第二十章 勾股定理 单元试卷2025-2026学年人教版数学八年级下册五一假期作业

**基本信息** 本单元卷聚焦勾股定理，通过斜拉桥、火灾救援等现实情境与赵爽弦图等文化素材，覆盖定理应用、逆定理等核心知识，适配单元复习，提升几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数、直角三角形判定（如第2题勾股数判断）|基础巩固，考查概念辨析| |填空题|8/24|规律探究（如第13题正方形生长面积）|能力提升，结合数形结合| |解答题|7/46|综合应用（如第21题放风筝测量、第23题勾股定理证明）|创新应用，体现数学思维与表达|

五一假期作业：第二十章 勾股定理 单元试卷 一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则的长为(    ) A. B. C. 或 D. 2.下列几组数是勾股数的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.将直角三角形的三条边同时扩大为原来的倍，得到的三角形是(    ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定 4.如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚的直线距离为，则梯子顶端的高度为(    ) A. B. C. D. 5.在下列四个正方形网格中，各有一个三角形，其中不是直角三角形的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在四边形中，，，，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.若三角形的三边长分别为，，，且满足，则这个三角形的形状为(    ) A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 8.如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点为圆心，长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 9.图是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为(    ) A. B. C. D. 10.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点若，，则等于(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点，主梁上两根拉索，的长度分别为米和米，主梁的高度为米，则固定点，之间的距离为          米 12.如图所示的网格是正方形网格，点，，，是网格线的交点，则的面积与的面积的大小关系为          填“”“”或“”． 13.有一个边长为的正方形，经过次“生长”后，在它的左右肩上生长出两个小正方形，其中，三个正方形的三条边围成的三角形是直角三角形，再经过次这样的“生长”后，变成了如图所示的图形如果照此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积和是          ． 14.如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要          元． 15.如图，在中，，平分，于点，若，，则的长为          ． 16.如图，，，，，则          ． 17.如图所示，三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是          ． 18.如图，在中，，，记为第个直角三角形，以斜边为长直角边，为短直角边作，记为第个直角三角形再以斜边为长直角边，为短直角边作，记为第个直角三角形按此规律，第个直角三角形的斜边长为          ． 三、解答题：本题共7小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，每个小正方形的边长都为． 求四边形的周长． 求证：． 20.本小题分 如图，在中，，，，垂足为，是边上一点，连接若，，求的长． 21.本小题分 综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 测得水平距离的长为米 根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为米 牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． 求线段的长； 若想要风筝沿方向再上升米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 22.本小题分 如图，分别以等腰直角三角形的边，，为直径画半圆．求证：所得两个月牙形图案和的面积之和图中阴影部分等于的面积． 23.本小题分 请你根据图形及提示证明勾股定理图中所有直角三角形都是以为斜边，，为直角边的全等三角形 毕达哥拉斯的证法图补充完整以下证明过程 证明：正方形的面积          ， 正方形的面积          ， 又正方形与正方形的边长相等，                     ， 根据图，请你写出另一种证法． 24.本小题分 如图，楼房的高度为米，楼房的高度为米，两栋楼房之间的距离为米．某天，楼房发生火灾，所有群众都逃到楼顶等待救援，消防队员决定用消防车上的云梯把楼房楼顶的群众转运到安全的楼房的楼顶云梯足够长，且转运过程中云梯的长度保持不变已知消防车的云梯支点距离地面的高度为米，求消防车的停靠点到楼房的底端的距离消防车的宽度忽略不计． 25.本小题分 【问题情境】如图，在中，为边上的高． 【特例研究】 若，，，的形状为           【猜想证明】 根据中的结论，小明发现：当满足时，是直角三角形，请你验证小明的发现是否正确 【问题解决】如图是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图所示的图形，已知斜梁经测量，斜梁，，横梁若横梁与竖梁垂直则为安全房梁，请问该房梁是否安全 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 根据勾股定理得出，推出，得出，根据勾股定理的逆定理得出即可． 【解答】 解：设直角三角形的三边长为，，，且， 则 ， 故以，，为边长的三角形是直角三角形． 故选C． 4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  【解析】在中，，，， 所以，． 因为，， 所以， 所以是直角三角形，， 所以． 7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  【解析】如图，设直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为， 图中大正方形的面积是，， 图中小正方形的面积是，，， 图中大正方形的面积故选D． 10.【答案】  【解析】【解答】解：在与中，由勾股定理得，  ，，      ，  故选：． 11.【答案】  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  【解析】解：由勾股定理得， 则地毯总长为，则地毯的总面积为， 铺完这个楼道至少需要元． 15.【答案】  【解析】【解析】由题意知，平分，于，，又为公共边，≌，在中，，由勾股定理得，，． 16.【答案】  【解析】，，，根据勾股定理，．，，，是直角三角形，，． 17.【答案】  18.【答案】  19.【答案】【小题】 解：根据勾股定理，得，，，，四边形的周长为． 【小题】 证明：连接．，，，． 是直角三角形，即．   【解析】  【思路点拨】利用勾股定理求出四边形的各边长．   求出的三边长，利用勾股定理的逆定理证明． 20.【答案】解：因为， ， 所以， 所以是直角三角形，， 所以． 因为， 所以． 设， 则． 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得， 所以的长为．   【解析】所以的长为． 所以的长为． 21.【答案】【小题】 解：如图，过点作于点  在中，，米，米， 由勾股定理，得米， 则米． 【小题】 如图，设风筝沿方向再上升米后到达点处，连接， 则米，   根据勾股定理得米，   米．   答：小明同学应该再放出米线．   【解析】 详细解答和解析过程见【答案】  详细解答和解析过程见【答案】 22.【答案】证明：是等腰直角三角形，由勾股定理，得 ， ，  ， ．   23.【答案】【小题】 【小题】 证明：由题图可知大正方形的面积个直角三角形的面积小正方形的面积， ． 即．   【解析】 略  略 24.【答案】米  25.【答案】【小题】 直角三角形 【小题】 解：小明的发现正确，理由如下：，在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，，得，， ，，移项得，化简得，即，为直角三角形． 【小题】 不安全． 学科网（北京）股份有限公司 $