专题 10.2 消元——解二元一次方程组（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题10.2 消元——解二元一次方程组（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】消元思想 1 【知识点二】代入消元法 1 【知识点三】加减消元法 2 【题型 1】直接用代入法解二元一次方程组 2 【题型 2】变形后用代入法解二元一次方程组 3 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 3 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 4 二.综合培优题型精析 4 【题型 5】整体代入法解二元一次方程组 4 【题型 6】整体加减法解二元一次方程 5 【题型 7】构造二元一次方程组解二元一次方程组 6 【题型 8】二元一次方程组的错解复原问题 7 【题型 9】已知二元一次方程组的解求参数 8 【题型 10】二元一次方程组同解问题 8 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 10 （三） 解答题（共6题，前4每小题9分，后2题每小题10分，合计56分） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想。 【知识点二】代入消元法 1、代入消元法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法。 2、解题步骤： （1） 标：用序号①②表示两个方程； （2） 选变形：选系数较简单的方程，把一个未知数用另一个表示； （3） 代入消元：把变形后的式子代入另一个方程，得到一元一次方程； （4） 求解一值：解一元一次方程，求出（或）； （5） 回代求另一解：把求出的值代回变形式，算出另一个未知数； （6） 写出规范解：用写出答案。 【知识点三】加减消元法 1、加减消元法： 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 2、解题步骤： （1）整理：把方程组化为二元一次方程组标准形式并标记序号； （2）看系数：看或的系数，是否有相等或相反，如果都没有就化为相等或相反； （3）加减消元：①+②或①-②消去其中一个未知数，解一元一次方程，求出（或）； （4）回代求另一解：把求出的值代入一相较为简单的方程，算出另一个未知数； （5）写出规范解：用写出答案。 【题型 1】直接用代入法解二元一次方程组 【例题1】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： （1） （2） 【题型 2】变形后用代入法解二元一次方程组 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解方程组． 解：由①，得______．③ 把③代入②，得______． 再把x的值代入③，得______． 所以原方程组的解是______． 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）解下列方程组： （1） （2） 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 【例题3】（24-25九年级下·广东广州·月考）解方程组 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东·期末）以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是________． 【变式3】（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 【例题4】（24-25七年级下·山东烟台·月考）解方程组或不等式组： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·月考）在平面直角坐标系中，已知点，且满足二元一次方程组，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）若满足方程组，则的值为___________． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解方程组： （1）； （2）． 二.综合培优题型精析 【题型 5】整体代入法解二元一次方程组 【例题5】（24-25八年级上·山西太原·月考）阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． （1）请按照小强的解法解出这个方程组； （2）用整体代入法解方程组 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·浙江金华·二模）方程组的解是_____． 【变式3】（24-25七年级上·湖南永州·月考）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组． ． 【题型 6】整体加减法解二元一次方程 【例题6】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）（1）解方程组： （2）整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． 若方程组的解为； 在上面方程组的基础上，求方程组的解． 【变式1】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A．2025 B． C．1 D． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知满足方程组，则的值为_______． 【变式3】（24-25七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： （1）方程组的解是，则方程组的解是______； （2）仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【题型 7】构造二元一次方程组解二元一次方程组 【例题7】（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【变式2】  （2021-2022学年云南省楚雄州七年级下学期期末数学试卷）根据，可得，，则______． 【变式3】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，三条直线两两相交，．求与的度数． 【题型 8】二元一次方程组的错解复原问题 【例题8】（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【变式2】  （24-25七年级下·四川自贡·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 【变式3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． （2）第 步开始出现错误． （3）直接写出该方程组的正确解： ． 【题型 9】已知二元一次方程组的解求参数 【例题9】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求的值． 【变式1】（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】  （25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃武威·月考）已知关于的方程组． （1）解这个方程组（结果用含的代数式表示）； （2）若这个方程组的解也满足方程，求的值． 【题型 10】二元一次方程组同解问题 【例题10】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】  （25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【变式3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）在解方程组的过程中，将②代入①可得（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东河源·月考）由关于的二元一次方程组，可得与的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东聊城·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（    ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 5．（2026七年级下·山西太原·专题练习）在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 6．（2026七年级下·吉林长春·专题练习）方程组的解中，的值比的值大1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·河南周口·月考）方程组的解是________． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程，请用关于y的代数式表示x．______． 11．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知二元一次方程组，则______． 12．（25-26八年级上·山西运城·月考）已知关于，的二元一次方程组，则的值为_______． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）写出一个解为的二元一次方程组：__________． 14．（24-25七年级下·广西贵港·月考）已知，其中a，b为常数．已知．则___________． 15．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 16．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）实数x，y满足，则________． （3） 解答题（共6题，前4每小题9分，后2题每小题10分，合计56分） 17．（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： （1）． （2）． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）用加减法解下列方程组： （1）； （2）． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… （1）上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． （2）请选择一种你喜欢的解法解方程组． 20．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解． （1）求关于的方程组正确的解． （2）求的值． 21．（24-25七年级下·河北邢台·月考）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， （1）请直接写出方程组的解为_______． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 22．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 消元——解二元一次方程组（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】消元思想 1 【知识点二】代入消元法 1 【知识点三】加减消元法 2 【题型 1】直接用代入法解二元一次方程组 2 【题型 2】变形后用代入法解二元一次方程组 4 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 8 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 9 【例题4】 9 二.综合培优题型精析 12 【题型 5】整体代入法解二元一次方程组 12 【题型 6】整体加减法解二元一次方程 15 【题型 7】构造二元一次方程组解二元一次方程组 18 【题型 8】二元一次方程组的错解复原问题 20 【题型 9】已知二元一次方程组的错求参数 23 【题型 10】二元一次方程组参数问题 25 三.同步检测 28 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 28 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 32 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 35 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就可以把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程。我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想。 【知识点二】代入消元法 1、代入消元法： 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法。 2、解题步骤： （1） 标：用序号①②表示两个方程； （2） 选变形：选系数较简单的方程，把一个未知数用另一个表示； （3） 代入消元：把变形后的式子代入另一个方程，得到一元一次方程； （4） 求解一值：解一元一次方程，求出（或）； （5） 回代求另一解：把求出的值代回变形式，算出另一个未知数； （6） 写出规范解：用写出答案。 【知识点三】加减消元法 1、加减消元法： 当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解，这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。 2、解题步骤： （1）整理：把方程组化为二元一次方程组标准形式并标记序号； （2）看系数：看或的系数，是否有相等或相反，如果都没有就化为相等或相反； （3）加减消元：①+②或①-②消去其中一个未知数，解一元一次方程，求出（或）； （4）回代求另一解：把求出的值代入一相较为简单的方程，算出另一个未知数； （5）写出规范解：用写出答案。 【题型 1】直接用代入法解二元一次方程组 【例题1】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据代入消元法解二元一次方程组，进行计算，然后即可求解； （2）根据代入消元法解二元一次方程组，进行计算，然后即可求解； 解：（1）解： 将②代入①中得：， 解得， 将代入②中得：， 原方程组的解为； （2）解： 把①式代入②式得：， 解得：， 把代入①式得：， 故方程组的解为：． 【变式1】（24-25七年级下·重庆沙坪坝·期中）解方程组时，把①代入②，得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：①代入②，得，即. 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）若关于x，y的方程组的解满足x与y互为相反数，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据x与y互为相反数得到，结合方程组中第二个方程求出的值，再代入第一个方程计算得到的值． 解：由x与y互为相反数，得，即， 将代入方程，得， 移项并合并同类项，得， 系数化为1，得，则， 将代入，得， 整理得， 解得． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）直接利用代入消元法求解即可； （2）直接利用代入消元法求解即可． 解：（1）解： 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， 所以方程组的解为； （2）解： 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解为． 【题型 2】变形后用代入法解二元一次方程组 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组，掌握代入法的步骤，即从一个方程中用一个未知数表示另一个未知数，再代入另一个方程消元求解是解题的关键． （1）先化简第二个方程，再从第一个方程中用表示，代入化简后的方程，消元求解． （2）从第一个方程中用表示，代入第二个方程，消去，解出后再求． 解：（1）解： 化简方程②： 由方程①得：， 代入方程③： 将代入，得： 方程组的解为 ． （2）解： 由方程①得：， 代入方程②： 通分计算： 将代入，得： 方程组的解为 ． 【变式1】（24-25七年级下·福建·期末）对于方程组下列变形中错误的是（　　） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 【答案】D 【分析】本题考查解二元一次方程组步骤，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键．将两个方程变形后进行判断即可． 解：由①得：或， 则A，B均不符合题意； 由②得：或， 则C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用代入消元法解方程组． 解：由①，得______．③ 把③代入②，得______． 再把x的值代入③，得______． 所以原方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用代入消元法解方程组，根据代入消元法解方程组的步骤求解即可． 解： 由①，得③ 把③代入②，得5． 再把x的值代入③，得． 所以原方程组的解是． 故答案为：；5；； 【变式3】（25-26八年级上·陕西西安·期中）解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法等知识﹒ （1）利用代入法解二元一次方程组即可； （2）利用代入法解二元一次方程组即可﹒ 解：（1）解： 由①得， 把③代入②得， 解得， 把代入③得， ∴方程组的解为； （2）解： 由①得， 把③代入②得， 解得， 把代入③得， ∴方程组的解为； 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 【例题3】（24-25九年级下·广东广州·月考）解方程组 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，解题的基本思路是消元，可选用加减消元法进行求解，掌握消元法的步骤即可正确解答． 解： 由 ，得 ， 解得： ； 把代入①，得 ， 解得： ； ∴方程的解为：． 【变式1】（25-26八年级上·山东枣庄·月考）二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．利用加减消元法求解即可． 解：， 得：， ，解得， 将代入得：， ， 二元一次方程组的解为． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东·期末）以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是________． 【答案】第四象限 【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知直角坐标系中点的坐标特点．通过解二元一次方程组求得点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可． 解：解方程组， 将两方程相加得，解得； 代入得，解得， 故点的坐标为， 由于，，符合第四象限点的坐标特征， 故答案为：第四象限． 【变式3】（24-25七年级下·北京·期中）解方程组： 【答案】 【分析】根据加减消元法解方程组，即可求解． 解：， ，得， 解得， 将代入，得， 解得， 故方程组的解为． 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 【例题4】（24-25七年级下·山东烟台·月考）解方程组或不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可． （2）整理后，应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可． 解：（1）解：， ①②，可得， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是； （2）解：整理得：， ①②，可得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． 【变式1】（24-25七年级下·陕西商洛·月考）在平面直角坐标系中，已知点，且满足二元一次方程组，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键； 先解方程组，根据方程组的解即可判断点所在的象限． 解： 得，， 解得， 把代入②得，， 解得， 所以方程组的解是， ∴点为，在第四象限． 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·月考）若满足方程组，则的值为___________． 【答案】29 【分析】先求得方程组的解，再求代数式的值即可． 本题考查了解方程组，求代数式的值，熟练掌握解方程组是解题的关键． 解：， ，得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 方程组的解为， ， 即的值为29． 故答案为：29． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·期末）解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组即可． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 解：（1）解：， 得：③， 得：， 解得：， 把代入②中得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）解： 整理，得， 得， 解得， 把代入，得， 解得：， ∴方程组的解为． 二.综合培优题型精析 【题型 5】整体代入法解二元一次方程组 【例题5】（24-25八年级上·山西太原·月考）阅读材料：小强同学在解方程组时发现，可将第一个方程通过移项变形为，然后把第二个方程中的换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法． （1）请按照小强的解法解出这个方程组； （2）用整体代入法解方程组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体代入法解方程组是解本题的关键； （1）由①得：，再代入②得：可得，再进一步求解即可； （2）由①得：③，把③代入②得：可得：，再进一步求解即可． 解：（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：． （2）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 整理得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式1】（24-25九年级上·广西来宾·期末）小明在学习代入消元法解方程后，发现一些方程组可以用“整体代入法”求解，例如：解方程组，将方程①代入②得，解得．请仿照上述方法解方程组用整体代入法代入后得（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；根据题意及整体思想可进行求解． 解：由题意可知用整体代入法代入后得：； 故选C． 【变式2】（2025·浙江金华·二模）方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法求出方程组的解即可． 解： 把①代入②，得：，解得； 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解是； 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·湖南永州·月考）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组：， 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为． 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组． ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．根据材料的方法，利用整体代入法求解即可． 解：由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． 原方程组的解为． 【题型 6】整体加减法解二元一次方程 【例题6】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）（1）解方程组： （2）整体思想就是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理.整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． 若方程组的解为； 在上面方程组的基础上，求方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可． （2）将和看作一个整体，得出关于，的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 解：（1）， ①②得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为． （2）由题知，将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式1】（25-26七年级上·四川绵阳·月考）已知x，y满足方程组，则的值为（　　） A．2025 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查解二元一次方程组，代数式求值，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 将两个方程相加后两边同时除以5后求得的值，将其代入原式计算即可． 解：∵ 方程组将两方程相加：， ∴ ， 两边同时除以5得： ， ∴ ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知满足方程组，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，关键是观察方程组用恰当的方法求解；通过将两个方程相加，可直接得到 的值． 解：给定方程组： 将方程（1）和方程（2）相加，得： ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山西晋城·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法． 解：把看成一个整体，设，． 原方程组可化为，解得原方程组的解为． 任务： （1）方程组的解是，则方程组的解是______； （2）仿照上述解题方法，用“整体换元”法解方程组． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查二元一次方程组的特殊解法—“整体换元法”．读懂题干，理解题意，掌握“整体换元法”的步骤是解题关键． （1）根据题意所给材料可得出，再解出这个方程组即可． （2）根据题意所给材料可令，则原方程组可化为，解出m，n，代入，再解出关于x，y的方程组即可． 解：（1）解：∵方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）解：对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴， 解得：． 【题型 7】构造二元一次方程组解二元一次方程组 【例题7】（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】 【分析】根据一次函数中自变量与函数值的对应关系，将两组、的值代入函数表达式，得到关于、的二元一次方程组，再求解该方程组得到、的值．本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，熟练掌握利用待定系数法求解一次函数解析式（即通过建立方程组求解未知系数）是解题的关键． 解：根据题意，得 解这个方程组得 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 【变式2】  （2021-2022学年云南省楚雄州七年级下学期期末数学试卷）根据，可得，，则______． 【答案】 【分析】根据题意可得，求出的值，进而即可求解． 解：根据题中的新定义得：， ∴， 得： 解得， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·山东潍坊·期中）如图，三条直线两两相交，．求与的度数． 【答案】的度数为的度数为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，对顶角、邻补角的性质等知识，根据对顶角、邻补角的性质并结合已知可得出，结合求解即可． 解：因为， 所以 即 又因为 所以解方程组， 得， 所以的度数为的度数为 【题型 8】二元一次方程组的错解复原问题 【例题8】（25-26八年级上·山东青岛·期末）甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得，请你根据以上结果，求出a和b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握看错系数但未看错的方程仍然成立这一逻辑，并能根据题意列出正确的方程组求解是解题的关键．先根据看错系数但未看错的方程仍然成立的原则，将甲、乙的解分别代入未看错的方程，得到关于、的二元一次方程组，再解方程组求出和的值． 解：∵甲看错了方程①中的，解得， ∴是方程②的解， ∴，即③． ∵乙看错了方程②中的，解得， ∴是方程①的解， ∴，即④． 由，得， 解得， 把代入③，得， 解得， ∴，． 【变式1】（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 解：∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 【变式2】  （24-25七年级下·四川自贡·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得，乙因抄错解得，则______． 【答案】 【分析】甲的正确解满足原方程组，可先求出的值，乙仅抄错，其解满足方程组中第一个方程，代入第一个方程，得到关于、的二元一次方程组，求解得到、后，计算即可． 解：把代入，得， 解得； 把代入，得， ∴，解得， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·广东深圳·期末）下面是小乐同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组：． 解：，得，③…第一步 ，得，…第二步 ．…第三步 将代入①，得，…第四步 所以，原方程组的解为．…第五步 （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做 法；以上求解步骤中，第一步的依据是 ． （2）第 步开始出现错误． （3）直接写出该方程组的正确解： ． 【答案】（1）消元；等式的性质；（2）二；（3） 【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可解题； （2）第二步计算错误； （3）根据消元法继续计算即可． 解：（1）解：这种求解二元一次方程组的方法叫做消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； （2）解：第二步出现错误，应得到； （3）解：将代入①，得， ∴原方程组的解为． 【题型 9】已知二元一次方程组的解求参数 【例题9】（2026七年级下·江苏·专题练习）已知关于x，y的方程组． （1）请写出方程的所有正整数解． （2）若方程组的解满足，求的值． 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 【变式1】（25-26七年级上·贵州铜仁·期末）已知关于x，y的方程组，若，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题的关键． 通过将方程组中的两个方程相减，可得，再结合题意可得，即可求解． 解：， 由，得， 又， ， ． 故选：C． 【变式2】  （25-26七年级下·河南鹤壁·月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解均为整数，若k为正整数，则满足条件的k值个数为________． 【答案】3 解：， 由②得， 将代入①得， 整理得，即， ∵关于x，y的二元一次方程组的解均为整数， ∴或， 解得或或13或， ∵k为正整数， ∴或或13，共3个． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃武威·月考）已知关于的方程组． （1）解这个方程组（结果用含的代数式表示）； （2）若这个方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组即可； （2）将（1）中求得的代入求解即可． 解：（1）解：， ①②得， 解得； 将代入①得； 解这个方程组的解为； （2）解：将代入， 得， 解得． 【题型 10】二元一次方程组同解问题 【例题10】（25-26八年级上·陕西西安·期末）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了二元一次方程组，解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． （1）根据题意，联立新的方程组，，解方程组即可； （2）把（1）中的解代入联立的方程组，求出、的值，再代入即可求解． 解：（1）解：二元一次方程组与方程组有相同的解， 联立方程组得，， 得，，解得， 把代入得，，解得， 这两个方程组相同的解为：； （2）根据题意，把代入方程组， 得， 得，，解得， 把代入得，，解得， 方程组的解为， ． 【变式1】（24-25七年级下·山东烟台·月考）已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 【变式2】  （25-26七年级下·山东聊城·月考）已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·江西鹰潭·月考）已知关于x，y的二元一次方程组与有相同的解． （1）求这两个方程组的相同解； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查同解方程组，熟练掌握是解题关键． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 解：（1）解：由题意，得 ①②，得， 解得． 把代入①，得， 解得， ∴这两个方程组的相同解为； （2）把代入得， 解得， ． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）在解方程组的过程中，将②代入①可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的代入消元法，解题思路是将②中y的表达式代入①，再去括号化简即可得到结果． 解：对于方程组， 将②代入①，得， 去括号，得． 2．（25-26八年级上·广东河源·月考）由关于的二元一次方程组，可得与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用代入消元法消去参数m，整理即可得到x与y的关系. 解： 把①代入②，得， 整理，得. 3．（25-26七年级下·山东聊城·月考）利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（    ） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】D 【分析】根据加减消元法的规则，使目标未知数的系数化为互为相反数后相加消元，逐项判断即可． 解：若消去，∵ 方程中的系数为，方程中的系数为， ∴ 正确做法为，因此A，C错误； 若消去，∵ 方程中的系数为，方程中的系数为，验证系数得，对应做法为，因此B错误，D正确． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则等于（   ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体思想，掌握通过方程组中方程的直接相减，快速得到目标式子的值是解题的关键． 通过两方程相减可直接得到的值． 解：∵方程组， ∴， 即． 故选：D． 5．（2026七年级下·山西太原·专题练习）在关系式中，当时，，当时，，则a，b的值是（） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用代入法得到关于的二元一次方程组，用消元法解方程组即可得到结果． 解：∵当时，，当时，， 将两组值代入，可得方程组， 用②①得：， 化简得， 将代入①得：， 解得， ∴，． 6．（2026七年级下·吉林长春·专题练习）方程组的解中，的值比的值大1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意得到x与y的关系，联立不含k的方程求出的值，再代入含k的方程求解即可． 解：∵方程组的解中，x的值比y的值大1， ∴， 联立得， 解得， 把代入中， 得 解得． 7．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）若方程组的解是，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二元一次方程组解的定义，通过对已知方程组变形，对比待解方程组的对应项即可求出解． 解：∵ 方程组的解是， ∴ 将代入方程组得    ， 将方程组两边同时除以，整理得，对比待解方程组， 可得． 8．（2026七年级下·全国·专题练习）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的可能值为（   ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用加减消元法消去y，得到x关于m的表达式，再根据x和m均为整数的条件，结合整除的性质求解即可． 解：， ①+②得：，即， ， 为整数，也为整数， ， 当时，，无对应选项， 当时，，符合条件． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26七年级下·河南周口·月考）方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用代入消元法解答即可． 解：把代入，得， 故方程组的解为． 10．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）已知方程，请用关于y的代数式表示x．______． 【答案】 【分析】根据等式的性质进行变形即可． 解：， ， ． 11．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）已知二元一次方程组，则______． 【答案】15 【分析】观察二元一次方程组中两个方程的系数关系，将两个方程相减，即可直接求出的值． 解： 得，即． 12．（25-26八年级上·山西运城·月考）已知关于，的二元一次方程组，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 通过将第二个方程减去第一个方程，直接得到的值． 解：由方程组， 由②①得： ， ， ， ． 故答案为． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据给定的解，构造两个二元一次方程，使得解满足方程即可． 解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为． 故答案为（答案不唯一） 14．（24-25七年级下·广西贵港·月考）已知，其中a，b为常数．已知．则___________． 【答案】 【分析】先根据题意列出方程组即可求出a与b的值，再根据新运算的定义即可求出答案． 解：由题意可知：， 解得：， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 【答案】 【分析】先将表格中两组x，y的值代入二元一次方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组得到a，b的值，确定原方程，再将代入原方程，即可求出表中“？”表示的数． 解：将，代入得： ， 解得， 因此原二元一次方程为， 当时，代入得， 解得． 即表中“？”表示的数为． 16．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）实数x，y满足，则________． 【答案】或 【分析】设，，原方程组转化为：，进而得出，分类讨论，即可求解． 解：设，，原方程组转化为： 将第一个方程乘2得， 用第二个方程减该式得， 代入得，即： 当时，，即或， 解得或 ∴或 当时，，即或， 解得或 ∴或 综上，的值为或． （3） 解答题（共6题，前4每小题9分，后2题每小题10分，合计56分） 17．（2025七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： （1）． （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了用代入消元法解二元一次方程组， 对于（1），由②得出③，把③代入①求出x，再把解代入③求出x即可； 对于（2），由①得出③，把③代入②求出y，再把解代入③求出x即可． 解：（1）解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以方程组的解是； （2）解：， 得，③， 由①得，④， 把④代入③得，， 解得，， 将代入④，得y， 所以方程组的解是． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）用加减法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解此题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 解：（1）解：， 得：， 解得：， 将代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． （2）解：化简得， 由得：， 代入①得：， ∴． ∴原方程组的解为． 19．（25-26七年级上·全国·课后作业）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由①-②，得…… 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得…… （1）上述两个解法中有一个计算有误，请指出计算有误的解法并进行改正． （2）请选择一种你喜欢的解法解方程组． 【答案】（1）见分析；（2）解法见分析，． 【分析】（1）解法一是错误的； （2）利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 解：（1）解：解法一计算有误，应改正为由①-②，得． （2）（任选一种解法解方程组即可）解法一：由①-②，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 解法二：由②，得．③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，得，解得． 故原方程组的解是 【点拨】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）若关于的方程组和方程组有相同的解． （1）求关于的方程组正确的解． （2）求的值． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 解：（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 21．（24-25七年级下·河北邢台·月考）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， （1）请直接写出方程组的解为_______． （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 解：（1）解： 将①代入②得， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为： 故答案为：， （2）解： 由①得：， 将③代入得：， 解得：， 将代入③得：， 解得， ∴方程组的解：. 22．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）【定义】我们把关于、的两个二元一次方程与叫作“对称”二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”．例如：与是“对称二元一次方程”，二元一次方程组叫做关于、的“对称二元一次方程组”． 【理解】 （1）方程的“对称二元一次方程”是___________； （2）若关于、的方程组为“对称二元一次方程组”，则___________．___________． 【探究】 （3）解下列方程组（直接写出方程组的解）： ①的解为___________； ②的解为___________， ③的解为___________； （4）根据你的发现，直接写出方程组的解为___________； 【拓展】 （5）若关于、的方程组的解是，那么关于、的方程组的解为___________ 【答案】（1）；（2）；；（3）①；②；③；（4）；（5）． 【分析】（1）根据题中的对称二元一次方程定义即可得解； （2）根据题中的对称二元一次方程定义得出后即可得解； （3）①根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ②根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； ③根据题意，通过加减消元法解方程组即可得解； （4）由（3）总结出规律：关于、的“对称二元一次方程组”的解为，从而可以判断得解； （5）根据题意，方程可以化为，结合关于、的方程组的解是，即可得解． 解：（1）根据题意得，方程的“对称二元一次方程”是． 故答案为：． （2）为“对称二元一次方程组”， ， 解得． 故答案为：；． （3）①， 两式相加得，， 则， ，， 即的解为； ②，同理可得； ③，同理可得； 故答案为：①；②；③． （4）由（3）得，关于、的“对称二元一次方程组”的解为， 方程组的解为． 故答案为：． （5）， ， 又关于、的方程组的解是， ， 即， 方程组的解为． 故答案为：． 【点拨】本题考查的知识点是解三元一次方程组、二元一次方程组的解、解二元一次方程组，解题关键是理解题意． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $