精品解析：湖北黄冈市2025-2026学年高二年级4月份阶段性练习数学试卷（B卷）

高二年级4月份阶段性练习 数学（B卷） 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据第二象限点的特征，运用分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】在第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，由题意得点的横坐标有，两种选择，点的纵坐标有三种选择． 由分步乘法计数原理，可得在第二象限的点有个． 2. 已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极值点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】由的图象可知，当时，， 当时，， 且， 所以函数有3个极值点. 3. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，则，由，，成等差数列得出，结合得出，即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以， 所以，故， 故选：B． 4. 在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（ ） A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和是关于的二次函数，由二次函数的对称性即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和是关于的二次函数，所以由二次函数图象的对称性及，, 可得，解得. 5. 从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的种数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知满足条件的情况有：一个白球（奇数）一个黑球（偶数），一个白球（偶数）一个黑球（奇数），两个黑球（一奇一偶），分别求出情况数即可. 【详解】根据题意，取出的2个球的编号之和为奇数， 则取出的2个球的编号必须为一个奇数一个偶数，且至少有一个为黑球， 所以，一个白球（奇数）一个黑球（偶数）有种， 一个白球（偶数）一个黑球（奇数）有种， 两个黑球（一奇一偶）共有种， 则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的种数为 6. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解. 【详解】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即． 设直线与的图象相切于点， 又，则，解得， 所以，即，则． 故选：C． 7. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与的关系可得，进而可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，求通项公式后代入不等式整理可得恒成立，再根据作差法分析的单调性求得最大值即可. 【详解】由，令，解得， 当时，由得，即， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立， 令，则，而，所以， 即数列单调递减，故，所以，所以的最小值为. 故选：C 8. 若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为在上有变号零点，分和两种情况讨论的单调性，结合零点存在定理即可求解. 【详解】， 当时，，则函数在内单调递减，不满足条件， 当时，令,则． 所以在内单调递增， 要使函数在内不单调， ∴在上有变号零点， 又，故只需． ∴. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合原函数与导函数的关系依次判断即可． 【详解】对于A，有可能二次函数为原函数，直线为导函数，原函数先增后减，导函数先正后负，符合要求，故A正确； 对于B，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故B正确； 对于C，有可能轴上方曲线为导函数，另一支为原函数，原函数始终单调递增，导函数始终为正，符合要求，故C正确； 对于D，无论谁作导函数，谁作原函数，都无法同步，故D错误. 故选：ABC. 10. 下面正确的是（ ） A. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法； C. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，恰好有一个空盒子，有18种不同的放法； D. 将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有3种不同的放法． 【答案】AD 【解析】 【分析】本题分“元素是否相同”和“盒子是否允许空盒”两类讨论,对于不同元素放入不同盒子，常用分步计数或容斥原理；对于相同元素放入不同盒子，则转化为正整数方程的解的个数问题. 【详解】对于A：将个不同小球放入个不同盒子，且没有空盒子，相当于求从个元素到个元素的满射个数. 先不受限制地放，共有种放法，减去恰有一个盒子空着的情况，再加上两个盒子都空着的情况， 所以总数为故A正确. 对于B：将个不同小球放入个不同盒子，盒子可空， 则每个小球都有 种选择，所以共有种放法，并不是种，故B错误. 对于C：将个不同小球放入个不同盒子中，恰有一个空盒子, 先选出空盒子，有种选法,然后把个不同小球放入剩下个不同盒子中，且都不能空， 不受限制时共有种放法，去掉全部放入其中一个盒子的两种情况， 得种.所以总数为并不是种，故C错误. 对于D：将个相同小球放入个不同盒子中，没有空盒子， 由隔板法可得解数为，故D正确. 11. 已知函数，，则（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 当时，函数有唯一零点 C. 对于任意的，函数与零点个数相同 D. 当时，函数与都有唯一的零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，求得在处的切线方程，然后判断；对B，求得在处的切线方程，然后判断；对C，对分三种情况讨论可判断；对D利用导数分别研究和的单调性，结合零点存在定理即可判断. 【详解】对A，令，，， 所以曲线在处的切线方程为， 当切线经过原点时，，所以切线斜率为， 此时曲线与直线只有一个交点， 所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个零点；故正确； 对B，，令，，， 所以曲线在处的切线方程为， 当切线经过原点时，，所以切线斜率为， 此时曲线与直线只有一个交点， 所以当时，曲线与直线有两个交点，即函数有两个零点；故错误； 对C，当时，由A、B选项可知函数与均没有零点； 当时，由A、B选项可知函数与均有一个零点； 当时，由A、B选项可知函数与均有两个零点； 所以对于任意的，函数与零点个数相同，故正确； 对D，当时，，所以在上单调递增， 由于，，所以在上存在唯一零点， 当时，，所以在上单调递减， 由于，，所以在上存在唯一零点，故D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 【答案】42 【解析】 【详解】等比数列的前n项和为,成等比数列， ， ，，， . 13. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，则丙不是第一个出场，安排顺序的情况数是________． 【答案】18 【解析】 【分析】丙第2个出场，第3个出场以及第4个出场情况下，对甲、乙、丁三人进行排列，即可求得结果. 【详解】由题意可知，丙不是第一个出场，安排顺序的情况数是 . 14. 设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合极大值点化简，再按分类讨论求出范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，则， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，因此； 当时，， 若，则，函数在上单调递增，函数无极值，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，是的极小值点，不符合题意； 若，由，得，由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点， 符合题意，此时，则， 所以取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列， （1）求n的值． （2）求展开式所有项系数和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，解等式即可求解； （2）令即可求解. 【小问1详解】 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数为，，， 依题意成等差数列，故，得到：， 化简得，即：， 解得：或（舍去） 【小问2详解】 令，展开式所有项系数和． 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）求的单调区间． 【答案】（1）极大值为，没有极小值 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导,结合单调性进行求解； （2）由导数,求解不等式进行求解. 【小问1详解】 当时，的定义域为． ， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此的极大值为，没有极小值． 【小问2详解】 ， ∴当时，，函数的单调增区间为； 当时，由，得，由，得， 则函数的单调增区间为，单调递区间为． 17. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列． 【答案】（1） （2）不存在 【解析】 【分析】（1）直接根据前项和与关系及等比数列的定义可得； （2）先假设存在，再由得，进而可得，故假设不成立得证. 【小问1详解】 因为，所以，，， 两式相减得， ，即， 所以等比数列的公比，所以，得. 所以等比数列的通项公式. 因此，数列的通项公式. 【小问2详解】 由（1）知数列的通项公式，所以. 假设存在正整数使成等差数列，不妨设． 所以，，即. 由，所以，所以，且， 所以，即. 故不存在互不相等的正整数，使成等差数列．． 18. 已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，对任意恒成立，求范围． （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据条件求出等差数列的基本量，进而可得通项公式； （2）由（1）得通项公式直接求的取值范围，从而可得所求值的范围； （3）由（1）得通项公式直接得，然后再进行分组求和及裂项求和可得. 【小问1详解】 因为数列，都是等差数列，且，，由等差数列的通项公式及前项和公式， 所以，，解得， 所以， 综上，数列，的通项公式为，． 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 因为，对任意恒成立，所以. 因此范围为. 【小问3详解】 由（1）得，， 所以 所以 ． 所以数列的前项和. 19. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． （1）判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由； （2）若函数与存在“好点”，求实数的值； （3）已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在“好点”，解方程组可得； （2）设“好点”为，解方程组得结论． （3）设“好点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围， 【小问1详解】 ，， 假设存在满足，代入得，解得； 所以存在存在“好点”，且“好点”为1； 【小问2详解】 ，， 设“好点”为，满足，代入得，； 【小问3详解】 由已知，， 依题意可得：存在满足，代入得， 解得， 由，又，故解得， 令，则，在上增函数， ，时，，且当时，，所以， 所以． 【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“好点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“好点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级4月份阶段性练习 数学（B卷） 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（ ） A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 2. 已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极值点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 在等比数列中，，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（ ） A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 5. 从装有3个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知三个白球的编号分别为1，2，3，三个黑球的编号分别为4，5，6，则取出的2个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的种数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在内不单调，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是函数的导函数，下列将和的图象放在同一个直角坐标系中，其中可能正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下面正确的是（ ） A. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有150种不同的放法； B. 将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，有53种不同的放法； C. 将4个不同的小球放入3个不同的盒子中，恰好有一个空盒子，有18种不同的放法； D. 将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，有3种不同的放法． 11. 已知函数，，则（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 当时，函数有唯一零点 C. 对于任意的，函数与零点个数相同 D. 当时，函数与都有唯一的零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的前n项和为，若，，则________． 13. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，则丙不是第一个出场，安排顺序的情况数是________． 14. 设函数，若是的极大值点，则取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列， （1）求n的值． （2）求展开式所有项系数和． 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）求的单调区间． 17. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式． （2）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列． 18. 已知等差数列的公差为，前项和为，等差数列的公差为，且，，． （1）求数列，的通项公式； （2）若，对任意恒成立，求范围． （3）设，求数列的前项和． 19. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． （1）判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由； （2）若函数与存在“好点”，求实数的值； （3）已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $