11.3 空间中的平行关系（讲义）高一数学人教B版必修第四册

第十一章 立体几何初步 11.3 空间中的平行关系 知识点一 直线与直线之间的位置关系 1、异面直线 ①概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． ②.异面直线的画法：如图（1）（2）所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． 2、空间两条直线的位置关系 ①相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． ②平行直线——同一平面内，没有公共点． ③.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 3、两条异面直线所成的角（夹角） 1.定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． 4、直线与直线平行：平行于同一条直线的两条直线平行，可以用来判断或证明空间中两条直线平行。 5、证明线线平行的方法 平面中常用的方法： 1、利用平行公理及推论：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性）。 2、利用角的关系：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行。 3、利用中位线性质：三角形的中位线平行于第三边；梯形的中位线平行于上下底。 4、利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行。 5、利用比例线段：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 立体几何中常用方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数λ使得一个方向向量等于另一个方向向量的λ倍）。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 即学即练 1．（2026高二上·北京·学业考试）在空间中，若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 知识点二 线面平行的性质与判定 一、 判定定理 核心判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ） 其他判定方法： 1、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 2、利用向量法（空间解析几何）：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（即点积为零）。 3、利用定义（反证法思路）：证明直线与平面没有公共点，通常通过反证法推出矛盾。 4、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若直线不在该平面内）。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 二、 性质定理 核心性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。（符号语言：） 其他性质： 1、线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行）。 2、传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线）。 3、与距离的关系：若一条直线与一个平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，这个距离称为直线到平面的距离。 4、面面平行的基础：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行（这是面面平行的判定定理之一，源自线面平行的性质）。 即学即练 1．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 知识点三 面面平行的性质与判定 一、 判定定理 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 a⊂α,b⊂α,a∩b=P，且 a∥β,b∥β，则 α∥β） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 （条件略严格，需注意对应关系） 1、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 α∥γ,β∥γ，则 α∥β） 2、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 二、 性质定理 核心性质定理： ①面面平行 ⇒ 线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（） ②面面平行 ⇒ 线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（） 1、平行平面间的距离处处相等：两个平行平面间任意一点到另一个平面的距离都相等，这个距离称为两平行平面间的距离。 2、平行平面截线段成比例：如果两条直线被三个平行平面所截，那么截得的对应线段成比例。 3、与角的关系：两个平行平面与同一个平面相交，所成的二面角相等。 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 题型01 平行直线与异面直线的判定 对空间直线关系有： 相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． 平行直线——同一平面内，没有公共点． 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二下·上海松江·期中）在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北恩施·二模）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·吉林·月考）已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 3．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与异面，与异面，则与异面 题型02 直线与平面关系的判定 线面关系的常用判定方法： 1、直接利用线面平行判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行 2、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 3、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若直线不在该平面内）。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二下·四川成都·月考），分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 3．（2025高三·江苏·专题练习）如图，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型03 平面与平面平行的判定 平面与平面平行判定的常用方法 1、线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 2、线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 3、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。 4、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是________． ①平面内有两条直线都与平面平行，那么； ②平面内有无数条直线平行于平面，那么； ③若直线与平面和平面都平行，那么； ④平面内所有的直线都与平面平行，那么． 2．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，则 3．（2025高一下·全国·专题练习）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型04 证明线面平行 1、构造中位线证明线面平行：遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行从而证明线面平行。 2、构造平行四边形证明线面平行：从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。 3、构造平面交线证明线面平行：过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。 4、构造面面平行证明线面平行：从面面平行从而得到线面平行，所以构造两条与已知平面平行的直线。 典｜例｜精｜析 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 2．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：平面． 题型05 证明面面平行 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 a⊂α,b⊂α,a∩b=P，且 a∥β,b∥β，则 α∥β） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 判定时“相交直线”的条件必不可少。如果只是一个平面内的两条平行线都平行于另一个平面，不能推出面面平行（它们可能都平行于交线）。 性质定理中，“第三个平面” 与两个平行平面相交得到的交线平行，是证明空间中线线平行的常用工具。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 题型06 由平行关系确定动点轨迹 过已知直线上一点作平面的平行平面，该平面与动点所在的平面的交线即为动点轨迹 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖北·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____．    2．（多选）（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．的最小值为 3．（多选）（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的是（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的最大体积为4 题型07 由平行关系确定存在性问题 将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线或平面，找交点或交线 2、平行具有传递性，过定点作已知平行线/面 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形． (1)求证：平面∥平面； (2)在直线上是否存在点P，使∥平面？ 2．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)求以为棱，与为半平面的二面角的大小； (3)在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 立体几何初步 11.3 空间中的平行关系 知识点一 直线与直线之间的位置关系 1、异面直线 ①概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． ②.异面直线的画法：如图（1）（2）所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托． 2、空间两条直线的位置关系 ①相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． ②平行直线——同一平面内，没有公共点． ③.异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 3、两条异面直线所成的角（夹角） 1.定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a、b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． 4、直线与直线平行：平行于同一条直线的两条直线平行，可以用来判断或证明空间中两条直线平行。 5、证明线线平行的方法 平面中常用的方法： 1、利用平行公理及推论：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性）。 2、利用角的关系：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行。 3、利用中位线性质：三角形的中位线平行于第三边；梯形的中位线平行于上下底。 4、利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行。 5、利用比例线段：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 立体几何中常用方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数λ使得一个方向向量等于另一个方向向量的λ倍）。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 即学即练 1．（2026高二上·北京·学业考试）在空间中，若直线平面，直线平面，则与（    ） A．相交 B．平行 C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【详解】由题意，在空间中，直线与没有公共点，即与不相交， 则与可能平行，也可能是异面直线. 知识点二 线面平行的性质与判定 一、 判定定理 核心判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ） 其他判定方法： 1、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 2、利用向量法（空间解析几何）：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（即点积为零）。 3、利用定义（反证法思路）：证明直线与平面没有公共点，通常通过反证法推出矛盾。 4、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若直线不在该平面内）。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 二、 性质定理 核心性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。（符号语言：） 其他性质： 1、线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行）。 2、传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线）。 3、与距离的关系：若一条直线与一个平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，这个距离称为直线到平面的距离。 4、面面平行的基础：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行（这是面面平行的判定定理之一，源自线面平行的性质）。 即学即练 1．（2026·上海普陀·二模）已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断. 【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”， 但“”不成立，故充分性不成立； 若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立； 所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件. 知识点三 面面平行的性质与判定 一、 判定定理 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 a⊂α,b⊂α,a∩b=P，且 a∥β,b∥β，则 α∥β） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 （条件略严格，需注意对应关系） 1、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 α∥γ,β∥γ，则 α∥β） 2、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 二、 性质定理 核心性质定理： ①面面平行 ⇒ 线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（） ②面面平行 ⇒ 线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（） 1、平行平面间的距离处处相等：两个平行平面间任意一点到另一个平面的距离都相等，这个距离称为两平行平面间的距离。 2、平行平面截线段成比例：如果两条直线被三个平行平面所截，那么截得的对应线段成比例。 3、与角的关系：两个平行平面与同一个平面相交，所成的二面角相等。 即学即练 1．（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论. 【详解】对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点， 故直线与直线平行或异面，①错； 对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错； 对于③，若平面平面，直线，则，③对； 对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错. 故选：A. 题型01 平行直线与异面直线的判定 对空间直线关系有： 相交直线——同一平面内，有且只有一个公共点． 平行直线——同一平面内，没有公共点． 异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点． 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二下·上海松江·期中）在正方体中，与直线异面的直线可以是（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】对ABC选项可找到平行四边形，使得所要判断的两条直线为平行四边形的对角线，从而可判断为相交直线，对于D则根据异面直线判断方法可得. 【详解】如图，在正方体中， 对于A，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故A错误； 对于B，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故B错误； 对于C，因为在正方体中，所以且，所以四边形是平行四边形， 而与是平行四边形的对角线，所以，故C错误； 对于D，因为直线是平面内一条直线，直线经过平面外一点和平面内一点且， 所以直线与直线是异面直线，故D正确. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·湖北恩施·二模）如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以所在平面作为下底面，将展开图还原为正方体，根据正方体性质判断选项即可. 【详解】以所在平面作为下底面还原， 则重合，重合，还原成如图正方体: 对于A，由图可得异面不平行，故A错误； 对于B，显然，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由图可得异面不平行，故D错误. 2．（25-26高一下·吉林·月考）已知a，b，c是空间中的三条直线，下列说法中错误的是（   ） A．若，，则 B．若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面 C．若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若a与c相交，b与c异面，则a与b异面 【答案】D 【详解】对于A，由平行的传递性知A正确； 对于B，如图①，在正方体中， 当，时，与相交； 当，时， ； 当，时，与异面； 所以由，可得a与c可能相交、平行或异面，故B正确； 对于C，若 a ，b 分别在两个相交平面内，如图所示， 可知这两条直线可能平行、相交或异面，故C正确； 对于D，如图①，在正方体中， 与相交，与异面，此时与平行； 与相交，与异面，此时与相交； 与相交，与异面，此时与异面； 所以a与c相交，b与c异面，则a与b可能相交、平行或异面，故D错误. 3．（2026·辽宁锦州·模拟预测）已知是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若与异面，与异面，则与异面 【答案】A 【详解】选项A，由平行的性质得平行于同一条直线的两条直线平行，因此选项A正确； 选项B，垂直于同一条直线的两条直线不一定垂直， 也可能平行、相交或异面，因此选项B错误； 选项C，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行， 也可能相交或异面，因此选项C错误； 选项D，与异面，与异面， 与也可能是平行或者相交，此时与均共面，因此选项D错误. 题型02 直线与平面关系的判定 线面关系的常用判定方法： 1、直接利用线面平行判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行 2、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 3、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若直线不在该平面内）。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二下·四川成都·月考），分别为菱形的边，的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，直线与平面的位置关系为（    ） A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．无法判断 【答案】A 【详解】因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据线面平行判定定理判定①，③，④，应用线面平行判断线线平行判定②. 【详解】①中可能在内，①错误； ②中与可能相交或平行或异面，②错误； ③中也可在内，③错误； ④中与也可能异面，④错误． 故选：A. 2．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【分析】在正方体中，易得，，结合线面平行的判定即可判断AC；由直线与平面的位置关系可得与平面相交，据此可判断BD． 【详解】在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，． ，， 又平面，平面， 平面，故选项A正确； ，与平面相交， 与平面相交，故选项B错误； ，平面，平面， 平面，故选项C正确； 与平面相交， 平面与平面相交，故选项D错误． 故选：AC． 3．（2025高三·江苏·专题练习）如图，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可. 【详解】对于A选项，如图：    连接，交于点，连接，则、平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A正确； 对于B选项，如图：    因为，平面，平面，所以平面，故B错误； 对于C选项，如图：    取中点，易知、、、四点共面， 因为，，、分别为、的中点， 所以，，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C错误； 对于D选项，如图：    连接，因为，，故四边形为平行四边形，所以， 因为、分别为、的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面，故D错误. 故选：A. 题型03 平面与平面平行的判定 平面与平面平行判定的常用方法 1、线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 2、线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 3、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。 4、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，分别为正方体对应棱的中点，则平面与平面的位置关系是________. 【答案】平行 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图，分别取，，的中点，，，连接. 在正方体中，易知，. 因为，为中点，所以，，同理，， 所以，. 同理，，，，， 则平面与平面为同一平面. 因为，，且与相交，平面，与相交，，平面， 所以平面平面，即平面平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是________． ①平面内有两条直线都与平面平行，那么； ②平面内有无数条直线平行于平面，那么； ③若直线与平面和平面都平行，那么； ④平面内所有的直线都与平面平行，那么． 【答案】④ 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图1所示，①、②都不能保证无公共点，故①、②错误； 如图2所示，③中当，时与可能相交，故③错误； 只有④说明，一定无公共点，故④正确． 2．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知为两个不同的平面，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，则 【答案】C 【分析】借助正方体中的空间关系，来举反例，判断ABD是错误的，故C正确. 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，两平行平面被第三个平面所截,截得的两条交线一定平行，即若 ,则 , C正确. 3．（2025高一下·全国·专题练习）下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接，      因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示：    在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示：    因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 题型04 证明线面平行 1、构造中位线证明线面平行：遇到中点，看能不能构造中位线，证明线线平行从而证明线面平行。 2、构造平行四边形证明线面平行：从题目中的平行线出发，看能不能构造平行四边形。 3、构造平面交线证明线面平行：过直线构造一个平面，找到两平面的交线，证明直线与交线平行。 4、构造面面平行证明线面平行：从面面平行从而得到线面平行，所以构造两条与已知平面平行的直线。 典｜例｜精｜析 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】设与的交点为，连接，结合中位线定理，利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·重庆·月考）如图，在正方体中，．、、分别为、、中点． (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 【分析】（1）借助正方体的结构特征求出三棱锥的表面积. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）在正方体中，，、、两两垂直， 因为、、分别为、、中点，所以， 则，. 等腰底边上的高. 所以三棱锥的表面积为： . （2） 连接，，设与的交点为，连接. 因为、是正方体中对边、的中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以为中点. 又为中点，所以. 又平面，平面， 所以平面. 2．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，在四棱锥中，四边形为正方形，G，F分别是线段，的中点.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，因为四边形为正方形，G是线段的中点， 所以G是线段的中点. 又因为F是线段的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：平面． 【答案】证明见解析 【分析】先用向量证明与平面的法向量垂直，再结合平面，即可证明线面平行. 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 由题中数量关系可得，，，，， 则，，． 设平面AEG的法向量为， 则，令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． 题型05 证明面面平行 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 a⊂α,b⊂α,a∩b=P，且 a∥β,b∥β，则 α∥β） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 判定时“相交直线”的条件必不可少。如果只是一个平面内的两条平行线都平行于另一个平面，不能推出面面平行（它们可能都平行于交线）。 性质定理中，“第三个平面” 与两个平行平面相交得到的交线平行，是证明空间中线线平行的常用工具。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面//平面？并说明理由． 【答案】当为的中点时，平面//平面．理由见解析 【详解】当为的中点时，平面平面．理由如下： 为的中点，为的中点，连接， 易证四边形是平行四边形，则． 平面，平面． 平面． 分别为的中点， ，同理可得平面，又， ∴平面平面． 反之，当不为的中点时，设为中点，则平面平面， 而平面与平面相交，即平面与平面相交，矛盾. 综上，为的中点时，平面平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中，如图E、F、G、H、M、N分别是相应棱的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】 连接、，证明平面，再分别证明平面和平面，从而得到平面平面． 【详解】 连接、可知，，，且，平面， 平面，又平面， ． 同理，，平面， 平面． 同理平面 ∴平面平面． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理可得答案. 【详解】，分别是棱，的中点， 是的中位线，． 平面，平面， 平面． 同理可得平面． 又，平面，平面， ∴平面平面． 题型06 由平行关系确定动点轨迹 过已知直线上一点作平面的平行平面，该平面与动点所在的平面的交线即为动点轨迹 典｜例｜精｜析 1．（2025·湖北·模拟预测）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，满足平面，则线段长度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点的中点的中点F，连接和，可证面面，故动点在面内的轨迹为，结合几何关系即可求出线段长度的最大值. 【详解】取的中点的中点的中点F，连接和，    由分别为的中点，知，同理可知：,，有， 又由,面且平面，所以平面， 同理可知，平面. 因为,平面平面，所以平面平面， 而平面，故动点在平面内的轨迹为， 由可知，， 所以，即，所以线段的最大值为. 故选：A. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·北京海淀·期末）如图，在棱长为4的正方体中．点是棱的中点，动点在面内，包括边界），若平面，则线段长度的取值范围是_____．    【答案】 【分析】通过构造面面平行的方法，判断出点的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设分别是的中点，连接. 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面， 所以平面， 又因，可得，则得， 由于平面，平面，所以平面， 由于平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面， 而平面，平面，平面平面， 故点的轨迹即线段. ， 三角形是等腰三角形，底边上的高为， 所以的取值范围是. 故答案为：    2．（多选）（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，证明即可判断；对于B，当时，截面为梯形，当时，截面为五边形，即可判断；对于C，求出截面为正六边形的面积即可判断；对于D，设的中点为，对平面和平面沿展开，求出线段的长即可判断. 【详解】对于A，当时，连接， 因为分别为和的中点，所以， 又，所以， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，延长交于点，连接交于点， 当时，在线段上，截面为梯形， 当时，在延长线上，交于点，连接交于点，截面为五边形， 所以，当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形，故B正确； 对于C，当时，为中点， 因为平面平面，所以截面可以为正六边形，如图： 因为正方体的棱长为，所以正六边形的边长为， 所以面积，故C错误； 对于D，设的中点为，由A可知， 所以四点共面， 对平面和平面沿展开，如图： 四边形为等腰梯形，，， 所以， 又三角形为等腰三角形，， 所以，即， 所以， 又， 所以的最小值为，故D正确. 3．（多选）（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为正方形内的一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的是（   ） A．点的轨迹长度为 B．的最小值为 C．三棱锥的体积为定值 D．三棱锥的最大体积为4 【答案】BC 【分析】令的中点为的中点为，求证平面平面得到点的轨迹为线段MN再逐项分析求解即可. 【详解】如图，令的中点为的中点为，连接. 在正方体中，为棱的中点， 所以，，因为平面，和在平面外， 所以平面平面. 又，且平面， 所以平面平面. 因为平面，且平面，所以平面. 又为正方形内一个动点（包括边界）， 所以平面平面. 因为平面平面，所以，点的轨迹为线段MN. 对，故A错误； 对B，过点作MN的垂线，则垂线段最短，因为 所以的最小值为，故B正确； 对C，因为平面，所以，故三棱锥的体积为定值，故C正确； 对D，因为点到平面距离为定值2， 则点到直线距离最大时即点在点处时，三棱锥的体积最大， 则三棱锥的最大体积，故D错误. 故选：BC 题型07 由平行关系确定存在性问题 将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线或平面，找交点或交线 2、平行具有传递性，过定点作已知平行线/面 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. (1)若为中点，求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析. 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2）取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； （3）当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知四棱柱的底面为菱形． (1)求证：平面∥平面； (2)在直线上是否存在点P，使∥平面？ 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】（1）利用线面平行进而证明面面平行； （2）延长线段构造平行四边形，再通过线面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）由四棱柱的性质知，∥， 平面，平面，∥平面． 同理∥平面， ，平面，且， ∴平面∥平面． （2）在直线上存在这样的点P，使∥平面． ∥∥且，∴四边形为平行四边形， ∥．在的延长线上取点P，使，连接， ∥且，∥且， ∴四边形是平行四边形，∥， ∥，平面，平面， ∥平面． 2．（25-26高一下·福建龙岩·期中）如图，在正方体中，E，F，P分别为棱，，的中点． (1)求证：D，B，F，E四点共面． (2)设平面平面，求证：． (3)棱上是否存在一点M，使平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）应用平行四边形得出，进而得出线线平行即可证明； （2）应用线面平行判定定理得出平面，再应用线面平行性质定理证明； （3）先证明四边形为平行四边形，得出，再应用线面平行判定定理证明； 【详解】（1）证明：连接． 因为，分别为棱，的中点， 所以，又在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形，所以，所以， 所以，，，四点共面． （2）证明：由（1）知，又平面，平面， 所以平面． 因为平面平面，平面，所以． （3）存在，且． 理由如下：取的中点，连接，． 因为，分别为，的中点， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以． 设为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面． 故存在所求的点，且． 3．（2025高三·全国·专题练习）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)求以为棱，与为半平面的二面角的大小； (3)在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)30° (3)存在，证明见解析 【分析】（1）先根据勾股定理得，再结合线面垂直的判定定理得证； （2）作于点于点，连接，利用线面垂直判定定理和性质得到即为与为半平面的二面角所求角，最后在三角形当中计算角的正切值可得结果； （3）连接交于点，连接，在平面中，过点作，在平面中，过点作，计算得到棱上是存在一点，当是棱的中点时，使得平面.根据面面平行可得线面平行得证； 【详解】（1）因为在底面菱形中，，，， 根据勾股定理，可得， 因为，所以平面． （2）如图9，作于点于点，连接． 因为，由（1）可知平面， 因为平面，所以 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，易知即为与为半平面的二面角所求角． 设，，，则． 由于，所以． （3）    棱上是存在一点，当是棱的中点时，使得平面. 证明：如图10，连接交于点，连接， 在平面中，过点作，在平面中，过点作． 因为是中点，所以． 又因为，所以．所以是棱的中点，连接. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $