第十章 分式重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年八年级数学下册重难点专题提升讲练（苏科版2024）

第十章 分式重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：分式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西临汾·月考）下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川雅安·二模）若，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏南京·月考）解分式方程，去分母后的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）某次军事实战演习过程中，甲、乙两地相距m米，通讯员原计划t小时从甲地到达乙地，现需提前n小时，则平均每小时要多走（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（2026·山西太原·一模）某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）观察下列等式： 第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 按这样的规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·河南驻马店·月考）若分式的值等于0，则的值为________． 10．（25-26八年级下·上海虹口·期末）为常数，如果，那么_____， 11．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 12．（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）一个长方形的长增加，宽减少，那么它的面积是原来的______． 13．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为________． 14．（24-25八年级下·河北保定·期末）凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知，且，则透镜焦距_______． 15．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图，一个长宽高分别为，，的长方体纸箱装满了一层高为的圆柱形易拉罐，则纸箱空间的利用率=________．（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到0.1%） 16．（25-26八年级上·湖南常德·期中）某水果店计划购进两种热销的水果．下面是该店店员小李与小文的对话： 小李：水果的进价比水果的进价每件贵元． 小文：花费元购进水果的数量比花费元购进水果数量少． 若设水果的进价为元，则所列方程为_______________． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级上·江苏常州·课堂例题）通分： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 18．（2025八年级上·江苏常州·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 19．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）“给垃圾一个分类的归宿，还我们一个清洁的世界”，柘城县某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到种类型的垃圾桶比种类型的垃圾桶贵元，用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同．求购买一个种类型的垃圾桶和购买一个种类型的垃圾桶各需要多少元？ 20．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）嘉琪的练习册上有一道题：“化简：”，其中部分内容被墨迹污染，污染部分的代数式记为，已知该题的正确答案是． (1)求代数式； (2)先将，，，化简，再从中选择一个合适的数作为的值，求代数式的值． 21．（25-26八年级·江苏常州·假期作业）小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)下列分式中，属于真分式的是(   ) A．    B．    C．    D． (2)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 22．（24-25八年级上·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 23．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式： ； 第3个等式：； 第4个等式：； … 根据你观察到的规律，解决下列问题： （1）请写出第5个等式：_____________________； （2）请写出第个等式：___________________________（用含的等式表示），并证明． 24．（2025·河南三门峡·二模）下面是彬彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．        第一步        第二步         第三步        第四步       第五步        第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第___________步是进行分式的通分，通分的依据是___________；②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 25．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 26．（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 27．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）小郝同学在当建造师的爸爸的一份资料上看到一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．” 小郝思考：如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会不会更好？为了验证这猜想，小郝做了如下数学实验： 第一步：假设某住宅窗户面积为17平方米，地板面积为80平方米，则．如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则，此时： ∵， ∴， 所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好． 第二步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则． 请帮小郝完成猜想证明过程． 第三步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则．如果窗户面积和地板面积同时增加m平方米，则． 请帮小郝完成猜想证明过程，井对问题下结论． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 分式重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：分式全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】A选项：，变形错误； B选项：，变形错误； C选项：分式中b作为分母，隐含，分子分母同乘，符合分式基本性质，可得，变形正确； D选项：，变形错误， 只有选项C正确． 2．（25-26八年级下·山西临汾·月考）下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：分式值为0的条件是分子为0，分母不为0， A、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； B、，则，那么分母，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； C、，则，那么分母，满足分式值为0的条件，故分式值可以为0； D、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0． 3．（2025·四川雅安·二模）若，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简求值等知识﹒把变形为，再依据整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵ ∴﹒ 故选：C 4．（25-26八年级下·江苏南京·月考）解分式方程，去分母后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将互为相反数的分母变形，再给方程两边同乘最简公分母得到去分母后的结果． 【详解】解：原方程为 ， ， 原方程可变形为， ∴方程的最简公分母为， ∴方程两边同时乘，去分母得． 5．（25-26八年级上·云南昆明·期末）若关于x的分式方程无解，则m的值是（   ） A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到，由于关于x的分式方程无解，分最简公分母为0分式方程有增根和化简后的整式方程无解两种情况可求得m． 【详解】解： 去分母，得， ． ∵关于x的分式方程无解， 当时，原方程无解， ∴， 当最简公分母， ， 当时，得， 综上m的值为1或， 故选A． 6．（24-25八年级下·陕西咸阳·月考）某次军事实战演习过程中，甲、乙两地相距m米，通讯员原计划t小时从甲地到达乙地，现需提前n小时，则平均每小时要多走（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，异分母分式的减法，能根据题意分别表示原速度和现速度是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 7．（2026·山西太原·一模）某科幻主题乐园有两种体验票：星际穿越票和火星漫步票．已知星际穿越票的单价比火星漫步票的单价贵25元，用480元购买的星际穿越票比火星漫步票少2张．设火星漫步票的单价为x元，则x满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据设出的未知数表示出星际穿越票的单价，再分别求出两种票可购买的数量，最后根据数量关系列方程即可． 【详解】解：设火星漫步票的单价为元，则星际穿越票单价为元， ∵总费用为元， ∴可购买火星漫步票数量为张，可购买星际穿越票数量为张， ∵购买的星际穿越票比火星漫步票少张， ∴． 8．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）观察下列等式： 第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 按这样的规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给的等式，分析数字变化的规律，再进行总结即可． 【详解】解：∵第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 可以看出：等式的左边是两个连续整数的倒数和与它们积的倒数的差，等式右边分母与左边较大整数相同，分子是2， 按这样的规律，第n个等式为： 故选：B． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析清楚存在的规律． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26八年级下·河南驻马店·月考）若分式的值等于0，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分式值为的条件，分式值为需要分子为且分母不为，据此列条件求解即可得到的值,． 【详解】解：∵分式的值等于0， ∴ ∴解得且， 因此． 10．（25-26八年级下·上海虹口·期末）为常数，如果，那么_____， 【答案】6 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值． 【详解】解：， ∴。 ∴， ， 解得 故， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 【答案】 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·湖北襄阳·自主招生）一个长方形的长增加，宽减少，那么它的面积是原来的______． 【答案】 【分析】本题考查分数混合运算的应用，解题的关键是读懂题意，列出算式．设原长方形的长为，宽为，则原面积为；长增加后为，宽减少后为，新面积为，计算比值即可. 【详解】解：设原长方形的长为，宽为， ， ， ， ． 故答案为：． 13．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到每周件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据快递员人数不变建立等量关系，根据快递员人数不变，原来总投递量除以每人投递量等于现在总投递量除以每人投递量，列出分式方程． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则现在平均每人每周投递快件件， ∵原来总投递量为3600件，现在总投递量为4800件，由于快递员人数不变， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·河北保定·期末）凸透镜成像是自然界中的一个基本现象，其中物距记为u，像距记为v，透镜焦距记为f，三者满足关系式：，若已知，且，则透镜焦距_______． 【答案】10 【分析】本题考查了分式的加法运算、代数式求值等知识点，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 根据异分母分式的加法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且， ∴，解得∶． 故答案为10． 15．（25-26八年级下·浙江金华·月考）如图，一个长宽高分别为，，的长方体纸箱装满了一层高为的圆柱形易拉罐，则纸箱空间的利用率=________．（易拉罐总体积与纸箱容积的比，结果精确到0.1%） 【答案】 【分析】根据题意分别算出纸箱的体积和易拉罐的体积，根据易拉罐总体积与纸箱容积的比求得利用率． 【详解】设沿长边摆放了个易拉罐，沿宽摆放了个易拉罐， 则， 每个易拉罐的体积=， 所以长方体纸箱中圆柱形易拉罐所占的总体积， 又因为长方体纸盒的体积= ， 所以纸箱空间的利用率为 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的应用，掌握分式的计算是解题的关键． 16．（25-26八年级上·湖南常德·期中）某水果店计划购进两种热销的水果．下面是该店店员小李与小文的对话： 小李：水果的进价比水果的进价每件贵元． 小文：花费元购进水果的数量比花费元购进水果数量少． 若设水果的进价为元，则所列方程为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键．设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元．根据购进金额和进价，可求得A和B水果的数量。再根据A水果数量比B水果数量少的关系，列出方程． 【详解】设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元． 花费元购进A水果的数量为件，花费元购进B水果的数量为件． 由题意，A水果数量比B水果数量少，即A水果数量是B水果数量的，因此有：． 故答案为：． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26八年级上·江苏常州·课堂例题）通分： (1)与； (2)与； (3)与； (4)与． 【答案】(1)与 (2)与 (3)与 (4)与 【分析】（1）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题； （2）先确定与的最简公分母是即，然后进行通分，即可解答本题； （3）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题； （4）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题． 【详解】（1）解：与； （2）解：与； （3）解：与； （4）解：，． 【点睛】本题考查了分式的通分，找到最简公分母是解题的关键． 18．（2025八年级上·江苏常州·专题练习）在学完分式的基本性质后，小刚和小明两人对下面两个式子产生了激烈的争论： ①，②． 小刚说：“①，②两式都是对的．” 小明说：“①，②两式都是错的．” 他们两人的说法到底谁对谁错？为什么？ 【答案】两人的说法都是错的，见解析 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式仍成立是解题关键．根据分式的性质分析即可． 【详解】解：他们两人的说法都是错的． ①式是对的， 左边的分式是一定有意义的， ， 分式的分子、分母同时除以，分式的值不变． ②式是错的， 分式的分子、分母同时乘，这里的有可能为， 分式的值可能改变． 19．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）“给垃圾一个分类的归宿，还我们一个清洁的世界”，柘城县某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到种类型的垃圾桶比种类型的垃圾桶贵元，用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同．求购买一个种类型的垃圾桶和购买一个种类型的垃圾桶各需要多少元？ 【答案】购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元 【分析】设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元，根据“总价单价数量”，利用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同，建立分式方程求解即可． 【详解】解：设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ， 答：购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元． 【点睛】解分式方程后必须检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义． 20．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）嘉琪的练习册上有一道题：“化简：”，其中部分内容被墨迹污染，污染部分的代数式记为，已知该题的正确答案是． (1)求代数式； (2)先将，，，化简，再从中选择一个合适的数作为的值，求代数式的值． 【答案】(1) (2)，，，； 【分析】本题主要考查分式的运算： （1）； （2）根据题意可知，，据此即可求得答案． 【详解】（1） （2），，，； 根据题意可知，，所以当时，原式． 21．（25-26八年级·江苏常州·假期作业）小学数学中，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)下列分式中，属于真分式的是(   ) A．    B．    C．    D． (2)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）根据题中真分式的定义直接判断即可； （2）仿照题中例子化成整式和真分式的和的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意，选项A、B、D中分子的次数大于分母的次数，不是真分式，不符合题意，选项C中分子的次数小于分母的次数，是真分式，符合题意， 故选：C； （2）解： ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，理解题中定义，会利用类比的思想方法求解是解答的关键． 22．（24-25八年级上·黑龙江·期末）阅读下列材料： 关于x的分式方程的解是，；的解是，；的解是，． 请观察上述方程与解的特征，解决下列问题： (1)直接写出关于x的方程的解为______； (2)直接写出关于x的方程的解为______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了分式方程的相关拓展，正确理解阅读材料中的方法、恰当变形是解题的关键． （1）根据阅读材料中方程与解的特征可直接得出答案； （2）先将原方程变形为：，再根据（2）的猜想可得或，进而可得结果． 【详解】（1）解：由题意可猜想：关于的方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：方程可变形为：， 即， 则由（1）的猜想可得：方程的解为：或， 解得：，， 经检验，，都是原方程的解， 所以，， 故答案为：，． 23．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式： ； 第3个等式：； 第4个等式：； … 根据你观察到的规律，解决下列问题： （1）请写出第5个等式：_____________________； （2）请写出第个等式：___________________________（用含的等式表示），并证明． 【答案】（1）；（2），理由见解析 【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可； （2）依据（1）中的规律，将特殊转化为一半即可； 【详解】解：（1）； （2）； 证明：右边左边； ∴等式成立． 【点睛】本题主要考查了数字找规律，准确计算是解题的关键． 24．（2025·河南三门峡·二模）下面是彬彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．        第一步        第二步         第三步        第四步       第五步        第六步 任务一：填空：①以上化简步骤中，第___________步是进行分式的通分，通分的依据是___________；②第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：三，分式的基本性质，五，括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号；任务三：先将分式约分，再通分，这样可以减少计算量 【分析】本题考查了异分母分式的加减，解题关键是掌握异分母分式的加减的法则． 任务一：根据异分母分式的加减法则是对解题过程逐一分析，再作出判断； 任务二：根据异分母分式的加减法则计算； 任务三：谈谈异分母分式的加减学习需要注意的地方． 【详解】任务一：解：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；第五步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号， 故答案为：三，分式的基本性质，五，括号前面是“-”号时去括号后面一项没有改变符号； 任务二： ； 任务三：先将分式约分，再通分，这样可以减少计算量． 25．（2025·辽宁铁岭·二模）为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)，； (2)每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【分析】本题考查了分式方程的应用，掌握分式方程的应用是解题的关键． （1）根据方程形式，可判断变量表示的含义； （2）根据表示的含义，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量， 故答案为：，； （2）解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 26．（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 【答案】(1)①③④ (2)①② (3)0，2，3 【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值，分式化简求值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据“和谐分式”定义，对所给的式子，逐一分析，再作判断； （2）①根据“和谐分式”定义求解； ②根据“和谐分式”定义求解； （3）先根据“和谐分式”定义求解，化为整式与分子为有理数的分式的和的形式，再根据化的结果，分情况讨论，分别求出相应的的值． 【详解】（1）解：∵， ∴属于“和谐分式”， 故①符合； 不属于“和谐分式”， 故②不符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故③符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故④符合； 综上所述，①③④属于“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）① ； ② ； （3） ∵， ∴，解得：且， ∵为整数，分式的值为整数， ∴的值为整数， 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ，原分式的分母为0，无意义，不符合， 综上所述，使分式的值为整数的的值为0，2，3． 27．（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）小郝同学在当建造师的爸爸的一份资料上看到一段文字：“民用住宅窗户面积应小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比值越大，住宅的采光条件会越好．” 小郝思考：如果同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会不会更好？为了验证这猜想，小郝做了如下数学实验： 第一步：假设某住宅窗户面积为17平方米，地板面积为80平方米，则．如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则，此时： ∵， ∴， 所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好． 第二步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则，如果窗户面积和地板面积同时增加1平方米，则． 请帮小郝完成猜想证明过程． 第三步：假设某住宅窗户面积为x平方米，地板面积为y平方米，且y>x>0，则．如果窗户面积和地板面积同时增加m平方米，则． 请帮小郝完成猜想证明过程，井对问题下结论． 【答案】证明见解析，结论：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好． 【分析】根据分式的减法，作差比较大小即可求解． 【详解】证明：第二步： 即 ∴窗户面积和地板面积同时增加1平方米，住宅的采光条件会更好； 第三步：同理可得， ∵y＞x＞0，m＞0， ∴y-x＞0，m（y-x）＞0，y（y+m）＞0， ， ， ∴窗户面积和地板面积同时增加m平方米，住宅的采光条件会更好； 结论：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件会更好． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清作差法比较大小的方法是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $