精品解析：安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 命题单位：池州三中 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 5.考试结束后，将答题卡统一交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数导函数为，且，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 6 2. 如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（ ）种不同的着色方法. A 180 B. 120 C. 60 D. 240 3. 已知函数图象在点P处的切线方程为，若点P的横坐标是2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（ ） A. 8 B. 7或8 C. 8或9 D. 7，8或9 5. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.09 C. 0.1 D. 0.15 6. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 7. 2024年11月24日，在池州市举行的马拉松比赛中，昭明大道设有三个服务站，某高中5名同学到①、②、③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲只能去①号服务点，则不同的安排方法共有（ ）种 A. 50 B. 60 C. 68 D. 90 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，下列正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 下列正确的有（ ） A. 把6个相同的小球放入4个相同的盒子中，每个盒子都不空，共有10种方法 B. 把6个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有10种方法 C. 把6个不同的小球放入4个相同的盒子中，每个盒子都不空，共有1560种方法 D. 把6个不同的小球放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，共有2160种方法 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 贵池区某高中高二（3）班周二的课表要排语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育共7节课，如果语文需要安排在数学前，数学需要安排在体育前（均可以不相邻），有______种不同的排法. 13. 在的展开式中，常数项为______. 14. 已知函数的导数为，若，则不等式的解集为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中. （1）求二项式系数最大项； （2）求系数最大的项. 16. 甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击. （1）求甲获胜的概率； （2）求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差. 17. 贵池某中学在2025年距离高考倒计时100天当天，为高三学生举办高考百日誓师大会，用以激励正在备考的高三学生.学校共准备了四首励志歌曲和三个发言（一个教师代表发言，一个往届优秀学生视频发言，一个应届学生代表发言）.根据不同的要求，求本次活动的安排方法. （1）往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言必须相邻，有多少种安排方法？ （2）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ （3）励志歌曲甲不排第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 18. 已知. （1）当时，求函数的极值； （2），若存在3个零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省池州市贵池区2024-2025学年高二下学期期中教学质量检测数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 命题单位：池州三中 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3.请按题号顺序在各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效. 4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 5.考试结束后，将答题卡统一交回. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. 1 B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】据在某点处的导数的定义，可求得答案. 【详解】. 故选：C. 2. 如图，现要用5种不同的颜色给池州市4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，且青阳与东至不能使用同一种颜色，共有（ ）种不同的着色方法. A. 180 B. 120 C. 60 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理可求解. 【详解】给青阳着色有5种不同的方法，给贵池着色有4种不同的方法，给石台着色有3种不同的方法，因为青阳与东至不能使用同一种颜色，故给东至着色有2种不同的方法， 故由分步乘法计数原理有. 故选：B. 3. 已知函数的图象在点P处的切线方程为，若点P的横坐标是2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意求出点P的纵坐标，从而可求得，再根据导数的几何意义求出，然后可求出的值. 【详解】因为函数的图象在点P处的切线方程为，点P的横坐标是2， 所以点P的纵坐标为，所以， 因为点P处的切线方程为，所以， 所以. 故选：D. 4. 在二项式的展开式中，第五项的二项式系数最大，则（ ） A. 8 B. 7或8 C. 8或9 D. 7，8或9 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分类讨论二项式系数最大得出项数. 【详解】若的展开式中只有第五项的二项式系数最大可知； 当时，展开式有8项，则第四项，第五项的二项式系数最大，符合题意； 当时，展开式有10项，则第六项，第五项的二项式系数最大，符合题意； 故选：D. 5. 设某医院仓库中有10盒同样规格的光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张光片，则取得的光片是次品的概率为（ ） A. 0.08 B. 0.09 C. 0.1 D. 0.15 【答案】B 【解析】 【分析】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品，再由条件概率及全概率公式求解. 【详解】以，分别表示取得的这盒 X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，表示取得的 X 光片为次品， ，， 由全概率公式得 . 故选：B 6. 点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小，据此求解即可. 【详解】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小， 求导得，令，解得或（舍去）， 当时，，即， 由点到直线的距离公式可求得点到直线的距离为. 故选：C. 7. 2024年11月24日，在池州市举行的马拉松比赛中，昭明大道设有三个服务站，某高中5名同学到①、②、③三个服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，其中同学甲只能去①号服务点，则不同的安排方法共有（ ）种 A. 50 B. 60 C. 68 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据①号服务点分配的人数讨论即可. 【详解】当①号服务点只有甲时，将剩下四个人分成两组，按人数可分为{1,3}，{2,2}两种情况， 总的分组种类有种；再将两组人分配到②和③号服务点，有种方法， 故总共有种方法； 当①号服务点有两个同学时，共有种方法； 当①号服务点有三个同学时，共有种方法. 故总共有种方法. 故选：A. 8. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断奇偶性，再利用导数判断其单调性即可解不等式. 【详解】的定义域为R且，故为偶函数， 则不等式可化为， . 设，则， 则在上单调递增，则， 所以当时，恒成立，在上单调递增， 又因为其为偶函数，则其在上单调递减， ∴等价于，两边同时平方解得. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据基本初等函数求导公式、导数的四则运算法则及复合函数求导法则即可求解. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B错误； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：CD. 10. 已知，下列正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用赋值法令，可求；对于B，绝对值系数和等价于展开式的所有系数和即得；对于C，对原式两边求导后令即可求解；对于D，令即可求解. 【详解】选项A：令，得；令，得，所以，故A正确； 选项B：绝对值系数和等价于展开式的所有系数和，令，得，所以，故B正确. 选项C：对原式两边求导得：. 令，得，故C错误. 选项D：令，得左边， 右边为 故，故D正确. 故选：ABD. 11. 下列正确的有（ ） A. 把6个相同的小球放入4个相同的盒子中，每个盒子都不空，共有10种方法 B. 把6个相同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有10种方法 C. 把6个不同的小球放入4个相同的盒子中，每个盒子都不空，共有1560种方法 D. 把6个不同的小球放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，共有2160种方法 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据条件每个盒子先放一个，确定余下两个小球的放法即为答案； 对于B，将6个相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得； 对于C，把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，求出所有分组方法数即可； 对于D，把6个不同的小球按2，2，2和3，2，1和4，1，1三种方案分成3组，再将每一种分法放入3个不同盒子即可得解. 【详解】对于A，把6个相同的小球放入4个相同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，每个盒子先放入1个小球，还剩下2个小球，则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个盒子中，所以共有2种放法，故A错误； 对于B，6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，所以不同的放法种数为，故B正确； 对于C，6个不同的小球放入4个相同的盒子，每个盒子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，每一种分法的4组小球分别放入4个盒子满足要求，一种分组方法即为一种放法，所以不同的放法种数为，故C错误； 对于D，6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放1个小球，恰有一个空盒，先把6个不同的小球按2，2，2和3，2，1和4，1，1三种种方案分成3组，每一种分法的3组小球全排列，得到的每一个排列的3组小球分别放入3个盒子满足要求， 所以不同的放法种数为，故D正确． 故选：BD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 贵池区某高中高二（3）班周二的课表要排语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育共7节课，如果语文需要安排在数学前，数学需要安排在体育前（均可以不相邻），有______种不同的排法. 【答案】840 【解析】 【分析】先求全排列，因为语文，数学，体育只有1种顺序，可求总的方法数. 【详解】先对7个学科全排列有种，又因为语文需要安排在数学前，数学需要安排在体育前， 则这3个学科只有1种顺序， 所以共有. 故答案为：. 13. 在的展开式中，常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的展开式中的常数项和的系数，再求的常数项. 【详解】由题得的通项为， 令得的常数项为, 令，得的的系数为. 所以的常数项为. 故答案为: . 14. 已知函数的导数为，若，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式变形为，构造函数，判断其单调性即可解不等式. 【详解】不等式变形为， 设函数， 则， 因为，所以在上恒成立，则在上单调递增， 又，则， 所以不等式即为， 由在上单调递增，可得， 即不等式的解集为． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中. （1）求二项式系数最大的项； （2）求系数最大的项. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的性质即可判断最大项并求解； （2）设第项系数最大，则其系数大于或等于其前一项和后一项系数，列出不等式组求解即可得到答案. 【小问1详解】 由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大， 又展开式通项， 所以 【小问2详解】 设第项系数最大，则， 所以，解得， 故系数最大的项是第3项和第4项， . 16. 甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束.设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击. （1）求甲获胜的概率； （2）求射击结束时甲的射击次数X的分布列、均值和方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析，均值为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的乘法公式来求概率即可； （2）先求随机变量分布列，再根据公式求期望和方差即可. 【小问1详解】 记甲第次射中并获胜为，则彼此互斥， 记事件B表示甲获胜，则 . 【小问2详解】 的所有可能的取值为1，2，3， 则 所以的分布列为： X 1 2 3 p 所以的均值为：， 所以的方差为： 17. 贵池某中学在2025年距离高考倒计时100天当天，为高三学生举办高考百日誓师大会，用以激励正在备考的高三学生.学校共准备了四首励志歌曲和三个发言（一个教师代表发言，一个往届优秀学生视频发言，一个应届学生代表发言）.根据不同的要求，求本次活动的安排方法. （1）往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言必须相邻，有多少种安排方法？ （2）三个发言不能相邻，有多少种安排方法？ （3）励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？（结果用数字作答） 【答案】（1）1440种 （2）1440种 （3）3720种 【解析】 分析】（1）利用捆绑可求解； （2）利用插空法可求解； （3）利用间接法可求解. 【小问1详解】 根据题意，分两步分析 ①先将往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言捆绑，有种情况 ②捆绑后，与其他5个节目全排列，有种情况 共有的方法数：种 【小问2详解】 分两步进行分析： ①先排列三个发言以外节目，全排列，有种情况，排好后有5个空位， ②在5个空位中任选3个，安排三个发言节目，有种情况， 则三个发言不能相邻的排法有种； 【小问3详解】 如果没有条件限制，方法数为：种情况， 励志歌曲甲排在第一个，方法数有：种情况， 励志歌曲乙排在最后一个，方法数有：种情况， 励志歌曲甲排在第一个且乙排在最后一个，方法数有：种情况， 共有：种. 18. 已知. （1）当时，求函数的极值； （2），若存在3个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，进而求出单调区间，根据极值的概念求解即可； （2）易知有一个零点为，进而转化为方程有2个实根，参变分离，令，则函数与的图象有两个交点，利用导数研究函数的单调性，画出图象，数形结合求解即可. 【小问1详解】 当时，， 由得得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时取得极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由函数， 可得有一个零点为，要使得存在3个零点， 则需方程有2个实根， 而方程可化为， 令，则函数与的图象有两个交点. ，令得， 当变化时，、的变化情况列表如下： 1 - - 0 + + 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 单调递增 所以函数在处取得极小值为2e. 当时，又，所以的大致图象如图： 由函数与的图象有两个交点，根据图象可得. 所以要使得存在3个零点，则实数的取值范围是. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求取值范围； （3）求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，按、分类讨论求出函数的单调性. （2）等价变形给定不等式，构造函数，利用特值确定，再借助不等式的性质放缩，利用导数推理得证. （3）借助（2）的信息，得，令，可得，累加即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 不等式， 令，依题意，对任意成立， 而，则恒成立，即， 当时，对任意，，于是， 令，求导得，函数在上单调递增， 又，；， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此成立，即恒成立， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，不等式恒成立， 令，得， 因此， 即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$