11.4 空间中的垂直关系（讲义）高一数学人教B版必修第四册

第十一章 立体几何初步 11.4 空间中的垂直关系 知识点一 异面直线所成的角 1、两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线，所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2、异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是 3、两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作. 4、平面几何常用证明直线与直线垂直的方法： ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 5、立体几何常用证明直线与直线垂直的方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直线）。 即学即练 1．（江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接． 因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，即． 因为，所以，， ， 所以． 知识点二 直线与平面垂直 1、 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 其他判定方法： 利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 利用平面的法向量（向量法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 2、性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 其他性质：线面垂直 ⇒ 线线垂直：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 3、与距离的关系 点到平面的距离：过点作平面的垂线，垂线段的长即点到平面的距离。 直线到平面的距离（当直线平行于平面时）：直线上任意一点到平面的距离。 平行平面间的距离：可转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。 4、三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 即学即练 1．（2026高二下·湖南长沙·学业考试）如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（ ）条. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用长方体的结构特征直接判断得解. 【分析】在长方体中，与平面垂直的棱有、、、，共条. 知识点三 平面与平面垂直 1、判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其他判定方法： 利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量互相垂直（即它们法向量的点积为零）。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 2、性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 其他性质： 面面垂直 ⇒ 线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（同核心性质定理）。 3、传递性相关： 如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面（同上）。 与线线垂直的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内任意一点向另一个平面作垂线，该垂线在第一个平面内。 4、与距离的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内到交线的距离等于到另一个平面的距离的线段，其端点连线垂直于另一个平面。 5、唯一性： 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直。 过一条直线有无数个平面与已知平面垂直（只要平面包含该直线且垂直于已知平面）。 即学即练 1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【详解】A：当，时，，所以本选项不符合题意； B：当，时，平面，可以平行，所以本选项不符合题意； C：当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以本选项符合题意； D：当，，时，根据线面垂直的判定定理，由不一定能推出，所以本选项不符合题意. 2．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.证明：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为平面平面，交线为，，平面， 所以平面，又平面，故. 又因为，，平面， 所以平面，而平面， 故平面平面. 题型01 异面直线所成的角 求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解. 【详解】 如图，正方体中，为线段的中点，连接，， 因为，，所以四边形是平行四边形，， 异面直线与所成角，即直线与所成角，为或其补角， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，， ，即是直角三角形，， 即异面直线与所成角的余弦值为. 变｜式｜巩｜固 1．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出异面直线与所成角，利用余弦定理求得所成角的余弦值. 【详解】由于，所以， 设分别是的中点，连接，则， 所以异面直线BE与AD所成角为（或其补角）， 在中，， 所以， 所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在正方体中，连接，则， 异面直线与所成的角等于所成的角，而， 所以所求角的大小为. 3．（2027高三·全国·专题练习）在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过作辅助线找到两个平面的交线，再利用平行关系将异面直线所成角转化为平面内两条相交直线所成的角，最后在直角三角形中计算正切值. 【详解】如图， 连接并延长交的延长线于点，则点为平面与平面的公共点， 所以即为直线，因为，所以（或其补角）为异面直线与所成的角． 取的中点，连接，则， 设，则，，， 所以，所以异面直线与所成角的正切值为. 题型02 线面垂直的判定 线面垂直常用的判定方法： 1、利用定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 典｜例｜精｜析 1．（2025高三上·四川·学业考试）如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】对于AB选项，若平面、平面成立，则必有、成立，根据题目条件判断这两垂直条件是否成立即可；对于C，由即可得到；对于D，取AC中点H，连接GH，可知面GHF，再和平面EFG比对即可判断． 【详解】对于A，若平面，则，又因为G、F为中点，所以，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故A错误； 对于B，若平面，则，所以，但由于四面体各侧面形状不定，不一定成立，故B错误； 对于C，由题意，面EFG，面EFG，所以平面EFG，故C正确； 对于D，取AC中点H，连接GH，则，而面GHF，面GHF，所以面GHF，但显然面GHF与面EFG不是同一平面，且面面，所以平面EFG不成立，故D错误。 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，下列四个正方体中，E，F，G均为所在棱的中点，则直线平面EFG的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】补全截面，由正方体性质及线面垂直的判定定理可判断ABD正确，由与所成的角可判断错误. 【详解】如图，在正方体中，设M，N，Q均为所在棱的中点， 则E，F，M，N，Q，G共面，平面EFG与平面EFMNQG重合， 因为⊥平面，平面， 所以， 因为四边形是正方形，所以， 又分别为中点，所以， 所以，又 所以平面，所以.同理可得. 又， 所以直线平面EFMNQG， 则直线平面EFG，A正确； 同理可得，B，D正确； 因为E，F分别为AB，中点，所以， 所以是异面直线EF与所成的角， 则，故， 即EF与不垂直， 故直线与平面EFG不垂直，C错误． 故选：ABD. 2．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【分析】利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D． 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确；     对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 3．（2026·河北·模拟预测）（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】ABC 【分析】根据线面平行、线面垂直的判定定理及直四棱柱的性质逐项分析判断即可. 【详解】选项A：平面与平面为同一平面，故平面，故A错误； 选项B：易知，与不垂直，故与不垂直，故与平面不垂直，故B错误. 选项C：如图，连接，平面与平面为同一平面，因为与平面相交，所以与平面相交，故C错误. 选项D：因为直四棱柱的底面为长方形，所以，，，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以， 如图，连接，，易知，，故， 因为四边形为正方形，所以，则， 又平面，所以平面，故D正确. 题型03 面面垂直的判定 面面垂直判定的常用方法： 1、利用定义：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。 4、利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 5、利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 典｜例｜精｜析 1．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】应用线面垂直判定定理及面面垂直判定定理分别得出面面垂直即可求解. 【详解】因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，平面平面； 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·北京·期中）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ）．    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】证明出，，利用线面垂直的判定定理可判断A选项；证明出平面，可判断C选项；利用面面垂直的判定定理可判断BD选项. 【详解】对于A选项，因为为圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面平面，B对； 对于C选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为过点作平面的垂线有且只有一条，故与平面不垂直， C错； 对于D选项，因为平面，平面，所以平面平面，D对. 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据直棱柱的结构特征，依次判断各项的正误即可. 【详解】如下图所示，直四棱柱的底面ABCD是正方形，结合直棱柱的结构特征， 易知平面平面，平面平面，平面平面，故A，B，C成立； 当且仅当直四棱柱为正方体时，平面平面，D不一定成立. 故选：D 3．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）（多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【分析】直接用面面垂直的判定定理判断ABD选项，对C可反证法，如果平面平面成立，则可得平面，而不垂直平面，故C错误. 【详解】因为平面，平面，所以平面平面，故A项正确; 因为平面，平面，所以， 因为四边形为矩形，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面， 同理可证得平面平面，故B项正确， 对于C，若平面平面，由B选项分析知平面平面， 所以平面平面平面，显然不垂直平面，所以C错误; 因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故D项正确. 题型04 证明线面垂直 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由是底面正六边形的中心，是的中点，通过构造中位线，找到平面内与平行的直线，利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面的两条相交线。 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）设，连接，利用中点关系，得到，满足线面平行判定定理的条件，从而得出证明； （2）由正棱柱侧棱垂直底面，进而得到，又正方形对角线互相垂直，从而得到满足线面垂直判定定理的条件，得出证明. 【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点，， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，， 在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】通过证明，，可得平面，进而可得，又，所以平面，所以，又因为，所以平面． 【详解】连接，取的中点，连接，，如图所示， 因为，为的中点，所以， 同理，，为的中点，所以， 又因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，且，平面平面， 所以平面． 3．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 题型05 证明面面垂直 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 3、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 典｜例｜精｜析 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】取AB中点O，连接PO，CO，证得，即可利用线面垂直的判定定理证明平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】如图， 取AB中点O，连接PO，CO. 因为，，所以， 即，且，. 又因为四边形是菱形，， 所以，. 因为，所以，即， 因为平面，平面ABCD，， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 变｜式｜巩｜固 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 【答案】证明见解析 【详解】 连接AC，因为，，，所以， 则，而，， 所以，则，所以， 在中，，且， 所以，则， 又，且平面，平面， 所以平面，又平面ABCD， 所以平面平面ABCD. 2．（25-26高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判定推理得证. 【详解】在中，由，得，而，则， 将沿折起到的位置，始终有， 又平面，则平面， 又平面，则， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)棱AD的中点，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； （2）先由线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直. 【详解】（1）取棱的中点（平面），点即为所求的一个点. 理由如下： 因为，，所以， 且. 所以四边形是平行四边形，从而. 又平面，平面， 所以平面. （2）由已知，，，平面， 因为，，所以直线与相交， 所以平面. 平面，从而. 因为，， 所以，且. 所以四边形是平行四边形. 所以，所以. 又，平面，所以平面. 又平面， 所以平面⊥平面. 题型06 由垂直关系确定存在性问题 一、垂直的唯一性： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（当直线不垂直于已知平面时） 二、 线面垂直类问题 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与已知直线垂直 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线 三、 面面垂直类问题 动点在面上使面面垂直：在目标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为线面垂直问题） 动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条件约束） 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在，，理由见解析. 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）作出二面角的平面角，在中求值； （3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值. 【详解】（1）因为底面，所以底面，平面， 所以，所以， 又，是中点，所以. 因为底面，平面，所以， 又底面是正方形，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以平面⊥底面， 过点作，因为平面平面 所以平面，过作，连接，则， 所以是二面角的平面角.    因为是中点，所以， 设，则，所以， 所以，即二面角的正切值是. （3）对线段上的点，因为平面，平面， 所以，则当时，满足条件. 如图，在四边形中，过作，垂足为，交于， 则， 设，则 因为，所以，所以， 又，所以 所以，又， 所以，此时时，，，平面， 所以平面，平面，所以平面⊥平面.    变｜式｜巩｜固 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)为的中点．点到的距离均为． 【分析】（1）取的中点，连结，证明四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理可得到结论. （2）连结，过点作交于点,确定点的位置，然后在可求出点到的距离. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为为的中点， 所以，且． 由且得， 由且得， 所以且， 故四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）如图，连结，过点作交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 所以． 因为，所以． 又由且为的中点得，又平面， 所以平面，故． 由且为平面内两条相交直线，故平面． 在矩形中，，，， 所以， 所以，故为的中点， 在中，，为的中点， 所以为的角平分线， 所以点到的距离均为1， 所以点到的距离均为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 立体几何初步 11.4 空间中的垂直关系 知识点一 异面直线所成的角 1、两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，，我们把直线，所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 2、异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是 3、两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作. 4、平面几何常用证明直线与直线垂直的方法： ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 5、立体几何常用证明直线与直线垂直的方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直线）。 即学即练 1．（江西安福中学、吉水中学等校2025-2026学年高三下学期4月测试数学试题）在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 知识点二 直线与平面垂直 1、 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 其他判定方法： 利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 利用平面的法向量（向量法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 2、性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 其他性质：线面垂直 ⇒ 线线垂直：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 3、与距离的关系 点到平面的距离：过点作平面的垂线，垂线段的长即点到平面的距离。 直线到平面的距离（当直线平行于平面时）：直线上任意一点到平面的距离。 平行平面间的距离：可转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。 4、三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 即学即练 1．（2026高二下·湖南长沙·学业考试）如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（ ）条. A． B． C． D． 知识点三 平面与平面垂直 1、判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其他判定方法： 利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量互相垂直（即它们法向量的点积为零）。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 2、性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 其他性质： 面面垂直 ⇒ 线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（同核心性质定理）。 3、传递性相关： 如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面（同上）。 与线线垂直的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内任意一点向另一个平面作垂线，该垂线在第一个平面内。 4、与距离的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内到交线的距离等于到另一个平面的距离的线段，其端点连线垂直于另一个平面。 5、唯一性： 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直。 过一条直线有无数个平面与已知平面垂直（只要平面包含该直线且垂直于已知平面）。 即学即练 1．（2026·安徽马鞍山·二模）已知直线，与平面，，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 2．（25-26高三·北京·二轮复习）如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且.证明：平面平面. 题型01 异面直线所成的角 求异面直线所成角一般步骤： ①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线； ②证明：证明所作的角是异面直线所成的角； ③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之； ④取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 典｜例｜精｜析 1．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 变｜式｜巩｜固 1．（2026·辽宁大连·一模）在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，分别是的中点，则异面直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2027高三·全国·专题练习）在正四棱锥中，为棱上的点，且，设平面与平面的交线为，则异面直线与所成角的正切值为（     ） A． B． C． D． 题型02 线面垂直的判定 线面垂直常用的判定方法： 1、利用定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 典｜例｜精｜析 1．（2025高三上·四川·学业考试）如图，在四面体中，分别是的中点，则下列结论中一定正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 变｜式｜巩｜固 1．（2025高三·全国·专题练习）（多选）（多选）如图，下列四个正方体中，E，F，G均为所在棱的中点，则直线平面EFG的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 3．（2026·河北·模拟预测）（多选）如图，已知直四棱柱的侧面为正方形，底面为长方形，，，分别为，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 题型03 面面垂直的判定 面面垂直判定的常用方法： 1、利用定义：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。 4、利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 5、利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 典｜例｜精｜析 1．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高二上·北京·期中）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ）．    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 2．（2025高三·全国·专题练习）已知直四棱柱的底面ABCD是正方形，则下列结论不一定成立的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 3．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）（多选）如图，四边形是矩形，平面，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 题型04 证明线面垂直 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 典｜例｜精｜析 1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，已知空间四边形的边，，作于点，作于点．求证：平面． 3．（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 题型05 证明面面垂直 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 3、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 典｜例｜精｜析 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，．证明：平面平面 变｜式｜巩｜固 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，，，，，求证：平面平面ABCD； 2．（25-26高三·北京·二轮复习）在中，，，，，分别是，上的点，满足，且.将沿折起到的位置，使，如图所示.求证：平面平面. 3．（2026高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，， ． (1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由； (2)证明：平面平面． 题型06 由垂直关系确定存在性问题 一、垂直的唯一性： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（当直线不垂直于已知平面时） 二、 线面垂直类问题 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与已知直线垂直 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线 三、 面面垂直类问题 动点在面上使面面垂直：在目标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为线面垂直问题） 动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条件约束） 典｜例｜精｜析 1．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 变｜式｜巩｜固 1．（2025高一·全国·专题练习）如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大．    (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论． 3．（2025高一·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，，，底面，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)在侧面内找一点，使得平面，并求点到的距离. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $