精品解析：湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

浠水一中2024年春高二年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在前项和为的等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 15 C. 45 D. 90 2. 若，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 3. 已知，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足，，则总利润最大时，x=（ ） A. 25 B. 26 C. 24 D. 28 5. 函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数，上单调递增 B. 函数在，上单调递减 C. 函数存在两个极值点 D. 函数有最小值，但是无最大值 6. 消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教师到A、B、C、D、E五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ） A. 120种 B. 216种 C. 336种 D. 360种 7. 已知数列满足，若表示不超过的最大整数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有48种方法 B. 若A、B不相邻共有12种方法 C. 若A在B左边有60种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，，且不恒为零，则下列结论中，一定正确的为（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 是偶函数 11. 在平面四边形ABCD中，点D为动点， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 为递增数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在时有极小值0，则_______． 13. 已知数列满足，且，，则________. 14. 类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1）______； （2）若，（，），则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. （1）证明：展开式中没有常数项； （2）求展开式中系数最大的项． 16. 已知数列是递增数列，前项和为，且当时，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 17. 已知函数． （1）讨论函数 的单调性； （2）若不等式对恒成立， 求的取值范围． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最小值； （3）若，当时，求证：． 19. 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”． （1）若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”，并说明理由； （2）已知数列为等差数列， ①若是“数列，，且，求所有可能的取值； ②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浠水一中2024年春高二年级期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在前项和为的等差数列中，，，则（ ） A. 5 B. 15 C. 45 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】写出等差数列的通项公式以及前n项求和公式，利用题中所给的条件列方程求出，即可求解. 【详解】设 的通项公式为 ，其中 是首项，d是公差， 由，由已知，得， 由 ，得 ， 解得 ，又，得， ， 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的定义，分母是自变量的改变量即，所以把所求的式子分母变为即可求解. 【详解】 故选：B 3. 已知，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质可求得的值，再利用赋值法可求得和的值，作差可得出所求代数式的值. 【详解】因为，所以由组合数的性质得， 所以， 令，得，即. 令，得， 所以， 故选：D. 4. 某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足，，则总利润最大时，x=（ ） A. 25 B. 26 C. 24 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到总利润函数，用导数法求解. 【详解】总利润， 由，得. 令，得，令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，总利润最大. 故选：A. 5. 函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 函数，上单调递增 B. 函数在，上单调递减 C. 函数存在两个极值点 D. 函数有最小值，但是无最大值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 【详解】根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C 6. 消除贫困、改善民生、逐步实现共同富裕，是社会主义的本质要求，是中国共产党的重要使命．某中学积极参与脱贫攻坚战，决定派6名教师到A、B、C、D、E五个贫困山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（ ） A. 120种 B. 216种 C. 336种 D. 360种 【答案】C 【解析】 【分析】用排除法，不考虑乙丙不在同一山区的情况，安排方法有两类：第一类是其他5人每人去一个山区，第二类是其他5人中选2人作为一个人与其他3人一起全排列去外的四个山区，求出此方法，再减去乙丙在一起的方法数即得． 【详解】不考虑乙丙不在同一山区的情况，安排方法是一种情形其他5人每人去一个山区，第二种情形是其他5人中选2人作为一个人与其他3人一起全排列去外的四个山区，不同的安排方法数为， 而乙丙在同一山区的方法数为，所以所求不同方法数为＝336． 故选：C． 7. 已知数列满足，若表示不超过的最大整数，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，然后结合等差数列的通项公式可求，进而可求，利用放缩法及裂项求和即可求解. 【详解】数列满足，，即， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 可得，即， 当时，， ， ， 所以 故选：C 8. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的性质，结合其图象求出a的范围，再用a表示，利用导数法求值域，即可计算作答. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，其图象如图， 方程有三个不同的实数根，即直线与的图象有三个公共点，则， 由，得：，即， 而，，则， 于是得， 记，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 又函数在定义域上单调递减，所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到之间的关系，从而减少变量得到，再利用导数求出其值域即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有48种方法 B. 若A、B不相邻共有12种方法 C. 若A在B左边有60种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用捆绑法，结合排列数运算求解；对于B：利用间接法，在总体中排除A、B两人站在一起的情况；对于C：根据对称性分析求解；对于D：利用间接法，结合组合数运算求解. 【详解】对于选项A：若A、B两人站在一起，则有种方法，故A正确； 对于选项B：A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则有种方法， 所以A、B不相邻共有种方法，故B错误； 对于选项C：根据对称可知A在B左边有种排法，故C正确； 对于选项D：A站在最左边，则有种方法， B站最右边，则有种方法， A站在最左边，B站最右边，则有种方法， 所以A不站在最左边，B不站最右边，有种方法，故D错误. 故选：AC 10. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，，且不恒为零，则下列结论中，一定正确的为（ ） A. B. 是奇函数 C. D. 是偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】赋值可求解选项A；根据函数的对称性和奇偶性结合三角函数可求解选项B;利用函数的周期性可求解选项C，利用导数的运算以及偶函数的定义求解选项D. 【详解】对A，因为，所以令，则有，A正确； 对B，因为，所以函数关于直线对称， 又因为，所以函数为奇函数， 则函数满足要求， 则为偶函数，B错误； 对C，因为函数为奇函数，且， 所以，即， 所以，即， 所以，所以函数以4为周期， 则， 因为满足要求，则，故C错误； 对D，由，两边取导数可得， 所以，所以是偶函数，D正确； 故选:AD. 11. 在平面四边形ABCD中，点D为动点， 的面积是面积的2倍，又数列满足，恒有，设的前n项和为，则（ ） A. 为等比数列 B. 为等差数列 C. 为递增数列 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】连交于，根据面积关系推出，根据平面向量知识推出，结合，推出，即，求出，，根据等比数列的定义可判断A；根据等差数列的定义可判断B，根据数列的单调性可判断C；利用错位相减法求出，可判断D. 【详解】如图，连交于， 则，即， 所以，所以， 所以， 设， 因为， 所以， ，所以， 所以，即， 又，所以， 所以是首项为2，公差为的等差数列， 所以，所以， 因为不是常数，所以不为等比数列，故A不正确； 因为， 所以为等差数列，故B正确； 因为， 所以为递减数列，故C不正确； 因为， 所以， 所以， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在时有极小值0，则_______． 【答案】11 【解析】 【分析】利用导函数与函数的单调性、极值的关系求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在时有极小值0， 所以，① ，② 联立①②解得或， 当时，， 则函数在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，， 由解得或，由解得， 函数在单调递增，单调递减，单调递增， 满足函数在时有极小值， 所以， 故答案为：11. 13. 已知数列满足，且，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，利用累加法可求得的值，由此可得出的值. 【详解】由得， 由，得，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以， ，故. 故答案为：. 14. 类比排列数公式，定义（其中，），将右边展开并用符号表示（，）的系数，得，则： （1）______； （2）若，（，），则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定定义，求出中所有二项式因式的常数项的积可得；由并结合多项式乘法法则求解作答. 【详解】（1）依题意，是展开式的常数项， 所以； （2）依题意，， 则展开式中项是展开式中的项与x相乘加上与相乘积的和， 即，而，， 所以. 故答案为：； 【点睛】关键点睛：由给定的新定义，探求n取相邻两个数时的两个定义式间的关系是求解问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列. （1）证明：展开式中没有常数项； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）证明见解析 （2）第二项和第三项 【解析】 【分析】①根据二项式展开式的二项式系数，根据成等差数列列出方程，进而解出，然后求出展开式中通项，假设有常数项，进而得到矛盾. ②假设第r+1项系数最大，根据和，解出的范围，进而可求解. 【小问1详解】 证明：由二项式定理可知：第2,3,4项的二项式系数为依次成等差数列，，， （舍）或. 二项展开式中第项，令， 所以展开式中没有常数项得证. 【小问2详解】 由（1）知二项展开式中第项的系数为，设第项系数最大，则且，化简得， 又或2，则展开式中系数最大的项是第二项和第三项. 16. 已知数列是递增数列，前项和为，且当时，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用得，进而得，再把两式相减得，然后因式分解解方程可得，从而由等差数列的定义得到数列的通项公式； （2）为了确定第项的符号，对进行分类，然后每相邻两项分一组，利用平方差公式因式分解，从而利用等差数列的前项和公式得到答案. 【小问1详解】 因为当时，，则，所以， 两式相减可得，整理得， 即. 因为是递增数列，且，所以， 则，即， 所以数列是公差为的等差数列，即， 经检验时成立，则. 【小问2详解】 由（1）知. 当为偶数时， ； 当为奇数时， ， 综上所述，. 17. 已知函数． （1）讨论函数 的单调性； （2）若不等式对恒成立， 求的取值范围． 【答案】（1）①当 即时，在上递减，在上递增，② 即时，在和上递增， 在上递减. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与单调性的关系分类讨论求解； （2）利用导数与单调性最值的关系，结合的不同取值范围分类讨论求解. 【小问1详解】 ， 的定义域为． ①当 即时，在上递减，在上递增， ② 即时，在和上递增， 在上递减. 【小问2详解】 设， 设 ， 则 在上递增，的值域为， ①当 时，为上的增函数， ， 适合条件． ②当 时，不适合条件． ③当 时， 对于， 令， 存在， 使得 时，在上单调递减， ， 即在 时，不适合条件． 综上， 的取值范围为． 18. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最小值； （3）若，当时，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 设， 所以， 因为， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再求出，最后利用点斜式写出直线方程再整理即可； （2）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分参数，讨论单调性得出结果即可，其中当时又分、、三种情况； （3）构造函数，结合对数的运算化简，求导再结合基本不等式得到的单调性，即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为， 当时，在区间上恒成立， 所以在区间上是增函数，此时； 当时，令，解得， ①当，即时，在区间上恒成立， 所以在区间上是增函数， 所以当时，； ②当，即时，与的情况如下： 负 0 正 减 极小值 增函数 所以当时，； ③当即时，在区间上恒成立， 所以在区间上是减函数， 所以当时，， 综上 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： （1）第一问可用导数的意义求出切线的斜率，再用点斜式求出直线方程； （2）第二问为带参数的单调性的讨论求极值点问题，可求导分析单调性，进而求极值，在求出最值； （3）第三问为函数不等式问题，可构造函数求导分析单调性求解. 19. 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”． （1）若数列的通项公式为的通项公式为，分别判断是否为“数列”，并说明理由； （2）已知数列为等差数列， ①若是“数列，，且，求所有可能的取值； ②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”． 【答案】（1）是“数列”，不是“数列”； （2）①9,10,12,16；②证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据“数列”的定义验证即可； （2）①设公差为，利用“数列”定义得是8的正约数：1，2，4，8，分别求出并验证符合题意即得； ②利用，求出公差与首项的关系，然后表示出通项公式，再根据“数列”定义证明． 【小问1详解】 ，对任意的，，，，， 取，则，∴是“数列”， ，对任意的，，，，为偶数，而为奇数，因此不存在 使得，∴不是“数列”； 【小问2详解】 数列为等差数列， ①若是“数列，，且，，， ， 对任意的，，，， ，由题意存在，使得， 即，显然， 所以，， ，所以是8的正约数，即，2，4，8， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，． 综上，的可能值为9，10，12，16； ②若对任意，存在，使得成立， 所以存在，，， 设公差为，则，， ， 对任意的，，，， ，取，则， 所以是“数列”． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义并应用新定义求解．第（2）问中，第一个问题是直接利用等差数列的通项公式根据新定义进行验证即可，第二个问题关键是确定数列的通项公式，因此根据已知条件求得数列的首项与公差的关系，这样通项公式中相当于只含有一个参数（或），然后利用通项公式进行检验． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $