁的解答是错误的，为什么？ 20．（25-26八年级上·广东梅州·期末）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程： (1)填空：______的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 21．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）若两个含有二次根式的代数式，满足，其中是有理数，则称与是互为“相关代数式”． (1)若与是互为“6相关代数式”，则　　； (2)若其中（a是有理数），，且与是互为“相关代数式”，求和的值． 22．（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】 填空： ①；        ②；    ③ ④__________；    ⑤__________；    ⑥__________； …… 【归纳·猜想】 如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________； 【应用·运算】 ①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________； ②直接写出结果：若，则__________． 23．（25-26八年级上·四川巴中·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． 小亮：解： 小芳：解： （1）______的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； （2）先化简，再求值：，其中； （3）有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，化简． 24．（25-26八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 25．（25-26八年级下·河南省直辖县级单位·期中）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：． 例2：，… (1)化简：_________． (2)观察上面的解题过程，请你猜想一规律：直接写出式子_________； (3)利用这一规律计算：． (4)利用上面的结论，不要计算近似值，比较与的大小（直接写出答案） 26．（25-26八年级下·福建莆田·期中）阅读下面一段材料，并解答材料后的问题： 我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，为表示出其小数部分，可以这样考虑： ， 的整数部分为3，小数部分为．再如：，即，的整数部分为2，小数部分为． (1)若的整数部分为m，小数部分为n，则__________，__________； (2)已知． ①若x是整数，且，求的值； ②若x，y分别是一张长方形纸片的长和宽，将该纸片按如下图方式先折一下，然后剪开，可以得到一个正方形和一个长方形，已知．y的整数部分__________． 27．（22-23八年级下·湖北荆州·月考）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，∵，∴，当且仅当时取等号， 例如：当时，求的最小值． 解：∵，∴，又∵，∴，当时取等号． ∴的最小值为8． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，当且仅当______时，有最小值为______． (2)当时，求的最小值． (3)请解答以下问题： 如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设平行于墙的一边长为米，若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 学科网（北京）股份有限公司 $