精品解析：宁夏六盘山高级中学2025-2026学年第二学期高一期中测试数学试卷

宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高一期中测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师： A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以． 2. 在复平面内，复数对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】复数对应复平面内点，位于第四象限. 3. 高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为样本按比例分配，男女比例为， 所以应抽取的男生人数为. 4. 已知向量满足，，，则向量的夹角为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得：， 因为，所以向量的夹角为. 5. 已知一组数据为：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的80%分位数为（   ） A. 40 B. 38 C. 37 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式求解即可. 【详解】由于，所以这组数据的80%分位数为第6个数40. 故选：A. 6. 在中，角的对边分别为．若，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，， 所以，解得， 又因为，，所以或. 7. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义和方差的概念来判断运动员命中环数的集中与分散程度即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 8. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（ ） A. “恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B. “至少有1名男生”与“全是男生”； C. “至少有1名男生”与“全是女生”； D. “至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】对于A，在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”， 它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件，A正确； 对于B，“至少有1名男生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件，B错误； 对于C，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件，C正确； 对于D，“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果， 而“至少有1名女生” 包括“1名男生和1名女生”和“2名都是女生”两种结果， 它们可能同时发生，所以不是互斥事件，D错误. 故选：AC 10. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（ ） A. 数据，，…，的平均数为 B. 数据，，…，的标准差为 C. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差为， 所以数据，，…，的标准差为2s，A正确，B错误； 给原数据增加一个数据，且， 这七个数据的方差为， 故C正确，D错误. 故选：AC 11. 如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（   ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据用基底表示向量、向量夹角的计算、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值求解即可. 【详解】对于A，由，得，则，A正确，B不正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C正确； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 12. 已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（   ） A. 若，则为的垂心 B. 若，则为的外心 C. 若为的重心，是边上的中线，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平面向量的加法运算与三角形三心的性质及判定条件依次判断即可. 【详解】对于A，，则，所以， 同理可得，，由此可知，是的垂心，故A正确； 对于B，由于，所以为的外心，故B正确； 对于C，如图所示： 为的重心，是边上的中线，则，即，故C错误； 对于D，，即， 设的中点为，根据向量加法的平行四边形法则，有， 因，则得，说明在的中线上， 同理可得，在的中线上，因此是的重心， 根据重心的性质，有，故D正确. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的加法法则和模长公式计算即可. 【详解】由题意， 则， 故答案为：5 14. 已知点，，向量，若，则实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】由点，，可得的坐标，结合向量平行的公式，可列出关于的方程，解方程即可. 【详解】由题意，点，，可得， 因为，且， 所以，解得. 15. 现从编号为的支水笔中抽取支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第个数字开始由左向右读取，则抽取的第支水笔的编号为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定起始位置，再从起始位置开始，按顺序每次读取两位数字，作为候选编号，最后按顺序筛选出的第个有效编号即可. 【详解】随机数表法 先从随机数表第个数字开始读取： 随机数表： 第个数字是（来自第一组 ），从左向右依次读取两位数字，并筛选出在范围内且不重复的编号： 第个： → 有效，对应编号 第个： → 无效（），跳过 第个： → 有效，对应编号 第个： → 无效（），跳过 第个： → 无效（），跳过 第个： → 有效，对应编号 所以，抽取的第支水笔的编号为. 16. 正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，以，为，轴建立直角坐标系，可求得各点坐标，设，进而可得与的坐标，结合数量积的坐标公式，可得关于的二次函数，由二次函数的图象性质，即可求得取值范围. 【详解】分别以，所在的直线为，轴建立平面直角坐标系，则，，，， 设，则，，，， 所以， 所以， 所以当时，函数有最大值为，当时，函数有最小值为， 所以的取值范围是． 四、解答题：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86 86 87 90 91 93 93 94 小组：69 84 90 91 92 93 94 99 （1）分别求两组评委打分的平均分； （2）判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 【答案】（1）90，89； （2）组更像，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义计算即可求解； （2）分别求出两组的方差，比较大小，结合方差的表示意义即可下结论. 【小问1详解】 记小组的数据依次为，小组的数据依次为，， 由题意可得：每组的平均数分别为：，. 【小问2详解】 组更像是由专业人士组成，理由如下： 两组的方差分别为：，. 由于专业人士给分更符合专业规则，相似程度更高，，， 因而，根据方差越大数据波动越大，因此组更像是由专业人士组成的． 18. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. （1）求渔船甲的速度； （2）求的值. 【答案】（1）14海里小时； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意知，，，. 在△中，利用余弦定理求出，进而求出渔船甲的速度. （2）在△中，，，，， 由正弦定理，即可解出的值. 【小问1详解】 (1）依题意，，，，. 在△中，由余弦定理，得 . 解得.故渔船甲的速度为海里小时. 即渔船甲的速度为14海里小时. 【小问2详解】 在△中，因为，，，， 由正弦定理，得，即. 的值为. B卷 五、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知在中，为中点，，，. （1）设和的夹角为，若，求证：； （2）若，求. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算、向量的数量积及垂直关系的向量表示证明即可. （2）利用向量的线性运算、向量的数量积及数量积求模求解即可. 【小问1详解】 证明：因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. 【小问2详解】 因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 20. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1），85； （2）得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【解析】 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分位数公式即可得到答案； （2）计算出相关区间内的数据，代入分层抽样的方差公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. 【小问2详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. 21. 已知分别为三个角所对的边，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的范围. 【答案】（1）； （2）6 ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求角； （2）利用面积公式，结合余弦定理，可求出边长； （3）利用正弦定理将边化为角，再转化为三角函数求值域即可. 【小问1详解】 由，结合正弦定理得，， 因为，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 由的面积为可得，. 由结合余弦定理得，， 配方可得，，即. 所以三角形的周长为6. 【小问3详解】 由正弦定理可知， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以， 所以，所以 22. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）若，求； （2）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； （3）在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）不正确，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用数量积的运算律及定义求解. （2）利用数量积的运算律，结合充要条件的定义推理判断. （3）由给定的定义，利用数量积的运算律，结合一元二次不等式恒成立列式求出范围. 【小问1详解】 ，， 所以. 【小问2详解】 不正确，理由如下： 由及（1）知，，而向量， 则 ，而， 因此的充要条件是， 所以“”的充要条件是“”是不正确的. 【小问3详解】 由，得，， ， ， 不等式， 则， 依题意，对任意恒成立， 而，于是， 解得，又，则， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2025-2026学年第二学期高一期中测试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师： A卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，则（   ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（   ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知向量满足，，，则向量的夹角为（   ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据为：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据的80%分位数为（   ） A. 40 B. 38 C. 37 D. 35 6. 在中，角的对边分别为．若，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶80次，命中环数的频率分布条形图如下： 设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，下列两事件是互斥事件的是（ ） A. “恰有1名男生”与“恰有2名男生”； B. “至少有1名男生”与“全是男生”； C. “至少有1名男生”与“全是女生”； D. “至少有1名男生”与“至少有1名女生”． 10. 已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（ ） A. 数据，，…，的平均数为 B. 数据，，…，的标准差为 C. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D. 给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 11. 如图，在等边中，，点在边上，且．过点的直线分别交射线，于不同的两点，，，．则以下选项正确的是（   ） A. B. C. D. 的最小值是 12. 已知点是所在平面内任意一点，下列说法中正确的是（   ） A. 若，则为的垂心 B. 若，则为的外心 C. 若为的重心，是边上的中线，则 D. 若，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，，则______. 14. 已知点，，向量，若，则实数______. 15. 现从编号为的支水笔中抽取支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第个数字开始由左向右读取，则抽取的第支水笔的编号为__________. 16. 正方形边长为，点在线段上运动，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在某中学举办的“校园好声音”歌手决赛中，由8名专业人士和8名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一名选手的打分： 小组：86 86 87 90 91 93 93 94 小组：69 84 90 91 92 93 94 99 （1）分别求两组评委打分的平均分； （2）判断小组A和小组B中哪一个更像是由专业人士组成，根据所学的统计知识，说明理由. 18. 如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. （1）求渔船甲的速度； （2）求的值. B卷 五、解答题：本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知在中，为中点，，，. （1）设和的夹角为，若，求证：； （2）若，求. 20. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: （2）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 21. 已知分别为三个角所对的边，且. （1）求角的大小； （2）若，且的面积为，求的周长； （3）若为锐角三角形，求的范围. 22. 如图所示，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）若，求； （2）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由； （3）在仿射坐标系下，设，若对任意恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $