第九章因式分解单元测试2025-2026学年苏科版数学八年级下册

第九章 因式分解 单元练习 一、单选题 1．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．分解因式结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列分解因式的变形中，正确的是（    ） A．xy（x﹣y）﹣x（y﹣x）＝﹣x（y﹣x）（y＋1） B．6（a＋b）2﹣2（a＋b）＝（2a＋b）（3a＋b﹣1） C．3（n﹣m）2＋2（m﹣n）＝（n﹣m）（3n﹣3m＋2） D．3a（a＋b）2﹣（a＋b）＝（a＋b）2（2a＋b） 4．多项式可因式分解成，其中、、均为整数，求的值为(　　) A． B． C．或 D．或 5．下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 8．对于二次三项式（为常数），下列结论正确的个数有（   ） ①当时，若，则； ②无论取任何实数，等式都恒成立，则； ③若，，则或； ④满足的整数解共有8个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 10．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D．） 二、填空题 11．将多项式因式分解得________． 12．因式分解______． 13．把多项式因式分解，结果为____． 14．将多项式因式分解的结果是__________． 15．多项式的最小值为___________． 16．在实数范围内分解因式：______． 17．分解因式：________． 18．如果两数满足，那么_______． 三、解答题 19．用简便方法计算： (1)； (2)． 20．分解因式 (1) (3) (4) 21．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，在学习“因式分解”时，我们可以借助直观、形象的几何模型来求解．下面共有三种卡片：A型卡片是边长为x的正方形，B型卡片是长为y，宽为x的长方形，C型卡片是边长为y的正方形．请用1张A型卡片，2张B型卡片和1张C型卡片拼成一个大正方形，在图2虚线框中画出正方形的示意图，再据此写出一个多项式的因式分解． 22．小明的老师设计了一个“神秘数字盒子”，盒子的密码由以下规则生成：将二次多项式因式分解为，其中 m，n，p，q均为整数．密码由分解后各因式的系数绝对值按从小到大的顺序排列组成（重复数字只保留一个）．例如：若分解结果为，则系数绝对值为1，2，3，密码为1，2，3．请解决以下问题： (1)将多项式分解为两个一次因式的乘积．根据分解结果，生成该数字盒子的密码． (2)若某数字盒子的密码为1，2，3，5，且其对应的多项式为，请写出该多项式的一种可能的因式分解形式，并写出此时k的值． 23．如图，在半径为的圆形钢板上冲去半径为的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3.14） 24．已知，，求的值． 25．已知为整数，证明代数式的值一定为整数． 26．先阅读下列材料，然后解决后面的问题． 材料：一个三位数（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数为“协和数”，同时规定c=（k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8． (1)判断132，123，321这三个数中，　是“协和数”． (2)对于“协和数”，求证：“协和数”能被11整除． (3)已知有两个十位数相同的“协和数”，（＞），且，若，用含b的式子表示y． 27．阅读：已知，，求的值． 解：∵，， ∴． 请你根据上述解题思路解答下面问题： 已知，，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D C D D B B D 11． 【分析】此题主要考查因式分解，熟练掌握“提取公因式法”是解答此题的关键． 直接提取公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12． 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式继续分解即可 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 13． 【分析】通过提取公因式和完全平方公式即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了提取公因式和完全平方公式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 14． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15． 【分析】先利用分组分解法和配方法进行因式分解，再根据平方的非负性即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴当时，原式最小值为；， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解和平方的非负性，熟练掌握完全平方公式和配方法是解题的关键． 16． 【分析】利用提公因式法及平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握和运用平方差公式分解因式的方法是解决本题的关键． 17． 【分析】本题考查因式分解，先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出，，再利用平方差公式得，再代入求值即可． 【详解】解：， ①②，得， ∴， ②①，得， 则， 故答案为：． 19．(1)4 (2) 【分析】（1）把原式化为，再进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查的是利用平方差公式进行简便运算，熟记平方差公式的特点是解本题的关键． 20．(1) (2)160000 (3) (4) 【分析】（1）先提取公因式，再用平方差公式因式分解． （2）用完全平方公式因式分解． （3）用十字相乘法因式分解． （4）用提取公因式法分解因式． 【详解】（1）        ． （2） （3） （4） 【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉提取公因式法和公式法因式分解． 21．画图见解析， 【分析】将三种卡片相等边长的边拼在一起，即可拼成大正方形；拼成的四个图形的面积和为，拼成的大正方形的面积为，即可写出多项式的因式分解． 【详解】解：拼图如图所示， 多项式的因式分解为：． 22．(1)；2，3，5 (2)当分解结果为时，；当分解结果为时，． 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）利用十字相乘法把分解因式即可得到答案； （2）根据，则可得因式分解的结果可以为或或或，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∴分解后的系数为， ∵， ∴数字盒子的密码为2，3，5； （2）∵， ∴因式分解的结果可以为或或或， 当分解结果为时，则，则； 当分解结果为时，则，则； 当分解结果为时，则，则； 当分解结果为时，则，则； 综上所述，当分解结果为时，；当分解结果为时，． 23． 【分析】本题是因式分解的应用，用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，然后把和的值代入后分解因式可得结果，熟练进行计算是解题的关键． 【详解】解： ， ． 24．3 【分析】先提公因式，再按照完全平方公式分解因式，再把，代入求值即可得到答案． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴原式 ． 25．见解析 【分析】先将原代数式因式分解，然后根据连续整数的积是偶数，可得是整数，从而解决问题． 【详解】证明： = = ∵为整数， ∴与为连续整数， ∴是偶数， ∴是整数， ∴代数式的值一定为整数． 【点睛】本题考查因式分解的应用，在解决问题过程中，用到“连续整数的积是偶数”这个结论，是解题的关键． 26．(1)132 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“协和数”的定义进行判断即可； （2）根据“协和数”的定义得出a+c=b，由=11（9a＋b）,即可得到结论； （3）由，代入可得=1，得到－＝1， b－－＝1，进一步求得，代入即可得到结论． 【详解】（1）解：∵1＋2＝3， ∴132是“协和数”， ∵1+3≠2， ∴123不是“协和数”， ∵3+1≠2， ∴321不是“协和数”， 故答案为：132； （2）∵是“协和数”， ∴a+c=b， ∵=100a＋10b＋c＝99a＋10b＋a＋c＝99a＋11b＝11（9a＋b）, ∵a是整数，b是整数， ∴9a＋b是整数， ∴“协和数”能被11整除； （3）∵， ∴=1，、、b均为整数，＞， ∴－＝1， b－－＝1， ∴＋=b﹣1， ∴，， ①+②得：， ∴ ． 【点睛】此题考查了因式分解的应用、完全平方公式、新定义“协和数”，解题的关键是找出＝11（9a＋b）,－＝1，＋=b﹣1． 27． 【分析】根据题意确定，，然后将整式化简代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ ． 学科网（北京）股份有限公司 $