精品解析：广东广州市第四十一中学2025-2026学年高二下学期3月练习数学试题

广州市第四十一中学高二数学3月练习 一、单选题 1. 已知，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 2. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 5. 等比数列的前项和为，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 6. 若函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A. B. C. 或 D. 7. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 点关于直线的对称点为 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 当实数时，直线和互相垂直 10. 记等差数列的公差为，已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 当时，函数取得极小值 D. 当时，函数取得极小值 三、填空题 12. 曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为__________ 13. 已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为______． 四、解答题 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离． 17. 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 18. 已知椭圆的离心率为，是上的点. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 19. 已知． （1）试判断的单调性； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第四十一中学高二数学3月练习 一、单选题 1. 已知，且，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由已知 ， 解得. 2. 已知函数在处可导，若，则（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导数定义计算求解. 【详解】因为 ，所以. 故选：A. 3. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4. 已知单位向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量数量积运算律即可计算. 【详解】. 故选：B. 5. 等比数列的前项和为，，则（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的性质和基本量运算求出公比，再由前项和公式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，因，且， 故可将看成一元二次方程的两根，解得或. 当，则，解得，故； 当，则，解得，故. 故选：C. 6. 若函数在处有极小值，则实数的值为（   ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 7. 设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【详解】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 8. 已知为棱长4的正四面体，则该正四面体的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过补形的方法求得正确答案. 【详解】将正四面体补形成正方体如下图所示， 正四面体的棱长为，所以正方体的边长为， 所以正方体的对角线长为， 所以正方体的外接球，也即正四面体的外接球的半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：C 二、多选题 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 直线过定点 B. 点关于直线的对称点为 C. 两条平行直线与之间的距离为 D. 当实数时，直线和互相垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由直线过定点，按参数整理，令参数的系数为0求解即可；对于B，利用点关于直线的对称的性质求解；对于C，利用平行线之间的距离公式求解；对于D，利用直线垂直的系数关系判定即可. 【详解】对于A，，，故直线过定点，故A错误； 对于B，设点关于直线的对称点为,则 即点关于直线的对称点为，B正确； 对于C， ，，故C正确； 对于D， 时，，故直线和互相垂直，故D正确； 故选：BCD. 10. 记等差数列的公差为，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断. 【详解】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD 11. 已知定义域为R的函数，且函数的图象如图，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 当时，函数取得极小值 D. 当时，函数取得极小值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题图判断原函数的函数符号，进而确定在对应区间上的符号，判断区间单调性、极值. 【详解】由图知：，即，A对； 由上，故，则在区间上单调递增，B错； 和上，和上， 所以、上，、上， 故在、上递增，、上递减，则为极大值，为极小值，C错，D对. 故选：AD 三、填空题 12. 曲线在点处的切线的倾斜角为，则点的坐标为__________ 【答案】或 【解析】 【详解】，，故， 所以点的坐标为或 13. 已知函数，则曲线经过点的切线方程的一般式为________． 【答案】或 【解析】 【详解】函数的定义域为，. 设曲线经过点的切线的切点为，则. 所以，即， 整理得.解得或. 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当时，切点为，切线斜率为， 此时切线方程为，即. 所以曲线经过点的切线方程为或. 14. 已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意先求出切线方程，然后设曲线上的切点为，再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解. 【详解】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1） （2）最大值为4，最小值为 【解析】 【分析】（1）依题意有，据此求解即可； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值． 【小问1详解】 由题可知，，解得． 此时， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值．所以． 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增． 又因为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点F到平面的距离． 【答案】（1） 以D为原点，，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 解法一： 因为，，则，所以， 又因为A，E，F，四点不共线，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 解法二： 因为，， 设平面的一个法向量为， 则有，即，取，所以， 因为，所以，得， 又因为平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系， 解法一：根据空间向量平行的坐标表示得，所以，进而可得结论； 解法二：求出平面的法向量，可得，进而可得结论； （2）利用直线与平面所成角的向量解法求解； （3）根据点到平面的距离的向量公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设直线与平面所成角为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 设点F到平面的距离为d，因为， 所以， 所以点F到平面的距离为． 17. 已知数列为等差数列，，，数列的前项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列的前项和为． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，列出方程即可求出的通项公式，利用即可求出的通项公式； （2）利用错位相减求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则 解得，，所以． 由已知，① 当时，，得， 当，时，，② ①-②得，，即，又， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列． 所以． 【小问2详解】 数列． 则 所以 故 所以． 18. 已知椭圆的离心率为，是上的点. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆在轴上方部分于，两点. （i）求面积的最大值； （ii）过延长线上的点作椭圆的两条切线，，若与交于点，与交于点，求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）设，设过点的椭圆的两条切线为，， 联立， 得， 由相切得，化简得， 所以，， 设，联立，解得， 联立，解得， 则，化简得：， 所以直线MN过定点. 【解析】 【分析】（1）由离心率及点在椭圆上，椭圆参数关系列方程组求得，即可得椭圆方程； （2）（i）设DE的方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，利用点到直线的距离公式表示出T到DE的距离，表示出面积，利用基本不等式即可求得面积的最大值； （ii）设，设出过点的椭圆的切线方程，与椭圆方程联立，消元得到一元方程，由相切得，再设，与切线方程联立，表示出点，点的横坐标，再由则，化简可得，可得直线MN过定点. 【小问1详解】 已知椭圆的离心率为，是上的点. 则，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）显然当DE与轴垂直时，TD，TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：，设， 联立,消x得：， 所以，， 则， 所以， 代入得：， 所以，即直线DE过定点. 所以，， 所以， 又T到DE的距离为， 所以，当时取等号. 即面积的最大值为； （ii）略 19. 已知． （1）试判断的单调性； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】（1）当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）实数的取值范围为 【解析】 【分析】（1）求导得，根据的取值分类讨论导数符号，时导数恒正，函数在上单调递增；时，令导数为得临界点，再分区间判断导数正负，确定单调区间． （2）先利用作为起点，结合（1）的单调性结论分类讨论，时，上单调不减，故；时，函数在单调递减，会出现，不满足恒成立，由此得． 【小问1详解】 ，的定义域为，， 当时，，则在上单调递增， 当时，令，得， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 恒成立，即恒成立， ，且函数在上为增函数， 所以， 当时，，则在是增函数，成立，满足条件； 当时，， 由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，不满足条件． 所以实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $