6.3.2二项式系数的性质 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 6.3.2 二项式系数的性质 典例解析 例2 1.赋值法的应用—解决二项式系数问题. 解： 典例解析 赋值法的应用—解决二项式系数问题. 例2 解： 典例解析 赋值法的应用—解决二项式系数问题. 例2 解： 变式： 典例小结 【类题通法】 1．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 2.一般地，若f (x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f (x)的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. [评价活动] 1．若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　) A．29 B．29－1 C．39 D．39－1 D　解析：令x＝0，则a0＝1.令x＝2，则a0＋2a1＋22a2＋…＋29a9＝39，所以2a1＋22a2＋…＋29a9＝39－1. 2．已知＝，且(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn. (1)求n的值； 解：易知n≥7，n∈N.因为＝， 所以n(n－1)(n－2)(n－3)(n－4)＝56×， 整理可得＝1，即n2－11n－60＝0， 解得n＝15或n＝－4(舍去)．故n的值为15. (2)求＋…＋的值． 解： 令x＝0，可得a0＝1； 令x＝，可得＝a0＋＋…＋＝0. 所以＋…＋＝－1. 2．(1－3x)15＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anx15. 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系． 2.余数和整除的问题 典例解析 例4 用二项式定理证明：<m></m> 能被100整除. 证明 ， 能被100整除. 方法总结：利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. 2．设a∈Z，且0≤a＜13.若512 022＋a能被13整除，则a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 2 3 4 1 5 D　解析：由于51＝52－1，(52－1)2 022＝52＋1，又13能整除52，所以只需13能整除1＋a，0≤a＜13，a∈Z，所以a＝12. 2 3 4 1 任务一　二项式系数性质的简单应用 1．(多选)已知的展开式的第10项是常数，则(　　) A．n＝21 B．展开式的各项系数和为236 C．展开式中二项式系数最大的项只有第18项 D．展开式中系数最大的项为第19项 BD　解析：T10＝)n-9·＝， 由T10为常数，得＝0，所以n＝36，展开式的各项系数和为236，且第19项的二项式系数及系数最大． 2．在的二项展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M＋N＝72，则展开式中常数项为(　　) A．18 B．12 C．9 D．6 2 3 4 1 C　解析：令x＝1，可得各项系数之和M＝(1＋3)n＝4n，各项二项式系数之和N＝2n，而M＋N＝4n＋2n＝72，解得n＝3.所以＝，其展开式的通项为Tk＋1＝)3-k＝.令k＝0，得k＝1，可得展开式中的常数项为T2＝＝9.故选C. 3．若的展开式中各项系数之和为729，则该展开式的二项式系数之和为________，x2的系数为________. 2 3 4 1 64　160　解析：依题意，令x＝1，得3n＝729，则n＝6，所以二项式系数之和为26＝64.的展开式的通项是Tk＋1＝·(2x)6-k·＝.令6－＝2，得k＝3.因此，在该二项式的展开式中，x2的系数是·26-3＝160. 4．已知(a＋)n的展开式中奇数项的系数和为512，求展开式的第8项． 2 3 4 1 解：因为＋…＝2n-1＝512＝29， 所以n＝10，所以T8＝a3()7＝. 【类题通法】 二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论． ①当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； ②当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大． 任务三　展开式的系数的最值问题 关于的展开式，回答下列问题． 探究1：若各项系数的和比它的二项式系数的和大992，试求n的值． 提示：令x＝1，可得展开式中各项系数的和为4n，二项式系数的和为2n. 因为各项系数的和比它的二项式系数的和大992， 所以4n－2n＝992，解得n＝5. 探究2：求展开式中二项式系数最大的项． 提示：因为n＝5，所以第3项、第4项的二项式系数最大．由探究1可知Tk＋1＝)5-k·(3x2)k＝，所以T3＝＝，T4＝＝. 任务三　展开式的系数的最值问题 探究3：求展开式中系数最大的项． 提示：的展开式的通项为.设展开式中系数最大的项是第k＋1项， 则解得≤k≤. 又k∈N，所以k＝4， 所以展开式中系数最大的项只有第5项T5＝＝. 任务三　展开式的系数的最值问题 2．已知(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 解：T6＝(2x)5，T7＝(2x)6， 依题意有25＝26，解得n＝8， 所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝·(2x)4＝1 120x4. 设第r＋1项的系数最大， 则有解得5≤r≤6. 因为r∈{1，2，…，7}，所以r＝5或r＝6. 所以系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 【类题通法】 展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项的系数 分别为A0，A1，A2，…，An，且第(r＋1)项最大，应用解 出r，即得出系数最大的项． 课堂小结 $