专题 5.5 分式与分式方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年北师大版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 5.5 分式与分式方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.全章知识梳理与题型精析 1 【知识点一】分式 1 【题型 1】分式的意义与分式的值 2 【知识点二】分式的基本性质 2 【题型 2】利用分式基本性质变形 2 【知识点三】约分与通分 3 【题型 3】分式约分与通分 3 【知识点四】分式的运算 3 【题型 4】最简分式与最简公分母 4 【题型 5】分式乘除运算 5 【题型 6】分式加减运算 5 【题型 7】分式混合运算 6 【题型 8】分式的化简求值 6 【题型 9】分式的化简整体代入求值 7 【知识点五】分式方程 7 【题型 10】解分式方程 7 【题型 11】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 8 【题型 12】分式方程增根、无解问题 8 【题型 13】分式方程的实际应用——工程与行程问题 9 【题型 14】分式方程的实际应用——销售问题 10 二.同步检测 11 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.全章知识梳理与题型精析 【知识点一】分式 1、 定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么代数式叫做分式，其中是分式的分子，是分式中的分母，且. 2、 分式的意义： （1）有意义；（2）无意义；（3） 【题型 1】分式的意义与分式的值 【例题1】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·月考）已知，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式2】（25-26八年级下·湖北荆州·月考）若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【变式3】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 【知识点二】分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 即 【题型 2】利用分式基本性质变形 【例题2】（2026八年级下·江苏·专题练习）当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 【变式3】（24-25八年级上·江西宜春·月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【知识点三】约分与通分 1. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这种变形叫做约分。 步骤：（1）分子、分母先因式分解；（2）找出分子分母的公因式；（3）约去公因式，化为最简分式（分子、分母没有公因式的分式）。 2. 通分：把几个异分母的分式化为与原分式相等的同分母分式的过程，叫做通分。 步骤：（1）找最简公分母；（2）系数：取各分母系数的最小公倍数；（3）字母：取各分母中所有不同字母（或因式）；（4）指数：取各字母（或因式）的最高次幂。 【题型 3】分式约分与通分 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，，． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）化简下列分式： (1)； (2)． 【知识点四】分式的运算 1. 分式的乘除运算 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用符号表示为： 2. 分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 用符号表示为： 异分母的分式相加减，先通分，再加减。 用符号表示为： 3. 分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 注意：运算过程中要随时约分，结果必须是最简形式。 【题型 4】最简分式与最简公分母 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）将分式，通分时，最简公分母是______． 【题型 5】分式乘除运算 【例题5】（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果为___________． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【题型 6】分式加减运算 【例题6】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【变式2】（23-24八年级上·湖南永州·期中）化简的结果是__________ 【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型 7】分式混合运算 【例题7】（2026·湖南益阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ (1)以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） (2)请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 【变式1】（2026·山东济南·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）计算的结果是________． 【变式3】（2026·河北沧州·二模）化简： (1)； (2)． 【题型 8】分式的化简求值 【例题8】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25七年级下·河北·期末）若a满足，则分式的值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）当时，式子的值是___． 【变式3】（25-26九年级下·山东烟台·月考）先化简，再求值：，其中从中取一个你认为合适的数代入求值． 【题型 9】分式的化简整体代入求值 【例题9】（2026·北京顺义·一模）已知，求代数式的值． 【变式1】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·月考）已知，则代数式的值为______． 【变式3】（2026·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 【知识点五】分式方程 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2. 分式方程的解法 （1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程的解法求出未知数的值； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原方程的解；若公分母为 0，则是增根，原方程无解。 3. 分式方程的增根问题 增根：分式方程去分母后转化的整式方程的解，但该解使原分式方程的分母为 0，因此不是原方程的解。增根一定是最简公分母为 0 的未知数的值。 【题型 10】解分式方程 【例题10】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式1】（2023·浙江台州·模拟预测）下面是小王同学解方程的练习单，他首次出错的步骤为（   ） 解方程： 解：· · · ① · · ·  ② · · ·  ③   · · · · · · · ④ 经检验，当是原方程的解 A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·月考）解方程： (1)； (2)． 【题型 11】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 【例题11】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知关于x的方程的解为负数，求a的取值范围． 【变式1】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式2】（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）当m为何值时，关于x的方程的解为非正数？ 【题型 12】分式方程增根、无解问题 【例题12】（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【变式1】（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 【变式3】（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知关于的分式方程 (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 4. 分式方程的应用 解题步骤：审、设、列、解、验、答（双检验：检验解是否为增根，检验解是否符合实际意义）。 常见类型：工程问题、行程问题、销售问题等，核心是找到等量关系，列出分式方程。 【题型 13】分式方程的实际应用——工程与行程问题 【例题13】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【变式1】（2026·内蒙古包头·一模）小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆．已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·山东东营·月考）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成此工程需要几个月？设乙队单独施工需要个月，则列方程为：______． 【变式3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【题型 14】分式方程的实际应用——销售问题 【例题14】（2026·重庆南岸·模拟预测）上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克． (1)他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？ (2)本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？ 【变式1】（2026·河北张家口·一模）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【变式2】（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 二.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）使分式有意义的的取值范围在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河北邯郸·一模）化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·四川南充·一模）已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 7．（2024·河北石家庄·二模）观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（   ）         ①     ②         ③         ④ A．运算完全正确 B．第①②两步都有错 C．只有第③步有错 D．第②③两步都有错 8．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若在实数范围内有，，，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）学校计划对教学楼前的绿植进行翻新养护，这项工作如果由甲园艺师单独完成，需要m天，如果由甲、乙两位园艺师合作，可提前3天完成，乙园艺师单独做每天可以完成这项绿植养护工作的（   ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北·一模）已知，下列判断：①计算结果；②随的增大而增大；③当时，．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级下·北京西城·开学考试）若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则分式的值是______． 13．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 14．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知，则常数，的值分别是：_____． 15．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 16．（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 17．（25-26九年级上·江苏南京·月考）某养殖场原养有500只鸡，其中有100只A类鸡，后该养殖场引入若干只鸡与原有鸡混养，引入的鸡中A类鸡占比，此时场主随意抽出100只鸡，发现其中有25只A类鸡，则估算引入鸡共________只． 18．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·重庆·开学考试）化简： (1) (2) 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分（）． (1)嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值； (2)若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是 ． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·全国·期末）中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同． (1)求A款电脑每台的进价为多少万元？ (2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？ 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·福建宁德·期末）代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． (1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） (2)已知，且，求证：． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·湖北武汉·期末）【问题提出】（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积． 方法1 　　，方法2 　　； 【问题应用】（2）若，，求和的值； 【应用拓展】（3）如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． ①求高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ ②若，高的单位面积产量比低的单位面积产量多，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.5 分式与分式方程全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.全章知识梳理与题型精析 1 【知识点一】分式 1 【题型 1】分式的意义与分式的值 2 【知识点二】分式的基本性质 3 【题型 2】利用分式基本性质变形 3 【知识点三】约分与通分 6 【题型 3】分式约分与通分 6 【知识点四】分式的运算 8 【题型 4】最简分式与最简公分母 8 【题型 5】分式乘除运算 10 【题型 6】分式加减运算 12 【题型 7】分式混合运算 16 【题型 8】分式的化简求值 18 【题型 9】分式的化简整体代入求值 21 【知识点五】分式方程 23 【题型 10】解分式方程 24 【题型 11】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 26 【题型 12】分式方程增根、无解问题 29 【题型 13】分式方程的实际应用——工程与行程问题 32 【题型 14】分式方程的实际应用——销售问题 34 二.同步检测 38 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 38 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 43 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 47 一.全章知识梳理与题型精析 【知识点一】分式 1、 定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么代数式叫做分式，其中是分式的分子，是分式中的分母，且. 2、 分式的意义： （1）有意义；（2）无意义；（3） 【题型 1】分式的意义与分式的值 【例题1】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·月考）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，平方差公式的应用．根据绝对值、偶次方及二次根式的非负性结合分式有意义的条件，求出、的值，利用平方差公式将转化为，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ． 【变式1】（25-26八年级上·山东德州·期末）若要使有意义，则x的取值范围为（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】要使该代数式有意义，需同时满足二次根式和分式有意义的条件，据此分别列出不等式求解，即可得到x的取值范围． 【详解】∵要使有意义，需同时满足两个条件： ①二次根式被开方数非负，即， ②分式分母不为0，即，解得， ∴的取值范围为且． 【变式2】（25-26八年级下·湖北荆州·月考）若代数式有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据式子有意义的条件，构建不等式求解． 【详解】解：， 则且． 【变式3】（25-26八年级上·江西景德镇·期中）已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． 【详解】（1）解：因为有意义， ∴， 解得：， ∴ （2）， ∴的平方根为． 【知识点二】分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。 即 【题型 2】利用分式基本性质变形 【例题2】（2026八年级下·江苏·专题练习）当整数x取何值时，分式的值是整数？ 【答案】当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数 【分析】本题考查的是分式的值，把分式化为，再进一步求解即可． 【详解】解：， ∴能整除8的，又使分母不为0的可以为，，，， ∴或或或， ∴当整数x取，0，2，3，5，6，8，12时，分式的值是整数． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，逐一分析每个选项的变形是否符合分式的相关性质． 【详解】解：由分式的分子分母同时乘同一个不为0的整式，分式值不变， A选项：当，时，左边，右边，，故A错误，不符合题意； B选项：当，时，左边，右边，，故B错误，不符合题意； C选项：分母，不能将分子分母的3直接约去，当，时，左边，右边，，故C错误，不符合题意； D选项：， ，变形正确，故D正确，符合题意； 故选D． 【变式2】（24-25八年级下·全国·单元测试）（1）；（2），括号内依次填入( )，( ) 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握给分式的分子、分母同乘或除以一个非整式，分式的值不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】解：由与分母乘以x，则分子也需乘x，即； 由与分子乘以30，则分母也需乘30，即． 故答案为：，． 【变式3】（24-25八年级上·江西宜春·月考）不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【知识点三】约分与通分 1. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这种变形叫做约分。 步骤：（1）分子、分母先因式分解；（2）找出分子分母的公因式；（3）约去公因式，化为最简分式（分子、分母没有公因式的分式）。 2. 通分：把几个异分母的分式化为与原分式相等的同分母分式的过程，叫做通分。 步骤：（1）找最简公分母；（2）系数：取各分母系数的最小公倍数；（3）字母：取各分母中所有不同字母（或因式）；（4）指数：取各字母（或因式）的最高次幂。 【题型 3】分式约分与通分 【例题3】（25-26八年级下·全国·课后作业）通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 【变式1】（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．，原选项约分错误； B．，原选项约分错误； C. ，原选项约分正确； D．，原选项约分错误． 【变式3】（23-24八年级下·陕西咸阳·月考）化简下列分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【知识点四】分式的运算 1. 分式的乘除运算 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用符号表示为： 2. 分式的加减运算 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减 用符号表示为： 异分母的分式相加减，先通分，再加减。 用符号表示为： 3. 分式的混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 注意：运算过程中要随时约分，结果必须是最简形式。 【题型 4】最简分式与最简公分母 【例题4】（2026八年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，回答下列问题： 例如：求，的最简公分母． 解：第一步：1，，； 第二步：，，3； 第三步：，，． ∴，的最简公分母是． 请用以上方法解决下列问题： (1)求，，的最简公分母； (2)求，，的最简公分母． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了求最简公分母，根据最简公分母的定义求解即可． 根据题干中的方法求解即可． 【详解】（1）解：第一步：1，，，； 第二步：，c，，； 第三步：，，，； ∴，，的最简公分母是； （2）解：第一步：1，，，； 第二步：，3，，； 第三步：，，，； 第四步：，，，； ∴，，的最简公分母是． 【变式1】（2026八年级下·全国·专题练习）如果把分式与进行通分，它们的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是最简公分母的确定.将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式，再进一步求解即可. 【详解】解：∵ 第一个分母：， 第二个分母：， ∴最简公分母是. 故选：C. 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）下列分式：，，，，其中最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解：，，，只有是最简分式， ∴其中最简分式有1个． 【变式3】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）将分式，通分时，最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和最简公分母的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 首先将两个分式的分母因式分解，然后找出所有因式的最小公倍式，然后即可求解； 【详解】解：第一个分母可因式分解为，第二个分母可因式分解为 ；两个分母的因式分别为 、和，因此最简公分母为这些因式的最小公倍式，即， 故答案为：； 【题型 5】分式乘除运算 【例题5】（25-26八年级下·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查​分式乘除运算顺序​，​熟练掌握同级运算从左到右的规则和分式乘除法的运算法则是解题的关键． 根据分式的乘除法运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果为___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键． 先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘法运算，因式分解在分式约分中的应用，掌握分式乘法先因式分解，再约分的步骤是解题的关键． （1）先确定符号，再将分子分母分别相乘，通过约分得到最简结果； （2）先对分子分母的多项式因式分解，再通过约分简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型 6】分式加减运算 【例题6】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式1】（23-24八年级上·河北承德·期末）如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·湖南永州·期中）化简的结果是__________ 【答案】 【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 【变式3】（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可； （3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可； （4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： 故答案为：． （3）解： 故答案为：． （4）解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用． 【题型 7】分式混合运算 【例题7】（2026·湖南益阳·二模）以下是某同学化简分式的部分运算过程． 解：原式① ② ③ (1)以上的运算过程第__________步出现了错误；（填序号） (2)请你写出正确的完整化简过程，并将代入化简结果，求出分式的值． 【答案】(1)② (2)化简过程见解析，化简结果为，分式的值为． 【分析】（1）第②步计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； （2）先计算小括号内的分式减法，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解：观察可知，第②步出现错误，错误原因是计算小括号内的分式减法时，分子部分计算错误； （2）解：原式 ， 当时，原式． 【变式1】（2026·山东济南·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算括号内部分，再将除法转化为乘法，约去公因式即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式2】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）计算的结果是________． 【答案】 【分析】先对括号内的分式进行通分并化简，再对括号外分式的分子分母分别因式分解，最后将两个分式相乘，约去分子分母的公因式，得到最简结果． 【详解】解： ． 【变式3】（2026·河北沧州·二模）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定最简公分母，再通分根据同分母分式相加减法则计算； （2）先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型 8】分式的化简求值 【例题8】（25-26八年级下·四川宜宾·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 先对各部分因式分解，按分式运算法则化简原式，再代入的值计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 【变式1】（24-25七年级下·河北·期末）若a满足，则分式的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的化简求值，分式有意义的条件．先根据分式的混合运算对式子进行化简，再求出使分式有意义的a的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∵要使原式有意义，则， ∴且， ∴， ∴原式． 故选：B 【变式2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）当时，式子的值是___． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简，再代入求值．先对括号内的分式进行通分计算；再将除法转化为乘法，同时对分子、分母进行因式分解；然后约去公因式，将原式化简为最简分式；最后将代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： 当时，． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级下·山东烟台·月考）先化简，再求值：，其中从中取一个你认为合适的数代入求值． 【答案】 ；时，原式 【分析】先根据分式的性质化简，再利用分式有意义的条件确定的值，最后代入求解即可． 【详解】解： ， ∵，，即， ∴只能取， 将代入化简后的式子得，原式 ． 【题型 9】分式的化简整体代入求值 【例题9】（2026·北京顺义·一模）已知，求代数式的值． 【答案】3 【分析】对代数式的分子进行化简，运用整式的运算规则展开并合并同类项。对代数式的分母进行因式分解，运用完全平方公式．将化简后的分子分母进行约分，再代入 的值计算． 【详解】， ∵， ∴， 代入化简结果： ． 【变式1】（25-26八年级下·福建泉州·期中）已知且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用已知等式推导得到和，再对给定分式等式变形，代入计算即可求出的值． 【详解】解：∵，且， 等式两边同除以得， 两边平方得，展开得，整理得， 对等式，分子分母同除以得， 整理得， 将，代入得， 去分母得，解得，即． 【变式2】（25-26九年级下·四川成都·月考）已知，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】根据分式的运算法则化简，再通过，可得，代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【变式3】（2026·北京石景山·一模）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】由题意可得，再将所求式子进行约分，最后整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【知识点五】分式方程 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。 2. 分式方程的解法 （1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程； （2）解整式方程：按一元一次方程的解法求出未知数的值； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若公分母不为 0，则是原方程的解；若公分母为 0，则是增根，原方程无解。 3. 分式方程的增根问题 增根：分式方程去分母后转化的整式方程的解，但该解使原分式方程的分母为 0，因此不是原方程的解。增根一定是最简公分母为 0 的未知数的值。 【题型 10】解分式方程 【例题10】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【详解】（1）解： 方程两边同乘最简公分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时， 因此是原分式方程的解 （2）解： 整理方程得 方程两边同乘最简公分母得 去括号得 移项合并同类项得 系数化为1得 检验：当时，，原分式无意义 因此原分式方程无解 【变式1】（2023·浙江台州·模拟预测）下面是小王同学解方程的练习单，他首次出错的步骤为（   ） 解方程： 解：· · · ① · · ·  ② · · ·  ③   · · · · · · · ④ 经检验，当是原方程的解 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据分式方程的解法，依次检验各步骤的计算，即可找出首次出错的位置． 【详解】解：， ∵，给方程两边同乘最简公分母， 可得， ∴步骤①计算正确， 对去括号，根据去括号法则，， 因此去括号后正确结果为， 题中步骤②写为，常数项符号错误，因此首次出错的步骤为②． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知代数式与代数式的值相等，则________； （2）分式的值比分式的值大3，则的值为________． 【答案】 10 1 【分析】（1）等式两边同乘，化简后解方程即可； （2）将原方程变形为，化简后解方程即可． 【详解】解：（1）由题意得， 经检验是分式方程的根； （2）由题意得 经检验是分式方程的根． 【变式3】（25-26八年级下·山东济南·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 去分母得， 整理得， 经检验，是原方程的解． 【题型 11】已知分式方程的解，求参数的值或取值范围 【例题11】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）已知关于x的方程的解为负数，求a的取值范围． 【答案】且 【分析】此题考查了解分式方程，表示出分式方程的解，由分式方程的解为负数结合分式有意义的条件，列出关于的不等式，解不等式即可确定出的范围，解分式方程注意要检验． 【详解】解：， 移项得， 两边同乘最简公分母去分母得： 整理得：， 解得 ∵方程的解为负数，因此，即：，解得 ∵分式方程分母不能为0，因此且； 若，则，解得，此时方程产生增根，无解，因此 综上，的取值范围是且． 【变式1】（25-26八年级下·福建泉州·期中）若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示方程的解，再根据方程的解为正数且分式方程分母不为0，求出的取值范围． 【详解】方程两边同时乘以，得， 整理得，解得， ∵方程的解为正数， ∴，解得， 又∵分式方程分母不为0，即， ∴，解得， ∴的取值范围是且． 【变式2】（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 【答案】， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）当m为何值时，关于x的方程的解为非正数？ 【答案】当且时，关于x的方程的解为非正数 【分析】本题考查了根据分式方程的解求参数取值．先把分式方程转化成整式方程，根据解整式方程，可得方程的解，根据方程的解是非正数，以及分式方程有意义条件，建立不等式求解，即可解题． 【详解】解： 方程的两边都乘以，得， 化简，得， 解得， 由方程的解为非正数，得，解得． ∵ ∴，， ∴，， ∴当且时，关于x的方程的解为非正数． 【题型 12】分式方程增根、无解问题 【例题12】（25-26八年级下·山西临汾·月考）已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 【变式1】（2026·广西梧州·一模）若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 【变式2】（2026·湖北武汉·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是________． 【答案】 【分析】先将原分式方程化为整式方程，再根据增根求出的值即可． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， ∵原分式方程无解 ∴， 解得， ∴， 解得：． 【变式3】（25-26八年级上·湖南永州·月考）已知关于的分式方程 (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【答案】(1) (2)或6或1 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）先把代入分式方程，再方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘，得出①，整理后得出②，再分别把，，代入①求出m，由②得出当时，方程无解，最后代入答案即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是分式方程的解， 即当时，方程的解是； （2）解：， 方程两边都乘，得①， 整理得②， 有三种情况： 第一种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第二种情况：当，即时，分式方程无解， 把代入①，得， 解得； 第三种情况：②， 当，即时，方程无解； 所以该分式方程无解时，m的值是或6或1． 4. 分式方程的应用 解题步骤：审、设、列、解、验、答（双检验：检验解是否为增根，检验解是否符合实际意义）。 常见类型：工程问题、行程问题、销售问题等，核心是找到等量关系，列出分式方程。 【题型 13】分式方程的实际应用——工程与行程问题 【例题13】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）小勇和小鹏约定周末到扬州古运河畔，宋夹城体育公园打羽毛球．他们沿着运河边的步道出发，沿途可赏运河风光．小勇从家到体育公园的路程是1200米，小鹏从家到体育公园的路程是400米，已知小勇的速度是小鹏速度的2倍，若二人同时到达，则小勇需提前4分钟出发，求小勇和小鹏两人的速度． 【答案】小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟 【分析】设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟，利用“时间路程速度”的关系，根据两人的时间差为4分钟列方程求解即可． 【详解】解：设小鹏的速度为米/分钟，则小勇的速度为米/分钟,根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意 ， 此时， 答：小鹏的速度为50米/分钟，小勇的速度为100米/分钟． 【变式1】（2026·内蒙古包头·一模）小明和爸爸从家出发前往离家的图书馆，为响应“绿色出行”号召，小明骑自行车先出发，分钟后爸爸骑电动车出发，两人同时到达图书馆．已知电动车的速度是自行车速度的倍，设自行车速度为，根据题意，下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程关于行程问题的实际应用．根据两人行驶时间的关系：小明比爸爸多用分钟列方程即可． 【详解】解：根据题意，设自行车速度为，则电动车速度为， ∵总路程为，根据时间路程速度，并将时间单位统一为，即分钟， ∴可列方程为：． 【变式2】（23-24九年级下·山东东营·月考）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工完成此工程需要几个月？设乙队单独施工需要个月，则列方程为：______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，属于工程问题，根据工作总量工作时间工作效率，结合总工作量为，即可列出正确方程． 【详解】解：设乙队单独施工需要个月，则乙队的工作效率为， 由题意可知，甲队单独施工个月完成总工程的，因此甲队的工作效率为， 甲先单独完成的工作量，之后甲乙两队共同工作半个月（即个月），总工作量为， 列方程得：， 整理可得：． 【变式3】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】（1）设乙生产线单独完成需要天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的，列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可； （2）根据方案求出12天的工作量，进行判断即可． 【详解】（1）解：设乙生产线单独完成需要天，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴乙生产线单独完成需要40天， ∵乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， ∴丙生产线单独完成需要45天； 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天； （2）解：； 故这样安排能在12天内完成任务． 【题型 14】分式方程的实际应用——销售问题 【例题14】（2026·重庆南岸·模拟预测）上周蔬菜经营户用90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千克，黄瓜的批发价为2.4元/千克，茄子的批发价为2元/千克． (1)他上周购买黄瓜、茄子各多少千克？ (2)本周黄瓜和茄子的批发价受各方因素影响发生了变化，茄子的批发价比黄瓜的批发价高0.5元/千克，该蔬菜经营户决定再次购买黄瓜和茄子，这次他用160元购进黄瓜，用120元购进茄子，发现购买的黄瓜、茄子的质量之比为，求本周购买黄瓜多少千克？ 【答案】(1)购买黄瓜25千克，茄子15千克 (2)本周购买黄瓜80千克 【分析】（1）设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意列出二元一次方程组，求出解； （2）设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意列出分式方程，求出解，再检验得出答案． 【详解】（1）解：设上周购买的黄瓜x千克，茄子y千克，根据题意，得 ， 解得， 所以上周购买的黄瓜25千克，茄子15千克； （2）解：设本周购买黄瓜的质量为千克，则茄子的质量为千克，根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 所以本周购买黄瓜为80千克． 【变式1】（2026·河北张家口·一模）某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，则下列说法不正确的是（   ） A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价 B．第一次购买节能灯的单价是元 C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个 D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为 【答案】D 【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果． 【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同， 故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为， ∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元， ∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意； ， ， ， ， 解得， ∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意； 故第二次购买单价为元， ∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个， ∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意； 若设第二次购买数量为个， ∵ 第二次和第三次购买数量相同， ∴ 第三次购买数量也为个， 故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为， ∵第三次单价比第一次单价多元， 故， 整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意． 【变式2】（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 【答案】 优惠 少 【分析】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价，总价，数量之间的关系，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了x个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个， ∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且， ∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元， ∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）某区域为规范共享电单车管理，计划投放型和型两种电单车共50辆．经测算，每辆型电单车日均耗电0.5千瓦时，每辆型电单车日均耗电0.2千瓦时，所有车辆日均总耗电量为16千瓦时． (1)请问该区域投放了多少辆型和多少辆型电单车？ (2)经市场调研，每辆型电单车的进价比每辆型多200元．如果用48000元采购型电单车的数量与用36000元采购型电单车的数量相同，那么采购第（1）问中投放的全部电单车总共需要花费多少元？ 【答案】(1)该区域投放了20辆型和30辆型电单车 (2)采购这两种电单车总共需要花费元 【分析】（1）本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题目给的和差倍分关系列出等量关系式求解． （2）本题主要考查了分式方程的应用，利用“数量=总价单价”列式求解． 【详解】（1）解：设该区域投放了辆型和辆型电单车． 由题意得：， 解得：， 答：该区域投放了20辆型和30辆型电单车． （2）解：设每辆型电单车进价元，则每辆型电单车进价元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， ∴总花费为（元）． 答：采购这两种电单车总共需要花费元． 二.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,) 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）使分式有意义的的取值范围在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件以及解集的数轴表示，根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式组，然后解不等式组求出解集，根据数轴的解集表示方法判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， 解得：， 在数轴上表示如下： 故选：． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 综上，答案选C． 3．（2026·河北邯郸·一模）化简分式：，则“”部分的整式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若分式方程有增根，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查分式方程增根的概念，分式方程的增根是使最简公分母为的未知数的值，先将分式方程化为整式方程，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程 有增根， ∴最简公分母，得， 方程两边同乘去分母得：， 整理得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 5．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据传统配送时间比无人机配送时间多，列方程即可． 【详解】解：∵设传统方式配送速度为，无人机配送速度是传统方式配送速度的倍 ∴无人机配送速度为， ∴传统配送时间为，无人机配送时间为， ∵无人机配送时间比传统方式快，即传统配送时间比无人机配送时间多， ∴列方程得 ． 6．（2026·四川南充·一模）已知m、n满足，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对已知等式通分化简，得到与的关系，再对所求式子变形，利用完全平方公式变形后代入求值，最后开方得到结果． 【详解】解：∵， ∴原等式变形为，， 移项得，， 交叉相乘得，，即， 整理得，， ， 两边平方得：， 将代入得：， ∴． 7．（2024·河北石家庄·二模）观察如图佳佳计算的过程：则下列说法正确的是（   ）         ①     ②         ③         ④ A．运算完全正确 B．第①②两步都有错 C．只有第③步有错 D．第②③两步都有错 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算，解题的关键是需正确进行通分和符号处理，并保持分母的存在． 先进行通分再进行同分母分式的加减运算即可． 【详解】解： ① ② ③ ④ 综上，第②步和第③步均存在错误， 故选：D． 8．（24-25八年级上·山东滨州·期末）若在实数范围内有，，，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，解分式方程，由迷得运算法则求出，代入分式方程，然后解分式方程即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴原方程变为， 两边都乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 故选A． 9．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）学校计划对教学楼前的绿植进行翻新养护，这项工作如果由甲园艺师单独完成，需要m天，如果由甲、乙两位园艺师合作，可提前3天完成，乙园艺师单独做每天可以完成这项绿植养护工作的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定二人的工作效率为：，甲的工作效率为，则乙的工作效率为：，解答即可； 【详解】解：甲、乙两位园艺师合作，可提前3天完成，故二人用天完成， 故二人的工作效率为：， 由甲园艺师单独完成，需要m天， 故甲的工作效率为：， 故乙的工作效率为：； 10．（2025·湖北·一模）已知，下列判断：①计算结果；②随的增大而增大；③当时，．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了分式的混合计算和一次函数的性质． 先根据分式的计算法则化简即可得，进而判断①计算正确，由一次函数的增减性判断错误，把代入计算可得，即可判断③． 【详解】解： ， 即：，故①计算结果正确； ∵， ∴随增大而减小，故②结论错误； 当时，，故正确； 综上所述：正确结论有①③． 故选D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26九年级下·北京西城·开学考试）若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 【答案】 【分析】先令分子为求出候选解，再用分母不为的条件排除无效解，得到正确答案． 【详解】解：要使代数式的值为，可得： ，解得或，即或； ，解得． 故． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知，则分式的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查了分式求值，解题关键是掌握整体代入的思想． 将整体代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·山东烟台·期末）分式与的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 14．（25-26八年级下·河南鹤壁·月考）已知，则常数，的值分别是：_____． 【答案】， 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 15．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 16．（2023·江苏苏州·模拟预测）定义：对于正实数a，b，若存在实数m，使得，称m为关于a，b的巧数．已知，则关于a，b的巧数的最小值为______． 【答案】2 【分析】先对进行化简得到，再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴当且仅当时，等号成立， ∴关于a，b的巧数的最小值为． 17．（25-26九年级上·江苏南京·月考）某养殖场原养有500只鸡，其中有100只A类鸡，后该养殖场引入若干只鸡与原有鸡混养，引入的鸡中A类鸡占比，此时场主随意抽出100只鸡，发现其中有25只A类鸡，则估算引入鸡共________只． 【答案】100 【分析】此题主要考查了利用样本估计总体的思想，解分式方程，解题时准确理解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．设引入鸡共只，根据抽出样本中类鸡的比例等于整体比例建立方程求解即可． 【详解】解：设引入鸡共只，则引入后总鸡数为只，A类鸡共有只， 解得， 检验：为原分式方程的解， 故引入鸡共100只， 故答案为：100． 18．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字得到；根据已知的规定，分别计算出，，，，，的结果，总结出其规律为，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·重庆·开学考试）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算除法，再计算加法即可； （2）先计算括号内的，再计算除法，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·全国·课后作业）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 方程两边都乘以，得． 整理得：， 解得． 检验：把代入，得． ∴是原方程的解． （2）解： 方程两边都乘以得． 解这个整式方程，得． 检验：把代入，得． ∴是原方程的解． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·贵州遵义·开学考试）彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分（）． (1)嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值； (2)若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据因式分解和分式的运算法则进行化简，代入计算即可，注意分式的分母和除数不为0； （2）根据题意可知，被墨水遮住的部分是，再根据分式的运算法则进行化简即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解：被墨水遮住的部分是： ． 【点睛】注意第一问，选取a的值时，分式的分母和除数不为0． 22．（本小题满分10分）（25-26九年级上·全国·期末）中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同． (1)求A款电脑每台的进价为多少万元？ (2)为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？ 【答案】(1)A款电脑每台的进价为0.45万元 (2)应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设A款电脑每台的进价为万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购进款电脑台，则购进款电脑 ，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设总利润为万元，则，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：设A款电脑每台的进价为万元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ∴A款电脑每台的进价为0.45万元； （2）解：设购进款电脑台，则购进款电脑 ， 由题意可得：， 解得：， 设总利润为万元， 则 ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最大为（万元）， ∵， ∴应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元． 23．（本小题满分10分）（24-25八年级下·福建宁德·期末）代数推理是指通过代数式的推导、变形和运算，来解决数学问题的方法．代数推理基于代数的基本运算规律和逻辑推理，与几何证明相比，其最大特点是“以算代证”． 例如：已知，为实数，且，求证： 证明：①______， ，，． 又，．（②______） ．③______ ． (1)请将例题中的证明补充完整；（提示：②写依据） (2)已知，且，求证：． 【答案】(1)①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③ (2)见解析 【分析】本题考查了等式的基本性质、不等式的基本性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据不等式的性质补全过程即可； （2）将式子变形为，再结合以及等式的基本性质计算即可得解． 【详解】（1）证明：， ，， ． 又， ．（不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变） ． ， ， 故答案为：①；②不等式的两边同时都减去同一个整式，不等号的方向不变（或“不等式的性质1”，或“不等式的性质”）；③； （2）证明：， ． ． ①． ， ． 等式①的两边同时除以，得， ． 24．（本小题满分12分）（23-24八年级上·湖北武汉·期末）【问题提出】（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积． 方法1 　　，方法2 　　； 【问题应用】（2）若，，求和的值； 【应用拓展】（3）如图1，“丰收1号”小麦试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，如图2，“丰收2号”小麦试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． ①求高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ ②若，高的单位面积产量比低的单位面积产量多，求的值． 【答案】（1）；．（2），．（3）24 【分析】（1）利用正方形面积差的关系求出阴影面积；再根据各部分面积和得到阴影面积； （2）根据（1）将分解后代入a+b=6求出a-b，即可求出a与b的值； （3）①将两块地单位产量相除即可得到答案； ②将b=1代入，解分式方程即可． 【详解】解：（1）方法1用大正方形的面积减去小正方形的面积； 方法2两个小长方形面积之和． 故答案为：；． （2）， ， ， ， ， ，． （3）①“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量， “丰收2号”小麦试验田的单位面积产量， ， ， “丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． ②由题意得，， 解得，． 经检验，a=24是原方程的解， ∴的值是24． 【点睛】此题考查了平方差公式与几何图形，平方差公式的应用，分式的混合运算，分式方程的实际应用，正确掌握平方差的计算公式并应用是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $