精品解析：河北石家庄第四十中学2025-2026学年第二学期期中考试初二数学试题

2025-2026学年第二学期期中考试初二数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 根据下列表述，能确定位置的是（ ） A. 北偏东 B. 某电影院2排7号 C. 市二环东路 D. 东经 2. 下列各曲线，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，若，且，则函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 4. 若在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. 16 C. 2 D. 5. 对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点的坐标为，直线轴，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ） A. 加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是 B. 途中加油5升 C. 汽车加油后还可行驶3.75小时 D. 汽车到达乙地时油箱中还余油5升 9. 已知点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 10. 如图①，在中，动点从点出发，以的速度向点的方向运动，设运动时间为，，与之间函数图象如图②所示，则图②中最低点的纵坐标是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 11 11. 有8条不同的直线（n＝1，2，3，4，5，6，7，8），其中，，则这8条直线的交点个数最多是（ ） A. 21个 B. 22个 C. 23个 D. 24个 12. 图中虚线是平面直角坐标系第一、三象限角平分线，点C在虚线上，中，轴，，点B坐标为，沿虚线向右上移动m个单位，点恰好落在△ABC内部，则m的整数值有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题，13-16题每小题3分，17题4分，共16分） 13. 函数的自变量的取值范围是_______． 14. 已知关于的函数表达式为，当时，的取值范围是_______． 15. 已知是的一次函数，且当时，的值是2，当时，的值是3，求函数图像与坐标轴所围图形的面积______． 16. 若一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位恰好经过点（﹣1，4），则b的值为 _____． 17. 【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点，若都按乙方式，最终移动到点，若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】 点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了次． （1）当，时，点的坐标是__________； （2）已知点，若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，若点关于直线的对称点落在坐标轴上，的值为________； 三、解答题（本题共6小，共48分） 18. 下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m． （1）如果用有序数对（3，2）表示跳跳床的位置，填写下列两个游乐设施的位置：跷跷板________，碰碰车________； （2）秋千的位置是（4，5），请在图中标出来； （3）旋转木马在大门以东500m，再往北200m处，请在图中标出来． 19. 为美化校园环境，我校后勤部门计划在教学楼前的空地上设计三角形花坛．工作人员以教学楼大门为原点，建立了平面直角坐标系，测得花坛的三个顶点坐标分别为．如图所示： （1）在图中画出关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为点、、，并写出点的坐标． （2）为了方便师生浇灌两个花坛，后勤部门打算在轴上安装一个供水龙头，要求水龙头到点和点的距离之和最短，从而减少水管的铺设长度．请你在y轴上找到这个点的位置，并求出点的坐标． 20. 电动平衡车运动灵活，转向稳定，纯电力驱动，零排放，环保无污染，是新型的短途出行工具．某网络销售平台销售A，B两种纯电动平衡车共60台，两种平衡车的进价和售价如下表． 进价 售价 A型 1400 2000 B型 2100 2400 设该网络平台购进A型平衡车x台，这60台平衡车可获总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若A型平衡车的购进数量不超过B型平衡车购进数量的3倍，应如何安排进货，才能使售完这批平衡车后获利最大，并求出最大利润． 21. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为，根据图象提供的信息，解决下列问题： （1）求乙离开A城的距离y与x的关系式； （2）求乙出发后几小时追上甲车？ （3）从图象上看，x为何值时，两车之间的路程最大？通过计算说明，最大路程是多少千米？ 22. 某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： （1）作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． （2）观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． （3）结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 23. 数学活动课上，兴趣小组利用图①验证勾股定理：等腰直角三角形的直角顶点C在直线l上，过点A作．于点D，过点B作于点E，易证得：（无需证明），我们称这种全等模型为“K型全等”． 问题探究： （1）如图②，在平面直角坐标系中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为________； 问题深化： （2）如图③，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点C、点A，过点C作于点C，且，作直线，求直线的解析式； 拓展应用： （3）如图④，在（2）的条件下，若点E为线段中点，在平面内是否存在点P，使以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试初二数学试题 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 根据下列表述，能确定位置的是（ ） A. 北偏东 B. 某电影院2排7号 C. 市二环东路 D. 东经 【答案】B 【解析】 【分析】根据位置的确定需要两个条件对各选项分析判断即可． 【详解】解：A．北偏东30°，不能确定位置，不符合题意； B．某电影院2排7号，位置明确，符合题意； C．市二环东路，不能确定位置，不符合题意； D．东经，不能确定位置，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个条件是解题的关键． 2. 下列各曲线，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象，熟练掌握函数的概念是解题的关键． 根据函数的概念∶对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【详解】、根据图象，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，此选项不符合题意，排除； B、根据图象，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，此选项不符合题意，排除； C、根据图象，对于自变量的每一个值，因变量不是有唯一的值与它对应，所以不是的函数，此选项符合题意； 、根据图象，对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，所以是的函数，此选项不符合题意，排除； 故选：C． 3. 如图，若，且，则函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先根据题意得到，进而判断出函数的图象经过第一、二、四象限，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴函数的图象经过第一、二、四象限， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 4. 若在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（ ） A. B. 16 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握关于y轴对称点的坐标性质是解题关键．根据关于y轴对称点的坐标性质“横坐标互为相反数，纵坐标相等”，求解即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴且． 解得， 故选：D． 5. 对于某个一次函数，两位同学探究了它的图象和性质．上图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个一次函数的解析式为，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵函数图象经过点， ∴， 即，故D选项正确，不符合题意； ∵函数图象不经过第二象限， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项错误，符合题意； 故选：C 6. 已知点，点的坐标为，直线轴，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行于y轴的直线上所有点横坐标相等的性质，列方程求出的值，进而得到点的坐标． 【详解】解：∵ 轴，点，点， ∴ 点与点横坐标相等，可得， 解得 ， 把代入点的纵坐标，得， ∴ 点的坐标为． 7. 小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．根据密度质量体积，从图象中比较每种物质的质量和体积，即可得到答案． 【详解】解：甲和丙的体积相等， 甲的质量丙的质量， 甲的密度大； 乙和丁的体积相等， 乙的质量丁的质量， 乙的密度大； 甲和乙的质量相等， 甲的体积乙的体积， 甲的密度大． 故选：A． 8. 如图，张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（ ） A. 加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系是 B. 途中加油5升 C. 汽车加油后还可行驶3.75小时 D. 汽车到达乙地时油箱中还余油5升 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式的确定，路程、速度、时间之间的关系等知识，难度中等．仔细观察图象，从图中找出正确信息是解决问题的关键． A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为，将，代入，运用待定系数法求解后即可判断； B、由题中图象即可看出，途中加油量为升； C、先求出每小时的用油量，再求出汽车加油后行驶的时间即可； D、先求出汽车从甲地到达乙地需要的时间，进而得到需要的油量；然后用汽车油箱中原有的油量加上途中的加油量，再减去汽车行驶500千米需要的油量，得出汽车到达乙地时油箱中的余油量即可判断． 【详解】解：A、设加油前油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）的函数关系式为． 将，代入， 得， 解得， 所以，故A选项错误； B、由图象可知，途中加油：（升），故B选项错误； C、由图可知汽车每小时用油（升）， 所以汽车加油后还可行驶：（小时），故C选项正确； D、∵汽车从甲地到达乙地，所需时间为：（小时）， ∴5小时耗油量为：（升）， 又∵汽车出发前油箱有油25升，途中加油21升， ∴汽车到达乙地时油箱中还余油：（升），故D选项错误． 故选：C． 9. 已知点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，求的值（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了象限内点坐标的特点，点到直线的距离，有理数的乘方运算，能够熟练掌握平面直角坐标系的相关知识点是解题的关键． 根据题目信息可以求出，代入即可求出答案． 【详解】解：点到轴、轴的距离相等， ， 点在第二象限， ，， ，解得， 代入得，． 10. 如图①，在中，动点从点出发，以的速度向点的方向运动，设运动时间为，，与之间函数图象如图②所示，则图②中最低点的纵坐标是（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查根据函数图象获取相关信息及动点问题，勾股定理解三角形等，理解题意，根据函数图象得出相应的信息是解题关键过点作于点，在上截取，连接，则，结合函数图象得出，，，，再由勾股定理建立方程求解即可得出结果 【详解】解：如图，过点C作于点D，在上截取，连接，则， 由图②得，当时，，即点与点重合时，， 当点运动到点时，， ， 当时，，即点与点重合时，， ∴， ， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴最低点的纵坐标为， 故选： 11. 有8条不同的直线（n＝1，2，3，4，5，6，7，8），其中，，则这8条直线的交点个数最多是（ ） A. 21个 B. 22个 C. 23个 D. 24个 【答案】C 【解析】 【分析】通过一次项系数相等的一次函数图像直线直线平行，得到．一次函数与轴交点为，且，得到这三条直线交于一点．想要直线之间交点尽可能多，则后出现的直线与前面所有直线都有不同交点，画图可得到最多的交点情况，得出最多交点个数． 【详解】先画出交于1点，后画分别与前3条直线各有1个交点，与前面6条直线各有1个交点，与前面7条直线各有1个交点． 所以最多共有23个交点． 故选C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 12. 图中虚线是平面直角坐标系第一、三象限角平分线，点C在虚线上，中，轴，，点B坐标为，沿虚线向右上移动m个单位，点恰好落在△ABC内部，则m的整数值有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，当平移后刚好经过点P时，过点P作于T，可设，证明是等腰直角三角形，得到，则，据此求出，再求出，则到的平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移4个单位长度，利用勾股定理得到此时；当平移后恰好进过点P时，则，则到的平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，利用勾股定理得到此时；故当时，点P在内部，再由，可得符合题意的整数m只有6和7，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当平移后刚好经过点P时，过点P作于T， ∵点C在系第一、三象限角平分线上， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵∥轴， ∴， ∴到的平移方式为向右平移4个单位长度，向上平移4个单位长度， ∴此时； 当平移后恰好经过点P时，则， ∴到的平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度， ∴此时； ∴当时，点P在内部， ∵， ∴， ∴符合题意的整数m只有6和7， 故选B． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，实数比较大小等等，分别求出当平移后刚好经过点P时和当平移后恰好经过点P时m的值是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，13-16题每小题3分，17题4分，共16分） 13. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 14. 已知关于的函数表达式为，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将代入，得到关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：把代入，得， 解得． 15. 已知是的一次函数，且当时，的值是2，当时，的值是3，求函数图像与坐标轴所围图形的面积______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据一次函数定义设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，再求出函数图象与两条坐标轴的交点坐标，最后根据直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：设该一次函数解析式为． ∵当时，的值是2，当时，的值是3， ∴， 解得， ∴该一次函数的解析式为， 令，得，解得， ∴函数图象与轴的交点为，交点到原点的距离为． 令，得， ∴函数图象与轴的交点为，交点到原点的距离为． 一次函数图象与坐标轴围成的图形是直角三角形， 根据三角形面积公式可得． 16. 若一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位恰好经过点（﹣1，4），则b的值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律得出平移后解析式，进而将（﹣1，4）代入求出答案． 【详解】解：∵一次函数y＝2x+b的图像向上平移5个单位， ∴y＝2x+b+5， 把（﹣1，4）代入得：4＝2×（﹣1）+b+5， 解得：b＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一次函数与几何变换，正确掌握一次函数平移规律是解题关键． 17. 【阅读理解】 在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式． 例点从原点出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点，若都按乙方式，最终移动到点，若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点． 【应用】 点从原点出发连续移动次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了次． （1）当，时，点的坐标是__________； （2）已知点，若无论怎样变化，点都在自变量的系数为定值的直线上，若点关于直线的对称点落在坐标轴上，的值为________； 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据甲方式移动次数直接得纵坐标，用总次数减去甲方式次数得乙方式次数，进而得横坐标，即可确定点坐标； （2）先消去参数得到直线的方程，再分对称点在轴、轴两种情况，利用“中点在直线上对称点到直线上同一点距离相等”列方程求解即可得的值． 【详解】解：（1）甲方式移动次：每次，所以最终； 乙方式移动次数：次，每次，所以最终， ∴点坐标为； (2) 甲方式移动次：， 乙方式移动次：， 两式相加消去，得： ，即直线， 设点关于直线的对称点为，根据对称性质： 的中点在直线上； 直线上的点到、的距离相等（即对直线上任意一点，都有）， 我们分两种情况讨论： 情况1：在轴上，设为， 中点， 代入直线，得：， 整理得①， 取直线上的点（在轴上），由， 由距离公式得：， 两边平方，得：， 展开化简得：②， 把①代入②得：， 解得； 情况2：在轴上，设为， 中点，代入直线，得： ③ 取直线上的点（在轴上），由，由距离公式得： ​， 两边平方，得：， 展开化简得：④， 把③代入④得：， 解得； 综上，的值为或． 三、解答题（本题共6小，共48分） 18. 下图是游乐园一角的平面示意图，图中1个单位长度表示100m． （1）如果用有序数对（3，2）表示跳跳床的位置，填写下列两个游乐设施的位置：跷跷板________，碰碰车________； （2）秋千的位置是（4，5），请在图中标出来； （3）旋转木马在大门以东500m，再往北200m处，请在图中标出来． 【答案】（1）（2，4） （5，1） （2） 如图所示 （3）如图所示 【解析】 【详解】（1）（2，4） （5，1） （2）略 （3）略 19. 为美化校园环境，我校后勤部门计划在教学楼前的空地上设计三角形花坛．工作人员以教学楼大门为原点，建立了平面直角坐标系，测得花坛的三个顶点坐标分别为．如图所示： （1）在图中画出关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为点、、，并写出点的坐标． （2）为了方便师生浇灌两个花坛，后勤部门打算在轴上安装一个供水龙头，要求水龙头到点和点的距离之和最短，从而减少水管的铺设长度．请你在y轴上找到这个点的位置，并求出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求作的三角形， ． （2）如图所示即为点P位置，点P的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、求函数解析式、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定点、、的对应点、、，然后顺次连接即可完成作图；再根据作图确定点D的坐标即可； （2）如图：连接交y轴于一点，该点即为点P，连接，运用待定系数法可求得直线的解析式为：，然后确定点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：，把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， ∴点P的坐标为． 20. 电动平衡车运动灵活，转向稳定，纯电力驱动，零排放，环保无污染，是新型的短途出行工具．某网络销售平台销售A，B两种纯电动平衡车共60台，两种平衡车的进价和售价如下表． 进价 售价 A型 1400 2000 B型 2100 2400 设该网络平台购进A型平衡车x台，这60台平衡车可获总利润为y元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若A型平衡车的购进数量不超过B型平衡车购进数量的3倍，应如何安排进货，才能使售完这批平衡车后获利最大，并求出最大利润． 【答案】（1） （2）购进A型平衡车45个，购进B型平衡车15个时，销售完获利最大，最大利润为31500元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个，根据总利润A型平衡车获得的利润B型平衡车获得的利润，即可求出与之间的函数关系式； （2）根据A型平衡车的进货数量不超过B型平衡车进货数量的3倍，列出不等式，求出的范围，再利用一次函数的性质，即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个， 由题意得： ， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设该工艺品店购进A型平衡车个，则购进B型平衡车个， 由题意得，， 解得，， 由（1）知，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，， 此时， ∴购进A型平衡车45个，购进B型平衡车15个时，销售完获利最大，最大利润为31500元． 21. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系如图所示，已知甲对应的函数关系式为，根据图象提供的信息，解决下列问题： （1）求乙离开A城的距离y与x的关系式； （2）求乙出发后几小时追上甲车？ （3）从图象上看，x为何值时，两车之间的路程最大？通过计算说明，最大路程是多少千米？ 【答案】（1） （2）乙车出发后1.5小时追上甲车 （3）相遇前、相遇后时两车之间的路程最大,最大路程60千米 【解析】 【分析】（1）设乙对应的函数关系式为，利用待定系数法求解即可确定函数解析式； （2）联立甲乙两车对应的函数解析式求解即可； （3）结合图象，相遇前、相遇后时两车之间的路程最大，代入求解即可． 【小问1详解】 解：设乙对应的函数关系式为 将点（4，300），（1，0）代入得： 解得： ∴乙对应的函数关系式； 【小问2详解】 联立两个函数得： 解得： （小时） ∴乙车出发后1．5小时追上甲车； 【小问3详解】 从图上看，相遇前、相遇后时两车之间的路程最大 当时，两车之间的路程是（千米） 当时，两车之间的路程是（60千米）． 【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式，从函数图象获取相关信息，求函数值等，理解题意，从函数图象获取相关信息是解题关键． 22. 某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： （1）作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． （2）观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． （3）结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 【答案】（1）①； ②如图； ③图象如下： （2）①图象关于直线成轴对称；②当时，随增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系． （1）依据题意，结合函数的解析式及表格数据即可计算判断得解； （2）根据函数图象的增减性和最值求解； （3）根据“跟对称轴越近函数值越大”列不等式求解． 【小问1详解】 解：①当时，， 故答案为：1； ②略 ③略 【小问2详解】 解：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． 故答案为：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． 【小问3详解】 解：由题意，结合图象可，得图象上的点离对称轴直线越近函数值越大， 又∵点与都在函数的图象上，总有， ∴， ∴或． 故答案为：或． 23. 数学活动课上，兴趣小组利用图①验证勾股定理：等腰直角三角形的直角顶点C在直线l上，过点A作．于点D，过点B作于点E，易证得：（无需证明），我们称这种全等模型为“K型全等”． 问题探究： （1）如图②，在平面直角坐标系中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，则点B的坐标为________； 问题深化： （2）如图③，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点C、点A，过点C作于点C，且，作直线，求直线的解析式； 拓展应用： （3）如图④，在（2）的条件下，若点E为线段中点，在平面内是否存在点P，使以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或或 【解析】 【分析】（）作轴于，根据得出，，进而得出结果； （）作轴于，根据（）知：，设直线的解析式为，将，两点坐标代入，进一步得出结果； （）设，分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【详解】解：（）如图，作轴于， 由材料得， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （）存在， 如图，作轴于， 由得，当时，；当时，； ∴，， ∵， ∴， ∵， 同理（）知：， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 故答案为：； （3）∵，，，点E为线段中点， ∴， 设， ∵以点A，C，E，P为顶点的四边形为平行四边形， 当为对角线时，，解得， ∴； 当为对角线时，，解得， ∴； 当为对角线时，，解得， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，求一次函数的解析式等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $