第十一章 二次根式重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版）

**基本信息** 本卷为八年级二次根式单元复习提高卷，覆盖全章重难点，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合文化传承与现实情境，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|二次根式性质、化简、运算|基础概念辨析，如第3题考查运算正确性| |填空题|8/16|最简二次根式、同类二次根式、实际应用|文化情境（团扇面积计算），如第14题| |解答题|11/68|化简求值、规律探究、实际问题（高空抛物）|现实应用（高空抛物能量计算）、创新探究（基本不等式应用），如第25题、27题|

第十一章 二次根式重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式性质， 将根据二次根式性质进行化简，各选项中左边的带分数转化为假分数，再化简计算，判断是否相等即可． 【详解】选项A：左边 ，左右相等，成立． 选项B：左边，左右相等，成立． 选项C：左边，左右不相等，不成立． 选项D：左边，左右相等，成立． 综上，不成立的选项为C， 故选C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简二次根式的结果为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】解：原式 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 4．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）若，则横线处应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）要使算式的运算结果最小，则表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ． ∵． ∴表示的运算符号是． 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知，则化简的结果是() A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质；根据绝对值的性质，，再结合的范围，化简表达式． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ， ∴原式． 故选：D． 7．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】先根据已知完整行的三个数，求出所有横向纵向对角线的共同乘积，再分别计算两个空格内的实数，最后计算两实数的乘积，用到二次根式的乘除运算． 【详解】∵横向三个数乘积相同，第二行三个数已知完整， ∴所有方向的共同乘积为 ， 设第一行第三格的数为a，第三行第一格的数为b， ∵第一行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∵第三行乘积等于共同乘积， ∴， 解得：， ∴两个空格中的实数之积为． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 【答案】B 【分析】此题考查二次根式的运用，首先由正方形的面积是，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽得出正方形的长，再根据大正方形面积减去小正方形面积，即可得出答案． 【详解】解：小正方形的边长为： ， ∴ 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级上·上海·月考）计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘法，注意化简为最简二次根式是解题的关键． 利用二次根式的乘法法则，将合并为，再化简即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 10．（25-26八年级下·新疆克孜勒苏·期中）如果，那么的值为______． 【答案】±5 【分析】根据算术平方根的意义分类讨论，可得答案． 【详解】解：，根据绝对值的定义，可得， 故答案为±5 【点睛】本题考查算术平方根的意义，根据a的取值情况进行分类讨论是解题的关键． 11．（25-26八年级下·全国·课前预习）若与最简二次根式能合并，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）m，n分别表示的整数部分和小数部分，则的值为______． 【答案】/ 【分析】先估算的取值范围，确定的整数部分，再求出小数部分，最后计算的值即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分， 小数部分， ∴． 13．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为________． 【答案】 1 【分析】本题考查了同类二次根式的定义． 根据同类二次根式的定义，被开方数相同，列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得 ． 故答案为：1． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，团扇是中国传统工艺品，扇面形状有圆形和长方形两种．若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为______（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可． 【详解】由题可得， 长方形扇面的面积， 设圆形扇面半径为， 因为两种扇面的面积相等， 根据圆的面积公式， 解得（负值舍去）， 因此圆形扇面的周长， 故答案为：． 15．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 16．（25-26八年级下·广西南宁·期中）阅读材料：在进行二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化成有理数，这就是分母有理化．例如：，，根据材料化简： ______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握分母有理化是解题的关键． 根据分母有理化求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级上·上海·月考）化简：． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，利用进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式． 18．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）先求解 再利用平方差公式进行因式分解，再直接代入计算即可； （2）先求解 再利用完全平方公式进行变形求值即可. 【详解】（1）解： ，， （2） ，， 【点睛】本题考查的是二次根式的求值，二次根式的加减乘法的混合运算，掌握“利用平方差公式与完全平方公式进行变形求解代数式的值”是解本题的关键. 19．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简： (2)若 求（1）中代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式、立方根的化简，合并同类项，二次根式的运算等知识，根据字母的取值范围正确化简是解题的关键． （1）由题意可得到，，据此化简原式即可； （2）把字母的值代入（1）中的化简结果即可得到答案． 【详解】（1）解：观察数轴得：，， （2）当时， 原式 20．（25-26八年级上·全国·寒假作业）设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据长方形的面积除以一条边等于另一条边，求出b即可； （2）根据长方形的面积除以一条边等于另一条边，求出a即可． 【详解】（1）解：根据题意得：b； （2）解：根据题意得：a． 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数，满足等式． (1)当时，求的值． (2)若，都是正整数，求的最小值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算方法是解题的关键； （1）把代入计算即可； （2）对二次根式进行变形再根据m、n的取值要求求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得． （2）解：，满足等式， 又∵m，n为正整数， ∴为正整数 ∴为完全平方数 由于， 则 又∵为奇数 最小值为9， 此时最小，值为4． 22．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用， （1）将原式化为，再开方即可； （2）将原式化为． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ． 23．（2026·湖北襄阳·一模）给出以下各式： ①；②；③． (1)判断以上三式是否成立，成立的有___________（填写序号）； (2)类比上述式子，试再写出两个同类型的式子； (3)你能猜出其中的规律吗？请用字母表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 【答案】(1)①②③ (2)， (3)（且是正整数），证明见解析 【分析】（1）对式子进行运算，再判断即可； （2）根据（1）中的式子的形式进行求解即可； （3）分析所给的式子，再总结出规律即可，根据等式的左边进行运算即可证明． 【详解】（1）解：①； ②； ③ 故①②③正确； （2）解：，； （3）解：（且是正整数） 证明：左边右边． 24．（24-25八年级上·广东梅州·月考）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的混运算； （1）根据平方差公式以及二次根式的性质化简，即可求解； （2）分别分母有理化，然后再合并 二次根式，即可求解； （3）比较两数的倒数的大小，即可求解． 【详解】（1）解： ； 故答案为： ，； （2） ； （3）理由如下： 由题意得：，， ∵， ∴． 25．（25-26九年级上·河南南阳·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（）×高度（m），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落地时的能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1) (2) (3)这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据能量计算公式计算即可； （3）依据题意，根据（2）的结果即可判断得解． 【详解】（1）解：当时， 答：物体从的高空落到地面的时间为． （2）解：当时，，解得， ∴， 答：这串钥匙落地时的能量有． （3）解：∵， ∴这串钥匙在下落到地面时会对人构成伤害，因此严禁高空抛物． 26．（25-26九年级上·河南南阳·期中）阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的加减运算，掌握分母有理化的法则是解本题的关键． （1）分子分母都乘以，即可得到答案； （2）分子，分母都乘以，即可得到答案； （3）根据题干提示的规律，把每个分母中的二次根号去掉，化为有理数，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 27．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）① = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 当时取等号，即时，原式有最小值4． ② = 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 二次根式重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：二次根式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）化简二次根式的结果为（   ） A． B． C． D．6 3．（24-25八年级下·广东东莞·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）若，则横线处应填（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）要使算式的运算结果最小，则表示的运算符号是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）已知，则化简的结果是() A． B．1 C． D． 7．（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）在图示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的三个实数相乘得出的结果都一样，则两个空格中的实数之积为（   ） 1 3 2 6 A． B． C．6 D． 8．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，用四张同样大小的长方形纸片拼成一个正方形，它的面积是，，图中空白的地方是一个正方形，则阴影部分的面积为（   ） A．361 B．360 C．316 D．315 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级上·上海·月考）计算：________． 10．（25-26八年级下·新疆克孜勒苏·期中）如果，那么的值为______． 11．（25-26八年级下·全国·课前预习）若与最简二次根式能合并，则的值为________． 12．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）m，n分别表示的整数部分和小数部分，则的值为______． 13．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为________． 14．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，团扇是中国传统工艺品，扇面形状有圆形和长方形两种．若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为______（结果保留） 15．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 16．（25-26八年级下·广西南宁·期中）阅读材料：在进行二次根式运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化成有理数，这就是分母有理化．例如：，，根据材料化简： ______． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级上·上海·月考）化简：． 18．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 19．（25-26八年级上·广东梅州·月考）已知实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简： (2)若 求（1）中代数式的值． 20．（25-26八年级上·全国·寒假作业）设长方形的面积是S，相邻两边的长分别是a，b． (1)若，，求b； (2)若，，求a． 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知实数，满足等式． (1)当时，求的值． (2)若，都是正整数，求的最小值． 22．（25-26八年级上·上海虹口·期中）观察下列等式： ； ； ； 根据以上的等式回答问题： (1)填空：_______； (2)化简，并写出化简过程． 23．（2026·湖北襄阳·一模）给出以下各式： ①；②；③． (1)判断以上三式是否成立，成立的有___________（填写序号）； (2)类比上述式子，试再写出两个同类型的式子； (3)你能猜出其中的规律吗？请用字母表示这一规律，并验证你的猜想是否正确． 24．（24-25八年级上·广东梅州·月考）分母有理化应用： (1)填空：的有理化因式是________；将分母有理化得________； (2)化简：； (3)利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由． 25．（25-26九年级上·河南南阳·月考）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为h米的高处自由落下，落到地面的时间为t，经过实验，发现（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间；（结果保留根号） (2)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）物体质量（）×高度（m），一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落地时的能量有多大？ (3)在（2）的结果中，你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 26．（25-26九年级上·河南南阳·期中）阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 27．（2025八年级下·山东·专题练习）阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ① ② 学科网（北京）股份有限公司 $