精品解析：天津市第三中学2025-2026学年高一年级下学期期中质量检测数学试题

天津市第三中学2025~2026学年度第二学期 高一年级期中质量检测数学试题 试卷命题人：高一集备组 试卷审核人：高一集备组 第I卷 选择题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3 4. 在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 或 5. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 10. 在梯形中，已知，，，点、分别在线段和上，且，，则（ ） A. B. C. D. 第II卷 非选择题 二、填空题（共8题，每题3分，共24分） 11. 已知复数，则______. 12. 若向量，满足，，且与的夹角是，则向量在向量上的投影向量是_____________.（用表示） 13. 已知向量与的夹角为，，，则___________. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，则的形状是____________ . 15. 已知一个圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积是_____. 16. 在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________. 17. 在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 18. 在中，，，，分别为边 ，的中点.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________. 三、解答题（共5题，19、20题各8分，21、22、23题10分，共46分） 19. 已知复数，i是虚数单位，根据下列条件求实数m的值. （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 20. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 21. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，，求. 22. 在中，角 的对边分别为， . （1）求； （2）若 ，求 . 23. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第三中学2025~2026学年度第二学期 高一年级期中质量检测数学试题 试卷命题人：高一集备组 试卷审核人：高一集备组 第I卷 选择题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可得, 故选：D 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求解即可. 【详解】复数对应复平面内点，位于第二象限. 3. 已知，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为，，所以， 由，所以，解得. 4. 在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】应用正弦定理求得，结合且，即可得. 【详解】由题设及，则， 又，故为锐角，且，所以. 故选：B 5. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 且，故选项C正确. 6. 已知正四面体的棱长都是2，则这个正四面体的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正四面体各个面都是正三角形，直接计算面积即可. 【详解】. 7. 如图，已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以, 又，， 所以. 故选：A. 8. 设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得长方体的对角线长为，结合长方体的性质，求得，利用球的体积公式，即可求解. 【详解】由长方体的长、宽、高分别为2，1，1，可得长方体的对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，可得，解得， 所以该球的体积为. 9. 在中，已知，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得及，结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为 由正弦定理，可得. 10. 在梯形中，已知，，，点、分别在线段和上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算及向量的数量积运算律求解即可. 【详解】 梯形中，，，所以. 因为，所以. ， . 所以 . 第II卷 非选择题 二、填空题（共8题，每题3分，共24分） 11. 已知复数，则______. 【答案】 【解析】 【详解】可知， 则，所以. 12. 若向量，满足，，且与的夹角是，则向量在向量上的投影向量是_____________.（用表示） 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知， 所以向量在向量上的投影向量是. 13. 已知向量与的夹角为，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，，，可得， 则，所以. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，.若，，则的形状是____________ . 【答案】等边三角形 【解析】 【详解】在中，，又，故． 由余弦定理得， 因为，所以有，即，解得， 所以是等边三角形． 15. 已知一个圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积是_____. 【答案】 【解析】 【详解】 设圆锥母线长为，则，解得， 所以圆锥高为，则圆锥的体积为. 16. 在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，求得，求得，结合正弦定理，即可求得外接圆的半径，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 又因为，可得， 所以， 所以， 可得， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以， 设外接圆的半径为，因为，可得， 所以，即外接圆的半径为. 17. 在中，内角所对的边分别为，则边的高线长______ . 【答案】 【解析】 【详解】由余弦定理可知， 可知， 所以边的高线长为. 18. 在中，，，，分别为边 ，的中点.若，点为线段上的动点，则的最小值为_______________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设，，由坐标法求数量积，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，如图： 则，，， 因为，分别为边 ，的中点，所以，，则. 又点为线段上的动点，可设， 则，所以. 故，， 则 这是开口向上的二次函数，对称轴为，因为， 所以当时，取得最小值，即. 故的最小值为. 三、解答题（共5题，19、20题各8分，21、22、23题10分，共46分） 19. 已知复数，i是虚数单位，根据下列条件求实数m的值. （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1）2或3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数时，虚部为0的性质，列出方程，求出参数值； （2）根据复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0的性质，列出方程组，求出参数值； （3）根据复数对应的点在第三象限，实部虚部为负的性质，列出不等式组，求出参数范围； 【小问1详解】 由题意可知复数为实数，即，解得或. 【小问2详解】 由题意可知复数为纯虚数， 则，解得. 【小问3详解】 当在复平面内对应的点在第三象限，则，解得， 即实数m的取值范围为. 20. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用向量共线的坐标表示，列出方程，求得，结合模的计算公式，即可求解； （2）由，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，因为，可得，解得， 所以，所以. 【小问2详解】 解：由向量，可得， 因为，可得， 解得，所以，则且， 所以. 21. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，，求. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理进行边化角，从而求出角; （2）使用面积公式计算出边长关系，再使用余弦定理计算. 【小问1详解】 由，根据正弦定理可知 ，即， ， 又， 所以 因为不为零，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由的面积为，可知 ，那么 由可知 所以， 由余弦定理得， 所以. 22. 在中，角 的对边分别为， . （1）求； （2）若 ，求 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）使用正弦定理化简，再通过辅助角公式化简； （2）先使用余弦定理求出，再用余弦定理求. 【小问1详解】 由已知， 根据正弦定理，， ，则， 即，， 由于,, 所以，, 故. 【小问2详解】 由余弦定理可知， 所以， 23. 已知的内角，，所对的边长分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理得到，即可求出结果； （2）由（1）及条件，利用正弦定理即可求出结果； （3）根据条件，求出，利用二倍角公式得到，，再利用正弦的差角公式即可求出结果. 【小问1详解】 因为，，， 由余弦定理得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，又，， 由正弦定理，可得. 【小问3详解】 因为，所以，又，所以， 所以，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $