精品解析：安徽蚌埠市A层高中2025-2026学年第四次联合教研素质评价高二数学试卷

A层高中第四次联合教研素质评价 高二数学 命题单位：怀远一中 审题单位：蚌埠二中 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为，则F对于r的瞬时变化率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求F对于r的导数，结合求导法则即可求得答案. 【详解】由题意可知，则F对于r的瞬时变化率为． 故选：D 2. 已知数列满足，若，则为（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，数列为等比数列，可求解与，再求解与即可. 【详解】因为，所以， 所以数列为等比数列，公比为，因为， 所以，则， 即，解得，所以，， 所以. 3. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的期望计算公式列出方程，再由方差公式即可求解． 【详解】由题可设，则，， 所以，解得． 所以． 4. 的二项展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】的二项展开式的通项公式为， 化简得， 令，得，所以， 所以的展开式中x的系数是． 5. 为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】符合要求的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，利用分步乘法原理求出各类的方法数，再利用分类加法原理求总的方法数. 【详解】“射”不在第二周且“乐”不在第五周的排法可以分为两类：第一类“射”排在第五周的排法，第二类“射”不在第二和第五周且“乐”不在第五周的排法，其中第一类的排法有种，第二类的排法有种，由分类加法原理可得总的排法数为504， 故选：B. 6. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 7. 已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算甲中奖的概率，直接利用古典概型，乙中奖的情况，全概率公式，丙中奖的情况用全概率公式分多种情况计算. 【详解】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此； 计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况： 甲中奖后乙中奖：概率为； 甲未中奖后乙中奖：概率为； ； 计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况： 甲中、乙中、丙中：； 甲中、乙不中、丙中：； 甲不中、乙中、丙中：； 甲不中、乙不中、丙中：； ； 因此. 8. 已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ∵存在，对于任意都有， ∴在左侧附近，函数小于0. ， ， ①当时，， ∴存在，对于任意都有，，函数单调递增， ∴当时，，满足题意. ②当时，， ， ∴当时，，函数单调递减， ∴不存在，对于任意都有， ③当时，， ∴存在，对于任意都有，函数单调递减， ∴当时，，不满足题意. 综上所述，实数的取值范围是. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则时，概率最大 B. 若，，且，则，相互独立 C. ，，，则的值为 D. 已知，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概率公式以及条件概率公式逐个计算，分别对每个选项进行分析判断. 【详解】选项A：若随机变量，， 由于要使最大，则,故时，概率最大，故A错误； 选项B：根据条件概率公式，由， 得，所以，则，相互独立，故B正确； 选项C：由，即， 解得，故C错误； 选项D：由题意知，．因为， 所以，因此， ．又， 所以，故D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：根据导数与单调性的关系判断即可；选项B：根据奇函数的定义判断即可；选项C：根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可；选项D：利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则函数与直线的图象有3个不同的交点，利用导数与极值的关系判断即可. 【详解】已知，则. 选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以. 所以，是增函数，故A正确. 选项B：，， 则，故不是奇函数，故B错误. 选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根. 其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则. 所以，故C正确. 选项D：设切点为，， 所以切线方程为. 又切线过，所以，即. 切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点. . 令，即，解得或. 当时，，当时，， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，极大值为， 所以当时，与有3个交点. 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确. 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用独立事件的概率乘法公式求得；B选项通过列出的分布列计算期望得；C选项通过枚举发现，说明不能简单分解为独立事件；D选项利用（正面次数）及期望的单调性证得. 【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确； 对于B，，，，， 则，B正确； 对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的. 严格计算：，，，C错误； 对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数， 于是，则，则，于是，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则__________． 【答案】19 【解析】 【分析】利用排列数与组合数关系求得的值，进而求解. 【详解】由得，所以， ∴，解得，故． 故答案为：19． 13. 某学校田径队有甲乙等8名运动员，现将这8人平均分成、两组集训，求甲乙两人同在组的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】先从8人中选4人进组，其余4人进，总事件数为， 甲乙同在组时，只需从剩余6人中选2人补足组，其余4人进，符合要求事件数为， 所以所求概率. 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得出，构造函数，得出最小值在对称轴处取得，再构造，由导数求得最小值，即可求解． 【详解】由题意得， 令，则最小值在对称轴处取得， 所以， 因此对于固定的，的最小值为， 令，求导得，又， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 所以，所以， 综上所述，的最小值为． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等比数列的前项和满足，且，，成等差数列．数列满足：． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），，，． （2）． 【解析】 【分析】（1）由数列的递推关系进行求解； （2）由进行求和即可． 【小问1详解】 ∵，，成等差数列， ∴，解得：， 又∵， 当时，，得：， ∴，∴，； 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，． 【小问2详解】 由于， ， 所以． 16. 已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 【答案】（1） （2）证明如下： 设，由，得，则. 易知直线的斜率存在（另一条过点的切线为）， 设其方程为，即. 由消去，得. 因为直线与相切， 所以，且，得， 所以直线的方程为， 方程的根为，所以， 所以直线的方程为. 又因为点到直线的距离，等于点到轴的距离， 又点在内部，所以. 【解析】 【分析】（1）根据条件求出即可； （2）设直线的方程，根据求出方程以及点的坐标、直线的方程，计算点到两直线的距离即可. 【小问1详解】 因为点在直线上，所以. 因为的渐近线方程为，所以，故. 所以的方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合勾股定理的逆定理、余弦定理、锐角三角函数定义进行求解即可； （2）根据三棱锥的等积性，结合三棱锥的体积公式进行求解即可； （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 因为平面，平面， 所以， 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以在中，由余弦定理，得. 【小问2详解】 所以在中，， 在中，， 在中，由余弦定理，得， 所以， 设点到平面的距离为， 由三棱锥的体积公式和性质， 得，所以. 【小问3详解】 由上可知：，取的中点，显然， 因为平面，平面， 所以， 因此以所在的直线为轴和轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： ， 由上可知：是棱中点，， 所以可得，，即 设平面的法向量为， ， 所以， 所以取该平面的一个法向量为， 设直线BC与平面PAB所成角为， 所以. 18. 已知函数． （1）当 求在处的切线方程； （2）当时，证明； （3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：的定义域为，； 当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 故； 要证，只需证， 即证； 设，则， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，. 又，，故. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，根据直线的点斜式即得切线方程； （2）通过求导，判断函数单调性求得，将待证不等式等价转化为，再构建新函数，求其最值即可证得结论； （3）由题设不等式等价转化后构建函数，根据其单调性得到，通过求的最大值即可求出参数范围. 【小问1详解】 当，故且， 故，故切线方程为，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，则由得：， 即， 令，则，故在上单调递增， 在上恒成立， 即，又，（*）； 设，则， 由解得：（舍）或， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ， 由（*）可得，解得：， 的取值范围为. 19. 为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】（1） 的分布列如下： 2 3 4 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到变量X的可能取值为2，3，4，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）记“合计得分恰为”为事件A，“合计得分”为事件B，得到，结合数列的递推关系式构造等比数列，进而求得数列的通项公式，得到答案 【小问1详解】 的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分； 既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． 随机变量 的可能取值为 2，3，4， 可得 ， 的分布列如下： 2 3 4 数学期望为 ； 【小问2详解】 由这 人的合计得分为 分， 则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁， 则 ， 由两式相减， 可得 ； 【小问3详解】 在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为 分或 分， 记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件， ， ，即 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解， 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ A层高中第四次联合教研素质评价 高二数学 命题单位：怀远一中 审题单位：蚌埠二中 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 物体所受到的重力F与其到地心的距离r的关系为，则F对于r的瞬时变化率为（ ）． A. B. C. D. 2. 已知数列满足，若，则为（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 3. 为推进“数字适老，智慧生活”，某社区开展AI应用培训活动．现随机抽取一位学员，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，2，若，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 的二项展开式中x的系数是（ ） A. B. C. D. 5. 为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（ ） A. 最大 B. 最大 C. 最大 D. 8. 已知函数，若存在，对于任意都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量，则时，概率最大 B. 若，，且，则，相互独立 C. ，，，则的值为 D. 已知，，，则 10. 已知函数，则（ ） A. ，是增函数 B. ，是奇函数 C. 若有三个不同的零点，，，则 D. 过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 11. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，则__________． 13. 某学校田径队有甲乙等8名运动员，现将这8人平均分成、两组集训，求甲乙两人同在组的概率为________． 14. 作为人工智能的核心领域，机器学习致力于让机器从数据中学习．在该领域中，如何度量样本间的相似性是一个基础问题，通常通过计算它们之间的“距离”来实现，闵氏距离便是多种距离度量中的一种基础且重要的形式．设两组数据分别为和，则这两组数据间的闵氏距离，其中表示阶数．若，，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知等比数列的前项和满足，且，，成等差数列．数列满足：． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知双曲线的左焦点为，右顶点为，渐近线方程为，点在直线上. （1）求的方程； （2）过点的直线与相切于点（异于点），证明：. 17. 如图，在三棱锥中，，，，，，，点，分别是棱，上的点，且直线平面. （1）求的长； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数． （1）当 求在处的切线方程； （2）当时，证明； （3）若对任意的不等正数，总有，求实数的取值范围． 19. 为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $