精品解析：2025届湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高考数学核心素养试题卷

2025年华中师大一附中高考学科核心素养卷 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 在矩形中，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5 4. 如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台， ，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 112 B. C. D. 496 5. （ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 6. 已知等比数列的首项，公比为q，记，则“”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生（其中男生60人，女生40人），调查他们每日使用手机的时间.若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有（ ） A. 该校男生和女生人数之比约为 B. 如果从男生和女生各随机选取一名学生，那么男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率 C. 从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率约为 D. 从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率约为 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线 对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 11. 如图，半圆锥的底面直径为，母线， 为圆弧 上任意一点（不包括 ， 两点），直线 垂直于平面，且．连结交母线于点 ．下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的4个面均为直角三角形 B. C. 沿此半圆锥的曲侧面从点 到达点 的最短距离为2 D. 当直线 与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 被8除的余数为______. 13. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线 与所成角为______. 14. 已知锐角 的内角的对边分别为 ，若，则的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 16. 已知函数， 0 0 0 0 （1）若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； （2）若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 17. 小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为. （1）经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； （2）若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求事件发生的概率. 18. 已知圆，圆，动圆 与圆外切并与圆内切，圆心 的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线． （1）求曲线的方程； （2）若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接交 轴与 点． （ⅰ）若，求直线 的方程； （ⅱ）曲线上是否存在定点 使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知为有穷正整数数列，且，集合.若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集. （1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，证明：； （3）设，若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年华中师大一附中高考学科核心素养卷 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再利用集合交集的运算求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 故选：D. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念，复数的除法公式和共轭复数得概念，计算求解. 【详解】由得， 则，虚部为. 故选：C. 3. 在矩形 中，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设知，且，则， 所以，即. 故选：C 4. 如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台， ，，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ） A. 112 B. C. D. 496 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可. 【详解】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于， 过作交 于点E，交于点，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，则四边形为平行四边形， 因为水面的高度是方斗杯高度的，则 ，因此， 设棱台的高为，设体积为V， 则棱台的高为，设体积为， 则 所以，由题意，， 则该方斗杯可盛水的总体积为 故选：B. 5. （ ） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值. 【详解】 故选: D 6. 已知等比数列的首项，公比为q，记，则“”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前项和公式以及充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】由题意，， 则 当时，对于不一定恒成立， 如取，,即得不到数列为递减数列； 当数列为递减数列时，且对于恒成立， 又因，故得. 故“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B. 7. 现有一双运动鞋和一双凉鞋，从这四只鞋中随机取出2只，记事件“取出的鞋不成双”；“取出的鞋都是同一只脚”.则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A写出事件 包含的基本事件；B根据古典概型的概率公式求出；C事件是不可能事件；D利用概率的加法公式. 【详解】假设运动鞋的左脚为，右脚为，凉鞋的左脚为，右脚为， 则选出两只鞋包含了6种， 其中事件 包含了4种， 事件包含了2种，事件 包含了2种， 故，则A错误； ，，，，故BC错误； ，故D正确. 故选：D 8. 已知函数的定义域为，对任意的，均有，且，则下列结论中一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，即可判断A；令，可得，令，可判断B；令，可判断D；由题意可得，结合，，可得，再根据对数的运算性质及单调性，即可判断C. 【详解】解：对于A，令，则有，即，故A错误； 对于B，令，则有， 又因为， ， 所以， 令， 则有，故B错误； 对于C，因为， ， 所以， 令，则有，令，则有， 由B可知， 所以， 所以， 同理可得， 所以，故C正确； 对于D，由B可知， 令，则有，故D错误. 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为保护学生视力、促进学生身心健康发展，某中学研究型学习小组从该校学生中按男、女生比例，采用分层随机抽样的方法选取了100名学生（其中男生60人，女生40人），调查他们每日使用手机的时间.若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾.根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，下列说法正确的有（ ） A. 该校男生和女生人数之比约为 B. 如果从男生和女生各随机选取一名学生，那么男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率 C. 从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率约为 D. 从该校学生中抽到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率约为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的特点判断A；结合题意判断B；先求出样本中学生手机成瘾的频率，再利用频率估计概率即可判断C；根据条件概率求出从样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率，再用频率估计概率即可判断D. 【详解】根据分层随机抽样的抽样比可知，样本中男生和女生人数之比为， 用样本估计总体可知全校男生和女生人数之比约为，故A正确； 样本中男生有手机成瘾，女生有手机成瘾，比例关系差异很大， 男生手机成瘾的概率小于女生手机成瘾的概率，故B正确； 结合样本数据以及等高堆积条形图可知， 男生中有人手机成瘾，女生中有人手机成瘾， 即样本的100人中有28人手机成瘾，所以样本中学生手机成瘾的频率为， 用频率估计概率可知，从该校学生中随机抽取一名学生，该生手机成瘾的概率约为， 故C正确； 根据条件概率可知，在样本中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率约为， 用样本估计总体可知该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，该生是男生的概率也约为， 故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线 对称 C. 在单调递增 D. 函数有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【详解】函数定义域为 ，又， 令，，在上单调递增，在上单调递增， 所以在 上单调递增， 所以在 上单调递增，故选项C正确； 因为， 所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确； 因为，所以函数，函数， 所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间 上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 11. 如图，半圆锥的底面直径为，母线， 为圆弧 上任意一点（不包括 ， 两点），直线 垂直于平面，且．连结 交母线于点 ．下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的4个面均为直角三角形 B. C. 沿此半圆锥的曲侧面从点 到达点 的最短距离为2 D. 当直线 与平面所成角最大时，平面截三棱锥外接球所得截面的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直得到线线垂直，即可判断；根据，利用解三角形过程即可求解；判断出圆锥展开为一个半圆，再利用勾股定理求解；得出为直线 与平面所成角，设，表示出，得出，根据，利用基本不等式得出最值，根据锥的外接球半径为， 点到平面的距离为，又中点（球心）到平面的距离为 点到平面的距离的一半，即为，即可求解． 【详解】对于A，根据直线 垂直于平面，故，故为直角三角形，半圆锥的底面直径为， 为圆弧 上任意一点（不包括 ， 两点），，故为直角三角形，，，故平面，得，故为直角三角形，故A正确； 对于B，中，，则； ．B答案正确． 对于C，将圆锥沿母线剪开后得到平面展开图，，则； 即圆锥展开为一个半圆． 又，则，C答案错误． 对于D，过P作于 ，连接，则面， 故为 与面所成的角 设，则， 则， 可得． 设，则上式， 当且仅当，即时取得“”． 又三棱锥的外接球半径为， 点到平面的距离为， 又中点（球心）到平面的距离为 点到平面的距离的一半，即为； 则，所以，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 被8除的余数为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据二项式展开式性质计算求解余数. 【详解】， 因为能被8整除， 所以除以8的余数即是被8除的余数， 所以被8除的余数是2. 故答案为：2. 13. 已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线 与所成角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据，结合向量数量积的运算法则，分别求出和的值，再利用，求解即可． 【详解】解：不妨设三棱柱的各条棱长均为2， 因为， 所以，， 因为， 所以， 即， 且， 所以， 又异面直线夹角的取值范围为， 所以异面直线 与所成角为． 故答案为：． 14. 已知锐角 的内角的对边分别为 ，若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角 的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角 ，根据角 的取值范围求出原式的取值范围. 【详解】在锐角 中，由，有， 法一：有余弦定理知，，所以， 所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 所以的取值范围为. 法二：由正弦定理知，， 又，从而，故，所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）若，的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，因式分解得到，分和进行讨论，再细分为，和，求出函数单调区间. 【小问1详解】 时，，， ，故， 所以在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 的定义域为R， ， 若，恒成立，令 得，令 得， 的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得 或， 当，即时，令 得或， 令 得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，即时，恒成立， 所以的单调递增区间为R，无单调递减区间； 当，即时，令 得或， 令 得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上：若，的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 16. 已知函数， 0 0 0 0 （1）若， （ⅰ）根据如上表格，直接写出的值； （ⅱ）利用上述表格，使用“五点法”画出函数在的图象； （2）若函数在上恰有两个最值点，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）； （ⅱ）五点法画出函数图象如下， （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）根据表格数据求；（ii）应用五点法画出函数图象； （2）由题设，讨论在、、取得最小值，分别求出对应参数范围，即可得. 【小问1详解】 （ⅰ）由表格，，，； （ⅱ）图略 【小问2详解】 当时，， 当在取得最小值时，，解得， 当在取得最小值时，，解得， 当分别在取得最小值时，，解得， 综上：的取值范围为. 17. 小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为.若他挑战小明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为；若他挑战小红，下一次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为. （1）经过3次挑战后，小华已使用的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； （2）若经过次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求事件发生的概率. 【答案】（1）的分布列如下： 1 2 的期望为 （2）（ⅰ）证明如下： ① ② ①-②得：. 又， 则， 即. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）需要确定随机变量的取值，再分别计算每个取值的概率，进而得到分布列和数学期望； （2）（i）通过建立与的递推关系来证明两者相等；（ii）通过一系列递推关系找出的通项公式，从而求出. 【小问1详解】 的可能取值为1和2，且； ， 则的分布列如下： 1 2 则的期望为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）③， ①+②得：. 由③知 又； 则有，其中； 则是以为首项，为公比的等比数列. 可得：；所以 18. 已知圆，圆，动圆 与圆外切并与圆内切，圆心 的轨迹为曲线；将曲线上每一点的纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），得到曲线． （1）求曲线的方程； （2）若为曲线上一动点且在第一象限内，直线分别交曲线与两点，连接 交 轴与 点． （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）曲线上是否存在定点 使得三点的横坐标按一定顺序成等比数列？若存在，请求出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ⅱ）存在， 【解析】 【分析】（1）设圆 的半径为，根据题意得出，，再由椭圆的定义进行判断即可求解，设为曲线上任意一点，则点在曲线上，代入求解即可得出，不要忘记取值范围； （2）记直线的斜率分别为，设为上一点，得出，设直线，，联立直线与椭圆方程分别求出，，，（ⅰ）由，即，建立关于的等式求解即可；（ⅱ）得出 的方程：令 ，则，从而，存在使得，即可判断三点的横坐标成等比数列． 【小问1详解】 设圆 的半径为，点 由于，从而圆与圆内切 又圆 与圆外切，与圆内切，则有， 当时，，，从而，矛盾，故不符合题意； 当时，，，从而， 则点 的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆（除去点） 设，则半焦距为，即 ，从而， 故 设为曲线上任意一点，则点在曲线上，即，即 故； 【小问2详解】 由题意知直线的斜率存在，从而记直线的斜率分别为 设为上一点，则有，即， 从而 设直线 设 联立，得 有，得，即 同理可得 联立，得，从而，有 （ⅰ）由，即有， 解得，又，则 从而直线的方程：即 （ⅱ）由直线 的斜率 则直线 的方程： 令 ，则 又，从而，故存在使得， 即三点的横坐标成等比数列． 19. 已知为有穷正整数数列，且，集合.若存在，使得，则称 为可表数，称集合为可表集. （1）若，判定31，1024是否为可表数，并说明理由； （2）若，证明：； （3）设，若，求的最小值. 【答案】（1）31是，1024不是，理由如下： 由题意可知， 当时，有， 显然若时，， 而， 故31是可表数，1024不是可表数； （2）证明如下： 由题意可知若，即， 设，即使得， 所以，且成立，故， 所以若，则， 即中的元素个数不能超过中的元素， 对于确定的中最多有个元素， 所以； 当时，，我们取依次为 时，易知等号成立. （3）8 【解析】 【分析】（1）根据定义赋值及数列求和计算验证即可； （2）根据定义判定则有，从而可知，利用集合间的基本关系得出中最多有个元素，解不等式即可证明； （3）利用第二问的结论可设，有，然后利用定义先证为可表数，再根据三进制的基本事实确定k的最小值为满足成立的m，代入求m即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可设，使， 又， 所以，即， 而， 即当时，取时，为可表数， 因为， 由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，， 使， 所以 ， 令，则有， 设， 由的任意性，对任意的， 都有， 又因为，所以对于任意的为可表数， 综上，可知的最小值为 ，其中 满足， 又当时，， 所以的最小值为8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $