精品解析：山东菏泽市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（B）

高一数学试题（B） 2026.04 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答､超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】． 故选B． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 故选：C. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出共轭复数，然后由复数的除法法则计算． 【详解】由已知． 故选：B． 4. 已知的内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标公式推得，再由三角形的内角范围即可判断三角形形状. 【详解】由题意可得，由正弦定理可得， 则由可得， 即、，则或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 5. 在中，点、分别在边、上，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式. 【详解】因为，所以，又因为，故， 因为，所以， 所以. 6. 已知的内角的对边分别是，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形内角和与两角和的正弦公式，推导出角为直角，再结合直角三角形的面积公式求解. 【详解】由三角形内角和得，故， 即， 结合题设，可得， 因，，故，即， 因此为直角三角形，面积. 代入，得. 7. 已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线定理，可得，利用面积关系可得，然后结合计算即可. 【详解】设的三个内角对应的边分别为 由题可知，平分，所以，即， 又面积是面积的2倍，所以， 由，所以，， 又，则，又， 所以， 故选：A 8. 已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实系数一元二次方程的虚根共轭成对，利用韦达定理，求出实数和的值，再由复数能与实数5比较大小，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】已知是实系数方程的根， 根据实系数一元二次方程虚根共轭成对定理，另一个根为 两根和：，得； 两根积：，解得 只有实数才能比较大小，则必须是实数，且大于5. 展开乘积： 若满足大于5，需满足两个条件： 1. 虚部为0： 2. 实部大于5：把代入实部， 得：. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据复平面内的点写出复数及其共轭复数，再逐一验证各选项的计算结果. 【详解】由复数在复平面内对应的点为，得，其共轭复数. 对于A：，A选项正确. 对于B：，B选项错误. 对于C：，C选项正确. 对于D：， 故，D选项正确. 10. 在中，角、、所对的边分别是，，，若，，若满足条件的唯一确定，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据唯一确定，得到或，求解即可得到的可能值. 【详解】解：若满足唯一确定， 则或， 故选：BD. 11. 已知平面向量满足，且对任意的实数恒成立，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，将不等式两边同时平方，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式非负求解的值；选项B，将两边平方，转化为向量数量积的等式，结合已知条件验证是否成立；选项C，可结合已知的和已求得的，考虑向量夹角的可能性，分析数量积的取值；选项D，建立平面直角坐标系，将向量坐标化，把模的和转化为平面上两点间距离的和，利用几何意义和余弦定理求最小值. 【详解】选项A，已知对任意恒成立，两边平方得： ， 代入，整理得关于的二次不等式： ，对任意恒成立， 故判别式：， 得，即，正确； 选项B，计算两边模的平方：， 故，正确； 选项C，题目仅给出，没有限定的方向，可以取到不同值（例如取，则），错误； 选项D，如图所示，设坐标原点为，点对应的向量为. 因为 ，所以点在半径为2的圆上运动. 由，设点对应的向量为，则， 可知； 设点对应的向量为，则 可知. 即求的最小值 在圆中（半径），点在圆外，， 把转化成点到另一个点的距离，在射线上取一点， 使得.此时，在 和 中： 1. （公共角），2. ，， 由此得，相似比为. 所以，,即，且，. 点与点之间的夹角：因为 ，， 所以 就是向量与的夹角，即. 根据三角形两边之和大于第三边，. 因为点和都在圆内部（距离均为1，半径为2），点在圆周上， 所以的最小值发生在点 、点、点并不共线，而是使到两点距离之和最小的圆上位置. 由于 且夹角为，由对称性可知， 当位于的角平分线上时（且在同侧的圆弧上），距离之和最小. 此时，与的夹角为. 利用余弦定理计算此时的距离： . 同理，根据对称性，， 所以，的最小值为. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知的内角所对的边分别是，若，则角的大小是______． 【答案】## 【解析】 【详解】由余弦定理可得， 因为，所以. 13. 在梯形中，，，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可知，设，则，利用平面向量的线性运算得出，利用平面向量的基本定理结合可求出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示，由题意可知， 设，则， 因为， 所以， 又因为，且、不共线，所以，， 故，解得， 所以. 14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则边b的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求，然后结合余弦定理及基本不等式即可求解． 【详解】解：由已知结合正弦定理得， 因为， 所以，即， 所以， 因为，所以． 又， 所以， 当且仅当时取“ ”． 所以的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. （1）若，求实数、的值； （2）已知成立，求实数的值； （3）若关于的方程有实根，求正实数的值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）利用复数相等可得出关于、的方程组，解之即可； （2）根据复数为零可得出关于、的方程组，解之即可； （3）设方程的实根为，根据题意得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为、，所以由，可得， 解得或，所以； （3）设方程的实根为，则有， 所以，解得. 16. 已知平面向量， （1）若与垂直，求k； （2）若向量，若与共线，求. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）借助数量积的坐标运算即可得； （2）借助向量共线定理与模长的坐标表示计算即可得. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 因为与垂直，所以， 整理得，解得； 【小问2详解】 因为，，， 所以，， 因为与共线，故， 所以，解得， 所以，， 所以. 17. 已知的内角，，所对的边分别是，，，. （1）求； （2）若，当的面积最大时，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角函数公式变形即可求解； （2）利用余弦定理求得和的关系，再结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 整理得， ， 因为，所以，则， 因为，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，即， ，所以，当且仅当时等号成立， 面积， 当时取到最大值，此时为等边三角形，， 所以，周长为. 18. 如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． （1）若，求线段的长度； （2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积求出，再在中利用余弦定理可得； （2）设，根据面积求出，再在中利用正弦定理可得，结合辅助角公式、二倍角公式化简，最后利用三角函数求最值即可. 【小问1详解】 因为的面积为，，， 所以，则， 在中利用余弦定理得， 所以线段的长度为. 【小问2详解】 设， 因为的面积为，，所以，则， 因为，所以， 因为，所以 在中利用正弦定理可得，， 则 ， 因为，所以，则， 则，则， 等号成立时，则，即， 故当时线段的长度最小，最小为. 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且 （1）求角； （2）求； （3）已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题设及三角形内角性质，应用和角正弦公式得，进而有，结合，即可得； （2）由题设，，再应用等面积法得，向量数量积的定义即可得； （3）构建合适的直角坐标系，设点，应用向量加减、模长的坐标运算及的几何意义有点为的费马点时，取最小值，即可得. 【小问1详解】 因为，又， 所以， 因为，则，故， 因为，所以， 又，则，故为等腰直角三角形，所以. 【小问2详解】 由，知， 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由得：， 整理得， 则. 【小问3详解】 在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设点， 则，， 所以， 则的几何意义是点到点、、的距离之和， 因为，，则为等腰直角三角形，故， 易知，故， 所以，的“费马点”为点，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题（B） 2026.04 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必将姓名､班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答､超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （　　） A. B. C. D. 2. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 5. 在中，点、分别在边、上，且，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角的对边分别是，已知，则的面积为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知中，是上的点，平分，且面积是面积的2倍，，则的长度为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知复数（是虚数单位）是方程的根，其中，若复数是大于5的实数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，角、、所对的边分别是，，，若，，若满足条件的唯一确定，则的可能值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面向量满足，且对任意的实数恒成立，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 已知的内角所对的边分别是，若，则角的大小是______． 13. 在梯形中，，，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则__________. 14. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，，则边b的最小值为______. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤） 15. （1）若，求实数、的值； （2）已知成立，求实数的值； （3）若关于的方程有实根，求正实数的值. 16. 已知平面向量， （1）若与垂直，求k； （2）若向量，若与共线，求. 17. 已知的内角，，所对的边分别是，，，. （1）求； （2）若，当的面积最大时，求的周长. 18. 如图，在平面四边形中，，在边上，，，的面积为，记． （1）若，求线段的长度； （2）当为何值时，线段的长度最小？求出该最小值． 19. 法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点．托里拆利确定费马点的方法如下： ①当三个内角均小于时，满足的点为费马点； ②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点． 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角、、所对的边分别为、、，点为的费马点，且 （1）求角； （2）求； （3）已知在中，若点为平面上任意一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $