专题09分式与分式方程（1）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固专练+寒假预习讲义)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题09分式与分式方程（1） · 理解分式定义，区分分式与整式。 · 掌握分式有意义、值为 0的条件。 · 熟记分式基本性质，明确约束条件。 · 会利用性质进行分式约分，化为最简分式。 · 掌握分式符号变形规则，会简单等值变形。 · 能解决分式有意义 / 值为 0 的基础求值问题。 · 类比分数学习分式，梳理知识关联。 预习必备 知识点梳理 1.分式的核心定义 2.分式的三类关键条件 3.分式的基本性质 4.分式符号法则 5.分式约分与最简分式 6.预习易错点 常考题型 精讲精炼 1.分式的判断 2.分式的规律问题 3.构造指定分式 4.分式无意义的条件 5.分式有意义的条件 6.分式值为零的条件 7.分式的求值 8.分式值正负的取值范围 9.分式值为整数的整数值 10.判断分式变形的正确性 11.分式变形成立的条件 12.分式性质与值的变化 13.分式系数化为整数 14.分式的约分 15.最简分式的判断 强化巩固 (解答题6题) 知识点01:分式核心定义 1.分式定义：形如（、是整式，B中含字母，且B0）的式子叫分式；A是分子，B是分母。 2.分式与整式区别：分母是否含字母。 知识点02:分式的三类关键条件 情形 条件 分式有意义 分母B0 分式无意义 分母B=0 分式值为 0 分子A 且分母B 知识点03:分式的基本性质 文字表述：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。 公式表达：，（C是整式，C0） 知识点04:分式符号法则 = 即：分子、分母、分式本身，同时改变其中两个符号，分式值不变。 知识点05:分式约分与最简分式 1.约分依据：分式基本性质。 2.约分步骤：找分子、分母公因式→同除以公因式。 公因式：系数取最大公因数，相同字母取最低次幂。 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 知识点06:预习易错点 1.忽略分式值为 0 时分母不能为 0的限制。 2.分式基本性质中漏看乘除的整式≠0。 3.约分只约系数、不约字母公因式，或约去非因式整体。 【题型1.分式的判断】 【典例】下列式子中，是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式，根据分式的定义判断即可，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分式要求分母中含有字母， ∴均不满足，中分母含有字母，是分式， 故选：． 【跟踪专练1】请你写出一个满足下述两个特点的分式： ． ①这个分式中只含有字母；②当时，分式的值是0． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查分式值为零的条件，分式的定义；根据分式值为零的条件，分子为0，分母不为0，进行解答即可． 【详解】解：分式中只含有字母且当时，分式的值是0的分式为：； 故答案为：． 【跟踪专练2】下列有理式是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式，分母中含有字母的式子是分式，据此即可判断求解，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是分式，该选项符合题意； 、是单项式，不是分式，该选项不合题意； 、是多项式，不是分式，该选项不合题意； 故选：． 【题型2.分式的规律问题】 【典例】观察下列等式，，，…根据其中的规律，猜想 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意分别用含x的式子表示出a1、a2、a3、a4，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键． 【跟踪专练1】给定下面一列分式：，，，……，（其中）根据你发现的规律，其中第7个分式应是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知分式知，分子的指数是3，5，7，9…是连续奇数，分母的指数是大于0的自然数，奇数项的符号是正号． 【详解】解：第奇数个式子是正数，偶数个是负数， 分母是第几个式子就是y的几次方； 分子是第几个式子就是x的（第几×2+1）次方． 所以第七个分式是． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义．注意观察每一个分式的分子、分母的变化，然后找出变化规律． 【跟踪专练2】对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，…以此类推，则分式等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的定义，规律问题．根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让，根据结果即可确定． 【详解】解：， ， ， ， ， ，，， 个一循环， ， ， 故答案为：． 【题型3.构造指定分式】 【典例】冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成，若用2025个山楂穿了串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦的山楂个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据平均数的定义列出代数式即可，熟练掌握列代数式的基本方法是解题的关键． 【详解】解：把2025个山楂平均分成份，每份是， 故答案为：． 【跟踪专练1】在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分，则这两个班的总平均成绩为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】先求出两班的总分，再运用求平均数公式即可求出平均成绩． 【详解】解：∵甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分是n分， ∴两班在这次测验中的总分为：分， ∴两班在这次测验中的总平均分是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键． 【跟踪专练2】请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件，结合分式的定义和分式有意义的条件，再根据题意列举符合题意的分式即可． 【详解】解：∵， ∴，即无论x取何值该分式都有意义， ∵当时，分式的值为2， ∴符合题意关于x的分式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型4.分式无意义的条件】 【典例】若分式无意义，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是分母为零成为解题的关键． 根据分式无意义的条件列方程求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，解得：． 故选：A． 【跟踪专练1】请写出一个所含字母是并且当时没有意义的分式 ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】此题考查的是分式无意义的条件，分式的定义，分式无意义的条件是分母等于零．根据分式无意义的条件即可得到答案． 【详解】解：一个未知数是且当时没有意义的分式为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】若使某个分式无意义，则这个分式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0． 根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、由，得，故A不符合题意； B、由，得，故B符合题意； C、由，得，故C不符合题意； D、由，得，故D不符合题意； 故选：B． 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义，则分母不为零，据此得到，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为 【跟踪专练1】若式子在实数范围内有意义，则，的取值范围分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件，二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为零． 分别确定式子中二次根式a​、分式有意义的条件，结合这两个条件得到的取值范围，再逐一判断选项． 【详解】解：∵ 式子 在实数范围内有意义， ∴ 有意义要求 ， 有意义要求 ， ∴ 且 ． 故选：B． 【跟踪专练2】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为0，则的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出的值．本题考查的是分式的值为0的条件，若分式的值为0，需同时具备两个条件：分子为0且分母不为0，这两个条件缺一不可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：B． 【跟踪专练1】若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出，是关键．根据分式等于0的条件可得，，再代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴ ． 故选：C． 【题型7.分式的求值】 【典例】如果，且，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式求值，将代入分式化简是解决问题的关键． 将已知条件代入分式，化简求值即可得到答案． 【详解】解：，且， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则代数式（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质和代数式求值．先根据设比例常数，将x和y用k表示，即，，再将含k的式子代入到分式中计算，最后化简分式可得到答案． 【详解】解：设， 则，， 将，代入式子中， 可得， 即的值为5． 故选：A． 【跟踪专练2】已知，代数式的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握设法． 设，则得到，，，将三个式子相加得，再分类讨论求解． 【详解】解：由题意得， 设， ∴， ∴， ， ， 将三个式子相加得：， 当时，由得， 解得 ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴， 综上：代数式的值为或， 故答案为：或． 【题型8.分式值正负的取值范围】 【典例】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 【跟踪专练1】若分式的值为正，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：分式的值为正， ，， 解得，且 故答案为：且． 【跟踪专练2】若分式有意义，下列说法错误的是（    ）． A．当时，分式的值为正数 B．当时，分式无意义 C．当时，分式的值为0 D．当时，分式的值为1 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，分式的值为正，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的值为正，分式的值，逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，分母，但的值可能是正数也可能是负数，根据“两数相除同号得正，异号得负”可判定分式的值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，故此选项错误，符合题意； B、当时，分母，所以当时，分式无意义，故此选项正确，不符合题意； C、当时，分母，分子，当时，分式的值为0，故此选项正确，不符合题意； D、当时，分母，，当时，分式的值为1，故此选项正确，不符合题意． 故选：A． 【题型9.分式值为整数的整数值】 【典例】若分式的值是整数，则x可以取最小整数的值是 ． 【答案】 【分析】根据分式的值为整数，的值也为整数，可得或或，求出的值，即可确定出的最小值． 【详解】解：分式的值为整数，的值也为整数， 或或， 或或或或或， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值，正确理解题意是解答本题的关键． 【跟踪专练1】下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0 B．当时，有意义 C．无论为何值，的值不可能为整数 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的值为零、分式值为整数的情况以及分式的符号判断．分式有意义的条件是分母不等于0，分式值是0的条件是分子是0，分母不是0． 【详解】A. 当时，分母，分式无意义，故A错误； B. 分式有意义需分母，与无关，故B错误； C. 只有当时，，此时值为整数，故C错误； D. 分母，分子为3，分式的值总为正数，故D正确； 故答案选：D． 【跟踪专练2】整数 为 时，式子为整数． 【答案】 【分析】由式子为整数可知或或或，从而可解得m的值．考查的是分式的值，根据式子为整数确定出的值是解题的关键． 【详解】∵， ∴或或或， 解得：或或（不合题意，舍去）或． 故答案为：． 【题型10.判断分式辨析的正确性】 【典例】下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的数或式子，分式的值不变，据此求解即可． 【详解】解：A、不一定成立，原式错误，不符合题意； B、，原式正确，符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 故答案为：． 【跟踪专练2】对下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变，据此逐项分析，即可作答． 【详解】A. ，不正确； B. ，不正确； C. ，不正确； D. ，正确． 故选：D． 【题型11.分式变形成立的条件】 【典例】等式成立的条件是 ． 【答案】 【分析】依据等式的性质解题即可． 【详解】解：从左到右的变形，是分子与分母同时乘以了a 故当a≠0时，此等式成立， ∴a≠0， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【跟踪专练1】当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】利用分式的基本性质填空：． 【答案】 【分析】根据平方差公式对等式左边进行因式分解，再根据分式的基本性质进行化简整理，得到，由分式的基本性质得，，最后运用整式乘法进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式及分式基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【题型12.分式性质与值的变化】 【典例】下列分式与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变． 根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：∵， ， 而，， ∴选项D正确；其它的选项不符合题意． 故选D． 【跟踪专练1】若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：3． 【跟踪专练2】如果把分式中的和都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【答案】A 【分析】设，根据分式的性质，得，解答即可．本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质，正确计算是解题的关键． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得，分式的值不变， 故选：A． 【题型13.分式系数化为整数】 【典例】不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子和分母同时乘以2并化简即可得到答案． 【详解】解；， 故答案为：． 【跟踪专练1】改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键． 根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 【详解】解∵中只有分子中系数含有小数，     ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【题型14.分式的约分】 【典例】要将化成最简分式，应将分子、分母同时约去它们的公因式，这个公因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式约分中公因式的确定，根据公因式由分子分母系数的最大公约数和相同字母的最低次幂组成即可求解，掌握公因式的确定方法是解题的关键． 【详解】解：和的公因式为， 故选：． 【跟踪专练1】若，则的值为 ． 【答案】/0.2 【分析】本题考查的是分式的求值，由条件可得，再整体代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】设非零实数，，满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组，分式的化简等知识．先解得到，，再代入即可化简求解． 【详解】解： ， 得， ∴， 把代入②得， ∴． 当，时， ． 故选：C 【题型15.最简分式的判断】 【典例】若不是最简分式，则（   ）里的整式可以是 ．（写出1个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了最简分式，理解最简分式的特点（分式的分子与分母均为整式且分子和分母中不含1以外的公因数或公因式）是解题关键．根据最简分式的概念进行解题即可． 【详解】解：∵， ∴不是最简分式， 故答案为：（答案不唯一） ． 【跟踪专练1】分式、、、中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，分子和分母没有公因式的分式 叫做最简分式，据此判断即可． 【详解】解：的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 的分子、分母没有公因式，故是最简分式； 的分子、分母有公因式，故不是最简分式， 故最简分式有2个， 故选：B． 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式，平方差公式进行分式的乘法，进行化简． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题主要考查分式的乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式是解题的关键． 1．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键． （1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （3）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)任何实数， (2)， (3)， 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零． （1）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （2）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． （3）根据分母不为零分式有意义，分子为零且分母不为零分式的值为零，可得答案． 【详解】（1）解：∵，∴ ∴当x为任何实数时，分式有意义． 当时，分式的值等于0． （2）解：当时，即时，分式有意义． 当时，即时，分式的值等于0． （3）解：当，即，分式有意义． 当时，解得：，当时，分式无意义， 故当时，分式的值为0． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的约分和求值，先把分子提取公因式x分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，再把分子和分母约分，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 4．给定下列分式：，，，，…． (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (2)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查分式规律型：数字的变化类，关键是善于观察发现规律． （1）由分式的特点，即可发现分式的分子、分母和符号分别具有特征； （2）计算任意一个分式除以它前面的一个分式，即可发现规律； （3）由分式的特点，即可写出给定的这列分式中的第10个分式． 【详解】（1）解：这列分式的分子是幂的形式，底数x的指数是从3开始的奇数，分母是幂的形式，底数y的指数是从1开始的自然数，第奇数个分式的符号为正，第偶数个分式的符号为负． （2）解：∵，，    ， ∴从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，所得结果都是； （3）解：第10个分式是． 5．我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：． (1)请写出分式的基本性质______________________； (2)下列分式中，属于真分式的是___________； A．    B．    C．    D． (3)将假分式化成整式和真分式的和的形式． 【答案】(1)分式的分子和分母都柔以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 (2)C (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，类比分数性质得到分式性质，理解真分式、假分式定义，掌握将假分式化为整式与真分式的和的形式的方法是解决问题的关键． （1）由分数的性质类比即可得到分式的性质； （2）由由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，逐项分析即可得到答案； （3）由题中所给的方法，类比求解即可得到答案． 【详解】（1）解：类比分数的性质可得：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变， 故答案为：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变； （2）解：由真分式定义：把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， A、中，分子的次数是2次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； B、中，分子的次数是1次、分母的次数是1次，是假分式，不符合题意； C、中，分子的次数是0次、分母的次数是1次，是真分式，符合题意； D、中，分子的次数是2次、分母的次数是2次，是假分式，不符合题意； 故选：C； （3）解：． 6．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题09分式与分式方程(1) 预习目标 理解分式定义，区分分式与整式。 掌握分式有意义、值为0的条件。 熟记分式基本性质，明确约束条件。 会利用性质进行分式约分，化为最简分式。 掌握分式符号变形规则，会简单等值变形。 ● 能解决分式有意义/值为0的基础求值问题。 类比分数学习分式，梳理知识关联。 预习内容概览 1.分式的核心定义 2.分式的三类关键条件 预习必备 3.分式的基本性质 4.分式符号法则 知识点梳理 5.分式约分与最简分式 6.预习易错点 1.分式的判断 2.分式的规律问题 3.构造指定分式 4.分式无意义的条件 5.分式有意义的条件 6.分式值为零的条件 常考题型 7.分式的求值 8.分式值正负的取值范围 精讲精炼 9.分式值为整数的整数值 10.判断分式变形的正确性 11.分式变形成立的条件 12.分式性质与值的变化 13.分式系数化为整数 14.分式的约分 15.最简分式的判断 强化巩固 (解答题6题) 试卷第1页，共3页 3 知识点梳理 知识点01：分式核心定义 1.分式定义：形如(、是整式，B中含字母，且B≠0)的式子叫分式；A是 分子，B是分母。 2.分式与整式区别：分母是否含字母。 知识点02：分式的三类关键条件 情形 条件 分式有意义 分母B≠0 分式无意义 分母B=0 分式值为0 分子A=0且分母B≠0 知识点03：分式的基本性质 文字表述 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值 不变。 公式表达： 鲁=能，鲁=气(C是整式，C≠0) 知识点04：分式符号法则 鲁=-合=- 即：分子、分母、分式本身，同时改变其中两个符号，分式值不变。 知识点05：分式约分与最简分式 1.约分依据：分式基本性质。 2.约分步骤：找分子、分母公因式→同除以公因式。 公因式：系数取最大公因数，相同字母取最低次幂。 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式。 知识点06：预习易错点 1.忽略分式值为0时分母不能为0的限制。 2.分式基本性质中漏看乘除的整式0。 3.约分只约系数、不约字母公因式，或约去非因式整体。 试卷第1页，共3页 常考题型精讲精练 【题型1.分式的判断】 【典例】下列式子中，是分式的是() B.3m C. 31 D. 1 a 【跟踪专练1】请你写出一个满足下述两个特点的分式： ①这个分式中只含有字母x;②当x=1时，分式的值是0. 【跟踪专练2】下列有理式是分式的是() A B.I C.x D. 2x-y 3 【题型2.分式的规律问题】 【典例】观察下列等式a,=x,a2=1- ，4-1-1 ,44=1- .根据其中的规律，猜想 a. a a2022= (用含x的代数式表示). 【跟踪专练1】给定下面一列分式： 广…，（其中x≠0)根据你发 现的规律，其中第7个分式应是() A. B.5 C. D. y 【跟踪专练2】对于分式P=,我们把分式P=}叫做P的伴随分式.若分式P=a-」 1+x ,分式卫是P的伴随分式，分式B是的伴随分式，分式P是P的伴随分式，以此类推， 则分式P24等于 【题型3.构造指定分式】 【典例】冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰 糖液制作而成，若用2025个山楂穿了串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖 葫芦的山楂个数是 【跟踪专练1】在一次数学测验中，甲班有a个人，平均分是m分，乙班有b个人，平均分 是n分，则这两个班的总平均成绩为() A分 B.2分 C.am+bm分 D.m+b分 a+b m+n 【跟踪专练2】请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当x=1时，分 试卷第1页，共3页 式的值为2： 【题型4.分式无意义的条件】 【夷例】若分式 无意义，则() A.x=-1 B.x=1 C.x≠-1 D.x≠1 【跟踪专练1】请写出一个所含字母是x并且当x=2时没有意义的分式 【跟踪专练2】若x=-1使某个分式无意义，则这个分式可以是() A. x-1 B.2x+1 C.2r-1 D.x+1 2x+1 x+1 x-1 2x+1 【题型5.分式有意义的条件】 【典例】若代数式)有意义，则实数x的取值范围是 【跟踪专练1】若式子√a+，在实数范围内有意义，则a,b的取值范围分别是() A.a=0,b>0B.a20,b≠0 C.a>0,b>0 D.a>0,b≠0 【跟踪专练2】已知当x=1时，分式-b无意义：当x=2时，此分式的值为0，则 x-a (a-b225=_ 【题型6.分式值为零的条件】 【典例】若分式-4的值为0，则x的值为() x-2 A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 【跟踪专练1】若分式2的值为0，则x的值为一 x-2 【跟踪专练2】已知-+20，则+ 1 1 (x+1(y+2) +x+1y++…+x+2001y+201的 值是() 2000 2001 2002 2003 A. 2001 B. D. 2002 C. 2003 2004 【题型7.分式的求值】 【典例】如果a=6b,且b≠0，那么a+b a 【跟家专练】若号*0，测代数式2广3迎=() 试卷第1页，共3页 22 A.5 B.-5 C. 22 D. 25 25 【跟踪专练2】已知2a-h-C=-a-C+2b=-a-b+2c,代数式a+cb+ca+b1的值 a 6 abc 为」 【题型8.分式值正负的取值范围】 【典例】若分式的值为负数，则x的取值范围是() A.x为任意数B.x<2 C.x>-2 D.x≤2 【跟踪专练1】若分式-，。，的值为正，则a的取值范围为一 2a-7 【跟踪专练2】若分式，有意义，下列说法错误的是〈)， A.当x<3时，分式的值为正数 B.当x=3时，分式无意义 C.当x=0时，分式的值为0 D.当x=三时，分式的值为1 【题型9.分式值为整数的整数值】 【典例】若分式4的值是整数，则x可以取最小整数的值是 x-1 【跟踪专练1】下列关于分式的判断，正确的是() A.当x=2时，+的值为0 x-2 B.当x≠3时， x-3有意义 x C.无论x为何值，3的值不可能为整数 x-2 D.无论x为何值，2+2x+2 3 的值总为正数 【跟踪专练2】整数m(m≠0)为 时，式子3 为整数 -1 【题型10.判断分式辨析的正确性】 【典例】下列各式中，正确的是() 2+n2 m-11 A. B. m+n m m2-1m+1 C.m+-m+D.-1+n-1+n m-1m2-1 m m 【跟踪专练1】在括号里填上适当的整式： 3c 15ac 试卷第1页，共3页 (2) 3xy x2-2xx-2 3ab 6a'b (3) a+b() 【跟踪专练2】对下列各式从左到右的变形正确的是() A.-x-Y=--y B.atb_a-b a-b a+b 0.2a+b2a+b C. D. (x-y)2 0.2b 2b y-x =y-x 【题型11.分式变形成立的条件】 【奥例】等式22a月 代上=a成立的条件是 【跟踪专练1】当)=，2时，k代表的代数式是()☐ A.x-1 B.x2y-xy C.xy-y D.xy-x 【跟踪专练2】利用分式的基本性质填空： a+2x-2 a2-4( 【题型12.分式性质与值的变化】 【典例】下列分式与。2相等的是() A.Q+2 B.Q+2 C. 2a 2a a a+4 2a+2 D.2a+4 【跟踪专练1】若分式+少的值为3，将x,y都扩大2倍，则变化后分式的值为 y 【跟踪专练2】如果把分式3孔中的飞和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值《) x+y A.不变 B.缩小为原来的号C.扩大为原来的3倍D.扩大为原来的6倍 【题型13.分式系数化为整数】 1 【奥例】不改变分式的值，使2m+n的分子中不含分数，则该分式可化简为。 m-n 【跟踪专练1】改变分式0：2x 的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得 4x+30 结果是() 试卷第1页，共3页 2x-1 2x-1 2x-10 A. C. D. 4x+30 2x+15 4x+3 4x+3 0.3a+0.02b 【跟踪专练2】不改变分式的值，把分式 的分子和分母各项的系数都化为整数 0.1c-0.03d 得」 【题型14.分式的约分】 【典例】要将2化成最简分式，应将分子、分母同耐约去它们的公因式、这个公因式为 () A.x B.4x C.4xy D.4xyz 【跟踪专练1】若a2-2a-4=0,则 a 的值为 a2+3a-4 3a+2b+c=0 【跟踪专练2】设非零实数a,b,C满足 0+b+。,则222=（） a2+b2+c2 1 A.1 B.-1 C. 2 D. 【题型15.最简分式的判断】 【奥例】若）不是最简分式，则()里的整式可以是」 (写出1个即可) 【跟踪专练1】分式+白、 m-n 2a+b +b2m2京、2b、2中，最简分式有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练2】计算： x2-y2 x2+2xy+y2 强化巩固通关 1.约分： )-4mn2 2mn69 3a2b(m-1) (2 9ab'1-m) 2a30y-x) (3) 27(x-y) (4) a2+ab a2+2ab+b2 2.当x取什么数时，下列分式有意义？当x取什么数时，下列分式的值等于0？ 试卷第1页，共3页 ()x x2+0.1 ®， 324-10 x-5 x2-3xy B.先化简，再求值：2-6w+9v,其中少=2 3 4.给定下列分式：号，三，号 少’，方方，(w0 (1)这列分式的分子、分母和符号分别有什么特征？ (②)从第2个分式起，把任意一个分式除以它前面的一个分式，有什么规律？ (3)根据你发现的规律，写出给定的这列分式中的第10个分式. 5.我们知道，分式和分数有很多相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本 性质，等等.小学里，我们把分子比分母小的数叫做真分数.类似的，我们把分子的次数小 于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.任何一个假分式都可以化成整式与真 分式的和的形式.如：+！=-1+2_x-1十2 1*2 x-1x-1x-1x-1x-1 (1)请写出分式的基本性质 (2)下列分式中，属于真分式的是 A.r2 B.-1 3 C.- x-1 2x-1 D.+1 x+1 x2-1 ③)将假分式m+3化成整式和真分式的和的形式. m+1 6.通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数， 知：；62-2+子-我们院文：在分式中对于只含有一个字每的分当分的 33 3 次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我 们称之为“真分式”. 如=1、这样的分式就是假分式：3、x这样的分式就是真分式.类似地，假分式 x+1x-1 x+1x2+1 也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）· 如=1-x+-21-2,￡xx-1+x-+1 x+1'x-1 x+1+1 x+1x+1 x-1 x-1 解决下列问题： 《少分式2025是分式（填真或“假）9 试卷第1页，共3页 (2)将假分式 $$\frac { x - 3 } { x - 2 }$$ 化为带分式： 3)若分式 $$\frac { x ^ { 2 } - 4 x + 6 } { x - 2 }$$ 的值为整数，x为整数，求分式的值. 试卷第1页，共3页