第十章 分式重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

第十章 分式重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：分式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）若分式的值为零，则的取值为（　　） A． B． C． D．的值不存在 2．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）已知，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．5 3．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）若把分式中，的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值扩大到原来的（    ） A．3倍 B．2倍 C．4倍 D．8倍 4．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”． 小明的做法是：原式； 小亮的做法是：原式； 小芳的做法是：原式． 其中正确的个数有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）某新能源汽车制造厂对车辆装配进行技术升级，升级后比升级前每天多装配20辆汽车，若升级后装配600辆汽车所需的时间与升级前装配500辆汽车所需的时间相同．设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当且时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（） A．，同学都答对 B．，同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 8．（25-26八年级上·山西忻州·期末）过年回家对中国人而言，是刻在骨子里的文化执念与情感刚需，核心意义在于阖家团圆与辞旧迎新的仪式感．放寒假后，小陈爸爸驾驶汽车开往距离出发地的爷爷家，出发后的前按原计划的速度匀速行驶，后按原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达爷爷家．若设前的行驶速度为，则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·山东济南·月考）若，则的值为_____． 10．（25-26八年级下·江苏·周测）若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 11．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程无解，则________． 12．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足＋，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 13．（25-26八年级上·福建福州·期末）在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 14．（25-26八年级下·贵州铜仁·期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，，______，，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 15．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 16．（25-26八年级下·上海宝山·月考）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式． 材料：如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如：； 又如：． 请你用上述材料，解决下列问题：若分式是整数，则正整数的值是___________． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 18．（25-26八年级下·江苏南京·单元测试）计算时，小马同学给出了他的解答过程如下： 解：． 小马的解答过程是否正确？如果不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程． 19．（25-26八年级下·上海·期中）观察方程①：x＋＝4，方程②：x＋＝6，方程③：x＋＝8 （1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ； （2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ； （3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ． 20．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 21．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某次考试中有这样一道题：先化简，再求值：，其中小明的解题过程如下： 解：原式 (1)小乐说：“小明，你的化简过程是错误的！”请你帮小明写出正确的化简结果； (2)老师说：“小明得出的恰好是这道试题求值的结果！”请求出被污染的x的值． 22．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·期末）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)请你帮他找出这道题从第_______步开始出错； (2)请完整地解答此分式方程； (3)通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条） 23．（25-26八年级上·河南许昌·期中）比较与的大小． （1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）： ①当时，　 　 ②当时，　 　 ③当时，　 　 （2）归纳：若a取不为零的任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由． 24．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前了30天完成了这一任务． (1)用含的代数式填表（结果不需要化简） 工作效率（万平方米/天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米） 原计划 实际 ________ ________ (2)求（1）的表格中的的值． 25．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 【应用】 (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； 【拓展】 (3)已知分式的值为整数，求正整数x的值． 26．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动实践基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 27．（25-26八年级下·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 分式重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：分式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）若分式的值为零，则的取值为（　　） A． B． C． D．的值不存在 【答案】C 【分析】本题考查分式为零的条件，根据分式值为零需分子为零且分母不为零列方程求解即可． 【详解】解：∵分式值为零， ∴且， 由得，即或， 当时，，分母为零，分式无意义， 当时，，分母不为零，且分子， ∴满足条件． 故选：C． 2．（2025八年级下·江苏南京·专题练习）已知，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查求分式的值，熟练掌握完全平方公式和将完全平方公式灵活变形是解题的关键，同时掌握分式的约分也是解题的关键． 把变形后代入化简后的代数式，整理后约分可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）若把分式中，的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值扩大到原来的（    ） A．3倍 B．2倍 C．4倍 D．8倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 将和同时扩大到原来的倍，代入分式计算新值，并与原值比较倍数关系即可． 【详解】解：设原分式为 . 当和同时扩大到原来的倍时，新分式为 比较和： ∴ 分式的值扩大到原来的倍. 故选：C． 4．（25-26八年级上·四川泸州·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据分式方程解为正数、分式有意义的条件确定x的限制，再解分式方程得到x关于m的表达式，代入限制即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为0， ∴且， 即且， ， 去分母得：， 整理得， ∵且， ∴且， 解得：且． 5．（24-25八年级下·河南郑州·期末）学完分式运算后，老师出了一道题“化简：”． 小明的做法是：原式； 小亮的做法是：原式； 小芳的做法是：原式． 其中正确的个数有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了异分母分式加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据异分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解：依题意，小明做法不正确， 正确的过程如下：原式； 小亮做法不正确，分式运算不能去掉分母， 正确的过程如下：原式； 小芳的做法正确， 故选：C 6．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）某新能源汽车制造厂对车辆装配进行技术升级，升级后比升级前每天多装配20辆汽车，若升级后装配600辆汽车所需的时间与升级前装配500辆汽车所需的时间相同．设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键．根据题意，技术升级后每天比升级前多装配20辆汽车，因此升级后每天装配量为辆，升级后装配600辆汽车所需时间与升级前装配500辆汽车所需时间相同，时间等于总装配量除以每天装配量，由此建立方程． 【详解】解：根据题意可得：， 故选：D． 7．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当且时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（） A．，同学都答对 B．，同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法． 解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 【详解】解：∵， ∴（其中）， ①当时，得：，即，方程的解为负数，故同学答对； ②当且时，得：且，即且，方程的解为正数，故同学答对； 综上，，同学都答对． 故选：A． 8．（25-26八年级上·山西忻州·期末）过年回家对中国人而言，是刻在骨子里的文化执念与情感刚需，核心意义在于阖家团圆与辞旧迎新的仪式感．放寒假后，小陈爸爸驾驶汽车开往距离出发地的爷爷家，出发后的前按原计划的速度匀速行驶，后按原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达爷爷家．若设前的行驶速度为，则根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程在行程问题中的应用，解题的关键是找出等量关系，列出方程．根据“实际比原计划提前到达”的条件，分析原计划与实际行驶剩余路程的时间关系来列方程． 【详解】解：∵设前的行驶速度为， ∴原计划中行驶后剩余路程的时间为， 又∵后速度变为， ∴实际行驶剩余路程的时间为， ∵实际比原计划提前到达，该提前时间为剩余路段原计划时间与实际时间的差值， ∴ 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·山东济南·月考）若，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用一个未知数表示另一个未知数，代入所求分式约分即可求出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ，且，． ∴ ． 10．（25-26八年级下·江苏·周测）若分式中x、y均扩大为原来的n倍，分式的值变为原来的5倍，则n的值是 _____． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质解决此题． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的方程无解，则________． 【答案】，1 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 12．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）并联电路中两个电阻的阻值分别为，电路的总电阻和满足＋，则可表示为______（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据已知等式移项得到的表达式，再利用异分母分式减法法则计算，最后取倒数即可得到的表达式． 【详解】解：∵， ∴， 根据异分母分式减法法则通分计算得：， 对等式两边取倒数得：． 13．（25-26八年级上·福建福州·期末）在调配饮料时，需要考虑不同原料质量配比，如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品，甲、乙两种原料的配比是，那么甲原料需要__________kg． 【答案】 【分析】本题考查列分式，分式的乘法．根据甲、乙两种原料的配比，得到甲原料在饮料成品中所占的比例，进而乘以总质量可求解． 【详解】解：由题意，甲、乙两种原料的配比为， 因此甲原料所占的比例为， 对于的饮料成品，需要甲原料的质量为． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·贵州铜仁·期末）小苗探究了一道有关分式的规律题，，，，，，______，，…请按照此规律在横线上补写出第6个分式． 【答案】 【分析】利用给出的式子的每一项和项数的关系，找到规律，即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和得答案． 【详解】解：由给出的式子的特点， 即每一项的分母中的常数都是项数的2倍加1，分子都是前两个分式分子和， 由此可得第6个式子是． 故答案为． 【点睛】本题考查了归纳推理，这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理成为归纳推理． 15．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 16．（25-26八年级下·上海宝山·月考）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式． 材料：如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如：； 又如：． 请你用上述材料，解决下列问题：若分式是整数，则正整数的值是___________． 【答案】2或8 【分析】本题主要考查分式的化简求值，根据题意将分式拆分为整式与“真分式”的和的形式是解题的关键． 首先将分式化为整式与真分式的和，根据真分式为整数确定分母的取值即可． 【详解】解： ∴为整式，为真分式， ∵分式是整数， ∴为整数， ∴当时，；当时，； ∵当时，分式值为； 当时，分式值为；均为整数， ∴正整数的值为2或8， 故答案为：2或8． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键． 18．（25-26八年级下·江苏南京·单元测试）计算时，小马同学给出了他的解答过程如下： 解：． 小马的解答过程是否正确？如果不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程． 【答案】不正确；错误之处在于先算的乘法，再算的除法；解答过程见解析． 【分析】乘除同级运算应从左向右依次进行，不能先运算后面的部分； 【详解】解：不正确． 错误之处在于先算的乘法，再算的除法． 正确的解答过程如下： 原式． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，准确运用运算法则是解题关键． 19．（25-26八年级下·上海·期中）观察方程①：x＋＝4，方程②：x＋＝6，方程③：x＋＝8 （1）方程①的根为： ；方程②的根为： ；方程③的根为： ； （2）按规律写出第四个方程： ；此分式方程的根为： ； （3）写出第n个方程（系数用n表示）： ；此方程解是： ． 【答案】（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5；（2）x＋＝10；x1＝4，x2＝6；（3）x＋＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2 【分析】（1）分别求出三个方程的根即可； （2）仿照前三个方程写出第四个方程，以及相应的根即可； （3）归纳总结得到一般性规律，写出第n个方程，以及相应的根即可． 【详解】（1）方程①根：x1＝1，x2＝3； 方程②根：x1＝2，x2＝4； 方程③根：x1＝3，x2＝5； （2）方程④：x＋＝10；方程④根：x1＝4，x2＝6, （3）第n个方程：x＋＝2n＋2，解是：x1＝n，x2＝n＋2， 故答案为：（1）x1＝1，x2＝3；x1＝2，x2＝4；x1＝3，x2＝5；（2）x＋＝10；x1＝4，x2＝6；（3）x＋＝2n＋2；x1＝n，x2＝n＋2． 【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 20．（25-26八年级上·河北石家庄·开学考试）根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意可用代数式表示出原计划修建这条公路需要的天数和实际修建这条公路需要的天数； （2）根据（1）中的答案可以表示出实际修建这条公路的工期比原计划缩短的天数． 【详解】（1）解：根据题意得，公路长为，计划每天修建公路， ∴原计划修建这条公路需要天， 又∵每天修建公路的长度比原计划增加， ∴实际修建这条公路用了天； （2）解：根据（1）可知， 实际修建这条公路的工期比原计划缩短了天． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解答此类问题的关键是明确题意，用相应的分式表示出题目中的所求问题． 21．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某次考试中有这样一道题：先化简，再求值：，其中小明的解题过程如下： 解：原式 (1)小乐说：“小明，你的化简过程是错误的！”请你帮小明写出正确的化简结果； (2)老师说：“小明得出的恰好是这道试题求值的结果！”请求出被污染的x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分式加减混合运算，化简即可； （2）根据题意得到方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：由题意得： 检验：当时，，所以是原分式方程的解， ． 【点睛】本题考查了分式化简和解分式方程，注意解分式方程一定要检验． 22．（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·期末）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)请你帮他找出这道题从第_______步开始出错； (2)请完整地解答此分式方程； (3)通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条） 【答案】(1)② (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据去分母，两边同时乘，即可确定； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验； （3）从求解的每一步分析，得出需要注意的地方． 【详解】（1）解：这道题从第②步开始出错； （2）， 去分母得：， ， ， ， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，故无解． （3）解分式方程去分母时，每一项都要乘以最简公分母； 解分式方程要检验． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 23．（25-26八年级上·河南许昌·期中）比较与的大小． （1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）： ①当时，　 　 ②当时，　 　 ③当时，　 　 （2）归纳：若a取不为零的任意实数，与有怎样的大小关系？试说明理由． 【答案】（1）①=，②=，③=；（2），证明见解析 【分析】（1）①把代入左右两边进行计算即可；②把代入左右两边进行计算即可；③把代入左右两边进行计算即可； （2）先由（1）归纳出结论，再按照分式的加法与乘法的运算分别计算左右两边，从而可得结论. 【详解】解：（1）①当时， 故答案为：= ②当时， 故答案为：= ③当时， 故答案为：= （2）由（1）可得：，理由如下： 左边 右边 所以左边=右边， 故： 【点睛】本题考查的是分式的值，分式的加法与乘法运算，运算的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再归纳，再证明”是解本题的关键. 24．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前了30天完成了这一任务． (1)用含的代数式填表（结果不需要化简） 工作效率（万平方米/天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米） 原计划 实际 ________ ________ (2)求（1）的表格中的的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先表示出实际工作效率，再根据工作时间工作总量工作效率求出实际工作时间即可； （2）根据提前了30天完成了这一任务列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，实际工作效率为，万平方米/天 ∴实际工作时间为， 填表如下： 工作效率（万平方米/天） 工作时间（天） 总任务量（万平方米） 原计划 实际 （2）解：由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 25．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）【阅读】在处理分式问题时，由于分子的次数不低于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式与一个分式的和（差）的形式，通过对简单式子的分析来解决问题，我们称之为分离整式法． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设，则． 原式 ∴． 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 【应用】 (1)使用分离整式法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，则结果为______； 【拓展】 (3)已知分式的值为整数，求正整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)4或2或16 【分析】（1）根据题意将化简为一个整式与一个分式和的形式即可； （2）设，则，根据例题将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式； （3）设，则，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，然后再根据结果是整数进行分析即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）设，则， ∴ ∴， 故答案为：； （3）设，则， ∴ ∵分式的值为整数，且x是正整数，∴，， 由，得或 由，得或（舍） ∴正整数x的值为4或2或16． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是正确理解题目给出的方法，熟练掌握运算法则． 26．（25-26八年级上·贵州安顺·期末）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为．     (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)该校打算将原劳动实践基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘60千克的蔬菜，乙组每分钟采摘30千克的蔬菜 (2)的值为7或13 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设乙组每分钟采摘x千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，列方程求解即可； （2）设扩建后的长方形基地面积是原来的n倍（n为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的n倍，可建立关于n的一元一次方程，解方程即可得出用含a的代数式表示的n的值，再结合“，a为整数，且n为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘60千克的蔬菜，乙组每分钟采摘30千克的蔬菜； （2）解：设扩建后的劳动实践基地面积是原来的倍（为正整数）， 根据题意可得：， 解得， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为7或13． 27．（25-26八年级下·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【答案】(1)① (2)，2（答案不唯一） (3)当，或时，可以找到“巧数对”． 【分析】本题考查了约分，解决本题的关键是将分式进行化简． （1）根据立方差公式，可以发现小普从第①步开始出现错误； （2）只要符合即可，a、b的值不止一组，比如，； （3）将化简，可得，化简得，即或，即当，或时，可以找到“巧数对”． 【详解】（1）解：因为， 所以小普从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （2）解：将，代入可得： ， ， 即， 所以，． 故答案为：，2．（答案不唯一） （3）解：∵， 即， 即， 得， ， 即或， 得或， 即当，或时，可以找到“巧数对”． 学科网（北京）股份有限公司 $