精品解析：广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题

广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. 2 C. D. 2026 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设是的导函数，已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标B，C，D的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（ ） A. 360种 B. 720种 C. 1440种 D. 2160种 5. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为 A. B. C. D. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若A，B是相互独立事件，则 D. 若A，B是互斥事件，则 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式的二项式系数之和为256 C. 展开式中没有常数项 D. 展开式的第5项的二项式系数最大 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则__________. 13. 若，则______. 14. 某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有______种不同的颜色搭配方案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记等差数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 16. 已知函数. （1）判断的单调性； （2）若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围. 17. 某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体展开学习调研，要求每个模型至少有一人负责，且每人只能选择一个. （1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一个模型，共有多少种不同的安排方案？ 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）若，证明：当时，． 19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. 2 C. D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数的计算公式可得答案. 【详解】． 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得，则，且， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 3. 设是的导函数，已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，求导得， 则，解得. 4. 甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标，且地标B，C，D的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（ ） A. 360种 B. 720种 C. 1440种 D. 2160种 【答案】B 【解析】 【分析】先将B，C，D这三个地标捆绑，再将此整体和其他4个地标全排列. 【详解】先将B，C，D这三个地标捆绑，再将此整体和其他4个地标进行全排列，共有种. 5. 某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知同学正确数量满足二项分布，同学正确数量满足二项分布，利用二项分布的方差计算公式分别求得两者的方差，相减得出正确结论. 【详解】设学生答对题的个数为，则得分（分），，，所以，同理设学生答对题的个数为，可知,，所以，所以.故选A. 【点睛】本小题主要考查二项分布的识别，考查方差的计算，考查阅读理解能力，考查数学在实际生活中的应用.已知随机变量分布列的方差为，则分布列的方差为. 6. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得为奇函数，再由，得出函数的单调性，求得函数的最大值，结合选项，即可求解. 【详解】由函数的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除B； 当时，，则， 令，可得；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，排除C； 当时，，排除A， 所以选项D符合题意. 7. 设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. 若A，B是相互独立事件，则 D. 若A，B是互斥事件，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，以及相互独立事件判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，故A正确； 对于B，当是相互独立事件时，，故B错误； 对于C，因为是相互独立事件，所以， 则，故C正确； 对于D，因为是互斥事件，所以，则，故D正确. 8. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数，再求出导函数根据正负得出单调性即可计算比较大小. 【详解】令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即， 得，故， 所以，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知均为正整数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用排列数和组合数的计算公式，逐项分析、求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由组合数性质，可得，故A正确； 对于B，由排列数的计算公式，可得，， 无法确定与+1是否相等，故B错误； 对于C，由排列数的计算公式，可得， 再由， 所以，所以C正确； 对于D，由，故D正确. 10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有8项 B. 展开式的二项式系数之和为256 C. 展开式中没有常数项 D. 展开式的第5项的二项式系数最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用展开式项数判断A，应用二项式系数和公式计算判断B，应用通项公式计算判断C，应用二项式系数性质判断D. 【详解】由题可知展开式共有9项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令0，得不是整数，所以展开式中没有常数项，故C正确； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第5项的二项式系数最大，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义与判定方法，可判定A正确；利用三角函数的诱导公式，进行化简运算，可判断B、C都错误；求得，结合导数的符号，可判定D正确. 【详解】对于A，函数的定义域为，关于原点对称， 且，所以为奇函数，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C错误； 对于D，由， 当时，，则单调递增.故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用求导法则可求答案. 【详解】由题得， 则. 13. 若，则______. 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，得到含的项中，当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正，分别令和，求得和，进而得到答案. 【详解】由多项式的展开式中， 对于含的项中，当为奇数时，系数为负，当为偶数时，系数为正， 所以， 对于， 令，得； 令，得， 所以. 14. 某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有______种不同的颜色搭配方案. 【答案】260 【解析】 【分析】根据第3个灯区与第1个灯区同色与不同色两种情况讨论求解即可. 【详解】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选， 若第3个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有4种颜色可选； 若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4个灯区不能与第1，3个灯区同色，有3种颜色可选， 所以该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记等差数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1） （2） 由（1）知：，可得，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 因为，所以. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得和，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）求得，得到数列是等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，因为 可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 已知函数. （1）判断的单调性； （2）若关于的方程只有1个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1）递减区间为，递增区间为. （2） 【解析】 【分析】（1）求得的定义域为，且，结合导数的符号，即可求解的单调区间； （2）根据题意，转化为和的图象只有一个公共点，结合（1）中的单调性和最值，作出函数的大致图象，结合图象，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，其定义域为， 且， 则当或时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 解：因为方程只有1个实数解，即函数和的图象只有一个公共点， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 又，作出的大致图象，如图所示， 结合图象，可得，所以实数的取值范围为. 17. 某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体展开学习调研，要求每个模型至少有一人负责，且每人只能选择一个. （1）若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ （2）若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一个模型，共有多少种不同的安排方案？ 【答案】（1）840 （2）240 【解析】 【分析】（1）先从7位同学中选出4人，再将选出的4人分配到4个，结合分步计数原理，即可求解； （2）将甲、乙、丙3位同学视为一个整体，再5个元素需分为“2，1，1，1”四组，可通过先分组后排列的方法，即可求解. 【小问1详解】 解：先从7位同学中选出4人，有种选法； 再将选出的4人分配到4个，要求每个至少1人，则有种分配方法， 由分步计数原理得，共有种不同的调研安排方案. 【小问2详解】 解：将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素），此时相当于5个元素分配到4种模型，每种模型至少1个元素， 则5个元素需分为“2，1，1，1”四组，有种分法； 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以甲、乙、丙3位同学调研同一模型，共有种不同的安排方案. 18. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若对恒成立，求的取值范围； （3）若，证明：当时，． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） （3） 若，则由（2）得当时，， 要证，可证， 令， 则 ， 令，得，则， 设， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， ， ，则， ，则，即， ，得证， 当时，． 【解析】 【分析】（1）代入后求导，利用导数分析函数单调性，从而确定极大值和极小值点，代入函数求出相应极值； （2）结合已知条件化简不等式为，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，分类讨论，进而求出的取值范围； （3）结合（2）及把证明结论转化为，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而求出极小值点，由极小值得出，从而证明结论． 【小问1详解】 当时，， 则， 令，得或； 令，得或， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 的极大值为，极小值为． 【小问2详解】 由，得， 化简得， 设， 则， 当，即时，单调递增， ，符合题意； 当，即时，当时，， 不满足对恒成立，不符合题意， 综上，的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下： 若一方以或获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以获胜，则胜者得2分，败者得1分． （1）求甲获得3分的概率； （2）若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； （3）已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为． ①求的表达式，并比较和的大小关系； ②求在上的最大值及取得最大值时的值． 【答案】（1）； （2）随机变量的分布列为： ； （3）①；②当时，取得最大值. 【解析】 【分析】（1）甲获得3分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）①先求出的表达式，再得到的表达式，即可比较大小； ②通过换元，令，结合二次函数的图像性质及复合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局结果相互独立． 所以甲以获胜的概率为， 甲以获胜的概率为， 所以甲获得3分的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，随机变量为甲的总得分，其所有可能取值为、、、， 若，即甲、乙获胜的概率都是， 所以，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以； 【小问3详解】 ①由题意，，， 所以 ， 则， 所以； ②由①可得，， 令，， 因为，可得恒成立，所以单调递增， 又当时，取得最大值，即， 所以， 即当时，取得最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $