11.4 空间中的垂直关系-【新课程能力培养】2023-2024学年新教材高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章 立体几何初步 学 学 习 目 标 1. 了解直线与直线所成角及直线与平面 垂直的定义 . 2. 理解直线与平面垂直的判定定理， 并 会用其判断直线与平面垂直 . 要 点 精 析 要点 1 异面直线所成角 （ 1 ） 定义如图 所示， 已知两条异 面直线 a ， b ， 经过 空间任一点 O 分别 作直线 a′∥a ， b′∥b ， 我们把直线 a′ 与 b′ 所 成的角叫作异面直线 a 与 b 所成的角 （或 夹角） . （ 2 ） 两条异面直线所成的角 α 的取值范 围是 0°<α≤90°. （ 3 ） 两条直线互相垂直： 如果空间中两 条直线所成角的大小为 90° ， 那么我们就说 这两条直线互相垂直 . 若直线 l 与直线 m 垂 直， 记作 l⊥m. （ 4 ） 性质若 a∥b 且 b⊥c ， 则 a⊥c. 思考 1 空间中两条异面直线所成角 θ 的范围为什么不是 0°≤θ≤90° ？ 例 1 如图 ， 在四面体 ABCD 中 ， E ， F 分别是 AC ， BD 的中点， 若 AB＝2 ， CD＝4 ， EF⊥AB ， 求 EF 与 CD 所成的 角的度数 . 分析： 取 AD 的中点 G ， 连接 EG ， FG ， 可得 ∠FEG 或其补角为 EF 与 CD 所成的角 . 在 △EFG 中， 通过计算可得答案 . 解： 取 AD 的中点 G ， 连 接 EG ， FG. ∵E ， F 分别为 AC ， BD 的 中点， ∴FG ∥ 1 2 AB ， EG ∥ 1 2 CD ， 则 ∠FEG 或其补角为 EF 与 CD 所成的 角 . ∵EF⊥AB ， ∴ 在 △EFG 中， EF⊥FG ， ∴sin∠FEG＝ FG EG ＝ 1 2 ， ∴∠FEG＝30°. 即 EF 与 CD 所成的角的度数为 30°. 变式训练 1 在正方体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 中， E 为 C 1 D 1 的中点， 则异面直线 AE 与 A 1 B 1 所成角的余 弦值为 . 11.4 空间中的垂直关系 11.4.1 直线与平面垂直 第 1课时 α a b a′ b′ O F G E A B C D B F E A C D 95 高 中 数 学 必 修 第四册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 2 直线与平面垂直的判定定理 1. 文字语言： 如果一条直线与一个平面 内的两条相交直线垂直， 则这条直线与这个 平面垂直 . 2. 符号语言： 若 m奂α ， n奂α ， m∩n= B ， l⊥m ， l⊥n ， 则 l⊥α. 3. 图形语言： 如图所示 . 思考 2 一条直线与一个平面内两条 平行直线垂直， 那么这条直线与这个平面 是什么位置关系？ 例 2 如图， 已知正 方 体 ABCD鄄A 1 B 1 C 1 D 1 ， M 为 CC 1 的中点， AC 与 BD 交于点 O ， 求证： A 1 O⊥ 平面 MBD. 分析： 要证明线面垂直， 只需在这个 平面内找到两条相交直线都垂直于这条直 线 . 可证 BD⊥A 1 O ， A 1 O⊥OM. 进而可证 A 1 O⊥ 平面 MBD. 证明： 连接 A 1 C 1 ， MO. ∵BD⊥A 1 A ， BD⊥AC ， A 1 A∩AC=A ， BD⊥ 平面 A 1 ACC 1 ， 又 ∵A 1 O奂 平面 A 1 ACC 1 ， ∴BD⊥A 1 O. 易得 tan∠AA 1 O = 2 姨 2 ， tan∠MOC = 2 姨 2 ， ∴∠AA 1 O=∠MOC ， 则 ∠A 1 OA+∠MOC=∠A 1 OA+∠AA 1 O=90° ， A 1 O⊥OM. 又 ∵OM∩DB=O ， ∴A 1 O⊥ 平面 MBD. 变式训练 2 如图 ， 在三棱锥 S鄄ABC 中 ， ∠ABC＝ 90° ， D 是 AC 的中点， 且 SA＝SB＝SC. （ 1 ） 求证： SD⊥ 平面 ABC ； （ 2 ） 若 AB＝BC ， 求证： BD⊥ 平面 SAC. 反思： 利用线面垂直的判定定理证明 线面垂直的步骤： （ 1 ） 在这个平面内找两条直线， 使它 们和这条直线垂直 . （ 2 ） 确定这个平面内的 两条直线是相交的直线 . （ 3 ） 根据判定定理 得出结论 . 要点 3 证明空间两直线垂直 思考 3 判定两条直线垂直的方法有 哪些？ 例 3 如图， 已知直三棱 柱 ABC鄄A 1 B 1 C 1 ， AC=CB ， 点 E 在 AB 1 上 且 CE⊥AB 1 ， D 为 AB 的中点 . 求证： AB 1 ⊥ED. 分析： 要证明线线垂直， 可证线面垂 直， 只需在这个平面内找到两条相交直线 都垂直于这条直线 . 可证 CD⊥AB 1 ， CE⊥ AB 1