精品解析：湖北武汉市2026届高三下学期四月供题数学试题

武汉市2026届高三年级四月供题 数学 武汉市教育科学研究院命制 2026.4 本卷共4页，19题，全卷满分150分.用时120分钟. 注意事项： 1.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若，为实数，且，则（ ） A. 7 B. 5 C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，是两定点，于，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. 240 B. C. 80 D. 7. 在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（ ） A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7 8. 若数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（ ） A. B. C. （其中） D. 当，时， 10. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 11. 已知曲线：，则（ ） A. 曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B. 曲线恰有八条对称轴 C. 过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D. 曲线所围成的封闭图形的面积满足 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为公比为3的等比数列，且，则______ 13. 已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 14. 在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象关于点中心对称. （1）求，； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求角. 16. 如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 17. 已知函数，其中. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 19. 某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为. （1）若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率； （2）为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）. （ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求； （ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：. （参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉市2026届高三年级四月供题 数学 武汉市教育科学研究院命制 2026.4 本卷共4页，19题，全卷满分150分.用时120分钟. 注意事项： 1.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 若，为实数，且，则（ ） A. 7 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据条件转化为，再利用复数相等求参数. 【详解】由条件可知，即， 得且，解得，， 所以. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 故. 3. 在中，若，，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由余弦定理，. 4. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，是两定点，于，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直关系，转化为坐标运算，根据三点共线，求解和的值. 【详解】由条件可知，，， ，得， 又因为三点共线，所以， 由可得，，， 所以. 5. 某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台形，上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助圆台侧面积公式计算即可得. 【详解】. 6. 在的展开式中，含项的系数为（ ） A. 240 B. C. 80 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的通项， 项的两种来源，①中项与相乘，②中项与相乘， ①令，得，此时该项为，与相乘后得到， ②令，得，此时该项为，与相乘后得到， 所以，含项的系数为． 7. 在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（ ） A. 0.55 B. 0.6 C. 0.65 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】设该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为， 根据题意可得，，解得. 8. 若数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列递推公式，构造函数，利用导数判断函数的单调性和函数值，从而判断数列的单调性和，判断A，同样通过作差构造函数，利用导数判断 函数的单调性，证明不等式，判断B，根据B的结果，两边取倒数，判断C，并根据累加法判断D. 【详解】，，， 所以在上单调递增，且， 因此，时，， 由，由递推式，得对所有的成立， ， 令，， 恒成立， 所以在单调递减，，因此时，， 即，数列单调递减， 因此，故A错误； B.， 令，， ， 当时，，时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以时，，即，所以，故B错误； C.由两边取倒数，得，即，故C错误； D.由可知，，即， 根据累加法，，故D正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 某工厂生产的零件质量指标．从生产的众多零件中随机抽取个零件，其中次品数，则（ ） A. B. C. （其中） D. 当，时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题结合正态分布的对称性判断选项A，B，根据二项分布的概率公式判断选项C，再通过条件概率公式计算验证选项D，从而得出正确答案． 【详解】对于A，正态分布的密度曲线关于直线对称， 所以，A正确； 对于B，由正态分布的对称性， ， 所以，B正确； 对于C，二项分布满足，， 当且仅当时两者相等，一般情况不成立，C错误； 对于D，当时，， ， 条件概率 ，D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】首先利用单调性画出函数的图象，再根据图象，以及函数的单调性判断选项. 【详解】A.时，，时，单调递减，时，单调递增， 所以是的极小值点，故A正确； 如图，画出函数的图象， B.当，，得或 所以当，， 当，单调递增，由增加到1， ，由1减小到，存在点时，，故B错误； C.如图，当时，，，，此时，不满足，故C错误； D.当时，，，此时， ，所以，故D正确. 11. 已知曲线：，则（ ） A. 曲线上任一点到原点的距离的最小值为 B. 曲线恰有八条对称轴 C. 过点的任意一条直线与曲线的公共点个数均为偶数 D. 曲线所围成的封闭图形的面积满足 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先由条件确定曲线为或，画出曲线的图象，结合双曲线的对称性和性质，直线与双曲线的交点个数问题，判断选项. 【详解】由曲线可知，或， 即或或或， 如图，分别画出曲线的图象， 这4个双曲线都关于轴，轴，和对称， 如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所以曲线有8条对称轴，故B正确； 根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小， 不妨研究落在轴正半轴的顶点到原点的距离，时，，即， 此时顶点到原点的距离为，所以曲线上任一点到原点的距离的最小值为，故A正确； 如图，当过点的直线与的左支相切时，此时有5个交点，分别是与有2个交点， 与有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错误； 如图，根据对称性，以原点为圆心以为半径的圆在封闭图形的内部，此时圆的面积为， 设与在第一象限的交点为，， 如图，连接与的交点，得到正八边形， 正八边形的面积为，封闭图形在正八边形的内部， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为公比为3的等比数列，且，则______ 【答案】729 【解析】 【详解】由题意得，故，， 所以. 13. 已知双曲线右焦点也是抛物线的焦点，两曲线在第一象限的公共点为，且垂直于轴，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】联立双曲线方程和抛物线方程，代入，，得到关于离心率的齐次式，求出答案 【详解】双曲线的右焦点坐标为， 的焦点坐标为，故，， 联立与得， 又，故， 满足，故， 即，化简得， 方程每项除以得，解得， 因为，所以不合要求，舍去， ，故. 14. 在三棱锥中，直线平面，，.设直线与平面所成的角为，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据线面角的定义，转化为求的最大值，利用正弦定理求的最大值. 【详解】因为平面，所以为直线与平面所成的角， 中，，，外接圆的半径为， 所以， 不妨设点为定点，点在以为弦，半径为的圆上运动， 所以的最大值为直径， ，当时，的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象关于点中心对称. （1）求，； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求角. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）将原函数化简后，利用对称性有恒成立，代入计算解出即可得； （2）利用正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式计算可得，再利用（1）中所得可求出，结合可求出，即可得. 【小问1详解】 由题 ， 由函数的图象关于点中心对称， 则， 即， 即 ， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知， 又，所以， 即， 所以.又，所以，又，所以， 又，∴， 又，所以，所以或， ∴或，又，所以或. 16. 如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. （2）2 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出线面垂直； （2）作出辅助线，得到二面角的平面角，根据正切值得到各边长，求出三棱锥的体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. 17. 已知函数，其中. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【小问1详解】 当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 18. 在平面直角坐标系中，，是两定点，动点与、连线的斜率之积为. （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与的轨迹相交于点，，直线，与直线分别交于点，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）记，，的面积分别为，，，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （ⅰ）可设直线方程为，点， 联立得，， ， 则，， 又直线、方程分别为，， 分别与联立，得，. ∴，， ∴ 所以，. （ⅱ）或. 【解析】 【分析】（1）根据斜率之积得到方程，又与、不能重合，从而得到轨迹方程； （2）（ⅰ）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，计算出，证明出结论； （ⅱ）计算出，，，由得到方程，解得，求出直线的方程 【小问1详解】 设点，由知，，化简得. 又与、不能重合，所以动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）先证明，在任意三角形中，若，， 三角形的面积 ， 由（ⅰ）知，， ∴，同理. ∴ . 又 ， 因为，， 所以， 故， 故， 由知，，解得. 所以直线的方程为或. 19. 某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为. （1）若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率； （2）为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）. （ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求； （ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：. （参考公式：） 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：依题意，.所有可能的取值为0，1，2，…，.当时，对应，概率为.当时，满足的站点对有两类组合方式： 第一类，此时为，，…，，共种； 第二类，此时为，，…，，共种； 即有种基本事件组合.所以，. ， 而，因为且，显然. 所以，. 【解析】 【分析】（1）转化为古典概率类型，即组合，与均服从集合上的离散型均匀分布，利用列举法，结合古典概率公式求解； （2）（ⅰ）根据公式，再根据（1）的结果，分别求和，即可求解； （ⅱ），分和时，，再代入期望公式求解. 【小问1详解】 根据题意，与均服从集合上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概率随机选择，因此组合的所有可能结果共有种，且每种结果发生的概率相同.设事件为“数据重载”，即.此时可以是，，…，，共种情况.故. 设事件为“顺向传输”，即.在种总情况中，除去的种情况，剩下的种情况分布在与两个对立且对称的事件中.由对称性可知，包含的情况数均为种.故. 【小问2详解】 （ⅰ）由于且，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，因此恒等式成立，即.根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：.对于离散型均匀分布的随机变量和，其可能的取值为1，2，…，，对应的概率均为. 故. 因此，. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $