福建省2026届高中毕业班高考模拟预测高三数学

2026届高中毕业班高考模拟预测 2026.05 高三数学参考答案 2 5 6 7 8 9 10 11 B C B D C B ABC AC ABD 12 13 14 √7 3 2W5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)设数列{a}的首项为a,公差为d, 「S=3a+3d=-30, 则8=6a+15d=42解得a=-12,d=2, 故{a,}的通项公式为a.=-12+2(n-1)=2n-14. （2)由4)可知，s=2m-14-12”-=-13), 2 所以6=8=n-13.易知仍，}为等差数列。 n 设私}的前n项和为，则工=12+n-13)”-25)加 2 2 所以数列8.B的前20项和为Z,-27,-20-25)x20-2x13-25)x13-106 2 16解：（1)当k-1时，f()=(x+1)lx,fy=lnr+c+) ()=2,又.f(1)=0,切线方程为y=2x-2. (2)设m(x)=f(x)-2(x-1)=（x+k)nx-2x+2, 只需m(N)>0在x>1时恒成立即可，又m(x)=+冬-，且m)=0, Y 所以要使当x>1时，m(x)>0,必须满足m(1)=k-1≥0，即k≥1. 下面证明k≥1时满足题意： 第1页共6页 ①当k≥1时，由x>1,m(x)=(x+k)lnr-2x+2≥(x+1)nx-2(x-1), 令p(x)=(x+1)nx-2(x-1),x>1, 则()=nx+11,令h(四=p()=nx+11,则)=是=， 当x>1时，h(x)>0恒成立，所以函数p(x)在区间(1，+o)上单调递增， 所以p(x)>φ(1)=0，故p(x)在(1，+o)上单调递增， 所以p(x)>p(1)=0,所以当x>1时，m(x)≥p(x)>p(1)=0,即(x)>0: ②当k<1时，m()=+套1，令4()=m():(>,则r()=产>0 所以m(x)在(1，+o)上单调递增， 又m'(1)=k-1<0,当x→+∞时，m(x)-→+o,所以存在x。∈(1，+o),使得m(x。)=0, 当x∈(L,x)时，m(x)<0,即(x)在(L,x)上单调递减， 当x∈(1，x)时，(x)<m(1)=0,所以当k<1时，m(x)>0不恒成立. 综上所述，实数k的取值范围是[1，+0). 17解：1)解，由稀圆C产片-1的长轴长是短销长前3倍，可得a=6。 因为椭圆C经过点M 22 18 3 所以。+g亦-1，解得a=3,6=1, 所以椭面c的方程为号+y=1 (2)证明：由椭圆C的方程，可得A(3,0), 设P(:,y),Q(化2，y2),直线P2的方程为x=my+n且n≠3， x=nly+n 联立方程组x +=1'整理得0m+92+2w+n-9=0, 9 由△>0，可得m2-n2+9>0,且+y2= 2mn n2-9 m2+9y= m2+9 因为k=业，少、=-1 ￥-3x2-39' 第2页共6页 可得-9y2=(化-3)(2-3)=(%+n-3)(y2+n-3), 化简得(m2+9)3%+m(n-3列(y+均)+(n-3=0, 所以m+90r-9).2m7a3)+a-3y=0: m2+9 m2+9 又由n≠3，所以n=0,即直线P9过定点(0,0) 18.解：(1)记事件A:小王已经答对一题，事件B:小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率 P(BA)=naB）C.C84 n(A)C4C,+C8+67 3 (2)D由题意知，f(p)=Cp(1-p=3p-6p+3p,0<p< 则f'(p)=9p2-12p+3=3(3p-10(p-1),令f(p)=0,得p=3或1（舍， 当o时，f以0，当p时p0 所以P)在〔0)上单调增，在} 上单调递减， 所以当P=专时，f(P)有极大值，且极大值为f 14 (IⅡ)设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y,则Y的可能取值为60,120,180,360， 则P(Y=60)=(1-p)3,P(Y=120)=Cp(1-p)2, P(Y=180)=Cp2(1-p),P(Y=360)=p, 所以E(Y)=60(1-p)+120CP(1-p)+180Cp2(1-p)+360p=60(2p+3p+1), 令98（门≥120，即5102n-3n+120,整理得2p3p9≥0， 为23n9--p3。司。e+9 易知20+p+g6名0，所以p写0即p号 又0<p<音所以P的取植范国为到 第3页共6页 19.解：(1)连接AC,BD交于点O,连接PO,在平面PAO内过A作AH⊥PO,垂足为H, 因为PA≠PC,所以垂足H不与点O重合，如图： 又因为平面PDB⊥平面PAC,平面PDB∩平面PAC=PO,AHC平面PAO, 则AH⊥平面PDB,又因为BDC平面PDB,所以AH⊥BD, 在正方形ABCD中，AC L BD.AC∩AH=A,AHC平面PAC,ACC平面PAC, 则BD⊥平面PAC,又因为PAC平面PAC,所以PA⊥BD B (2)以AB为x轴，以AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标 系，如图.则A(0,0,0),B1,0,0),C(11,0),D(0,1,0), 设P(,n,),则AP=(m,n,t),BD=(-1,1,0).因为PA=1, 所以m2+n2+t2=1①. 因为PA⊥BD,所以P.BD=-m+n=0②. 因为BDL平面PAC,所以平面PAC法向量DB=Q,-1,O), 设平面BPC法向量2=(x,y,z),BC=(0,10),BP=01-1,n,t), 7·BC=0 ☑·BP=0 y=0 (m-1)x+m+E=0'不妨取x=1,则：=1-m.所以=G,01-m. 因为=面角B-心-A为60，所以水os(D丽， DB·7 t DEIA +1VP+Q-mi®. 由0@g解得=0m=01=1,成w号a-号-片即PQQD度P传号》 2 2 (i)当P0,0,1)时，PB=1,0,-1),PC=1,1,-1),DP=(0,-1,1) 设平面DPC法向量h=(,y,z), 72·PC=0m「x+y-z=0,mx=0, 则 即 7·Dp=0-y+z=0,y==. 不防取y-l,则：=1.所以元=Q).(见万 PB☑2 a -1 第4页共6页 设PB与平面PCD所成角为a, na=les(P吸，7》号 又因为a=0到引，所以a=名 02 3331 111 nPC=0 -x+一y- 2=0 333 x=0 设平面DPC法向量=(x,y,=), ,即 7DP-01 则 21 1 3x-3y+32=0 y=z1 31 2.1 PB.7 不妨取y=1,则z=1.所以万=(0,11). k丽训带同 33 2 设PB与平面PCD所成角为a,sina= 列- 又因为a0所以- 综，PB与平面c0所成角为或号 (3)因为PA⊥AB,PA⊥BD,ABOBD=B,AB,BDC面ABCD,所以PAL面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD.以{AB,AD,AP为正交基建立空间直角坐标系. 因为AD//BC,ADC平面PAD,BC本平面PAD,所以BC/I平面PAD, 又因为BCc平面PBC,且平面PBC∩平面PAD=l,所以BC/L,AD/Il, 设P(0,0,5),0(0,T,S),A(0,0,0),B(1,0,0),C1,1,0),D(01,0)，PC=1,1,-,BC=(01,0) 74·PC=0m「x+y-5z=0 设平面PBC法向量刀4=(x,y,)， ac=0则 y=0 不妨取z=1,则x=S.所以74=（心，0,1）. 因为BDL平面PAC,所以平面PAC法向量DB=1,-1,0). 因为二面角B-PC-A为60°，所以c0s60°=c0s(DB,74), V+1V,解得=1，即PA=1. 1 即。= D B 第5页共6页 设Q(0,r,1),A0=(0,r,1),AB=4,0,0),设平面ABQ法向量7=(x,y,z）, ,AB=0 「x=0 n40=0'则m+z=0不纺取y=l,则：=-r,所以7=(0,1）. 则 D9=(0,r-1,1),DC=1,0,0),设平面CD2法向量7。=(x,,z), %·DC=0 x=0, 则g-y+2=0 不妨取y=1,则z=1-r,所以7s=(0,1,1-) 7%D0=0 则m6kos.+- 11-r4-)川 a=r,b=1-r,a+b=1,cos 0=- 11-ab1 1+a'b2-2ab 1+a2V1+b2 V1+a2b2+a2+b2 1+a2b2-2b a2b2-2ab+1 1 Vab+(a+b)'-2ab+1 Vab2-2ab+2 (ab-1)2+1 第6页共6页2026届高中毕业班高考模拟预测 2026.05 高三数学 贵一马当先，万事可期★ 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.。回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求。 1.已知复数2=1-2，则2-= 7-i A.i B.-i C.1 D.-1 2.已知集合P-{xx为质数，A={xEPl1<x≤6，B=x∈Z1<x≤6，则CBA= A.0 B.{2,4 C.{4,6 D.{5,6 3.已知双曲线C:兰-景=1(a>0,b>0)的离心率为， 3 则C的渐近线方程为 A.y=±3x B.y=±x C.y=tV3x Dy=±x 4.样本数据68,95,76,72,94,87,92,80,105的上四分位数为 A.92 B.93 C.94 D.105 5.己知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的项点和底面的圆周都在球O的球面上，则该圆锥与球O的体积 之比为 A月 子 c D时 6.已知正项数列{a}为等比数列，且5a2是a4与3ag的等差中项，若a2=2,则该数列的前5项和为 A.10 B.15 C.30 D.31 7.若函数f(x)= 1og3(x+2),-2<x≤1 x+",x>1 ，在(-2，+∞)上单调递增，则m的取值范围是 A.(-o,1]B.[-1,1] c.[0,1] D.[0,+∞) 第1页共4页 8.己知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的两个极值点为x1,x2(x1<x2),f'(x)为f(x)的导函数，则下列 说法中错误的是 AxeR,f(品+)-f(品-x=0 BxeR,f(品+x)+f(品-x=0 c.f(29-f6,)=0 D.f(29-fx)=0 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,a3=4,则下列结论正确的是 A.若a6=-32,则q=-2 B.a2a6a7=as3 C.若a6=-32,则a1a2Q3an的最大值为1024 D.S2,S4-S2,S6-S4构成等比数列 10.下列关于函数f(x)=√5sin2x+cos2x的说法正确的得有 A.函数f(x)的最小正周期为π B.将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度得到函数f()的图像 C.函数f()的图像关于点(，0)中心对称 D.函数f(,在区间(-行，)上单调递减 11.己知抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线E的准线交x轴于点G,抛物线E上一点T(4,yo)到 点F的距离为6，点A,B是抛物线E上的两点（异于原点O),则下列说法正确的是 A.p=4 B.若AB中点M的纵坐标为2，则直线AB的斜率为2 C.若OA1OB,则直线AB恒过点(4,0) D.若直线AB过点F,则直线AG,BG的斜率之和为O 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知向量a,b满足=1，b=2,且2a-b1=2,则a+b=」 13.某人工智能博览会有4个不同的场馆A,B,C,D,甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个 场馆中被参观的场馆个数为X,则X的数学期望为 14.向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x(0<x<1)的液体，旋转容器，若液面恰好经过正方体的 某条体对角线，则液面边界周长的最小值为 第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分)已知Sn是等差数列{a}的前n项和，S=-30,S。=-42. (1)求{an}的通项公式： (2)设，=S,求数列{b,}的前20项和 16.(15分)已知函数f(x)=(x+k)lnx. (1)若k=1,求曲线y=f(x)在点(1，∫(1)处的切线方程： (2)当x>1时，f(x)>2(x-1)恒成立，求实数k的取值范围. 17(15分)已知椭圆C:+2 号+芳-1a6>0)的长长是短猫长的3备，只华过有-2） (1)求椭圆C的方程. (2)设A是稀圆C的右项点，P,O是椭圆C上不同的两点，直线4卫，40的斜率分别为，么，且k=号 证明：直线PQ过定点. 第3页共4页 18.(17分)2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了 一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛。 (1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小 王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； (2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如 下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖 3 励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为p0<p< 4》 且每次是否中奖相互 独立. (I)记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为f(P),求(P)的极大值： (IⅡ)M大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试 求此时P的取值范围. 19.(17分)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，其中PA≠PC,二面角B-PC-A的大小为 60,平面PDB⊥平面PAC. (1)证明：PA⊥BD; (2)若PA=1,求直线PB与平面PCD所成角的大小； D- (3)如图，若PA⊥AB,平面PADO平面PBC=l,Q为I上一动点.平面ABQ与 平面CD2夹角的大小为日，求cosB的最小值. 第4页共4页2026届高中毕业班高考模拟预测 2026.05 高三数学参考答案 3 5 6 7 8 9 10 少 B B D C B ABC AC ABD 12 13 14 万 25 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：(1)设数列{an}的首项为a,公差为d, 则{5=3a+3a=-30 解得a1=-12,d=2, S6=6a+15d=-42, 故{an}的通项公式为an=-12+2n-1)=2n-14 (2)由1)可知，S,=2n-l4-12n=mn-13, 2 所以b,=S=n-13.易知b,}为等差数列 n 设(6}的前项和为工，则7，=12+n-13)n_(n-25n 2 2 所以数列h.的前20项和为7。-27，-20-25×20-2x3-25x13-106. 2 2 16解：I)当k=1时，f=x+1nx,x=nr+x+ :f'=2,又f1)=0,切线方程为y=2x-2 (2)设m(x=f(x-2(x-1=(x+k)lnx-2x+2, 只需m(x)>0在x>1时恒成立即可，又m(x)=lnr+《-1,且m)=0, 所以要使当x>1时，mx)>0,必须满足m'1=k-1≥0，即k≥1. 下面证明k≥1时满足题意： 第1页共6页 ①当k≥1时，由x>1,m(x=(x+k)lnx-2x+2≥(x+1lnx-2(x-1, 令px=(x+1)lnx-2(x-1),x>1, 则o=nx+-1,令h(=p(x)=hr+-1,则x== 当x>1时，h'(x>0恒成立，所以函数p'(x)在区间(1，+0)上单调递增， 所以p'(x>p'(1)=0,故px)在1，+∞）上单调递增， 所以px)>p(1)=0,所以当x>1时，m(x)≥p(x)>p(1)=0,即m(x)>0: ②当1时，1到=r+冬，令时=，，ri:,0 所以m'(x)在1，+0)上单调递增， 又m'1=k-1<0,当x→+o时，m'x)→+0，所以存在x∈(1，+0），使得m'(x)=0, 当xe(1,xo)时，m'(x)<0,即mx)在(1，xo)上单调递减， 当xe(1,xo)时，mx)<m(=0,所以当k<1时，m(x)>0不恒成立. 综上所述，实数k的取值范围是[1，+0). 17解：()解：由椭圆C:￡+ a2 方=1的长轴长是短辅长的3倍，可得a=36, 因为椭圆C经过点M 18 3 所以。+90=1，解得a=3,6=1, 所以梯圆C的方程为号+少=1 (2)证明：由椭圆C的方程，可得A(3,0), 设P(x,),Q(x,y),直线PQ的方程为x=my+n且n≠3， x=my+n 联立方程组 +y=1整理得(m2+9)y2+2my+n2-9=0, 9 由△>0，可得m2-n2+9>0,且y+y2=- 2mn m2+ n2-9 m2+9 因为kk=少，·少= x-3x2-39’ 第2页共6页 可得-9y1y2=(x1-3)(x2-3)=(my1+n-3)(my2+n-3), 化简得(m2+9列y2+m(n-3)(y+y2)+(n-3)2=0, 所以m2+9-）_2mam3到+a-3}=0: m2+9 m2+9 又由n≠3，所以n=0,即直线P9过定点(0,0) 18解：(1)记事件A:小王已经答对一题，事件B:小王未进入决赛， 则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率 P(BA)=nB=CC。84 nA)C4C,+C8+6-7 3 (2)(I)由题意知，f(p)=Cp(1-p)=3p3-6p2+3p,0<p< 则f"p=9p2-12p+3=33p-(p-,令f(p=0,得p=3或1（舍， 当p0时，列小>0，当p时.p小o, 所以p)在(0)上单调递培，在行 13 上单调递减， 所以当p=时，f(p)有极大值，且极大值为-) 4 (Ⅱ)设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量Y,则y的可能取值为 60,120,180,360, 则P(Y=60)=(1-p3,P(Y=120)=Cp(1-p, P(Y=180)=Cp2(1-p),P(Y=360)=p3, 所以E(Y)=60(1-p)°+120C3p1-p)+180Cp2(1-p+360p3=602p3+3p+1, 29≥0 令9E(Y)≥120，即540(2p+3p+2≥120，整理得2p+3p- 医为2p+p9-2o-pr小引p-小9{》-p02p*9】 易期2r+号-+名0：所以n0，即p时 1 又0<p<,所以P的取值花围为 13 34 第3页共6页 19.解：(1)连接AC,BD交于点O,连接PO,在平面PA0内过A作AH⊥P0,垂足为H, 因为PA≠PC,所以垂足H不与点O重合，如图： 又因为平面PDB⊥平面PAC,平面PDB∩平面PAC=PO,AHC平面PAO, 则AH⊥平面PDB,又因为BDC平面PDB,所以AH⊥BD. 在正方形ABCD中，AC⊥BD.AC∩AH=A,AHC平面PAC,ACc平面PAC, 则BD⊥平面PAC,又因为PAc平面PAC,所以PA⊥BD, (2)以AB为x轴，以AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标 系，如图.则A(0,0,0),B(1,0,0),C1,1,0),D(0,1,0), 设P(m,n,),则AP=(m,n,),BD=(-1,l,0).因为PA=1, 所以m2+n2+2=1①. 因为PA⊥BD,所以AP.BD=-m+n=0②. 因为BD1平面PAC,所以平面PAC法向量DB=L,-1,0), 7·BC=0 设平面BPC法向量m1=(x,y,z),BC=(0,1,0),BP=(m-1,n,), 7·BP=0' y=0 (m-)+心+亿=0：不妨取x=1,则z=1-m.所以=亿，0,1-m). DB·n 因为二面角B-PC-A为60，所以cos(DB,n》= t IDBI +1VP+-m)2 2 221 ①23解器m0n=011,或m2,33即P0.0）或P33 (1)当P0,0,1)时，PB=1,0,-1),PC=(1,L,-1),DP=(0,-1,1) 2·PC=0am「x+y-z=0,m「x=0, 设平面DPC法向量n2=(x,y,z), 则 即 72DP=0-y+z=0, y=z. 第4页共6页 不妨取y=1,则：=1.所以=1.sP吸.n}-P8局 PB.n2 -1 1 +1+i=2; 设PB与平面PCD所成角为a, sina=osm,》-号又因为ae0引，所以a=若 m当P后》历G》c-》m-》 111 n3·PC=0 -x+ U- z=0 3 3 x=0 设平面DPC法向量3=(x,y,z), n.DP=0' 则 211 ，即 5x-3y 330 y=z 21 PB- 不纺取y=1,则=1.所以=0,1.os(PB.np 33 14++1 2 V9+9*9 十 设m与平面cD所成角为asna=cos(历，引-5.又因为a0 所以a= 3 综上，PB与平面PCD所成角为或 61 (3)因为PA⊥AB,PA⊥BD,AB∩BD=B,AB,BDc面ABCD,所以PA⊥面ABCD. 所以PA⊥AB,PA1AD.以{AB,AD,AP}为正交基建立空间直角坐标系. 因为AD/IBC,ADC平面PAD,BC丈平面PAD,所以BC/I平面PAD. 又因为BCc平面PBC,且平面PBC∩平面PAD=I,所以BC/,AD/I, 设P(0,0,s),Q(0,r,S),A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),PC=1,1,-S),BC=(0,1,0), n4·PC=0mx+y-sz=0 设平面PBC法向量n4=(x,y,z), 则 n4·BC=0'0y=01 不妨取z=1,则x=S,所以n4=(s,0,1). 因为BD1平面PAC,所以平面PAC法向量DB=(L,-1,0). 因为二面角B-PC-A为60°，所以cos60°=c0s(DB,n4), 1 S 即方F中12解得s=1,即PA=1. 第5页共6页 ZA P D-- B衣 设Q(0,r,1),AQ=(0,r,1),AB=(1,0,0)，设平面ABQ法向量n=(x,y,z), ·AB=0 则 「x=0 7·AQ=0 +2=0不妨取y=山，则：.所以=0,1，-. D0=(0,r-1,),DC=(L,0,0),设平面CD0法向量n6=(x,y,z), n。·DC=0 则 x=0, (-1)y+z=0, 不妨取y=1,则z=1-r,所以n6=(0,1,1-r) n%·D0=0 则ooi-+0-n 11-r1-r)川 1-ab 1+a2b2-2ab a=r,b=1-r,a+b=1,cos0=- +a2v1+b V1+a2b2+a2+b2 1+a2b2-2ab a2b2-2ab+1 1 Va2b2+(a+b)2-2ab+1 Na"b2-2ab+2 (ab-1)2+1 第6页共6页 2026届高中毕业班高考模拟预测 2026.05 高三数学 ★一马当先，万事可期★ 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求。 1. 已知复数，则＝ A. i B. －i C. 1 D. －1 2. 已知集合，，则 A. B. C. D. 3. 已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为 A. B. C. D. 4. 样本数据68，95，76，72，94，87，92，80，105的上四分位数为 A. 92 B. 93 C. 94 D. 105 5. 已知圆锥的轴截面是直角三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为 A. B. C. D. 6. 已知正项数列为等比数列，且是与的等差中项，若，则该数列的前5项和为 A. 10 B. 15 C. 30 D. 31 7. 若函数，在上单调递增，则m的取值范围是 A． B． C． D． 8. 已知函数的两个极值点为，，为的导函数，则下列 说法中错误的是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，，则下列结论正确的是 A. 若，则 B. C. 若，则的最大值为 D. 构成等比数列 10. 下列关于函数的说法正确的得有 A. 函数的最小正周期为 B. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像 C. 函数的图像关于点中心对称 D. 函数在区间上单调递减 11. 已知抛物线E：的焦点为F，抛物线E的准线交x轴于点G，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线E上的两点（异于原点O），则下列说法正确的是 A. B. 若中点M的纵坐标为2，则直线的斜率为2 C. 若，则直线恒过点 D. 若直线过点F，则直线，的斜率之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知向量，满足，，且，则________. 13. 某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为，则的数学期望为________. 14. 向体积为 1 的正方体密闭容器内注入体积为 的液体，旋转容器，若液面恰好经过正方体的某条体对角线，则液面边界周长的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知是等差数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前20项和. 16.（15分）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 17.（15分）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且经过点 . （1）求椭圆的方程. （2）设是椭圆的右顶点，是椭圆上不同的两点，直线的斜率分别为 ，且 . 证明: 直线过定点. 18.（17分）2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行了夏季奥运会．为了普及奥运知识，大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛． （1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛．已知这6道题中小王能答对其中4道题，求小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率； （2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，决定对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励．奖励规则如下：对于进入决赛的每名大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元，假定每次中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立． （I）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值； （II）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围． 19.（17分）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面. （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的大小； （3）如图，若，平面平面为上一动点.平面与平面夹角的大小为，求的最小值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $