10.2分式的基本性质同步练习2025-2026学年苏科版数学八年级下册

10.2分式的基本性质 同步练习 一、单选题 1．分式，，的最简公分母是（　　） A．6x2y B．12x2y4 C．36x2y4 D．72x2y4 2．把分式中的a，b都扩大到原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大到原来的4倍 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的 D．不变 3．下列分式中，化简结果等于的是（   ） A． B． C． D． 4．下列分式的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若是最简分式，则中可以是（      ） A． B． C． D． 6．若将分式中的x，y的值都变为它们的相反数，则变化后分式的值（    ） A．1 B． C．变为相反数 D．不变 7．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 8．嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 二、填空题 9．分式、的最简公分母是______． 10．约分：____________． 11．约分的结果是________． 12．已知，则的值为__________． 13．请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个分式可以是______． 14．在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母________________． 15．下面三个式子：，其中正确的有_____个． 16．阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2， 所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是__________． 17．如图，A，B，C三个圆柱形杯子完全相同并装有相同高度的液体，旁边放有若干个大小相同的实心小球．分别向三个杯子内放入若干个小球观察液面的情况：A杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出；B杯放入4个小球，液体溢出；C杯放入6个小球，液体溢出．将B杯溢出的液体用相同的杯子收集，C杯溢出的液体用相同的D杯收集，将D杯的液体倒入A杯，装满A杯后，D杯剩余的液体高度是B杯溢出液体高度的______倍． 18．若一个四位数的千位与百位之差等于，十位与个位之差等于，称这个四位数是差倍数，若四位数的千位与百位之差等于，十位与个位之差等于，称这个四位数是“差倍数”，则最小的“差倍数”为________，若数，分别为“差倍数”和“差倍数”，它们的个位数字均为，，的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为________． 三、解答题 19．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都是正数． (1) (2)． 20．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 21．小明和小强一起做分式的游戏，如图所示他们面前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自任选两张牌分别做分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个相同的x值，再计算分式的值，值大者为胜．为使分式有意义，他们约定x是大于3的正整数．    (1)小明组成的分式中值最大的分式是______，小强组成的分式中值最大的分式是______； (2)小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我一定是胜者”小强说的有道理吗？请你通过计算说明． 22．（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？ （2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？ 23．如图，在中，，，，；斜边上的高．求证：．    24．已知n，a，b都是正整数． (1)求证：； (2)任意一个分数都可以写成两个比它小的分数的和，若，求a，b与n之间的数量关系． 25．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 《10.2分式的基本性质 同步练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A A C D D B 9． 【分析】本题考查了分式的最简公分母，掌握最简公分母的计算是关键． 最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：分式、的最简公分母是， 故答案为： ． 10． 【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以或除以相同因式时分式的值不变即可解题解答． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的约分，熟悉分式的性质是解题关键，约分的方法是：若分子分母都是单项式，则直接求取分子分母的公因式再化简；若分子或分母是多项式，需要将分子分母因式分解后求取分子分母的公因式再化简 11．/ 【分析】根据分子分母提公因式约分即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查约分计算，掌握提公因式约分是关键． 12． 【分析】设，代入约分化简． 【详解】∵， ∴设， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的约分，设是解答本题的关键． 13．（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，分式的值不为及分式有意义的条件，根据题意写出符合条件的最简分式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：同时满足以下两个条件：①分式的值不可能为；②当时分式有意义．这个最简分式可以是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查最简公分母的知识，先把分母和因式分解，即可求得分式的最简公分母，熟练解分式方程是解题的关键． 【详解】解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 15．1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正确性． 【详解】解：对于第一个等式，，故不正确； 对于第二个等式，左边，等于右边，故正确； 对于第三个等式，（除非，但一般情况不成立），故不正确． 因此正确的有1个． 故答案为：1． 16． 【分析】本题考查了分式的性质及有理数的乘方，先利用分式的性质化简，再根据有理数的乘方的符号规律可得的最大值为，进而可求解，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 的最小值为， 的最大值为， 的最小值为， 即的最小值是， 故答案为：． 17．2 【分析】本题考查了整式加减的应用、分式的应用，熟练掌握整式和分式的运算法则是解题关键．设圆柱形杯子的底面积为，先求出一个实心小球的体积为，再求出杯溢出的液体的体积，则可得杯溢出液体高度，然后求出杯溢出的液体的体积，则可得杯剩余的液体高度，由此即可得． 【详解】解：设圆柱形杯子的底面积为， 则圆柱形杯子的体积为，原来装有的液体的体积为， ∵杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出， ∴一个实心小球的体积为， ∵杯放入4个小球，液体溢出， ∴杯溢出的液体的体积为， ∵将杯溢出的液体用相同的杯子收集， ∴杯溢出液体高度为， ∵杯放入6个小球，液体溢出， ∴杯溢出的液体的体积为， ∵杯溢出的液体用相同的杯收集，将杯的液体倒入杯，装满杯， ∴杯剩余的液体高度为， ∴杯剩余的液体高度是杯溢出液体高度的（倍）， 故答案为：2． 18． 【分析】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，依据题意，由已知，根据“差2倍数”和“差3倍数”的定义求解即可． 【详解】解：根据“差2倍数”的定义可得最小的“差2倍数”为2040； 设数的百位数字分别为， 则数的千位数字分别为，数的十位数字分别为，， ，， ， ∵为整数，都是整数， ∴或， ∵， ， ∴ 当时，最大，最大值为 故答案为：；． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）对分式的分子分母均乘以即可； （2）将分式的分子部分提取即可． 【详解】（1）解：原式 ; （2）解: 原式 ． 20．(1) (2) (3) (4) 【分析】找到分子和分母的公因式，然后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【点睛】本题主要考查了分式的约分，正确找到对应分子和分母的公因式是解题的关键． 21．(1)， (2)小强说的有道理，理由见详解 【分析】（1）分式的最大，则分母要大于分子，由此即可求解； （2）比较分式，大小即可求解． 【详解】（1）解：根据分式的大小关系可知， 小明组成的分式中值最大的分式是，小强组成的分式中值最大的分式是． （2）解：小强说的有道理， 理由如下： ∵， 当x是大于3的正整数时， ∴， ∴， ∴， 故小强说的有道理． 【点睛】本题主要考查分式的应用，理解分式的性质，分式比较大小的方法是解题的关键． 22．（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元． 【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案； （2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案． 【详解】解：（1）由题意可得：， 答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克； （2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得： y（1+a%）=x， 则y=， 答：这种商品每件的成本是元． 【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键． 23．见解析 【分析】根据面积法得到，变形得到，则，再根据勾股定理得出，代入化简即可． 【详解】解：证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴．    【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，分式的基本性质，解题的关键是利用面积法得出． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）作差法解答即可； （2）去分母，化简解答即可． 本题考查了作差法比较大小，分式的化简，熟练掌握大小比较，分式的化简是解题的关键． 【详解】（1）解：由， ∵n，a，b都是正整数， ∴，， ∴ ∴， ∴． （2）解：根据题意，得， 去分母，得 去括号，得， 化简得． 25．(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 学科网（北京）股份有限公司 $