专题 10.5 二元一次方程组全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题10.5二元一次方程组全章复习讲义（知识梳理+题型精析 +同步检测) 目录 一.全章知识梳理与题型精析… 【知识点一】二元一次方程（组） 1 【题型1】概念辨析类… .2 【知识点二】消元法解二元一次方程组 ..4 【题型2】解二元一次方程组 .…4 【题型3】整体法解二元一次方程组 .8 【题型4】二元一次方程组中的错题复原问题 .11 【题型5】含参数的方程组问题… .13 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 ..16 【题型6】行程与工程问题.… ..16 【题型7】营销与利润问题 ..19 【题型8】分配与方案问题… .22 【题型9】几何与古代问题… .25 【知识点四】三元一次方程组的解法 ..28 【题型10】解三元一次方程组 .28 二.同步检测 31 (一)选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）.31 (二)填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）…36 (三)解答题（本大题共6小题，共58分）… .40 一.全章知识梳理与题型精析 【知识点一】二元一次方程（组) 1、二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 般形式：ax+by=c(a≠0，b≠0) 1/45 【特别提示】二元一次方程有无数组解，每组解是一对未知数的值。 2、二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元 次方程组。 方程组的解：同时满足两个方程的一对未知数的值，是两个方程的公共解。 【题型1】概念辨析类 【例题1】(25-26八年级上四川成都期末)若关于x,y的二元一次方程3x-ay=10有一个解是 x=5 y=1' 则a= 【答案】5 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，灵活运用方程的解的定义是解题的关键。 将方程的解代入原方程，得到关于α的一元一次方程，求解即可. 【详解】解：把x=5,y=1代入方程3x-ay=10,得 3×5-a×1=10,即15-a=10, 移项得-a=10-15,即-a=-5, 两边同时乘以-1得a=5. 故答案为：5 【变式1】(23-24七年级下福建泉州期末)若(k+2)x+y=0是关于x,y的二元一次方程，则 k=() A.1 B.±2 C.2 D.-2 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到k-1=1且k+2≠0，进行求解即 可 【详解】解：由题意得：k-1=1且k+2≠0， 解得k=2. 故选C 【变式2】(25-26七年级下江苏泰州期中)已知任5(m为常数)是方程组 3x-2y=9 ☆ 的解， y=m 则关于x,y的二元一次方程“@可以是 (写出一个即可) 2/45 【答案】x+y=8(答案不唯一) 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，先代入计算得y的值，设回为：ax+by=C,将x,y代 入得关系式，最后选取数值得到方程. x=5 【详解】解：将 代入3x-2y=9, y=m 得：3×5-2m=9, 解得：m=3, 设回为：ax+by=c(a,b不全为0)， 将x二代入，得：5a+3b=c, :只要满足上述关系且ab≠0即可， 令a=1,b=1, 则c=5a+3b=3+5=8, 则此时的方程为：x+y=8。 【变式3】（23-24七年级下.全国·期末)小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币 共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张， 根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y 均必须取非零自然数，x+y=12,买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的 解. 【详解】解： x+y=12 ,y均必须取非零自然数， x+5y=48 列表尝试如下： 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 x+5y 56 52 48 44 40 方程组的解为 x=3, y=9. 答：小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张. 3/45 【知识点二】消元法解二元一次方程组 1、二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c(a≠0，b≠0) 【特别提示】二元一次方程有无数组解，每组解是一对未知数的值。 2、二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元 次方程组。 方程组的解：同时满足两个方程的一对未知数的值，是两个方程的公共解。 解法 适用场景 核心步骤 注意事项 某个未知数 ①用含一个未知数的式子表示另一个未 变形时要注意符号， 代入消 的系数为1 知数；②代入另一个方程消元；③解一 代入时要代入“未 元法 或-1. 元一次方程；④回代求另一个未知数： 变形的方程”. 同一未知数 ①变形方程组，使某一未知数的系数相 系数成倍数时，两边 加减消 的系数相等 等或相反；②加减消元，得到一元一次 要同乘“最小公倍 元法 或相反或成 方程；③解一元一次方程；④回代求另 数”，避免漏乘常数 倍数. 一个未知数. 项. 【题型2】解二元一次方程组 【例题2】(25-26八年级上山西太原期末)下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅 读并完成相应的任务。 解方程组： 2x-y=6① 3x+2y=9② 解：①x2得：4x-2y=6.③第一步 ②+③得：7x=15 第二步 15 解得：x= 7 第三步 15代入①，得：y= 12 将x 第四步 7 4/45 15 x= 7 所以原方程组的解为 第五步 12 y=- 7 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作 (填“加减消元法”或“代入消元法”)； (2)年年同学从第 步开始出现错误，具体的错误是 (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他 同学提一条建议： 【答案】(1)加减消元法 (2)一，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2 (3)见解析 (4)解方程时，系数化为1要注意未知数的符号.（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解二元一次方程组是关键， (1)根据①×2得③，再②+③可知运用了加减消元法： (2)根据等式的性质可知年年在第一步出现错误； (3)更正错误的步骤并继续完成解题步骤即可得出答案； (4)根据计算步骤中的变换适当给出建议即可. 【详解】(1)解：根据解方程的步骤，上述使用的是加减消元法， (2)解：第一步出现错误，利用等式的基本性质时，左右两边应同时乘以2，但6漏乘2. (3)解：①×2得：4x-2y=12,③ ②+③得：7x=21, 解，得x=3, 将x=3代入①得：y=0, x=3 :原方程组的解为。 y=0 (4)解：解方程时，系数化为1要注意未知数的符号.（合理即可） 【变式1】(25-26七年级上·湖南岳阳·期末)解下列二元一次方程组 2x- )/337 2(x+2y)-5y=-1 (2) 3x+y=-13 2 3(x-y)+y=2 5/45 x=6 【答案】(1) x=-4 y=-9 (23 (y=-7 【分析】(1)利用加减消元法求出解即可； (2)利用加减消元法求出解即可. 21 【详解】(1)解： 3x-3y=70 2 x+y=-13② 3 ①+②得， 3y=-6, 解得y=9, 2 把y=9代入①得，行x+3=7, 解得x=6, x=6 :原方程组的解为 y=-93 (2)解：将方程组整理得， 2x-y=-1① 3x-2y=2②' ①×2得，4x-2y=-2③， ③-②得，x=-4, 把x=-4代入①得，-8-y=-1, 解得y=-7, x=-4 :原方程组的解为 y=-7 【变式2】(25-26八年级上广东梅州期末)解方程组 x-y=5 x+1=2(y-1) (1) 2x-y=8 (2)3x-1 2 +y=-11 x=3 【答案】(1) x=-1 y=-2 (2 y=1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练运用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键. (1)直接运用加减消元法解二元一次方程组即可： (2)先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可. 【详解】(1)解： x-y=5① 2x-y=8②' ②-①得：x=3, 6/45 将x=3代入①得3-y=5, 解得：y=-2, [x=3 y=-2 x+1=2(y-1) (2)解： 3x-1 +y=-1 整理得： x-2y=-3① 3x+2y=-1②' ①+②得：4x=-4, 解得：x=-1, 把x=-1代入①得-1-2y=-3, 解得：y=1, :原方程组的解为 x=-1 y=1 【变式3】(25-26八年级上山东枣庄·期末)解下列方程组 3x-y=5 5x+4y=6 (1) (2) 5x+2y=23 2x+3y=1 x=3 【答案】(1) 「x=2 y=4 (2) y=-1 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法，加减消元法是解题的关键 (1)运用代入消元法解二元一次方程组即可； (2)运用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】(1)解： 3x-y=5① 5x+2y=23② 由①得y=3x-5③ 将③代入②得5x+2(3x-5)=23, 解得：x=3, 将x=3代入③得y=3×3-5=4, :方程组的解为 x=3 y=4 5x+4y=6① (2)解： 2x+3y=1②’ 7/45 ①×2-②×5得 -7y=7, 解得：y=-1, 将y=-1代入①得5x+4×(-1)=6, 解得x=2, :方程组的解为 x=2 y=-1 【题型3】整体法解二元一次方程组 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业)在利用“代入消元法”解完二元一次方程组 5x+y)-x=3① 后，小敏还想到了一种新的解法： x+y=1② 解：把x+y=1看作整体代入①，得5×1-x=3,解得x=2.将x=2代入②，得y=-1,所以原方 x=2 程组的解为 y=-1 这种把x+y=1看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”.请你利用“整体 代入消元法”解方程组 6x-8y-2x=8 5 3x-1=4y+9 【答案】 x=-2 y=-4 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键. 把3x-4y看成一个整体代入①中求出x,再将求出的x代入②求出y即可. 【详解】解：将方程组变形为 2(3x-4y-2x=8,① 5 3x-4y=10.② 将②代入①，得2×10 5 -2x=8,解得x=-2. 将x=-2代入②，得y=-4, [x=-2, 所以原方程组的解是 y=4. 【变式1】(25-26七年级下北京·期中)若关于心，y的二元一次方程组 5x+3y=4 2x+4y=m-1 的解x,y 互为相反数，则m的值为（) A.-3 B.3 C.5 D.-5 【答案】A 8/45 【分折】将方程组的两个方程相得7x+7=m+3,进而得出x+y-”,由x,少互为相反数得 x+y=0,从而m+3=0,解之可得m的值. 7 5x+3y=4① 【详解】解： 2x+4y=m-1②' ①+②，得 7x+7y=m+3, ..x+y=m+3 7 :x,y互为相反数， x+y=0, :m+3=0, 7 解得m=-3. [7x+10y=2 【变式2】(25-26七年级下.江苏南京·期中)己知方程组 10x+7y=-4 的解满足x-y=m-1,则m 的值为 【答案】-1 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组得到x-y=-2，,代入x-y=m-1中，求出m=-1即可. 7x+10y=2① 【详解】解： 10x+7y=-4②' ②-①，得3x-3y=-6, x-y=-2, 又x-y=m-1, .m-1=-2, m=-1. 【变式3】(2024七年级下·全国.专题练习)“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程 x+2y=7①， 组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 3x+7y=24② 将②式变形，得3(x+2y)+y=24③. 将①式代入③式，得3×7+y=24,解得y=3. 将y=3代入①式，得x+2×3=7,解得x=1, 9/45 x=1, :该二元一次方程组的解为 y=3. (1)类比“整体代换”法解方程组 3x-2y=5, 9x-4y=19 (2)已知x,y满足方程组 3x2-2xy+3y2=40, x2+xy+y2=10 求2的值. x=3 【答案】(1) y=2 (2)4 【分析】本题主要考查运用“整体代换“解二元一次方程程组： (1)把9x-4y=19变形为3(3x-2y)+2y=19,再用整体代换的方法解题： (2)把①变形为3(x2+y+y2)-5xy=40这样的形式，再利用整体代换的方法解决. 【详解】(1)解： 3x-2y=5① 9x-4y=19②' 把②变形为33x-2y)+2y=19③， 把①代入③得，15+2y=19, 解得y=2, 把y=2代入①得x=3, x=3 即方程组的解为 y=2 3x2-2xy+3y2=40① (2)解： x2+y+y2=10② 把①变形为3(x2+xy+y2)-5xy=40③， 把②代入③可得，30-5y=40, 解得y=-2, x2y2=4. 答：x2y2的值是4. 【题型4】二元一次方程组中的错题复原问题 【例题4】(25-26七年级下江苏泰州期中)甲、乙两人解关于x,y的方程组 ax+5y=15 4x-by=-2' 甲看 错方程“ax+5y=15"中的a,得到方程组的解为 x=-2 y=6 ；乙看错方程“4x-by=-2”中的b,得到方 10/45 程组的解为 y=2求a6+(-b)的值。 x=5 【答案】2 【分析】根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程4x-b少=一-2，乙所得的方程组的解满足方程 ax+5y=15,分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程4x-by=-2和方程ax+5y=15中求出的a,b值 即可得到答案。 【详解】解：：甲看错方程“ax+5y=15”中的a,得到方程组的解为 x=-2 y=6' x=-2 满足题中的方程4x-y=-2, y=6 .4×-2-6b=-2, 解得：b=-1, x=5 :乙看错方程“4x-by=-2”中的b,得到方程组的解为 y=2 {=2满足题中的方程ax+5y=15, x=5 .5a+5x2=15, 解得：a=1, ：a2026+(-b)2027 =12026+12027 =1+1 =2. 5x-gy=1'小明同学正确解得 ax+by=3 【变式1】(25-26八年级上江西九江·月考)已知方程组 x=2 y=3 x=3 而小红同学因粗心把c看错了，解得{ y=6,由此可判断a,6,c的值为() A.a=3,b=-1,c=-3 B.a=3,b=-1,c=3 c.a=3,6=-1,c=3 7 D.a=-3,b=1,c=3 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的错解复原问题，根据小明同学的解正确，求出c,得到关于，b x=3 的方程，根据小红同学看错了c,得到 满足方程ax+by=3,得到关于a,b的方程，进而得到 y=6 关于a,b的方程组，进行求解即可. 11/45 ax+by=3 [2a+3b=3 【详解】解：把 x=2, -3代入5-g=i,得： 15×2-3c=1' 解得c=3 把x=3 =6代入a+y=3,得3a+66=3. 2a+3b=3 a=3 3a+6b=3’解得 b=-1 故a=3,b=-1,c=3; 故选B. 【变式2】(25-26七年级下.四川绵阳·月考)在解关于x,y的方程组 ax+5y=c. 时，甲把方程组中 4x-by =1 =3乙看错了方程组中的b,求得的解为 x=4 x=-3 的Q看成了-4，求得的解为 y=1’则a+b+c= 【答案】6 -4x+5y=c 【分析】甲看错方程组中的Q,其得到的解满足方程组 看错方程组中的b,其得到的解满足原方程ax+5y=c,据此求出a=2,最后计算a+b+c的值即可. x=4 【详解】解：：甲求得的解 y=3是方程组 -4x+5y=C, 的解， 4x-by=1 将 x=4 -4×4+5×3=c 代入方程组得： y=3 4×4-3b=1 c=-1 解得 b=59 乙看错了方程组中的b,求得的解 y=满足原方程ax+5y=c, x=-3 将 x=-3 y=1’ c=-1代入得：-3a+5×1=-1, 解得：a=2, .a+b+c=2+5+-1=6. 【变式3】(25-26七年级下·湖南长沙期中)小红和小虎两人共同解方程组 ax+5y=15① 4r-y=-2g’小虎 12/45 看错了方程①中的a,解得 x=-3 x=5 y=-1 小红看错了方程②中的b,解得 y=4'求a,b的值. 【答案】a=-1,b=10 【分析】分别将结果代入方程组中没有看错的方程中，得出关于a、b的方程，求解即可. 【详解】解：小虎看错了方程①中的a, x=-3 满足方程②， y=-1 4×-3)-b×(-1)=-2, 解得b=10, :小红看错了方程②中的b, ,了x=5满足方程0， y=4 .5a+5×4=15, 解得a=-1, 综上所述，a=-1,b=10. 【题型5】含参数的方程组问题 【例题5】(25-26七年级下河南南阳·月考)小丽准备完成题目：解二元一次方程组 x+2y=3 (Ox+y=4' 发现系数“o”印刷不清。 1)递把“口“猜成2，请写出二元一次方程组x+2少=3的解为 x+y=4 (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案中x与y的值相等.”请通过计算说明原题中“o”是几. 5 X= 【答案】(1)H 3 V=. 3 (2)3 【分析】(1)根据题意可得二元一次方程组为 x+2y=3① 2x+y=4②' 然后由代入消元法求解即可； (2)设“o”为k,则该方程组为 x+2y=3① 由题意可知x=y,将其代入①并求解，可得y=1, k+y=4② 故x=y=1,再将x=y=1代入②并求解即可获得答案. 【详解】(1)解：若把“o”猜成2，则该二元一次方程组为 x+2y=3① 2x+y=4②' 13/45 由①可得x=3-2y③， 将③代入②，可得2(3-2列+y=4,解得y=名 将y号代入@.可得x=3-2 25 33 5 X=- ·该方程组的解为 2 y= 3 (2)设“口”为k,则该方程组为 x+2y=3① kx+y=4② 根据题意，该题标准答案中x与y的值相等，即x=y, 将x=y代入①，可得y+2y=3,解得y=1, x=y=1, 将x=y=1代入②，可得k+1=4,解得k=3, 即原题中“o"是3. 【变式1】(25-26七年级下·山西临汾期中)关于x,y的二元一次方程组 x-y=k+5 3x+2y=k 的解满足 x+y=-2,则k的值为() A.-4 B.-5 C.5 D.-3 【答案】B 【分析】解关于x,y的二元一次方程组后，代入x+y=一2中，即可求得k的值. 【详解】解： x-y=k+5① 3x+2y=k②' ①×2+②，得5x=3k+10, 解得x=k+2, 5 把x=2k+2代入①，得k+2-y=k+5, 解得y=-2k-3, 把x=2k+2,y=-2k-3代入x+y=-2, 5 解得k=-5 【变式2】(25-26七年级下，重庆·月考)若无论m取何值，关于x,y的二元一次方程组 14/45 mx+y=m+2 2025x+y=n+2024 都有解，则n= 【答案】3 【分析】先利用加减消元法消去y，再根据无论m取何值方程组都有解的条件，当m=2025时x的 系数为0，此时要使方程有解，常数项必须为0，据此列出关于的一元一次方程求解即可. 【详解】解：对于方程组 mx+y=m+2① 2025.x+y=n+2024② 由②-①得 2025-mx=n+2022-m, 因为无论m取何值方程组都有解，因此当m=2025时该方程也应有解， 此时方程为0·x=n+2022-2025, 即0x=n-3, 要使该方程有解，须满足n-3=0, 解得n=3. 【变式3】(25-26七年级下河南开封期中)已知关于x,y的二元一次方程组 ax+by=3 (cr+d=4的解为 x=-5 a(3m+n)+b(m+3n)=3 (y=1且 c(3m+川+d(m+3n=4'求(m+m)的值 【答案】1 ax+by=3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解.利用关于x,y的二元一次方程组 的解为 cx+dy=4 x=-5 得到3m+n=-5,m+3n=1,据此求解即可 y=1 ax+by=3 (cr+d=4的解为 x=-5a(3m+n+b(m+3n)=3 【详解】解：“关于x,y的二元一次方程组 =1,且 (3m+n)+d(m+3n)=4' 3m+n=-5① m+3n=1② 由①+②得4m+4n=-4, 即m+n=-1, :(m+n2026=(-1)2026=1, 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 15/45 1、解题步骤： (1)审题：找两个等量关系；(2)设元：直接设未知数或间接设未知数；(3)列方程组：根 据等量关系列方程；(4)求解与检验：解出未知数后，要检验是否符合实际意义。 2、主要题型： (1)和差倍分问题；(2)行程问题；(3)工程问题；(3)配套问题；(4)利润问题。 【题型6】行程与工程问题 【例题6】(2026七年级下·全国.专题练习)某城市准备对市区内的一段19.2km长的河道进行综合 治理.该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成.甲、乙两队合做60天后，乙队 因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工24m.乙队回来后，为了保证工期， 甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工16m,结果工程如期完工.那么，甲、乙两 队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米. 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成19.2km可得方程 120×(x+y)=19200,后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离 开30天)的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程 60x+60×(x+24)+60y+30×(y+16)=19200,建立方程组，最终求出x、y的值. 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工19.2km, 故可得方程120×x+y)=19200, 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天(x+24)m施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天(y+16)m施工剩余的30天： 由此可得方程60x+60×x+24)+60y+30×y+16)=19200, 120×(x+y)=19200 可得方程组 60x+60×x+24)+60y+30×(y+16)=19200' 化简得 x+y=160 4x+3y=5761 16/45 x=96 解得 y=641 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米 【变式1】(25-26七年级上.安徽池州期末)哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步.若两人同时 同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑() 米. A.55 B.45 C.50 D.40 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用， 由反向相遇得速度和，由同向追及得速度差，设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米，列方程组 求解哥哥速度即可. 【详解】解：两人反向出发4分钟相遇， ∴.速度和为400÷4=100米/分钟. :同向出发40分钟哥哥追上弟弟， .速度差为400÷40=10米/分钟. 设哥哥每分钟跑x米，弟弟每分钟跑y米， x+y=100 则 x-y=10 两式相加得2x=110, x=55. 故哥哥每分钟跑55米. 故选：A 【变式2】(23-24九年级上·重庆·月考)甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树， 丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地.已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵， 12棵.若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开 始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树小时后立即转到B地， 【答案】17 【分析】先设A地需要植树x棵，B地需要植树)y裸，根据题意可建立方程-1200+8)_y-12x12 10 12+8 化简可得y=2x-288,再设乙应在A地植树t小时后立即转到B地，要两块地同时开始，但A地比B 地早6小时完成，可构建方程-0+8)+6=2x-28-12，求1即可得出答案。 10 12+8 【详解】设A地需要植树x棵，B地需要植树y棵，由题可得： 17/45 x-1210+8)_y-12×12 10 12+8 .y=2x-288, 设乙应在A地植树t小时后立即转到B地，由题可得： x-00+8+6= 2x-288-12t 10 12+8 化简得：2x-36t+120=2x-288-12t, 解得：t=17. 故答案为：17. 【点晴】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据题意找出 等量关系式进行求解. 【变式3】(25-26七年级上湖南岳阳·期末)一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡， 已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整，停留30分钟后从乙地出发， 用了2.25小时返回甲地.已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每 小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键， 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， x+y+10 .=2 根据题意得： 304020 x+y+10 =2.25 302040 「4x+3y=180 整理得： 2x+3y=120' x=30 解得： y=20 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米. 【题型7】营销与利润问题 【例题7】(23-24七年级上河南平顶山·期末)某商店销售A,B两种品牌的毛绒玩具，已知两种 型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成 本价 18/45 (1)求A,B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？ (2)将A,B两种型号毛绒玩具按成本价均提高40%后标价出售， ①A型号毛绒玩具的标价为 元，B型号毛绒玩具的标价为 ②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售， 要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到31.6%，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率= 利润售价-成本 成本 成本 【答案】(14，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元 (2①14,21；②打9折销售 【分析】(1)设A,B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x、y,再根据等量关系“两种型号毛绒玩 具单个成本价和为25元"和“3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价“列二元 一次方程组求解即可： (2)①根据A,B两种型号毛绒玩具按成本价均提高40%后标价出售，据此分别列式求解即可： ②B型号毛绒玩具打：折，即按照标价的三销售，再根据“售完所有毛绒玩具后利润率达到31.6%” 10 列一元一次方程求解即可： 【详解】(1)解：设A,B两种型号的毛绒玩具成本价分别为x元和y元， x+y=25 x=10 由题意可得： 3x=2y ，解得： y=15 答：A,B两种型号的毛绒玩具成本价分别为10元和15元. (2)解：①A型号毛绒玩具的标价为10×1+40%)=14元： B型号毛绒玩具的标价为15×1+40%)=21元： ②B型号毛绒玩具打z折，即按照标价的三销售， 101 由题意可得： 10×14+10×21×2-10x10+10x15) 10 -=31.6% 10×10+10×15 解得：z=9, 答：B型号毛绒玩具打9折销售 【变式1】（25-26八年级上山西运城期中)小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余 70000元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余110000元，并且今年直播带货成本比去年传统销 售成本低15%，收入比去年高25%·设去年的收入为x元，销售成本为y元，则可列方程组为() 19/45 x+y=70000 x-y=70000 A. B 1+25%)x+(1-15%)y=110000 y =110000 1-25%1+15% x-y=70000 x-y=70000 C. D (1+25%)x-(1-15%)y=110000 y =110000 1+25%1-15% 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据去年节余为收入减成本，今年节余为今年收 入减今年成本，今年收入比去年高25%，成本比去年低15%，列出方程组. 【详解】解：：去年收入为x元，成本为y元，节余70000元， ∴.x-y=70000, “今年收入比去年高25%， :今年收入为1+25%x, “今年成本比去年低15%， :今年成本为1-15%)y, :今年节余110000元， .(1+25%)x-(1-15%y=110000, x-y=70000 :可列方程组 1(1+25%)x-(1-15%)y=110000 故选：C 【变式2】(24-25七年级下山东烟台，期中)某超市进货商品均加价30%销售，每月月底最后三天 打折促销.3月29日小明妈妈在该超市购买的A、B两种商品分别打八折和九折，共付款260元， 比标价省了39元，则A、B两种商品的进价分别是 【答案】70元、160元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设A种商品的进价为x元，B种商品的进价为y元， 根据打折后的价格之和及标价之和，可列出关于x,y的二元一次方程组，解方程组即可求出两种 商品的进价 【详解】解：设A种商品的进价为x元，B种商品的进价为y元， 1+30%)x+(1+30%)y=260+39 根据题意得： 0.8×1+30%)x+0.9×1+30%)y=260' 20/45 x=70 解得： y=160 :.A、B两种商品的进价分别是70元、160元. 故答案为：70元、160元. 【变式3】（25-26八年级上山西运城期末)随着农历丙午马年春节的临近，某中学计划采购一批 具有生肖特色的剪纸作品作为期末表彰奖品，包括“金蛇狂舞”和“马到成功”两种款式.己知在某非遗 文化商店，购买3套“金蛇狂舞“和2套“马到成功”共需190元：购买2套“金蛇狂舞”和3套马到成功 共需210元 (1)求每套“金蛇狂舞”和“马到成功"剪纸作品的单价分别是多少元 (2)学校决定共购买这两种剪纸作品50套.由于“金蛇狂舞”是旧款，商店决定给予八折优惠，“马到 成功”作为新款不打折.若学校的总预算恰好为1850元，那么学校购买了多少套马到成功剪纸？ 【答案】(1)“金蛇狂舞”单价30元，“马到成功"单价50元 (2)学校购买了25套“马到成功”剪纸 【分析】本题主要考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，理解题意，找准关系量是解题的关 键 (1)设每套“金蛇狂舞”单价为x元，每套“马到成功”单价为y元，再列方程组并求解即可； (2)设学校购买了x套“马到成功"剪纸，则购买了(50-x)套“金蛇狂舞”剪纸，再根据预算列出方程 求解即可 【详解】(1)解：设每套“金蛇狂舞”单价为x元，每套“马到成功”单价为y元， [3x+2y=190 x=30 2r+3y=210'解得 则 y=50 答：“金蛇狂舞”单价30元，“马到成功”单价50元： (2)解：设学校购买了x套“马到成功"剪纸，则购买了(50-x套“金蛇狂舞”剪纸， “金蛇狂舞"打折后的单价为24元，"马到成功”不打折单价为50元， .50x+24×50-x=1850, 解得x=25, 答：学校购买了25套“马到成功"剪纸： 【题型8】分配与方案问题 【例题8】(25-26八年级上山西运城期末)国产3A游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西 古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星.游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与 21/45 历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间 和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68 元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【答案】该旅行团租了三人间客房6间，租了两人间客房11间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该旅行团租了三人间客房x间，租了两人间客房y间， 根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果，理解题意，找准等量关系，正确列出二元 次方程组是解此题的关键， 【详解】解：设该旅行团租了三人间客房x间，租了两人间客房y间， 3x+2y=40 由题意可得 68×3x+84×2y=30721 x=6 解得： y=11' 故该旅行团租了三人间客房6间，租了两人间客房11间 【变式1】(25-26九年级上·黑龙江佳木斯月考)实验中学为了打造“书香校园"，培养学生的阅读 能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、 B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有() A.11种 B.10种 C.9种 D.8种 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程的解，建立方程分析正整数解是解题的关 键.设购买A种图书x本，B种图书y本，根据共购买A、B两种图书480元列方程，求二元一次方 程的正整数解即可求解 【详解】解：设购买A种图书x本，B种图书y本，根据题意，得 16x+24y=480, x=60-3y, 2 x为正整数， ∴.60-3y>0,且y为偶数， 22/45 解得y<20, .2≤y≤19，即y=2,4,6,8,10,12,14,16,18, 当y=2时，x-60-3x2=27, 2 当y=4时，x=60-3x4 24, 2 当y=6时，x=60-3×6 =21, 2 当y=8时，x=60-3x8=18, 2 当y=10时，x-60-3×10=15, 2 当y=12时，x=60-3×12=12, 2 当y=14时，x=60-3x14=9, 2 当y=16时，x=60-3x16=6, 2 当y=18时，x= 60-3x18=3, 2 :共有9种购买方案 故选：C. 【变式2】(23-24七年级下山西吕梁期末)七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下 例题：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母.1个螺柱需要配2个螺母， 为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方 程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排x名工人生产螺柱，y名工人生产螺母，则 可列二元一次方程组为 【答案】 x+y=22 2×1200x=2000y 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设应安排x名工人生产螺柱，y名工人生产螺母，根 据题意，列出方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出方程组是解题的关键。 【详解】解：设应安排x名工人生产螺柱，y名工人生产螺母， x+y=22 由题意可得， 2×1200x=2000y' x+y=22 故答案为： 2×1200x=2000y 【变式3】(25-26七年级上·湖南益阳·期末)2025年“湘超”联赛（湖南省足球联赛）的成功举办， 在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展.为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰 23/45 优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足 球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元. (1)求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ (2)现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球： 乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的90%付款.问：学校需要购买30个A类足球和30个 B类足球，选择哪家供应商更便宜. 【答案】(14类足球单价为85元，B类足球单价为80元 (2)选择乙供应商更便宜 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数四则混合运算的应用，正确理解题意是解答 本题的关键 (1)根据两种购买方案的花费条件，设A、B类足球单价为未知数，列二元一次方程组，利用消元 法求解单价： (2)分别按照甲、乙供应商的优惠规则，计算购买指定数量足球的总费用，通过比较费用大小确定 更优惠的供应商。 【详解】(1)解：设A类足球的单价为x元，B类足球的单价为y元根据题意得， [10x+5y=1250 15x+10y=2075 x=85 解得 y=80 答：A类足球单价为85元，B类足球单价为80元； (2)解：：买5个A类足球送1个B类足球，购买30个A类足球， .可赠送B类足球的数量为30÷5=6（个） ∴.需要购买B类足球的数量为30-6=24（个） 甲供应商的总费用为30×85+24×80=2550+1920=4470（元） 乙供应商的总费用为30×85+30×80)×90%=(2550+2400)×0.9=4950×0.9=4455（元）， :4455<4470, :选择乙供应商更便宜. 答：选择乙供应商更便宜 【题型9】几何与古代问题 【例题9】(25-26七年级上陕西西安期末)古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八， 24/45 盈十八.问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱.合伙人数、 羊价各是多少？（请列方程求解） 【答案】人数为21人，羊价为150钱 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.本 题可通过设未知数，根据两种出钱方式下羊价恒定这一等量关系列出二元一次方程组，进而求解出 合伙人数和羊价. 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱. 5x+45=y 根据题意，得 8x-18=y 将y=5x+45代入8x-18=y中，得 8x-18=5x+45, 解得x=21 把x=21代入5x+45=y中，得 y=5×21+45=150 答：人数为21人，羊价为150钱. 【变式1】(25-26八年级上广东深圳期末)《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程 章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50： x+5y=50 若”.甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为 2 根 3r+y=50 据己有信息，题中用“”表示的缺失条件应补为() A.甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 3 B.乙得到甲所有钱的2，那么甲还有钱50 3 C·乙得到甲所有钱的3，那么乙也共有钱50 D.甲得到乙所有钱的？，那么乙还有钱50 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，方程组中第二个方程x+y=50等价于y+名x=50, 表示乙得到甲所有钱的？后，乙的钱变为50，与选项C一致，理解题意是解此题的关键」 25/45 【详解】解：第二个方程子x+y=0,等价于y+号x=50,甲乙搭加甲钱的子后共有钱50， 2 故缺失条件为“乙得到甲所有钱的2，那么乙也共有钱50， 故选：C 【变式2】(25-26七年级上·黑龙江绥化期末)如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼 成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x,宽为y,则可列方程组为 40 x+y=40 【答案】 3x=2x+3y 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据图示找出数量关系是解题的关键 设小长方形的长为x,宽为y,根据图示可以列出方程组. 【详解】解：根据图示可以列出方程组为： x+y=40 3x=2x+3y 故答案为： x+y=40 3x=2x+3y 【变式3】(25-26八年级上.重庆巴南期末)如图，一块长为(3x+3y)cm,宽为(x+2y)cm的长方 形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为xC的 长方体状无盖纸盒 3x+3y r+2 (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为12cm,宽为7cm,求该长方体纸盒的体积. 【答案】(1)-x2-xy+6y2)cm2 (2)50cm 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问 题的关键， (1)由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； 26/45 (2)长方形纸板长为12m,宽为7cm,即 女+2-7，解方程求出y的值， [3x+3y=12 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可. 【详解】(1)解：根据题意，阴影部分长方形长为3x+3y-2x=(x+3y)cm,宽为 x+2y-2x=(2y-x)cm, 则阴影部分长方形的面积=(x+3y)(2y-x)=-x2-y+6y2)cm2; (2)解：由题意 3x+3y=12 (x+2y=7” x=1 解得=3' 长方体体积=x-x2-xy+6y2)=-x3-x2y+6xy2: 当x=1,y=3时， -x3-x2y+6xy2=-13-12×3+6×1×32=50(cm3) 答：长方体纸盒的体积为50cm3. 【知识点四】三元一次方程组的解法 定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且共有三个方程的方程组。 解题步骤：(1)用代入或加减消元法消去同一个未知数，转化为二元一次方程组；(2)解二 元一次方程组，得到两个未知数的值；(3)回代求第三个未知数的值；(4)写出方程组的解。 【题型10】解三元一次方程组 【例题2】(23-24七年级下辽宁营口·期末)解三元一次方程组 a-b+c=0 a+b+c=-4 9a+3b+c=0 a=1 【答案】 3b=-2 c=-3 a+c=-2 【分析】本题主要考查加减消元法，根据题意将②-①，解得6=-2，代入原方程得到9+c=6· 利用加减消元法求得解即可. 27/45 a-b+c=0① 【详解】解： a+b+c=-4②， 9a+3b+c=0③ ②-①，得2b=-4,则b=-2: a+c=-2 那么， 9a+c=6 a=1 解这个方程组，得 c=-3' a=1 因此{b=-2 c=-3 x+y=2 【变式1】(24-25七年级下.甘肃天水期中)已知{y+z=3,则x+y+z的值为() z+x=7 A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，把方程组中的三个方程相加即可得到答案. x+y=2① 【详解】解： y+2=3② z+x=7③ ①+②+③得：.2x+2y+2z=12, ∴.X+y+z=6, 故选：B. [=y=名 【变式2】(25-26七年级上广东佛山开学考试)己知x,,2是方程组753 的解，则 3x+5y+7z=67 x+y+2= 【答案】15 【分析】本题考查解三元一次方程组，设写号写，则：=水，y=秋，：=3，代入方程 3x+5y+7z=67中，求出k的值，进而求出x,y,z的值，求和即可. 【详解】解：设写号-行=，则=1，少=5，：=证，代入方程3x+5y+7z=67得 3×7k+5×5k+7×3k=67,即21k+25k+21k=67, 合并得67k=67, 28/45 解得k=1. 所以x=7,y=5,z=3, 则x+y+z=7+5+3=15. 故答案为：15. 【变式3】(24-25七年级下·福建泉州月考)解下列方程组： x+2y=3① (1)2y=3z②： x-z=-1③ x+y-2z=5① (2)X2x-y+z=4② 2x+y-3z=10③ x=0 【答案】(1)y=1.5 z=1 x=2 (2)Hy=-3 z=-3 【分析】此题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法，代入消元法解三元一次方程组 是解决问题的关键 (1)先由①-②得x=3-3z④，将④代入③得z=1,再将z=1代入④得x=0,进而将x=0代入① 得y=15,由此可得该方程组的解； (2)先由①+②得3x-z=9④，②+③得4x-2z=14⑤，④×2-⑤得x=2,将x=2代入④得 z=-3,再将x=2,z=-3代入①得y=-3,由此可得该方程组的解. x+2y=3① 【详解】(1)解： 2y=3z②， x-z=-1③ ①-②，得：x=3-3z④， 将④代入③，得：3-3z-z=-1, 解得：z=1, 将z=1代入④，得x=0, 将x=0代入①，得：y=1.5, 29/45 x=0 :该方程组的解为： y=1.5; z=1 x+y-2z=5① (2)解： {2x-y+z=4② 2x+y-3z=10③ ①+②，得：3x-z=9④， ②+③，得：4x-2z=14⑤， ④×2-⑤，得：2x=4, 解得：x=2, 将x=2代入④，得：3x2-2=9, 解得：z=-3, 将x=2,z=-3代入①，得：2+y-2×-3=5, 解得：=-3， x=2 .该方程组的解为： y=-3 z=-3 二.同步检测 (一)选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.(25-26七年级下.北京期中)已知 =-3是二元一次方程ax-4y=0的解，则点（←a,a-D所在 x=4 的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【分析】先将方程的解代入方程求出α的值，再得到点的坐标，根据坐标符号判断所在象限即可. 【详解】解：： x=4,是二元一次方程ax-4y=0的解， y=-31 ∴.把x=4,y=-3代入方程得4a-4×-3)=0, 解得a=-3, 30/45 点(-a,a-1的坐标为(3，-4)， :横坐标大于0，纵坐标小于0，符合第四象限点的坐标特征， 该点在第四象限， 2.(2026七年级下·江苏.专题练习)用代入消元法解二元一次方程组 2x-y=5① x+3y=10②'下列变形正确 的是() A.由①得y=5-2x B.由①得y=2x-5 C.由②得x=3y-10 D.由②得x=10+3y 【答案】B 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组的变形，利用等式的基本性质对两个方程分别移项变形， 对比选项即可得到答案 【详解】对①2x-y=5移项，得y=2x-5,故A错误，B正确； 对②x+3y=10移项，得x=10-3y,故C,D错误. 3.(25-26七年级下·浙江杭州期中)利用加减消元法解方程组 2x+3y=6① 5r-2y=9②' 下列做法正确的是 () A.要消去x,可以将①x5-②×2 B.要消去y,可以将①×3+②x2 C.要消去x,可以将①×5+②x2 D.要消去y,可以将①×2-②×3 【答案】A 【分析】根据要消去的未知数，将方程组变形，使目标未知数系数的绝对值相等，再判断变形和运 算是否正确即可. 2x+3y=6① 【详解】解： 5x-2y=9②' 要消去x,可以将①×5-②x2得：19y=12,故A正确，C错误： 要消去y，可以将①×2+②×3得：19x=39,故B、D错误 4.(24-25七年级下.陕西延安.期末)已知关于a、b的二元一次方程组 2a-b=6 a+4h=-18'则a+b的值 为() A.-3 B.-4 C.-5 D.-6 【答案】B 31/45 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把两个方程的左右两边分别相加即可求解. 2a-b=6① 【详解】 a+4b=-18② ①+②，得 3a+3b=-12 因此，a+b的值为-4， 故选B. 5.(23-24七年级下.吉林长春月考)在等式y=x+b中，当x=1时，y=-2;当x=-1时，y=-4, 则这个等式是() A.y=-x+3 B.y=-x-3 C.y=x+3 D.y=x-3 【答案】D 【分析】将已知两组x,y的对应值代入等式y=x+b,得到关于k,b的二元一次方程组，解方程 组求出k,b的值，即可得到所求等式 【详解】解：当x=1时，y=-2;当x=-1时，y=-4, k+b=-2① :代入y=x+b,得 -k+b=-4②' ①+②得2b=-6, 解得b=-3, 把b=-3代入①得k-3=-2, 解得k=1, 把k=1,b=-3代入y=+b得y=x-3 6.（24-25七年级下浙江绍兴期中)若关于x,y的二元一次方程组 2x+7y=3k+4 7x+2y=5-k 的解满足方程 x+y=2,则k的值为() A.3 B.3.5 C.4.5 D.5 【答案】c 【分析】本题考查的是同解方程，将两个方程相加，可得9x+9y=2k+9,把x+y=2代入即可得到 答案 2x+7y=3k+4① 【详解】解： 7x+2y=5-k② ①+②得：9x+9y=2k+9, 32/45 9(x+y)=2k+9, :x+y=2, .2k+9=18, .2k=9, 解得：k=4.5; 故选：C 7.(25-26七年级下四川眉山期中)利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按 图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是() cm ① ② A.73cm B.76cm C.77cm D.78cm 【答案】B 【分析】设桌子高度和木块长宽为未知数，根据两种放置方式列二元一次方程组，将两方程相加消 去长宽差，直接算出桌子高度为76cm. 【详解】解：设桌子高度为hcm,长方体木块的长为xcm,宽为ycm, 根据两个放置方式可列方程： h+x-y=79 h+y-x=731 将两个方程相加，得：2h=79+73=152, 解得h=76, 即桌子高度为76cm. 8.(23-24七年级下浙江·期末)规定新运算：m★n=am+bn,，其中a,b是不等于0的常数，且 a≠b.已知x★y=a,y★x=b,则y的值为() A.2 B.1 C.0 D.-1 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出x、y的 值。 根据m★n=am+bn,其中a,b是不等于0的常数，且|ab.x★y=a,y★x=b,可以得到 33/45 ax+by=a,ay+bx=b,然后两个式子相减或相加，可以求得x-y=1,x+y=1,从而可以求得x、 y的值，再计算y即可 【详解】解：：m★n=am+bn，x★y=a,y★x=b, ∴.ax+by=a,ay+bx=b, ..(ax+by)-(ay+bx)=a-b,(ax+by)+(ay+bx)=a+b, :a,b是不等于0的常数，且|ab. .化简得：x-y=1,x+y=1, x-y=1 即 x+y=11 x=1 解得y=0' .y=1×0=0, 故选：C. 9.(25-26七年级下四川眉山期中)我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有 三人共车，二车空；二人共车，八人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果 每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行，请问有几个人？ 有几辆车？若设有x辆车，有y个人，根据题意可列方程组为() 3(x-2)=y 3x-2)=y A. 3(x+2)=y B. [3(x+2)=y 0 2x=y+8 2x=y+8 2x=y-8 2x=y-8 【答案】D 【详解】解：设有x辆车，y个人 :每3人坐一辆车，有2辆空车，实际使用车辆为(x-2),总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， .3(x-2)=y. :每2人坐一辆车，有8人步行，总人数减去步行的8人等于坐车的总人数2x, .整理得2x=y-8. 联立得方程组 3x-2)=y 2x=y-8' 故选D. 10.(23-24七年级下.广西贵港期中)已知将一种浓度为35%的农药稀释到1.75%时，治虫最有效， 若设用x千克浓度为35%的农药加水y千克，才能配成1.75%的农药800千克，则依题意所列方程 组为() 34/45 x+y=800 x+y=800 A. B. 35%x+y)=1.75%×800 35%r=1.75%×800 x+y=800 x+y=800 D 35%y=1.75%×800 35%y=1.75%×800 【答案】B 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，把已知量和未知量联系起来，找出题目 中的相等关系是解方程问题的关键， 根据稀释后农药质量为800千克及农药的质量不变即可列出方程组. 【详解】解：根据题意得： x+y=800 35%r=1.75%×8001 故选：B. (二)填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11.(25-26七年级下.北京期中)关于x,y的方程3x+(2-ay=1是二元一次方程，则a的值 为 【答案】 2 【分析】根据二元一次方程的定义列出关于a的方程和不等式，求解即可得到a的值， 【详解】解：根据二元一次方程的定义，可得： a-1=1 2-a≠0 由a-1=1,可得：a=2,即a=2或a=-2, 由2-a≠0，可得：a≠2， 综上所述，可得：a=-2 12.(25-26七年级下.浙江湖州·期中)将方程2x-3y=20变形为用含y的式子表示x,那么x= 【答】0+ 【分析】把含y的项移到方程右边，再把x的系数化为1即可得到答案， 【详解】解：2x-3y=20 移项得2x=20+3y, 3 系数化为1得x=10+2y. 35/45 3x+2y=m+10 13.(25-26七年级下.浙江杭州月考)已知方程组 2x+3y=-m ，则3x+3y的值为 【答案】6 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，解题的关键在于运用整体思想简化运算，无需单独解出 x、y的具体值.通过将方程组两式相加，直接凑出目标式x+y的整体值，再代入3x+3y=3(x+y)即 可求解. 3x+2y=m+10① 【详解】解： 2x+3y=-m② 将①+②，得 5x+5y=10 两边同时除以5，得 x+y=2, .3x+3y=3x+y=3×2=6. 14.(25-26七年级下.江苏泰州期中)已知关于x,y的方程组 者-2-则A 的值为 【答案】-3 【分析】先解二元一次方程组，利用加减消元法得到x-2y与k的关系式，再结合已知条件列一元一 次方程求解即可. 2x+y=2k+1① 【详解】解： 4x-3y=k② ①-②得：（2x+y-(4x-3y=（2k+1-k 整理得：-2x+4y=k+1 两边同除以-2得：x-2y=-k-」 2 x-2y=1, 人，，解得：k=3 15.(25-26七年级下河南鹤壁月考)若单项式22m与-2”y“是同类项，则m-n=， 【答案】-1 【分析】根据同类项中的字母相同，相同字母的指数也相同，列出方程组进行求解即可. 36/45 2m+n=2n 【详解】解：由题意，得 m+n=3，解得 m=1 n=2 m-n=1-2=-1. 16.（25-26七年级上湖南邵阳·期末)已知关于x,y的方程组 2x-y=5x+y=4 ar+by=6ar+2by=12有相同的 和 解，那么2a+b值是 【答案】6 2x-y=5 ax+by=6 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到 x+y=4’ (ar+2hy=12·先根 2x-y=5 x+y=4 2x-y=5 据关于x,y的方程组 和 ax+2by=12 有相同的解，列出方程组 求出xy的 ax+by=6 x+y=4 值，再代入 ax+by=6 x+2=12计算求出a、b的值，最后代入计算即可. 【详解】解：：关于x,y的方程组 2x-y=5 ax+by=6 ar+2y=12有相同的解， x+y=4 和 2x-y=5 「ax+by=6 (x+y=4 ax+2by=12' 解 「2x-y=5 x=3 x+y=4 得 y=1' x=3, s1代入 ax+by=6 将 ar+2by=12得： [3a+b=6 3a+2b=12 a=0 解得 b=6' .2a+b=2×0+6=6 故答案为：6. 17.(25-26七年级下山东青岛月考)甲从一地点出发，前往某地，途中经过上坡路和平路，再按 原路返回.已知上坡每小时走3千米，下坡每小时走5千米，平路每小时走4千米.去时走了90分钟， 回程走了78分钟.设去时上坡路长xkm,平路长，为求x和y的值，可列的二元一次方程组为 【答案】 x+y-3 (342 x,y13 54-10 【分析】先统一时间单位，将分钟换算为小时，根据总时间等于各段路程所用时间之和，结合原路 返回时去时上坡变为回程下坡，平路长度和速度不变，分别根据去程和回程的总时间列方程即可. 37/45 【详解】解：速度单位为千米1小时，需统一单位，90分钟=0-3小时，78分钟=78-13小时 602 6010 去时：上坡路程为xkm,速度为3km/h,用时h,平路路程为m,速度为4km/h,用时h, 总时间为h, +y-3 3"42 回程：原路返回，去时的上坡路变为下坡路，平路长度不变，因此下坡路程为xkm,速度为5km/h, 用时，平路用时仍为，总时同为侣， 4 +y13 十 54-109 x+y-3 ÷可列方程组：342 x,y13 5410 18.(24-25七年级下.湖北武汉期末)在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美 丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三 种图案，己知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和 为 cm;面积和为 21cm 5cm ① ② ③ 【答案】 72 108 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是xcm和cm,根据题意列方程组得到x=13,y=4, 设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为aCm,根据题意列方程得到a=1,根据正方形的 面积公式即可得到结论 【详解】解：设大正方形边长xcm,小正方形边长cm, x+2y=21 依题意得 (x-2y=5' x=13 解得 (y=41 设重叠的小正方形边长acm, 依题意得3(4-a+4=13, 38/45 解得a=1, :两块阴影部分的周长和=4×(13-4)+12×(4-1)=72(cm), 阴影面积=132-4×42+3×12=108(cm2) (三)解答题（本大题共6小题，共58分） 19.(本小题满分8分)(25-26七年级下.吉林长春·月考)解二元一次方程组： y=3x-2① 2x+3y=1① (1) 3x+y=8② (2) 3x+4y=-5② x=- 【答案】(1)-3 x=-19 (2) y=3 y=13 【分析】(1)运用代入消元法计算； (2)运用加减消元法计算. 【详解】(1)解： y=3x-2① 3x+y=8② 把①代入②得，3x+3x-2=8, 解得，x= 5 x3代入①得，y=3x2三 3 5 :原方程组的解为 y=3 2x+3y=1① (2)解： 3x+4y=-5② ①×3-②×2得，3×2x+3y-2×3x+4y)=3-2×-5, 整理得，y=13, 把y=13代入①得，2x+3x13=1, 解得，x=-19, :原方程组的解为 x=-19 y=13 20.(本小题满分8分)(25-26七年级下河南南阳·月考)解方程组的应用： 39/45 (1)如果方程组 x+y=3 8与方程组r-y=1 有相同的解，那么m-n=」 x+y= x-y=4 (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组 〔ax+3y=4D时，甲看错了方程①中的a,解得 x=1 5x=by-7② =12乙 x=-3 看错了方程②中的b,解得 10,求原方程组的正确解. y=- 3 x=-1 【答案】(1)1(2) y=2 【分析】(1)两个方程组有相同的解，因此该相同解同时满足两个只含x,y的方程，先求出x,y 的值，再代入含m,n的方程求出m,n,即可计算得到m-n的值； (2)甲看错α得到的解满足正确的方程②，乙看错b得到的解满足正确的方程①，分别代入求出正 确的α，b,再解原方程组即可得到正确解. 【详解】(1)解：：两个方程组有相同的解， x+y=3 x=2 ∴x、y满足方程组 x-y=1·解得x =1 mx+ny=8 将x=2,y=1代入 x-y=4' 2m+n=8 m=3 得 2m-n=4'解得 n=2 .m-n=3-2=1. (2)解：将=代入方程25x=r-7,得：5x1=126-7,解得6=1， y=12 X=-3 将10代入方程0r+3y=4,得：-3a+3×0=4,解得a=2, 3 3 ax+3y=4 把a=2,b=1代入原方程组 (5x=y-7,得到 2x+3y=4① 5x=y-7②’ x=-1 解得 y=2 .原方程组的正确解为 x=-1 y=2 21.(本小题满分10分)（25-26七年级下山西临汾期中)阅读与思考 40/45 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程 组转化为一元一次方程求解. 2x+5y=3① 例如：解方程组 14x+11y=5② 解：方程②变形得：4x+10y+y=5,即2(2x+5y)+y=5③. 把方程①代入③得：2×3+y=5,解得：y=-1 把y=-1代入方程①得：2x+5×(-1)=3,解得：x=4 x=4 所以方程组的解为 y=-1 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组 3x+4y=2① 6x+10y=7② (2)已知x、y满足方程组 x+y+3y=20① 3x-y+9y=202’ 则xy=」 4 X= 【答案】(1) 3(210 2 【分析】(1)利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； (2)利用“整体代入消元”的方法解方程组即可。 【详解】(1)解：方程②变形得：6x+8y+2y=7, 即2(3x+4y)+2y=7③. 把方程①代入③得：2×2+2y=7, 3 解得：y=2' 把y代入方程0得：3x+4×2。 2 4 解得：x=- 3 4 x= 所以方程组的解为 3 y=2 (2)解： x+xy+3y=20① 3x-xy+9y=20②' 由①得：x+3y=20-y③， 41/45 由②得：3(x+3y)-xy=20④， 把③代入④得：320-xy-xy=20, 解得：y=10 22.(本小题满分10分)(25-26七年级下.福建莆田月考)如图，ABC中任意一点P(m,)经平 移后的对应点为Q(m+4,n+2),将ABC作同样的平移得到△DEF,点A,B,C的对应点分别为点 D,E,F. Qm+4,n+2) 1A-32) P(min)O B(1.0 -- C52 (1)画出△DEF,并直接写出点D、E、F的坐标： (2)若点M(a-b,b)是三角形ABC内部一点，则平移后对应点N的坐标为2b,2b-a,求点M的坐 标. 【答案】(1)见解析，D1,4),E(5,2,F(-1,0)(2)M(-2,1 【分析】(1)首先得到平移方式，然后画出平移后的图形即可： (2)根据题意列出二元一次方程组求解即可. 【详解】(1)解：：ABC中任意一点P(m,n经平移后的对应点为Q(m+4,n+2), 平移方式为向右平移4个单位，向上平移2个单位， 如图所示，△DEF即为所求； 42/45 4-3,2) Qm±4,1+2四 P(m,n) F B(1,0) -5,2 .D1,4,E(5,2,F(-1,0; (2)解：由题意得，平移的规律：点的横坐标加4，纵坐标加2， a-b+4=2b 得 b+2=2b-a a=-1 解得b=1' ∴.a-b=-2, M(-2,1. 23.(本小题满分10分)(25-26七年级下·北京海淀期中)若关于x,y的二元一次方程组的解满足 x+y=1,则称该方程组为“美好方程组”.例如：方程组 2x+y=2 的解为 x=1 x-y=1 y=0'满足1+0=1，所 以 2x+y=2是“美好方程组” x-y=1 (1)试判断二元一次方程组 x+2y=3 是否是“美好方程组”，并说明理由； 2x-y=-4 3x-y=a-1 (2)若关于x,y的二元一次方程组 是“美好方程组”，求a的值； x+5y=7 7 2x-y= -m (3)若关于x,y的二元一次方程组 2“是“美好方程组”，且m,n为正整数，直接写出m,n的 7 x+3y=12 n 值 【答案】(1)该方程组是“美好方程组”，理由见解析(2)a=-2(3)m=3,n=2 【分析】(1)求出方程组的解，然后进行判断： (2)表示出方程组解的和，根据定义列出方程求参数即可： (3)解方程组，表示出解的和，然后根据要求确定参数的取值 【详解】(1)解：该方程组是“美好方程组”，理由如下： 43/45 x+2y=3① 2x-y=-4②' ①+②×2，得5x=-5, 解得x=-1, 将x=-1代入①得-1+2y=3, 解得y=2, x=-1 .该方程组的解为 (y=2 -1+2=1, :该方程组是“美好方程组”； (2)解：： 3x-y=a-1①是美好方程组”， x+5y=7② .①+②，得4x+4y=a-1+7, :.x+y= a+6=1, 4 解得a=-2; 7 2x-y= m① (3)解： 12 > x+3y=- n② 12 77 ②x2-①得7y=60-12m, 1 1 解得y=6”2m: 77 ①×3+②得7x=4m+ 2, 1 1 解得x=二m+ n; 412 2xy=0勿@ { 是“美好方程组”， +312 1 1 11 ∴.x+y=-m+一n+-n- m=1, 4 126”12 整理得m= 12-3n 2 :m,n为正整数， .m=3,n=2. 44/45 24.(本小题满分12分)(25-26七年级下.湖南长沙期中)湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了 球迷的热情，联赛吉祥物湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱.某商店第一次用3600元从批发市场购 进“湘湘"挂件和“超超”摆件共100件进行销售.湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示. 价格 “湘湘”挂件 "超超"摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件？ (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘"挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不 变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘"挂件按原价销售，“超超"摆件打折销售，第 二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售？ 【答案】(1)该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件(2)9折 【分析】(1)设该商店第一次购进“湘湘”挂件x件，“超超”摆件y件.根据题意列出二元一次方程 组，解方程组，即可求解。 (2)设第二次销售时“超超”摆件是按原价打Q折销售的，根据题意列出一元一次方程，解方程，即 可求解， 【详解】(1)解：设该商店第一次购进“湘湘”挂件x件，“超超”摆件y件. x+y=100. 依题意得， 30x+40y=3600, x=40, 解得 y=60 答：该商店第一次购进“湘湘”挂件40件，“超超”摆件60件. (2)解：设第二次销售时"超超”摆件是按原价打Q折销售的，则 40×(35-30)+60×250×a-40=800, 10 解得a=9, 答：第二次销售时“超超”摆件是按原价打9折销售的。 45/45 专题 10.5 二元一次方程组全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.全章知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二元一次方程（组） 1 【题型 1】概念辨析类 2 【知识点二】消元法解二元一次方程组 2 【题型 2】解二元一次方程组 3 【题型 3】整体法解二元一次方程组 4 【题型 4】二元一次方程组中的错题复原问题 5 【题型 5】含参数的方程组问题 5 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 6 【题型 6】行程与工程问题 6 【题型 7】营销与利润问题 7 【题型 8】分配与方案问题 8 【题型 9】几何与古代问题 8 【知识点四】三元一次方程组的解法 9 【题型 10】解三元一次方程组 10 二.同步检测 10 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.全章知识梳理与题型精析 【知识点一】二元一次方程（组） 1、二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式： 【特别提示】二元一次方程有无数组解，每组解是一对未知数的值。 2、二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 方程组的解：同时满足两个方程的一对未知数的值，是两个方程的公共解。 【题型 1】概念辨析类 【例题1】（25-26八年级上·四川成都·期末）若关于x，y的二元一次方程有一个解是，则______． 【变式1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知（m为常数）是方程组的解，则关于x，y的二元一次方程“☆”可以是________．（写出一个即可） 【变式3】（23-24七年级下·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【知识点二】消元法解二元一次方程组 1、二元一次方程定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式： 【特别提示】二元一次方程有无数组解，每组解是一对未知数的值。 2、二元一次方程组：只含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组叫作二元一次方程组。 方程组的解：同时满足两个方程的一对未知数的值，是两个方程的公共解。 解法 适用场景 核心步骤 注意事项 代入消元法 某个未知数的系数为1 或-1. ①用含一个未知数的式子表示另一个未知数；②代入另一个方程消元；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 变形时要注意符号，代入时要代入“未变形的方程”. 加减消元法 同一未知数的系数相等或相反或成倍数. ①变形方程组，使某一未知数的系数相等或相反；②加减消元，得到一元一次方程；③解一元一次方程；④回代求另一个未知数. 系数成倍数时，两边要同乘“最小公倍数”，避免漏乘常数项. 【题型 2】解二元一次方程组 【例题2】（25-26八年级上·山西太原·期末）下面是年年同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2得：．③   第一步 ②+③得：   第二步 解得：    第三步 将代入①，得：    第四步 所以原方程组的解为     第五步 任务： (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_________（填“加减消元法”或“代入消元法”）； (2)年年同学从第_________步开始出现错误，具体的错误是_________； (3)请写出正确的求解过程； (4)除纠正上述错误外，请根据你平时的学习经验，就求解二元一次方程组还需要注意的事项给其他同学提一条建议：_________． 【变式1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）解下列二元一次方程组 (1)； (2) 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）解方程组 (1) (2)． 【变式3】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）解下列方程组 (1) (2) 【题型 3】整体法解二元一次方程组 【例题3】（25-26八年级上·全国·课后作业）在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小敏还想到了一种新的解法： 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”．请你利用“整体代入消元法”解方程组 【变式1】（25-26七年级下·北京·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解x，y互为相反数，则的值为（   ） A． B．3 C．5 D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知方程组的解满足，则m的值为_____． 【变式3】（2024七年级下·全国·专题练习）“整体代换”是一种常用的数学思想，在解二元一次方程组时也可以运用“整体代换”的思想例如：求解二元一次方程组 将②式变形，得③． 将①式代入③式，得，解得． 将代入①式，得，解得， 该二元一次方程组的解为 (1)类比“整体代换”法解方程组 (2)已知，满足方程组求的值． 【题型 4】二元一次方程组中的错题复原问题 【例题4】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲看错方程“”中的a，得到方程组的解为；乙看错方程“”中的b，得到方程组的解为，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·月考）已知方程组，小明同学正确解得，而小红同学因粗心把看错了，解得，由此可判断a，b，c的值为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【变式3】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）小红和小虎两人共同解方程组，小虎看错了方程①中的，解得，小红看错了方程②中的，解得，求，的值． 【题型 5】含参数的方程组问题 【例题5】（25-26七年级下·河南南阳·月考）小丽准备完成题目：解二元一次方程组，发现系数“□”印刷不清． (1)她把“□”猜成2，请写出二元一次方程组的解为________； (2)妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案中x与y的值相等．”请通过计算说明原题中“□”是几． 【变式1】（25-26七年级下·山西临汾·期中）关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·月考）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则_____________． 【变式3】（25-26七年级下·河南开封·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，且，求的值 【知识点三】实际问题与二元一次方程组 1、解题步骤： （1）审题：找两个等量关系；（2）设元：直接设未知数或间接设未知数；（3）列方程组：根据等量关系列方程；（4）求解与检验：解出未知数后，要检验是否符合实际意义。 2、主要题型： （1）和差倍分问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（3）配套问题；（4）利润问题。 【题型 6】行程与工程问题 【例题6】（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【变式1】（25-26七年级上·安徽池州·期末）哥哥和弟弟在400米的环形跑道上跑步．若两人同时同地反向出发，则4分钟相遇；若同时同地同向出发，40分钟哥哥追上弟弟，则哥哥每分钟跑（    ）米． A．55 B．45 C．50 D．40 【变式2】（23-24九年级上·重庆·月考）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A地植树______小时后立即转到B地． 【变式3】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【题型 7】营销与利润问题 【例题7】（23-24七年级上·河南平顶山·期末）某商店销售A，B两种品牌的毛绒玩具，已知两种型号毛绒玩具单个成本价和为25元，且3个A型号毛绒玩具的成本价等于2个B型号毛绒玩具成本价． (1)求A，B两种型号的毛绒玩具成本价分别为多少元？ (2)将A，B两种型号毛绒玩具按成本价均提高后标价出售． ①A型号毛绒玩具的标价为________元，B型号毛绒玩具的标价为________元； ②若商店分别购进两种毛绒玩具各10个，A型号毛绒玩具按标价出售，B型号毛绒玩具打折销售，要保证售完所有毛绒玩具后利润率达到，求B型号毛绒玩具打几折？（提示：利润率） 【变式1】（25-26八年级上·山西运城·期中）小明同学家去年从事传统销售，扣除成本后节余元，今年转型直播带货，扣除成本后可节余元，并且今年直播带货成本比去年传统销售成本低，收入比去年高．设去年的收入为元，销售成本为元，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东烟台·期中）某超市进货商品均加价销售，每月月底最后三天打折促销．月日小明妈妈在该超市购买的、两种商品分别打八折和九折，共付款元，比标价省了元，则、两种商品的进价分别是 _______． 【变式3】（25-26八年级上·山西运城·期末）随着农历丙午马年春节的临近，某中学计划采购一批具有生肖特色的剪纸作品作为期末表彰奖品，包括“金蛇狂舞”和“马到成功”两种款式．已知在某非遗文化商店，购买3套“金蛇狂舞”和2套“马到成功”共需190元：购买2套“金蛇狂舞”和3套马到成功共需210元． (1)求每套“金蛇狂舞”和“马到成功”剪纸作品的单价分别是多少元 (2)学校决定共购买这两种剪纸作品50套．由于“金蛇狂舞”是旧款，商店决定给予八折优惠，“马到成功”作为新款不打折．若学校的总预算恰好为1850元，那么学校购买了多少套马到成功剪纸？ 【题型 8】分配与方案问题 【例题8】（25-26八年级上·山西运城·期末）国产游戏《黑神话：悟空》在全球的爆火，使山西古建筑的热度持续飙升，成为文旅产业的流量明星．游客纷纷踏上三晋大地，开启一场探索美景与历史的旅程，一个40人的旅行团元旦期间来运城旅游，居住在运城某酒店，该旅行团租住了三人间和两人间的客房若干，且每个客房刚好住满，一共花去住宿费3072元，该酒店三人间每人每天68元，两人间每人每天84元，求该旅行团两种客房各租了多少间？ 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·月考）实验中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校用480元钱购买A、B两种图书，其中A图书每套16元，B图书每套24元，购买方案有（   ） A．11种 B．10种 C．9 种 D．8种 【变式2】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）七年级上册《实际问题与一元一次方程》中，有如下例题：某车间有名工人，每人每天可以生产个螺柱或个螺母．个螺柱需要配个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？学习了二元一次方程组后，可以用二元一次方程组解答此问题，设应安排名工人生产螺柱， 名工人生产螺母，则可列二元一次方程组为______． 【变式3】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）2025年“湘超”联赛（湖南省足球联赛）的成功举办，在全省范围内极大地促进了校园足球运动的开展．为响应此热潮，某中学举办了足球联赛，为表彰优秀参赛队伍，学校决定采购A、B两类足球作为比赛奖品，已知购买10个A类足球和5个B类足球需要花费1250元；购买15个A类足球和10个B类足球需要花费2075元． (1)求A类足球和B类足球的单价分别是多少？ (2)现有两个供应商可供选择，并分别给出了优惠方案：甲供应商：买5个A类足球送1个B类足球：乙供应商：A类足球和B类足球均按照定价的付款．问：学校需要购买30个A类足球和30个B类足球，选择哪家供应商更便宜． 【题型 9】几何与古代问题 【例题9】（25-26七年级上·陕西西安·期末）古文：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出八，盈十八．问：人数、羊价各几何？ 题目大意：几个人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出8钱，则多18钱．合伙人数、羊价各是多少？（请列方程求解） 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，在其方程章中有一道题大意是：甲，乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；若“……”．甲、乙两人各带了多少钱？若设甲带了x钱，乙带了y钱，可列方程组为，根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（    ） A．甲得到乙所有钱的，那么甲也共有钱50 B．乙得到甲所有钱的，那么甲还有钱50 C．乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50 D．甲得到乙所有钱的，那么乙还有钱50 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40的大长方形，若设小长方形的长为x，宽为y，则可列方程组为_____ ． 【变式3】（25-26八年级上·重庆巴南·期末）如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【知识点四】三元一次方程组的解法 定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1，且共有三个方程的方程组。 解题步骤：（1）用代入或加减消元法消去同一个未知数，转化为二元一次方程组；（2）解二元一次方程组，得到两个未知数的值；（3）回代求第三个未知数的值；（4）写出方程组的解。 【题型 10】解三元一次方程组 【例题2】（23-24七年级下·辽宁营口·期末）解三元一次方程组 【变式1】（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26七年级上·广东佛山·开学考试）已知是方程组的解，则______． 【变式3】（24-25七年级下·福建泉州·月考）解下列方程组： (1)； (2)． 二.同步检测 （一）选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分) 1．（25-26七年级下·北京·期中）已知是二元一次方程的解，则点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（    ） A．要消去，可以将①② B．要消去，可以将①② C．要消去，可以将①② D．要消去，可以将①② 4．（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知关于a、b的二元一次方程组，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·吉林长春·月考）在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值为（     ） A．3 B．3.5 C．4.5 D．5 7．（25-26七年级下·四川眉山·期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·浙江·期末）规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 9．（25-26七年级下·四川眉山·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，八人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有8人需要步行，请问有几个人？有几辆车？若设有辆车，有个人，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·广西贵港·期中）已知将一种浓度为的农药稀释到时，治虫最有效．若设用x千克浓度为的农药加水y千克，才能配成的农药800千克，则依题意所列方程组为（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·北京·期中）关于，的方程是二元一次方程，则的值为__________． 12．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）将方程变形为用含的式子表示，那么_____． 13．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）已知方程组，则的值为_________． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知关于，的方程组，若，则的值为______． 15．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）若单项式与是同类项，则_____． 16．（25-26七年级上·湖南邵阳·期末）已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 17．（25-26七年级下·山东青岛·月考）甲从一地点出发，前往某地，途中经过上坡路和平路，再按原路返回．已知上坡每小时走千米，下坡每小时走千米，平路每小时走千米．去时走了分钟，回程走了分钟．设去时上坡路长，平路长，为求和的值，可列的二元一次方程组为______． 18．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在学习完平移之后，小明、小聪、小方想利用平移设计出美丽的图案，他们用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案，已知图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，则图③两块阴影部分的周长和为______；面积和为______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·吉林长春·月考）解二元一次方程组： (1)； (2)． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·河南南阳·月考）解方程组的应用： (1)如果方程组与方程组有相同的解，那么__________． (2)甲、乙两人同时解关于x、y的方程组时，甲看错了方程①中的a，解得乙看错了方程②中的b，解得，求原方程组的正确解． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山西临汾·期中）阅读与思考 【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 例如：解方程组 解：方程②变形得：，即③． 把方程①代入③得：，解得： 把代入方程①得：，解得： 所以方程组的解为 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，则________． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·福建莆田·月考）如图，中任意一点经平移后的对应点为，将作同样的平移得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)画出，并直接写出点D、E、F的坐标； (2)若点是三角形内部一点，则平移后对应点N的坐标为，求点M的坐标． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·北京海淀·期中）若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组” (1)试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由； (2)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值； (3)若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值_____． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·湖南长沙·期中）湖南省足球联赛（简称“湘超”）点燃了球迷的热情，联赛吉祥物“湘湘”和“超超”也深受人们的喜爱．某商店第一次用3600元从批发市场购进“湘湘”挂件和“超超”摆件共100件进行销售．“湘湘”挂件和“超超”摆件的进价和售价如下表所示． 价格 “湘湘”挂件 “超超”摆件 进价/（元/件） 30 40 售价/（元/件） 35 50 (1)该商店第一次购进的“湘湘”挂件、“超超”摆件的数量分别是多少件? (2)该商店第二次以第一次的进价又购进“湘湘”挂件、“超超”摆件两种商品，其中“湘湘”挂件的数量不变，“超超”摆件的数量是第一次购进数量的2倍，“湘湘”挂件按原价销售，“超超”摆件打折销售，第二次两种商品销售完后获得的总利润为800元，求第二次销售时“超超”摆件是按原价打几折销售? 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $