精品解析：安徽合肥市第六中学2026届高三下学期4月月考数学试题

高三4月16～17日数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机事件A，B相互独立，若，，则（ ）． A. 0.6 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.15 【答案】A 【解析】 【详解】事件A，B相互独立，即， 得，． 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合A中满足方程的元素为2和4， 所以，故． 3. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由双曲线的离心率，得， 所以该双曲线的渐近线方程为． 4. 的展开式中，的系数为（ ）． A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 的系数为． 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）． A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】借助正弦定理将边化为角后可得，再利用诱导公式可得，从而可求出、，即可得解. 【详解】由，得，所以， 由，故，所以， 则，从而，故． 6. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，即， 故，当且仅当，时等号成立． 7. 函数在区间上的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差角的余弦公式及辅助角公式化简函数的分子，再分别求出分子、分母在指定区间上的最小值、最大值即可. 【详解】依题意，，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当且仅当或时，函数取得最小值1， 而函数在上单调递增，当且仅当时，函数取得最大值为，且， 所以当时，函数取得最小值． 8. 已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线与的另一个交点为，关于轴的对称点为，若，则的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查椭圆的基本性质及直线的位置关系，联立直线与椭圆方程求出交点，进而表示出对称点坐标，利用两直线垂直时，对应向量数量积为，建立等量关系，从而求出离心率. 【详解】由题意得，，， 则直线的斜率，设直线AF的方程为，联立， 则，化简得，解得，， 所以点，因此点的坐标为． 因为，所以，又，， 则， 整理可得，将代入，化简得， 所以，故离心率． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（且），若，则（ ）． A. 是纯虚数 B. 是实数 C. D. 的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，所以，，因为，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，，是实数，故B正确； 对于C，若，则或，此时虚部，与题设矛盾，故C错误； 对于D，表示复平面内点到点的距离， 由题意知点Z在单位圆上，该圆上到点距离最大的点为， 即当，时，取得最大值2，故D正确． 10. 已知函数，，且在处取得极小值，则（ ）． A. B. 仅有一个极值点 C. 当时， D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【详解】由，得①． ，由在处取得极小值，得，即②， 联立①②，解得，． 所以，定义域为， . 当或时，； 当或时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意. 又，所以为奇函数． 对于A，，故A正确； 对于B，有一个极大值点和一个极小值点，所以B错误； 对于C，当时，， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，即最小值，， 因此恒成立，即恒成立，故C正确； 对于D，当时，， 当时，，，即，故D错误． 11. 某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘（如图1）是一种被称为“星形线”的曲线．图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为，则下列说法正确的是（ ）． A. 在E上任取一点P，则的最小值为 B. 在E上任取一点A，点B与点A关于直线对称，点C与点B关于y轴对称，则是等腰直角三角形 C. 若函数的最大值为b，则点在该星形线上 D. 若E上三点满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由两点间的距离公式及基本不等式，求得的最小值，判断A；根据关于直线对称和关于y轴对称的点的特征，利用向量的模及夹角的坐标表示判断的形状，判断B；利用导数分析函数的单调性，并求得最大值，从而得到的值，代入曲线E的方程，判断C；由单位圆及正三角形的性质，得的关系，判断D. 【详解】对于A，设，则， 由对称性，只需要考虑的情形， 此时 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为，故A错误； 对于B，设，则，， 向量，， 显然，所以，且， 所以是等腰直角三角形，故B正确； 对于C，由，得， 令，得，，此时， 令，，， 因为在上单调递减，是增函数，所以在上单调递减. 所以当时，，所以，所以单调递增； 当时，，所以，所以单调递减. 所以在处取得极大值，即最大值，最大值为， 即，整理得，故C正确； 对于D，在单位圆上取三点， 则的外接圆即为该单位圆，点为外接圆圆心. 的重心为，即， 故的外心与重心重合，是正三角形，. 不妨取，， 则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，，且与相互垂直，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直关系化简可得，由即可求解. 【详解】由，得， 将，代入上式，得，可得， 所以． 13. 已知数列满足，记的前项和为，则满足的的最小值为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为 ， 所以的前项和， 随的增大而增大，，， 所以满足条件的的最小值为． 14. 在四面体中，，，异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，若，且，则四面体的外接球表面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用结构特征，将几何体补全为直棱柱，结合正弦定理、外接球与直棱柱的空间关系列方程求外接球半径，即可得. 【详解】由题意知CD为异面直线AD与BC的公垂线， 将四面体补形为直三棱柱，如图： 由已知可得，，由，故． 在中，，，． 在中，由正弦定理得底面外接圆直径，即． 设外接球的半径为，则 ，当且仅当时等号成立， 所以外接球表面积的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 下表是一个6×6的数表，其一条对角线上均为1，其余位置均为0． 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 （1）设事件“从数表中任选两格，至少选中一个1”为，求； （2）用一个3×3的正方形任意框选数表中的9个格子，记这9个格子中的数字之和为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） 分布列如下： X 0 1 2 3 P 期望为 【解析】 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率求法求； （2）写出随机变量的可能取值，根据题意确定对应的概率并写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由表格，共有36个格，其中6个数字1，30个数字0， 所以，任选两个格，至少选中一个1的概率为 【小问2详解】 由题知，用的正方形任意框选数，其中横向或纵向均有4种取数方法， 所以X的所有可能取值为0，1，2，3，所有可能的取法共有种， 其中有2种取法，有4种取法，有6种取法，有4种取法， ，，，， 因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 16. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若在区间上存在唯一的极值点和唯一的零点，且，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，构造函数再求导，求出导函数大于0、小于0的区间，即原函数的单调区间可得最小值. （2）先根据导函数的单调性和零点确定极值点，进而确定t的范围；再根据可知在单调递增区间上，此时只需要确定单调递减区间上无零点和递增区间上唯一零点，进而确定t的范围，取交集即可. 【小问1详解】 当时，，则， 令，对求导，得，故在上单调递增． 又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增，． 【小问2详解】 因为， 所以，， 令，则，所以在上单调递增． 要使在上存在唯一的极值点，即在上存在唯一的零点， 只需得． 此时在上单调递减，在上单调递增， 即是的极小值点． 要使在上有唯一的零点，且， 只需，得， 即， 综上所述，，即t的取值范围是． 17. 记是数列的前n项和，已知． （1）求； （2）设（k为常数），数列的前n项和为，若为等比数列，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系及等比数列的定义求通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列的前n项和公式求，结合等比数列通项公式的特征列方程求参数值. 【小问1详解】 当时，，得， 当时，，， 作差，得，即， ∴是首项为4，公比为4的等比数列， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，， ∴①， ∴②， ①－②，得 ． ∴，要使是等比数列，只需，即. 18. 如图，在三棱锥中，是的中点，，都是正三角形，且． （1）若， （ⅰ）求； （ⅱ）求三棱锥的体积． （2）设二面角为，二面角为，若，求． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）过点作于，利用线面垂直的判定性质及勾股定理逆定理推理得证；（ⅱ）由（ⅰ）求出点到平面的距离，再利用锥体的体积公式求解. （2）以点为原点建立空间直角坐标系，确定点的轨迹，进而求出其坐标，再分别求出平面及平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 （ⅰ）过点作于，连接，由，， 平面，得平面，又平面，则， 在正中，，是的中点，则，，， 由为正三角形，且，得，， 则，， 又，，因此，所以. （ⅱ）正的面积，由（ⅰ）可知平面， 平面，得平面平面，又平面平面， 则点到平面的距离等于点P到的距离h， 在中，由余弦定理得， 所以， 所以三棱锥的体积为. 【小问2详解】 连接，过点作平面，则直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 由为正三角形，得点在直线上的射影为线段的中点， 因此点在垂直于的平面内，且在以的中点为圆心，为半径的圆周上， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此， 由，得，即，解得， 所以. 19. 已知抛物线的焦点为F，过点F作一条直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，且的最小值为． （1）求C的方程； （2）若，求的所有可能取值； （3）若M，N两点在C上（M，N与A，B均不重合），且MF，NF分别是，的平分线，的外心为G，证明：为定值． 【答案】（1） （2）1， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合两点之间的距离公式及二次函数的知识即可求解； （2）设AB的中点为P，直线，联立抛物线方程，结合韦达定理求出P点的坐标，再将转化为，根据AB直线斜率是否存在分类讨论即可求出不同情况下的m值，最后据此求出即可； （3）根据角平分定理可得，所以转化为研究点满足的轨迹方程，该轨迹过点F，且与抛物线存在两个交点，根据t是否为1分类讨论，其中易分析，主要在于分析时，所满足的轨迹方程，结合（2）中的结论，可以推导出关于t的表达式，代入中化简可得到的等式，分析该轨迹方程，并据此求出的外心为G的坐标，最后同A、B、F三点的坐标一并代入即可证明． 【小问1详解】 设， 则， 所以的最小值为，当且仅当成立， 依题意则有，解得， 故C的方程为． 【小问2详解】 由于，故，， 易知直线AB斜率不为零，故设直线，，， 将与联立，得， 则，，， 设P为AB的中点，则，即，由题可知， 当AB的斜率不存在时，，显然满足题意，此时， 当AB，PD的斜率均存在时，，， 则由，解得， 当时，由，解得， 此时， 当时，由，解得， 此时， 综上，的可能取值为1，． 【小问3详解】 由角平分线的性质可知，设该比值为， 下面分析满足的点的轨迹，知该轨迹与抛物线有两个交点，且过焦点F， 当时，由可知，点T的轨迹为x轴，与抛物线C仅有一个交点， 不符合题意，所以； ，，由， 得， 整理得， 则（*）， 由（2）知，，故，， 又，所以，， 代入（*）式中，化简，得， 故点T的轨迹是以为圆心的圆，M，N，F三点在该圆上，所以， 由前面的分析可得，，，， 所以 ， 故，为定值，得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三4月16～17日数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知随机事件A，B相互独立，若，，则（ ）． A. 0.6 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.15 2. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 4. 的展开式中，的系数为（ ）． A. B. C. 6 D. 5. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且，则（ ）． A. B. C. D. 1 6. 已知正数x，y满足，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 函数在区间上的最小值为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线与的另一个交点为，关于轴的对称点为，若，则的离心率为（ ）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数（且），若，则（ ）． A. 是纯虚数 B. 是实数 C. D. 的最大值为2 10. 已知函数，，且在处取得极小值，则（ ）． A. B. 仅有一个极值点 C. 当时， D. 当时， 11. 某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘（如图1）是一种被称为“星形线”的曲线．图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为，则下列说法正确的是（ ）． A. 在E上任取一点P，则的最小值为 B. 在E上任取一点A，点B与点A关于直线对称，点C与点B关于y轴对称，则是等腰直角三角形 C. 若函数的最大值为b，则点在该星形线上 D. 若E上三点满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若向量，满足，，且与相互垂直，则______． 13. 已知数列满足，记的前项和为，则满足的的最小值为______． 14. 在四面体中，，，异面直线与所成的角为，异面直线与所成的角为，若，且，则四面体的外接球表面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 下表是一个6×6的数表，其一条对角线上均为1，其余位置均为0． 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 （1）设事件“从数表中任选两格，至少选中一个1”为，求； （2）用一个3×3的正方形任意框选数表中的9个格子，记这9个格子中的数字之和为，求的分布列与数学期望． 16. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若在区间上存在唯一的极值点和唯一的零点，且，求t的取值范围． 17. 记是数列的前n项和，已知． （1）求； （2）设（k为常数），数列的前n项和为，若为等比数列，求k的值． 18. 如图，在三棱锥中，是的中点，，都是正三角形，且． （1）若， （ⅰ）求； （ⅱ）求三棱锥的体积． （2）设二面角为，二面角为，若，求． 19. 已知抛物线的焦点为F，过点F作一条直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，且的最小值为． （1）求C的方程； （2）若，求的所有可能取值； （3）若M，N两点在C上（M，N与A，B均不重合），且MF，NF分别是，的平分线，的外心为G，证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $