精品解析：安徽池州市2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试卷

安徽池州市2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试卷 满分150分，时间120分钟．请在答题卡上作答． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 20 B. -20 C. 160 D. -160 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法一定正确的是（ ） A. 函数在处取得极大值 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数有两个零点 D. 当时，函数的最大值是 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 2 C. 0 D. 4. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 有7个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（ ） A. 144 B. 72 C. 48 D. 36 6. 我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2. 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 根据上表，可以判断五种规格国旗的（ ） A. 周长构成等差数列 B. 周长构成等比数列 C. 面积构成等差数列 D. 面积构成等比数列 7. 现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序，数列必须在第一道或者第二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目分配方式有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 8. 若实数满足，下列说法正确的是（ ） A. 存在最小值 B. 存在最大值 C. 存在最小值 D. 存在最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列，给出以下定义：对于任意，都有，则称数列为“友好数列”，下列说法正确的有（） A. 若数列满足，且前项和为，则数列为“友好数列” B. 若数列满足，且数列为“友好数列”，则 C. 若数列为“友好数列”，且，则数列没有最小项 D. 若数列为“友好数列”，则对于任意，当时，总有成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，则数列的前2026项和为__________． 13. 小唐和小陈去旅游，他们打算从A、B、C、D等8个景点中各自随机选择4个，若他们不同时选择景点，且有且只有两个景点是相同的，则选择方法共有___________种．（用数字作答） 14. 已知关于的不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求的前项和． 17. 用数字组成没有重复数字的数． （1）求可组成多少个四位数； （2）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排,求第个数； （3）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数． 注：结果均用数字作答． 18. 已知的展开式中，第4项与第5项的系数之比为8:7． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的两个极值点分别为和，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽池州市2025-2026学年高二下学期4月期中质量检测数学试卷 满分150分，时间120分钟．请在答题卡上作答． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 20 B. -20 C. 160 D. -160 【答案】D 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，然后令的指数为0，即可求出对应的常数项． 【详解】解：二项式展开式的通项公式为， 令，得， 所以常数项为． 故选：． 2. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法一定正确的是（ ） A. 函数在处取得极大值 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数有两个零点 D. 当时，函数的最大值是 【答案】D 【解析】 【详解】由图知，当时，； 当时，，仅当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值，故A错误， 函数在区间上单调递减，故B错误； 由图无法确定函数的零点个数，故C不一定正确； 由函数在区间上单调递减， 故当时，函数的最大值是，故D正确． 3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，即， 所以，又， 则公差，所以． 4. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 由题可知，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减. 此时在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 即在和上单调递增，在上单调递减.， 此时在处取得极小值，符合题意. 5. 有7个座位连成一排，现有3人入座，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（ ） A. 144 B. 72 C. 48 D. 36 【答案】B 【解析】 【详解】将3人视为有顺序，先排好3人，有种排法，形成4个空隙（包括两端），将4个空座位分配到4个空隙中，要求恰好有一对相邻空位， 即只有一个空隙放入2个空位，其余三个空隙中恰有两个各放入1个空位、一个放入0个空位， 选一个空隙放2个空位有4种，再从剩余3个空隙中选两个放1个空位有3种， 故分配方式有4×3=12种，因此不同坐法总数为6×12=72种. 6. 我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2. 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 根据上表，可以判断五种规格国旗的（ ） A. 周长构成等差数列 B. 周长构成等比数列 C. 面积构成等差数列 D. 面积构成等比数列 【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别列出各个规格的周长与面积，根据等差数列与等比数列的定义即可求解. 【详解】由题意得 规格 一号 二号 三号 四号 五号 尺寸 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64 周长 960 800 640 480 320 面积 55296 38400 24576 13824 6144 则，故周长构成等差数列. ，故周长不构成等比数列， ，故面积不构成等差数列， ，故面积不构成等比数列. 7. 现将数列、立体几何、解析几何、导数、概率与统计这五道解答题排序，数列必须在第一道或者第二道位置，解析几何不能在第一道，则不同的题目分配方式有（ ） A. 30种 B. 36种 C. 42种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【详解】数列排在第一道（此时解析几何必然不在第一道）的排序方法有种； 数列排第二道时，第一道有种排法，第三、四、五道有种，则排序方法有种． 综上，不同的题目分配方式有种． 8. 若实数满足，下列说法正确的是（ ） A. 存在最小值 B. 存在最大值 C. 存在最小值 D. 存在最大值 【答案】B 【解析】 【分析】令，，利用导数求出函数在上单调递减，得函数的值域为R，可以判断C，D选项，由零点存在性定理得，存在，使得，可以判断A，B选项． 【详解】令，，则， 令，则， 由，得，由，得， 得函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，所以，所以函数在上单调递减， 当时，，当时，， 得函数的值域为R，而，则可以取遍的所有值， 则的取值范围为R，故不存在最小值，也不存在最大值， 又因为，， 而函数在上单调递减， 由零点存在性定理得存在，使得， 即当时，，当时，， 因为， 所以要使关于的方程有实数解， 必须满足，得， 故存在最大值，不存在最小值． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误． 10. 已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用组合数性质判断A，应用赋值法计算判断B，D，应用通项公式计算判断C. 【详解】由题意得，，则，故A正确； 令，得， 令，得，则，故B错误； 展开式的通项为，则，故C正确； 由，得， 令，得，故D错误． 11. 已知数列，给出以下定义：对于任意，都有，则称数列为“友好数列”，下列说法正确的有（） A. 若数列满足，且前项和为，则数列为“友好数列” B. 若数列满足，且数列为“友好数列”，则 C. 若数列为“友好数列”，且，则数列没有最小项 D. 若数列为“友好数列”，则对于任意，当时，总有成立 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由等比数列通项求出前项和,代入验证判定A正确；再由友好数列定义得相邻差单调递增,结合初始差值放缩推出判定B正确；接着构造差数列,由整数单调递增及首末项相等推出数列先减后增应有最小项,故C错误；最后利用差数列递增性质,分别对前后段裂项放缩作商比较,推导出对应分式不等式判定D正确. 【详解】由，得， 对于任意，， 故，所以数列是“友好数列”，故A正确； 因为数列为“友好数列”，所以对于任意，都有， 即，又，则， 即， 所以，故B正确； 因为数列为“友好数列”，，所以对于任意，都有， 即， 设，则数列为单调递增数列，且， 所以， 因为，所以， 所以存在时，， 当时，，当时，， 因此，数列存在最小项为（不一定唯一），故C错误； 因为为“友好数列”，所以对任意，都有， 即，所以对于任意， 当时，总有， 所以， 又， 所以，由，得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列的前项和为，则数列的前2026项和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助等差数列性质及其求和公式可求出，再利用裂项相消法计算即可得解. 【详解】设公差为，则有，解得， ，则， 故. 13. 小唐和小陈去旅游，他们打算从A、B、C、D等8个景点中各自随机选择4个，若他们不同时选择景点，且有且只有两个景点是相同的，则选择方法共有___________种．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，分情况讨论计算选取方法，从而确定总的选择方法． 【详解】若仅小唐选了景点，有种； 若仅小陈选了景点，也有种； 若小唐和小陈都没有选景点，则有种． 综上，共有种． 14. 已知关于的不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先对原不等式整理变形，分和两类讨论参数的符号，时构造函数求导分析单调性，发现趋向负无穷时有无穷多个整数解，舍去；时同构构造函数，求导借助辅助函数判定在单调递增，算出的函数值，结合不等式仅有两个整数解为1，2，进而锁定的取值范围. 【详解】由题意得，，不等式化简整理得，即． 当时，，且. 令，所以. 令，则，所以在上单调递增. 所以，即，所以在上单调递减. 当，此时不等式有无穷多个整数解，不符合题意； 当时，，且. 令，所以. 记，则，所以在上单调递增. 所以，即，所以在上单调递增. 因为，且不等式有且仅有2个整数解，则这2个整数解为. 所以，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最值； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为． （2） 【解析】 【分析】（1）先代入得到解析式，求导得到，再构造辅助函数并二次求导判断单调性，算出区间端点函数值确定在恒负，推出在区间单调递减，最后代入区间端点求出最值. （2）先对不等式变形构造新函数，将条件转化为在单调递增，转化为导数恒非负的恒成立问题，分离参数后构造，求导研究单调性求出最小值，进而得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 令，则，由得， 时，，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递减， 所以在上的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 由题意得，即， 设，即，由，即在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立． 设，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围为． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）记，求的前项和． 【答案】（1） 由题意得，，所以由，得. 所以，又，所以是首项为2，公差为3的等差数列． （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， 即，所以， 所以， ， 两式相减得 所以. 17. 用数字组成没有重复数字的数． （1）求可组成多少个四位数； （2）将（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一排,求第个数； （3）求可组成多少个偶数互不相邻的六位数． 注：结果均用数字作答． 【答案】（1）720 （2）1602 （3）468 【解析】 【分析】（1）先从个非零数字选个作千位,剩余个数字选个排列,分步相乘求四位数总数. （2）先确定千位为有120个四位数,再按每个百位对应20个数逐级定位,推出第101个数. （3）确定只能取奇偶,先排奇数插空排偶数,再减去首位为的不合情况,作差得结果. 【小问1详解】 四位数的千位不能为0,有种选法, 再从剩下的6个数字选3个进行排列,有种选法, 根据分步乘法计数原理,得可组成个四位数． 【小问2详解】 千位为1时,一共有个四位数,所以第101个数的千位一定为1． 因为千位为1时，百位为的四位数分别有个，共个. 故第个数的百位是6，它是以16开头的最小的数，即． 【小问3详解】 中有个奇数,个偶数, 若有个偶数,要求偶数互不相邻,至少需要3个奇数隔开,这样就是位数,不合题意,所以有个奇数,个偶数． 个奇数全排列,形成4个空位，从个偶数中选个将其放在个空位中的个,则有种排法． 计算首位为的情况：个奇数全排列,形成个空位,第一位为,从个偶数中选个将其放在剩余个空位中的个,则有种排法, 综上,可组成个六位数． 18. 已知的展开式中，第4项与第5项的系数之比为8:7． （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先写出二项式展开式的通项公式，分别表示出第4项、第5项的系数，依据两项系数之比为列出方程，利用组合数公式化简求解得到的值. （2）由求得的，根据二项式系数性质确定二项式系数最大的项为中间第6项，再代入通项公式计算出该项的表达式. （3）设出系数最大的项为第项，列出该项系数不小于前后相邻两项系数的不等式组，借助组合数公式化简不等式，求出整数的值，进而算出系数最大的项. 【小问1详解】 的展开式的通项为 ， 则， 则第4项的系数为，第5项的系数为． 因为第4项与第5项的系数之比为所以，解得． 【小问2详解】 因为所以展开式中二项式系数最大的项为第6项， 所以展开式中二项式系数最大项为． 【小问3详解】 设项为展开式中系数最大的项，且， 则， 即所以. 即，解得， 因为所以所以展开式中系数最大的项为. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的两个极值点分别为和，且． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（i）知，，且时，， 又，所以. 令，则， 易得在上单调递增，且， 所以当时，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，则， 又因为，所以， 所以，即． 【解析】 【分析】（1）先代入确定函数解析式与定义域，再求导算出切点横坐标对应的函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，最后用点斜式整理化简得出切线方程. （2）（i）先求出函数导数，由有两个极值点转化为对应导函数方程有两个正根，构造辅助函数并求导分析单调性与最小值，结合函数极限和零点位置，数形结合确定直线与图象有两个交点时的取值范围. （ii）先依据前一问单调性确定极值点的取值范围，构造关于的新函数并求导研究其单调区间与最小值，证得，再结合的范围放缩不等式，最终推导出成立. 【小问1详解】 当时，， 则的定义域为，则， 所以曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 （i），定义域为． 因为函数有两个极值点，所以是方程的两个正根． 令，则定义域为， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则． 又当时，，当时，， 所以当时，的图象与直线有两个不同的交点， 综上，实数的取值范围为． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $