精品解析：安徽鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题

高一数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，. 2. 在中，，，，则（ ） A. 16 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：建立平面直角坐标系，再根据平面向量数量积的坐标运算公式即可求解；方法二：根据平面向量线性运算及数量积的运算律即可求解． 【详解】方法一：坐标法． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，则，，． ，， 则． 方法二：利用向量关系． ． 由于，， 所以． 3. 如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数，分别求得，即可求解． 【详解】设山顶在地面的投影为，则，从看的俯角为，则，所以． 从看的俯角为，则，所以． 由于、在的同侧，则． 4. 《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”．某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为和，高为3，则该模型的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用圆台体积公式计算求解. 【详解】已知圆台上、下底面周长分别为和，则半径分别为，，高． 圆台体积公式为， 代入得：． 5. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是边长为2的正三角形，则原的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图面积与原图面积的关系即可求解． 【详解】由斜二测画法，直观图面积与原图面积的关系为， 已知直观图是边长为2的正三角形，其面积为， 所以原三角形面积为． 6. 对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数棱数面数．已知某正多面体的每个面都是正三角形，每个顶点连接4条棱，则该正多面体的棱数E为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点数，棱数，面数之间的数量关系，结合欧拉公式列出方程即可求解． 【详解】因为过每个顶点的棱数为4，则，得； 每个面是正三角形，每条棱属于2个面，故，得； 代入欧拉公式：，解得． 7. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得出，再根据三角形中线的向量表示及平面向量数量积的运算律得出，由三角形面积公式即可求解． 【详解】由已知条件，化简得． 由正弦定理得，， 又，所以， 所以，由于为锐角三角形，所以． 边上的中线长为， 设边上的中线长为，则， 所以 ， 所以， 所以． 8. 已知非零向量，不共线，给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则存在正实数，使得与垂直； ③“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件； ④若，则“”是“与的夹角为”的充要条件． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质、平面向量夹角公式逐一判断即可. 【详解】①由得，展开得，故，正确． ②若与垂直，，解得， 因、，故，不存在正实数，错误． ③，即，得，即与夹角为锐角（因为不共线），反之亦然，故为充要条件，不是充分不必要，错误． ④由，得，；反之亦然，故为充要条件，正确． 正确结论为①④，共2个． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（ ） A. z的虚部为 B. 复数z的共轭复数为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可判断AB；将代入方程，列出方程组求解即可判断CD． 【详解】对于AB，由得， 其虚部为，共轭复数为2i，故A正确、B错误； 对于CD，实系数方程一根为， 代入原方程得，， 解得，，故C、D正确． 10. 如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（ ） A. 正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B. 若底面边长，则侧棱长 C. 若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 D. 该正三棱柱的侧面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由球表面积求得，由几何关系，正三棱柱的性质，三棱柱的体积公式及基本不等式结合选项分别判断即可求解． 【详解】由已知球表面积为得半径， 对于A，正三棱柱外接球球心为上下底面中心连线的中点，故A正确； 对于B，由几何关系得，即， 代入，得，故B正确； 对于C，若，则，体积，故C错误； 对于D，由得， 侧面积， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以，故D正确． 11. 已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 当P为BC中点时， C. 若的面积为面积的，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D． 【详解】对于A，由已知条件，得， 由，得， 平方得，得，． ， 由，得，则， 所以，故A正确． 对于B，当为中点时，， 则，故B正确． 对于C，由在上，设且，则与面积比等于， 由得，故C正确． 对于D，若，则，结合，得，为等边三角形． ,， 则 ， 当时，取得最小值，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与共线，则实数______． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】由已知得，， 因为两向量共线，所以，解得． 13. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为________． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意，设三条侧棱长分别为，，，且两两垂直，三个侧面为直角三角形， 其面积分别为，，，即，，． 三式相乘得，所以， 三棱锥的体积为． 14. 在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若，其中、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为．已知点A的斜坐标为，点B的斜坐标为．若，则实数k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】由斜坐标定义用、表示，再根据平面向量数量积的运算律列出方程即可求解． 【详解】因，所以， 由题意，． ， 已知、为单位向量，夹角为，故， 则，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是夹角为的两个单位向量，设，． （1）求证：与垂直； （2）求向量与的夹角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）（或） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的运算律即可证明； （2）由平面向量数量积的运算律及夹角的余弦公式即可求解． 【小问1详解】 由已知， ， 所以． 因为，是夹角为的单位向量， 所以，且， 代入得， 因此，与垂直 【小问2详解】 设向量与的夹角为，则． 先计算． 再计算， 所以； ， 所以． 于是， 因为，故（或）． 16. 已知复数z满足，且z的共轭复数满足为纯虚数． （1）求复数z； （2）若复数，求w在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限． 【答案】（1）或 （2）当时，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限；当时，在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限． 【解析】 【分析】（1）设，其中，由题意可得，求解即可； （2）由复数的运算可得，再代入（1）中的结论求解即可. 【小问1详解】 设，其中， 由，得， 又， 则． 因为为纯虚数， 所以实部为零，虚部不为零，即， 联立方程，解得． 当时，；当时，． 所以或． 【小问2详解】 由，而， 故． 当时，， 在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限； 当时，， 在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第四象限． 综上，当时，在复平面内对应点的坐标为，且该点位于第二象限； 当时,在复平面内对应点的坐标为，该点位于第四象限． 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，结合锐角三角形的性质进行求解即可； （2）根据正弦定理，结合锐角三角形的性质、辅助角公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 代入已知，得． 因为，，得，即． 又为锐角三角形，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得，所以，． 因为，所以，即， 因为是锐角三角形，所以解得． 周长． ． 由于，则，从而， ， 所以周长的取值范围是． 18. 如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． （1）求该圆柱的表面积； （2）求该直三棱柱的外接球O的体积； （3）点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形的内切圆半径及圆柱表面积公式即可求解； （2）由球的体积公式即可求解； （3）将的最大值，转化为求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方，结合图形及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，， 所以， 的内切圆半径， 圆柱的高， 所以圆柱的表面积 ． 【小问2详解】 直三棱柱的外接球球心位于上下底面外心连线的中点， 设外接圆的圆心为， 底面直角三角形外心是斜边的中点，则， ，所以， 外接球半径， 体积． 【小问3详解】 设底面的内心为， 由球的几何性质，的取值范围为， 代入得， 即的最大值，等价于求圆柱表面上的点到球心的距离的最大值的平方， 设点在底面的投影为，到底面的竖直距离为， ， 当取最大值（即在圆柱上底面或下底面的圆周上）时，竖直分量最大；同时水平分量的最大值出现在底面内切圆圆周上， 因此的最大值必在圆柱上下底面的内切圆圆周上取得， 在中，内切圆半径，外接圆半径为， 内心到外心的距离为， ， ， 故． 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式即可求解； （2）①由三角形面积公式及余弦定理得出和，再根据平面向量数量积的运算律即可求解；②由角平分线得出，，由余弦定理得，再由基本不等式即可求解． 【小问1详解】 根据已知，由正弦定理得， 因为， 所以， 由得，故． 【小问2详解】 ①由（1）知，则， 由面积得，即， 又由余弦定理， 代入，得， 设的中点为，则， ， 故中线长为． ②由角平分线得， 又，得，， 则， 由余弦定理，即， 所以，， 由（当且仅当时取等号），得： 所以， 又为三角形边长，则，故 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则（ ） A. 16 B. C. 9 D. 3. 如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为和，则B、C两点的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”．某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为和，高为3，则该模型的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 用斜二测画法画出的水平放置的的直观图是边长为2的正三角形，则原的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数棱数面数．已知某正多面体的每个面都是正三角形，每个顶点连接4条棱，则该正多面体的棱数E为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 7. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，且边上的中线长为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量，不共线，给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则存在正实数，使得与垂直； ③“”是“与的夹角为锐角”的充分不必要条件； ④若，则“”是“与的夹角为”的充要条件． 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（ ） A. z的虚部为 B. 复数z的共轭复数为 C. D. 10. 如图，已知正三棱柱的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为h，则下列说法正确的有（ ） A. 正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点 B. 若底面边长，则侧棱长 C. 若侧棱长，则该正三棱柱的体积为 D. 该正三棱柱的侧面积的最大值为 11. 已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 当P为BC中点时， C. 若的面积为面积的，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与共线，则实数______． 13. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为________． 14. 在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若，其中、分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为．已知点A的斜坐标为，点B的斜坐标为．若，则实数k的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，是夹角为的两个单位向量，设，． （1）求证：与垂直； （2）求向量与的夹角的大小． 16. 已知复数z满足，且z的共轭复数满足为纯虚数． （1）求复数z； （2）若复数，求w在复平面内对应点的坐标，并判断该点所在的象限． 17. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求的周长的取值范围． 18. 如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，，侧棱．该直三棱柱内有一个圆柱，圆柱的下底面在直三棱柱的底面ABC上，上底面在直三棱柱的上底面上，且圆柱的侧面与直三棱柱的三个侧面都相切． （1）求该圆柱的表面积； （2）求该直三棱柱的外接球O的体积； （3）点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记，R为外接球的半径，求的最大值． 19. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）若，解答下列问题： ①当的面积为时，求AC边上的中线长； ②若点D在边上，且平分，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $