专题 10.3 解二元一次方程组（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 10.3 解二元一次方程组（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】代入消元法 1 【知识点二】加减消元法 2 【题型 1】直接用代入法解二元一次方程组 2 【题型 2】变形后用代入法解二元一次方程组 4 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 7 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 9 【题型 5】用适当的方法解二元一次方程组 12 【题型 6】构造二元一次方程组解二元一次方程组 15 【题型 7】二元一次方程组的错解复原问题 17 【题型 8】已知二元一次方程组的解求参数 19 【题型 9】二元一次方程组同解问题 22 二.综合培优题型精析 24 【题型 10】整体代入法解二元一次方程组 24 【题型 11】整体加减法解二元一次方程 27 【题型 12】解大数据二元一次方程 30 三.同步检测 34 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 34 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 39 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 42 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】代入消元法 1、代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 2、解题步骤： （1） 标：用序号①②表示两个方程； （2） 选变形：选系数较简单的方程，把一个未知数用另一个表示； （3） 代入消元：把变形后的式子代入另一个方程，得到一元一次方程； （4） 求解一值：解一元一次方程，求出（或）； （5） 回代求另一解：把求出的值代回变形式，算出另一个未知数； （6） 写出规范解：用写出答案。 【知识点二】加减消元法 1、加减消元法：把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 2、解题步骤： （1）整理：把方程组化为二元一次方程组标准形式并标记序号； （2）看系数：看或的系数，是否有相等或相反，如果都没有就化为相等或相反； （3）加减消元：①+②或①-②消去其中一个未知数，解一元一次方程，求出（或）； （4）回代求另一解：把求出的值代入一相较为简单的方程，算出另一个未知数； （5）写出规范解：用写出答案。 【题型 1】直接用代入法解二元一次方程组 【例题1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． 利用代入消元法解方程组即可． 解： 将①代入②，得， 则，即， 解得． 将代入①，得． 所以原方程组的解是． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组下列做法正确的是（    ） A．将①代入②，消去 B．将①代入②，消去 C．①＋②，消去 D．①＋②，消去 【答案】B 【分析】利用代入消元法和加减消元法的运算规则，判断各选项的做法是否正确即可； 解：∵方程①已经将表示为含的代数式， ∴将①代入②，可得，消去了，因此A错误，B正确． ∵可得，整理得，无法消去或，因此C，D错误． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）二元一次方程组可化为一元一次方程________，解得．将代入②，解得________． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用代入消元法解方程组，根据代入消元法解方程组的步骤求解即可． 解：将②代入①得：， 解得， 将代入②，解得． 故答案为：，． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）用代入法解方程组： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． （1）本题用代入消元法解二元一次方程组，然后即可求解； （2）本题用代入消元法解二元一次方程组，然后即可求解； 解：（1）解：， 代入消元：将①代入②得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 将代入①式，得 ， ∴方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； 【题型 2】变形后用代入法解二元一次方程组 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）该方程组可以通过第一个方程，将用含的式子表示，再代入第二个方程消元求解； （2）该方程组中两个方程都含有，可以先将用含的式子表示，再代入另一个方程消元求解． 解：（1）解： 由①，得③． 把③代入②，得，解得：． 把代入③，得， 这个方程组的解为 （2）解： 由①，得③． 把③代入②，得．解得． 把代入③，得， ， 原方程组的解为 【点拨】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，解题关键是通过变形，将一个未知数用含另一个未知数的代数式表示，代入另一个方程实现消元，进而求解． 【变式1】（24-25七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组步骤，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程变形后进行判断即可． 解：由①得：或， 则A，B均不符合题意； 由②得：或， 则C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【变式2】（2025·浙江金华·二模）方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法求出方程组的解即可． 解： 把①代入②，得：，解得； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解是； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，掌握代入法的步骤，即从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程消元求解是解题的关键． （1）先化简第二个方程，再从第一个方程中用表示，代入化简后的方程，消元求解． （2）从第一个方程中用表示，代入第二个方程，消去，解出后再求． 解：（1）解： 化简方程②： 由方程①得：， 代入方程③： 将代入，得： 方程组的解为 ． （2）解： 由方程①得：， 代入方程②： 通分计算： 将代入，得： 方程组的解为 ． 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 【例题3】（2025九年级下·山西·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．利用加减消元法解方程组即可． 解：由①②，得：，解得：， 将代入①，得，解得：， ∴原方程组的解为． 【变式1】（2025·辽宁丹东·一模）二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用消元法求解二元一次方程组，得到解后对应选项即可． 解：， ∵将，消去，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴原方程组的解为，对应选项为C． 【变式2】（25-26八年级上·广西柳州·期中）若关于的二元一次方程组的解满足方程，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题主要考查二元一次方程组得解，掌握加减消元法是关键． 先解二元一次方程组，用含k的代数式表示x和y，再代入方程求解k的值． 解：， 得，， ∴， 得，， ∴， 代入得，， 解得，， 故答案为：1． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是正确运用消元的思想． 利用加减消元法解方程即可． 解： 由①②得，， 解得， 将代入①得，， 解得 ∴原方程组的解为． 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解题的关键． （1）（2）直接根据加减消元法解二元一次方程组即可． 解：（1）解：，得．③ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得．③ ，得．④ ，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解为 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意，方程组的解与方程的一个解相同，因此先解方程组，得到和的值，再代入中求出的值． 解：解方程组， ，得③， ，得④， ③④得，解得， 将代入②，得，即， 解得， 所以方程组的解为． 将代入，得， 即， 解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）根据加减消元法求解即可； （2）整理后根据加减消元法求解即可． 解：（1）解：， 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组为， 化简得， 即， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴方程组的解为． 【题型 5】用适当的方法解二元一次方程组 【例题5】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当方法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）观察方程组系数，选择加减消元法消去x，将第一个方程乘以2后与第二个方程相减，消去x求出y，再将y值代入原方程求出x即可； （2）先将第二个方程整理为整式方程，便于后续计算，整理后与第一个方程组成新的二元一次方程组，用加减消元法消去y，求出x后再回代求y． 解：（1）解：， 由得，， 由得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴． （2）解：， 由得，，化简整理得：， 由得，，解得， 将代入①得，，解得， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【答案】B 【分析】当方程组中有一个方程直接给出一个未知数用另一个未知数表示的形式时，适合用代入消元法；当同一未知数的系数相同或互为相反数，或易化为相同/相反数时，适合用加减消元法，据此解答即可． 解：观察四个方程组： ∵①中已用直接表示，③中已用直接表示， ∴①③适合选用代入法； ∵②中同一未知数的系数可快速化为相同或相反数，④中的系数相等，可直接减法消元， ∴②④适合选用加减法． 【变式2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）若关于的方程组的解满足，则的值是___________． 【答案】 【分析】先由加减消元法解二元一次方程组，得到，代入确定，最后利用幂的运算法则化简后，将代入计算结果即可． 解： 由①②得； 将代入，得； ， ， 则， ． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用适当方法解下列方程组 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 解：（1）解： 将①代入②得，， 解得③， 将③代入①得，， 原二元一次方程组的解为； （2）解： ①④得，③， ②得，④， ③④得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， 原二元一次方程组的解为． 【题型 6】构造二元一次方程组解二元一次方程组 【例题6】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． （1）求a、b的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 解：（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）若的结果中不含项和项，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中不含项和项可知，项和项的系数为0，即可得解． 解： ； ∵结果中不含项和项， ∴，解得． 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）在等式中，当时，；当时，，则_______， _______． 【答案】 【分析】根据题意列出二元一次方程组，再使用加减消元法解方程即可． 解：根据题意可得方程组：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为，即，．   【变式3】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，三条直线两两相交，．求与的度数． 【答案】的度数为的度数为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，对顶角、邻补角的性质等知识，根据对顶角、邻补角的性质并结合已知可得出，结合求解即可． 解：因为， 所以 即 又因为 所以解方程组， 得， 所以的度数为的度数为 【题型 7】二元一次方程组的错解复原问题 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，理解题意是解题的关键． 根据题意将代入②，将代入①即可求得的值，再代入代数式中求解即可． 解：将代入方程②， 得，解得； 将代入方程①，得，解得， ． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入中可求出a，b的值，再把a，b的值代入中，解关于x，y的方程组即可解答． 解：把代入中可得：， 解得， 把代入中可得，， 解得：． 【变式2】  （25-26八年级上·陕西西安·月考）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 【题型 8】已知二元一次方程组的解求参数 【例题8】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 【变式2】  （25-26九年级下·浙江杭州·月考）已知方程组的解满足，则的值为______． 【答案】 解： 得：，即， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． （1）用的代数式表示该方程组的解； （2）若该方程组的解满足，求的值； （3）已知，求的最小值，并求此时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）时，的最小值为． 【分析】（1）利用加减消元法，将第一个方程两边同乘2后与第二个方程相加，消去未知数，求出关于的代数式，再将代入原方程，求出关于的代数式，从而得到方程组的解。 （2）将（1）中得到的、关于的代数式代入，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值。 （3）将、关于的代数式代入，得到关于的二次函数，再通过配方法将二次函数化为顶点式，利用平方的非负性求出的最小值及对应的的值。 解：（1）解：， ，得：，解得：， 将代入②，得：，解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：∵该方程组的解满足， ∴，解得：； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴时，的最小值为． 【题型 9】二元一次方程组同解问题 【例题9】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 【答案】，，方程组的解为 【分析】根据两个方程组解相同，将不含、的方程联立求出、的值，再将、的值代入其余两个方程即可求出、的值． 解：根据题意，得， 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入得，， 方程组的解为， 把代入方程组， 可得， 得，， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ，，方程组的解为． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 【变式2】  （25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】243 【分析】本题主要考查二元一次方程组同解问题． 先联立方程组求出其解，再将解代入另外两个方程得到关于的方程组，解出的值，最后代入所求表达式计算即可． 解：解方程组，得， 由题意得方程组，解得， 则． 二.综合培优题型精析 【题型 10】整体代入法解二元一次方程组 【例题10】1．（24-25七年级下·山西晋城·月考）下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： （1）类比“例1”的方法，解方程组． （2）已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． （3）已知，类比“例2”的方法，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）类比于“例1”的方法可进行求解； （2）将方程①变形为，然后代入②可进行求解； （3）将方程①变形为，然后可得，，进而问题可求解 解：（1）解：， 把②代入①，得，解得． 把代入②，得． 所以原方程组的解为； （2）解：， 将方程①变形为③， 把②代入③，得， 得． （3）解：， 将方程①变形为③， 将②代入③，得， 解得． 把代入②，得． 所以． 【变式1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可． 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 （1）类比“整体代换”法解方程组 （2）已知，满足方程组求的值． 【答案】（1）；（2）4 【分析】本题主要考查运用“整体代换”解二元一次方程程组： （1）把变形为，再用整体代换的方法解题； （2）把①变形为这样的形式，再利用整体代换的方法解决． 解：（1）解： ， 把②变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①得， 即方程组的解为； （2）解： 把①变形为③， 把②代入③可得，， 解得， ． 答：的值是4． 【题型 11】整体加减法解二元一次方程 【例题11】（25-26七年级上·广西崇左·月考）（1）解方程组： （2）阅读材料；善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法 解：将方程②变形： 　　　 即③ 　　　 把方程①代入③得： 　　　 把代入①得 方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）仿照小军的“整体代入”法求出方程组的解即可． 解：（1）， ②①得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）由②变形得：③， 把①代入③得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． （1）按照小云的方法，求出的值； （2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查解二元一次方程组， （1）联立①③得：，求出方程组的解即可； （2）由得：，将③整体代入计算即可求出的值． 解：（1）解：联立①③得：， 由整理得，解得 将代入③得：， 解得：， ． （2）解：， 由得：， 则， ∵ ∴ 则， ． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． （1）按照小云的方法，求出的值； （2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的情况求参数，熟知加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）求出的结果，根据，可推出，解方程即可得到答案． 解：（1）解： 得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 得， ∵关于的二元一次方程组的解满足， ∴，即， ∴， 解得． 【题型 12】解大数据二元一次方程 【例题12】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； （1）请你仿照上面的解法解方程组； （2）解关于的二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）仿阅读解法，用加减法求解即可； （2）仿阅读解法，用加减法求解即可． 解：（1）解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入③，得， ∴； （2）解：， ，得， ，得， ，得， 把代入③，得， ∴． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握观察系数特点，灵活选择加减消元或代入消元，简化计算是解题的关键． （1）通过两式相减、相加，得到系数更简单的新方程，再联立求解； （2）通过两式相减直接得到，再用代入消元法求解． 解：（1）解：，得，即．③ ，得，即．④ 联立③④，得 解得 故原方程组的解为 （2）解：，得，即． 把代入①，得， 解得． 把代入，得． 故原方程组的解为 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法求解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法，则比较简单． ，得，所以． ，得． ，得． 将代入，得． 所以原方程组的解是． （1）请你运用上述方法解方程组：； （2）方程组的解是______； （3）猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 【答案】（1）；（2）；（3），验证见分析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤 （1）（2）小题均根据验证条件中的解题方法解方程组，求出方程组的解即可； （3）根据（1）（2）两个小题的方程，直接写出方程组的解，再代入每个方程进行验证即可． 解：（1）解：， 得：， ∴③， 得：④， 得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解是； （2）解：， 得：， ∴③， 得：④， 得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； （3）解：方程组的解是， 证明：把，代入方程， ∵左边右边， ∴是方程的解， 把，代入方程， ∵左边右边， ∴是方程的解， ∴原方程组的解是． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解方程组 代入后得到的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 解： ， 把代入得：． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，通过消元法将方程组中的变量关系转化为已知条件，从而直接求解参数k的值． 解：已知方程组：， 用②减去①，得：， 化简左边得：， 根据题目条件，代入上式得：， 解得：， 故选：A． 3．（25-26七年级下·浙江金华·月考）若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【答案】B 【分析】本题利用加减消元法，将方程组两个方程相加凑出的含的表达式，再结合已知条件求解． 解：， 将得， 整理得， 两边同除以得， ， ， ． 4．（24-25七年级下·天津红桥·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，用已知求未知，主要是熟练掌握解方程组． 根据两方程组的解相同，取出不含未知量的两个方程重组方程组，解方程得到解，再把解代入含有未知字母的方程组，解方程组即可． 解：解方程组 ，得 ， 上面方程组的解也是 的解，代入， 得 ， 解这个方程组，得 ． ∴， 故选：B 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果与互为相反数，那么x，y的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义得到两个代数式的和为0，利用平方和绝对值的非负性列出二元一次方程组，解方程组即可得到x，y的值． 解：∵与互为相反数， ∴， ∵任意实数的平方和任意实数的绝对值都是非负数，几个非负数的和为0，则每个非负数都为0， ∴， 整理得， 由①得，代入②得 ， 展开得， 解得， 将代入得， 即． 6．（25-26七年级下·重庆·月考）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 7．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题的关键． 通过将方程组中的两个方程相减，可得，再结合题意可得，即可求解． 解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 8．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，求代数式的值；通过解方程组，用k表示x和y，根据正整数解的条件，确定k的可能值，然后代入计算表达式． 解：∵方程组 ， 由第二式得，代入第一式：， 即， ∴， ∴， 即方程组的解为 ， ∵方程组有正整数解， ∴和均为正整数， 即是5和10的正公约数， 5和10的正公约数有1和5， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为0或， 故选：A． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·江苏宿迁·一模）若，满足方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中的两个方程相加，再进行化简即可得出答案． 解：， ①＋②，得：， ∴， 即的值为． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x和y的二元一次方程，则________， ________． 【答案】 1 1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，解题的关键是熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义列出关于，的方程组，求出，的值即可． 解：方程是关于，的二元一次方程， ， 解得． 故答案为：1，1． 11．（25-26七年级下·江苏·期中）若，则的值为_______． 【答案】6 【分析】先利用多项式乘多项式法则展开等式左边，再根据等式两边对应项系数相等求出和的值，最后代入计算的值． 解：展开等式左边，得． 由题意得 ． 根据等式两边多项式对应项系数相等，可得． 解得 ， 将代入，得． 12．（24-25九年级下·山东泰安·开学考试）若方程组的解x和y互为相反数，则___________ 【答案】 【分析】根据相反数的性质得到与的关系，代入第一个方程求出和的值，再将，代入第二个方程求解的值． 解：∵方程组的解和互为相反数， ∴，即， 将代入得： ， 解得， 则， 把，代入得： ， 去括号得， 合并同类项得， 系数化为得． 13．（25-26七年级下·全国·周测）已知用含的式子表示，则＝_____________． 【答案】 【分析】通过消去参数 ，将方程组转化为用 表示 的形式． 解： ， 得：， 解得： ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，解决问题的关键是熟练掌握计算方法． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 【答案】 3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，由题意得出，解方程组即可得出答案． 解：由题意得， 解得． 故答案为：3，． 15．（2026·重庆·一模）若，，则______． 【答案】 【分析】由得，得，然后分当时，当时两种情况分析即可． 解：由得，， ∴， 由得，， ∴， 当时， ∴，解得：（不符合题意，舍去）； 当时， ∴，解得：， ∴． 16．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 【答案】 【分析】先将表格中两组x，y的值代入二元一次方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组得到a，b的值，确定原方程，再将代入原方程，即可求出表中“？”表示的数． 解：将，代入得： ， 解得， 因此原二元一次方程为， 当时，代入得， 解得． 即表中“？”表示的数为． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程即可． 解：（1）解：由①得，③， 把③代入②得，， 解得，， 把代入③得，， 方程组的解为； （2）解：整理方程得，， 得，， 解得，， 把代入③得，， 解得，， 方程组的解为． 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… （1）上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． （2）请选择一种你喜欢的解法解方程组． 【答案】（1）见分析；（2）解法见分析，． 【分析】（1）解法一是错误的； （2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 解：（1）解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得． （2）（任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ③＋②，得，解得． 把代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 【答案】不正确，正确解法见分析 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据马虎去分母时方程右边未乘以可知马虎的解法不正确．方程①去分母，然后根据加减消元法计算即可． 解：不正确．方程①去分母，得，即．③ ③+②，得，解得． 把代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 20．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 【答案】 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组特殊解法．先解方程组，求出用a表示的x、y的值，由题意，可以整除，根据整除关系得到的因数为,，再尝试求得整数a，使x、y都是整数． 解：解原方程组得，， 由于 则可以整除，即可以整除， 故可知，， 则的因数为, 当时，舍去， 当时，舍去， 当时，舍去， 当时，， 把代入解得， ∴原方程组的整数解为． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （1）请用上述方法解方程组： （2）直接写出关于的二元一次方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据例题进行解题即可；（2）根据例题进行解题即可． 解：（1）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是； （2）解： ①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是. 【点拨】本题考查了特殊方法和加减消元法解二元一次方程组，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 10.3 解二元一次方程组（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】代入消元法 1 【知识点二】加减消元法 2 【题型 1】直接用代入法解二元一次方程组 2 【题型 2】变形后用代入法解二元一次方程组 3 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 3 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 4 【题型 5】用适当的方法解二元一次方程组 4 【题型 6】构造二元一次方程组解二元一次方程组 5 【题型 7】二元一次方程组的错解复原问题 5 【题型 8】已知二元一次方程组的解求参数 6 【题型 9】二元一次方程组同解问题 7 二.综合培优题型精析 7 【题型 10】整体代入法解二元一次方程组 7 【题型 11】整体加减法解二元一次方程 9 【题型 12】解大数据二元一次方程 10 三.同步检测 11 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 13 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】代入消元法 1、代入消元法：将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法. 2、解题步骤： （1） 标：用序号①②表示两个方程； （2） 选变形：选系数较简单的方程，把一个未知数用另一个表示； （3） 代入消元：把变形后的式子代入另一个方程，得到一元一次方程； （4） 求解一值：解一元一次方程，求出（或）； （5） 回代求另一解：把求出的值代回变形式，算出另一个未知数； （6） 写出规范解：用写出答案。 【知识点二】加减消元法 1、加减消元法：把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 2、解题步骤： （1）整理：把方程组化为二元一次方程组标准形式并标记序号； （2）看系数：看或的系数，是否有相等或相反，如果都没有就化为相等或相反； （3）加减消元：①+②或①-②消去其中一个未知数，解一元一次方程，求出（或）； （4）回代求另一解：把求出的值代入一相较为简单的方程，算出另一个未知数； （5）写出规范解：用写出答案。 【题型 1】直接用代入法解二元一次方程组 【例题1】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组：． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组下列做法正确的是（    ） A．将①代入②，消去 B．将①代入②，消去 C．①＋②，消去 D．①＋②，消去 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）二元一次方程组可化为一元一次方程________，解得．将代入②，解得________． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）用代入法解方程组： （1）； （2）； 【题型 2】变形后用代入法解二元一次方程组 【例题2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【变式2】（2025·浙江金华·二模）方程组的解是_____． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： （1） （2） 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 【例题3】（2025九年级下·山西·专题练习）解方程组： 【变式1】（2025·辽宁丹东·一模）二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广西柳州·期中）若关于的二元一次方程组的解满足方程，则的值为___________． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解方程组 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减消元法解下列方程组： （1） （2） 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解与的其中一个解相同，则a的值是________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： （1）； （2）． 【题型 5】用适当的方法解二元一次方程组 【例题5】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）用适当方法解下列方程组： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知二元一次方程组：①②③④解以上四个方程组比较适合的方法是（   ） A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法 C．②③用代入法，①④用加减法 D．②④用代入法，①③用加减法 【变式2】（25-26八年级上·河南漯河·期末）若关于的方程组的解满足，则的值是___________． 【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）用适当方法解下列方程组 （1） （2） 【题型 6】构造二元一次方程组解二元一次方程组 【例题6】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． （1）求a、b的值； （2）求的值． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）若的结果中不含项和项，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）在等式中，当时，；当时，，则_______， _______． 【变式3】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，三条直线两两相交，．求与的度数． 【题型 7】二元一次方程组的错解复原问题 【例题7】（24-25七年级下·全国·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·月考）在解关于，的方程组时，小明由于将方程①的“”，看成了“”，因而得到的解为，则原方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】  （25-26八年级上·陕西西安·月考）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【题型 8】已知二元一次方程组的解求参数 【例题8】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式2】  （25-26九年级下·浙江杭州·月考）已知方程组的解满足，则的值为______． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于、的二元一次方程组，其中是常数． （1）用的代数式表示该方程组的解； （2）若该方程组的解满足，求的值； （3）已知，求的最小值，并求此时的值． 【题型 9】二元一次方程组同解问题 【例题9】（25-26七年级下·山东聊城·月考）已知方程组与有相同的解，求、的值及方程组的解． 【变式1】（25-26七年级下·甘肃武威·月考）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【变式2】  （25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若关于，的方程组与有相同的解，求的值． 二.综合培优题型精析 【题型 10】整体代入法解二元一次方程组 【例题10】1．（24-25七年级下·山西晋城·月考）下面是小文同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． 用整体思想解决问题“整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程．具体的应用方法包括整体代入、整体运算、整体设元等等，通过学习，我发现在解方程组时，运用“整体代入法”有时会使解题更加简便快捷． 例1：解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得．所以原方程组的解为 例2：解方程组 解：将方程②变形为，即③ 把①代入③，得． ． 把代入①，得． 方程组的解为 …… 任务： （1）类比“例1”的方法，解方程组． （2）已知二元一次方程组，请利用“整体思想”求出的值． （3）已知，类比“例2”的方法，求的值． 【变式1】（23-24八年级上·陕西宝鸡·期末）运算能力  先阅读材料，再解方程组． 解方程组： 解：将看作一个整体，将①整体代入②，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解为 这种解法称为“整体代入法”，请用这种方法解方程组： 【变式2】（2024七年级下·全国·专题练习）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 （1）类比“整体代换”法解方程组 （2）已知，满足方程组求的值． 【题型 11】整体加减法解二元一次方程 【例题11】（25-26七年级上·广西崇左·月考）（1）解方程组： （2）阅读材料；善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的方法 解：将方程②变形： 　　　 即③ 　　　 把方程①代入③得： 　　　 把代入①得 方程组的解为 请你解决以下问题：模仿小军的“整体代换”法解方程组． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． （1）按照小云的方法，求出的值； （2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值． 小云：将①③联立可得一个新的不含的二元一次方程组． 小辉：哈哈！直接可以更简便地求出的值． （1）按照小云的方法，求出的值； （2）老师说，小辉的方法体现了整体代入的思想，请按照小辉的思路求出的值． 【题型 12】解大数据二元一次方程 【例题12】（24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得，代入③，得， 原方程组的解是； （1）请你仿照上面的解法解方程组； （2）解关于的二元一次方程组：． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： （1） （2） 【变式2】（24-25七年级下·湖南长沙·月考）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法求解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法，则比较简单． ，得，所以． ，得． ，得． 将代入，得． 所以原方程组的解是． （1）请你运用上述方法解方程组：； （2）方程组的解是______； （3）猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）用代入消元法解方程组 代入后得到的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26七年级下·浙江金华·月考）若二元一次方程组的解满足方程，则k为（   ） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 4．（24-25七年级下·天津红桥·月考）已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果与互为相反数，那么x，y的值是（　　） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆·月考）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）已知关于，的二元一次方程组有正整数解，其中为整数，则的值为（    ） A．或0 B．或 C． D．0 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2026·江苏宿迁·一模）若，满足方程组，则的值为______． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）已知方程是关于x和y的二元一次方程，则________， ________． 11．（25-26七年级下·江苏·期中）若，则的值为_______． 12．（24-25九年级下·山东泰安·开学考试）若方程组的解x和y互为相反数，则___________ 13．（25-26七年级下·全国·周测）已知用含的式子表示，则＝_____________． 14．（24-25七年级下·江苏宿迁·月考）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心，他把看错了，从而解得，则_____，_____． 15．（2026·重庆·一模）若，，则______． 16．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25七年级下·吉林长春·期中）解下列方程组： （1） （2） 18．（25-26七年级上·全国·课后作业）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… （1）上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． （2）请选择一种你喜欢的解法解方程组． 19．（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法． 解：方程①去分母，得，即．③ ③＋②，得，解得． 把代入②，得，解得． 所以原方程组的解为 20．（25-26八年级上·全国·假期作业）已知关于x、y的方程组：，求出所有整数a，使得方程组有整数解（即x、y都是整数），并求出所有的整数解． 21．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，如果我们直接考虑消元法，那将比较繁杂，而采用下面的解法则比较简便． 解：①-②，得，即．③ ，得．④ ②－④，得． 把代入③，得． 故原方程组的解是 （1）请用上述方法解方程组： （2）直接写出关于的二元一次方程组的解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $