福建泉州市2026届高中毕业班适应性练习题库高三数学

保密★使用前 2026届高中毕业班适应性练习题库 2026.05 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 ★稳扎稳打金榜题名★ 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（，黑色线框)内 作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3,选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号； 非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合A={L,2,3,4},B={x2<8,,则Venn图中阴影部分表示的集合是 A.{4} B.{1,2 B C.{3,4} D.{2,3,4} 【命题意图】 本小题主要考查集合的运算、不等式等知识；考查运算求解能力等；考查函数与方程思 想等；体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注。 【答案】C 【试题解析】 解：由题意得B={xx<3},所以A∩B={L,2},所以图中阴影部分表示的是ǒ(A∩B),又因为 ǒ(A∩B)=3,4},故选C. 2.已知点A(0,2),向量n=(-1,1),若n与直线1：y=c垂直，则A到I的距离等于 A.1 B./2 C.2 D.22 【命题意图】 本小题主要考查向量的定义与运算，直线方程、斜率，两直线位置关系，点到直线的距 高三数学试题第1页（共26页) 离等知识；考查运算求解能力等；考查函数与方程思想等；体现基础性，综合性，导向对发 展数学运算等核心素养的关注， 【答案】B 解法一：设坐标原点为0，OA在n上的投影向量为d,则A到1的距离为1d上0A:n=2, n 故正确答案为B. 解法二：由题意，得1的方向向量a=(①，k),因为a⊥n,所以k-1=0,解得k=1,从而直线 1的方程为y=x,所以4到1的距离为0-2=V2,故正确答案为B. A B 解法三：由题意，得I的方向向量a=1,k),因为a⊥n,所以k-1=0,解得k=1,从而l的 倾斜角为45°，过A作AB⊥1于B,则在Rt△AOB中，∠ABO=90°，∠AOB=45°，OA=2, 所以A到1的距离为04|sin45°=√2，故正确答案为B 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量， 人数（单位：万人） 9.5 苏区A 收集并整理了2025年国庆期间该市A和B两个景区的日 8.8 8.6 景区B 7.8 接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则 7.0 64 A.景区A这7日数据的第80%分位数是8.7 5.0 58 4.7 4.5 B.景区B这7日数据的极差是1.7 423 31 C.景区A这7日数据的平均数比景区B的两倍小 …28 D.景区B这7日数据的方差比景区A的大 2 6 日期 【命题意图】 2025年10月 本小题主要考查样本的数字特征以及图表应用；考查运算求解能力等：体现基础性与应 用性，导向对数学运算、数据分析等核心素养的关注 【答案】C 【试题解析】 解：选项A:景区A这7日数据由小到大排序为5.8,6.4,7.0,7.8,8.6,8.8,9.5， 高三数学试题第2页（共26页) 由7×80%=5.6，向上取整为6，对应数据为第6个数据8.8，故选项A错误： 选项B:景区B这7日数据的极差为5.0-2.8=2.2，故选项B错误： 选项C:景区A这7日数据的平均数=8.8+9.5+8.6+7.8+7.0+64+5.8=7.7， > 又景区B这7日数据的平均数=45+5.0+4.7+4.2+3.7+3.1+2.8=4， 因为7.7<4×2=8，选项C正确. 选项D:景区B这7日数据的方差 =45-4+5.0-4+(4.7-4}+(4.2-4}+3.7-4+3.1-4+(2.8-4≈0.59， > 景区A这7日数据的方差 _8.8-7.7}2+9.5-7.7}+8.6-7.7+7.8-7.7+7.0-7.7+64-7.7+5.8-7.7)1.58 > 因为0.59<1.5，故选项D错误；故选C 4.在公差为2的等差数列{an}中，a,a4,a成等比数列，则{an}的前7项和为 A.3 B.5 C.9 D.21 【命题意图】 本小题主要等差、等比数列通项等基础知识；考查运算求解能力等；考查函数与方程思 想等；体现基础性与综合性，导向数学运算等核心素养的关注 【答案】D 【试题解析】 解法：设等差数列{an}的首项为41，a3=a1+4,a4=41+6,a,=41+12, 由aa,=a可得(a+4)(a,+12)=(a+6)2,解得a=-3, 所以5=7×（←）+7义6×2=21. 解法二：43=a4-2，a,=a4+6,由aa1=a可得(a4-2)(a4+6)=a4，解得a4=3, 所以S,=a+a)x7=7a,=21. 2 5.在平面直角坐标系xOy中，已知两抛物线C:y2=2x和C2:x2=2py,且F为C,的焦点， Q为C,与C,的公共点.若1OQ=22,则|FQ= A.2 5 B. C.5 D.3 2 高三数学试题第3页（共26页） 【命题意图】 本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质等知识：考查运算求解能力、 推理论证能力等；考查数形结合思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性导向对数学 运算、直观想象、逻辑推理等核心素养关注， 【答案】B 解：由对称性可知C,与C2的交点9必在直线y=x上，由OQ=22,可得Q(2,2). 代入方程得p=1,则FO=2+.故选B. 22 6.“函数f(x)=二x3+x2在区间(a-4,a)内存在最小值”的充分不必要条件可以是 A.0<a<2 B.1<a<4 C.1≤a<4 D.-2<a<2 【命题意图】 本小题主要考查用导数工具研究函数的性质与图象、不等式等知识；考查运算求解能力、 逻辑推理能力等：考查数形结合思想、化归与转化思想等：体现基础性与综合性，导向对数 学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注 【答案】B 【试题解析】 解：导函数为f'(x)=x2+2x.令f'(x)=0,解得x=-2,或x=0 所以当x∈(-0，-2)U(0,+o)时，f'(x)>0:当x∈(-2,0)时，f'(x)<0 故f(x)在区间(-0，-2)和(0，+oo)上单调递增：在区间(-2,0)内单调递减. 当x=-2时，f(x)有极大值：当x=0时，f(x)有极小值，且f(O)=0. 令f(x)=0,解得x=-3或x=0.据此画出f(x)的大致图象，如图. 要使f)在a-4,a)上存在最小值，则3S040,即1≤a<4,故选B a-4<0<a 高三数学试题第4页（共26页) 7.某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等.已知大、小两种西瓜的售价 分别为80元/个、10元/个，且半径之比约为2：1.若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作 为西瓜的性价比，则 A,大西瓜的性价比高 B.小西瓜的性价比高 C.大、小西瓜的性价比一样 D.大、小西瓜的性价比的高低不确定 【命题意图】 本小题主要考查球的体积、表面积等知识；考查数学建模能力、运算求解能力、推理认 证能力等：考查化归与转化思想等：体现创新性、应用性等，导向对数学抽象、逻辑推理、 数学建模等核心素养的关注， 【答案】A 【试题解析】 解法一：不妨设大、小西瓜的半径分别为2和1，瓜皮的厚度为a(1>a>0),大西瓜的性价比 为2-如：则小西瓜的椎价比为号0-a×。:大、小西瓜的性价比的比值为 3 (2-m2_2-a2_[21-a)+a>[2l-a刃=1，故大西瓜的性价比高. 81-a)381-a)38(1-a)38(1-a)3 解法二：考虑56元分别买到的两种规格西瓜的瓜瓢的体积的大小，比较性价比高低 此时购到大西瓜1个，小西瓜8个.连皮带瓤的体积，可视为球的体积，则1个大西瓜 的体积也等于8个小西瓜的体积总和， 故只需要比较1个大西瓜的瓜皮体积与8个小西瓜瓜皮的体积之和的大小关系， 由题意知，无论大、小西瓜，瓜皮的厚度均匀一致，不妨设瓜皮厚度a,a>0. 由题意得，小西瓜球半径为r(r>a>0),大西瓜的半径为2r, 将每个瓜皮近似看作厚度为α，底面积为球的表面积的“柱体”， 故1个大西瓜的瓜皮体积近似为4π(2r)2a=16πar2, 1个小西瓜的瓜皮体积为4πr2a,8个小西瓜的瓜皮体积为32πar2, 8个小西瓜的瓜皮体积总和大于1个大西瓜的瓜皮体积， 故相同价格买到的大西瓜的瓜瓤体积要大于买小西瓜的瓜瓤体积，故买大西瓜的性价比 高，故选A. 8.已知5是函数f)=sin(or-孕X0>0)的一个零点，当x∈（子受）时，了)<0，则方程 4’8 2f(x)=1-f(x)在区间(0,3π)内所有根的和为 高三数学试题第5页（共26页） A. B. 11π 15π 2 2 4 D. 21π 4 【命题意图】 本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识；考查推理论证能力、 运算求解能力等，考查特殊与一般思想、函数与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性、 综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注， 【答案】D 【试题解析】 _L≥2km-元， 0 43 3π_T≤2km, 8k- 解法一：由题可知 化简得 ∠ 16,,8 3 3+ 83 9, 0>0, 0>0 所以k8<168<skEZ,解得k=0或1，故得0<8或6≤6 -k+ 3396 9 3 由f孕=0得受0r-骨a,即o=2%+号4eZ. 3 综上a子所以f=sm写争.由+2a=1指=1议- 3 3 令t= 子（不西：在此范，恰有3个零点，设F)零点分别为 3’3 顾3x-02,3,当smt=1动， 3弧；当sin1=时，6+5=元， 所以4++6-号++)x-及，所以西++5-2.故选D. 2 4 解法二：设函数fx)=sin(ox-)的最小正周期为T, 因为当xe受时<0，所以证-至子所以T>牙 842 4’2882 故当xe导孕时，f<0,从面受异子即T>行所以经>行故0<<4 02 又由受=0，得7--2x,解得0=4+2keN), 23 3 高三数学试题第6页（共26页） 故o-，所以f)=sin子r-孕 2 3 f(a)=sin(ox 2π 3π 3π 又由2f(x=1-f(x),得fx)+2fx=1, 令g(x)=f(x)+2f(x,则g(x)= [3f(x),f(x)≥0， f(x),f(x)<0, 又f(x)的最小正周期T=3π，作出y=g(x)的图象， 则直线y=1与曲线y=g(w)的交点的横坐标为方程2f(x)=1-f(x)的根， 由图可知方程2f(x=1-f(x)有三个根x,x2,x,(:<x2<x), 灭+2r 且5，X,2m),+=2。即x+5=，=+=11h 2 2 424 从而x+x2+x3= 4”,故正确答案为D 9(x)=f(x)+2f(x)川 3n 5π 7πx 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.记Sn为数列{an}的前n项和，若a=1,a1=Sn,则 A.a=2 B.{an}为等比数列 C.S=16 D.{log2Sn}为等差数列 【命题意图】 本小题以数列递推关系式为载体，考查等差、等比数列的定义、性质、前项和等知识： 高三数学试题第7页（共26页） 考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查特殊与一般思想；考查数学运算、数学建模等核心 素养，体现基础性与综合性。 【答案】ACD 【试题解析】 解：当n=1时，4=S,=1,a=S2=2,故选项A正确； 因为{an}的前三项依次是1,1,2，不成等比数列，故选项B错误： 当n≥2时，an=Sn-Sn1=an1-an,化简得an+1=2an, 1,n=1 所以an 2m-2,n≥2 ,由S1=1,S2=2,Sn=1+1+…+2”-2(≥3)， S,=24=16,故C正确： 可得Sn=2-1>0,故取对数得1og2Sn=log22=n-1, 所以1log2Sn-log2Sn1=n-1-(n-2)=1,故选项D正确， 10.已知点A在直线1：y=V3x+4上，点B,C在圆O:x2+y2=2(r>0)上，若|AB曰AC|, 且BC∥I,则下列说法正确的是 A.当r=2时，直线1与圆O相切 B.直线OA倾斜角为150° C.当r=√2时，∠BAC可能为90° D.若∠BAC=60°，则r的取值范围为(L,+o) 【命题意图】 本小题主要考查直线、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等知识：考查运算求解能 力、逻辑推理能力等：考查数形结合思想、化归与转化思想等：体现基础性、综合性，导向 对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注 【答案】ABC 【试题解析】 解：由题意知，已知圆心为O,半径为r,直线：√3x-y+4=0的倾斜角为60°. 选项A,当，=2时，圆心到1的距离为4=2=r,故1与圆0相切，A选项正确： V3+1 选项B,如右图，取BC的中点H,连接OH,AH,由垂径定理知OH⊥BC, 又注意到AB=AC,故AH⊥BC,故A,O,H三点共线， 因为OA⊥BC,I∥BC,所以OA⊥I, 已知1：y=√3x+4的倾斜角为60°， 直线OA的倾斜角为150°，故B正确： 高三数学试题第8页（共26页） 对于选项C,由 y=- 3x,可得4-5，， y=V3x+4 当r=√2时，不妨设AB与圆O相切，又因为OA=2, 可知△ABO为等腰直角三角形， 所以∠BAO=45°，得∠BAC=90°，故C正确； 对于选项D,如下图，当AB,AC都与圆O相切，且∠BAC=60°，则∠BAO=30°， 因为OA=2,此时，半径r=1.所以当∠BAC=60°时，半径r=1符合，故D错误. 11.已知A,B为必然事件2的两个随机事件，若0<P(A)<1,0<P(B)<1,则 A.P(B A)+P(B A)=P(A) B.P(A)+P(B)51+P(AB) C.Pi-0PB1≤4 D.P(B A)P(A B)=P(AB) 【命题意图】 本小题主要考查随机事件、和事件、积事件、对立事件的概率，独立事件的性质、条件 概率、全概率公式等基础知识；考查逻辑推理能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、 或然与必然思想等；体现基础性、综合性、创新性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养 的关注。 【答案】BC 【试题解析】 解：选项A,PB10=P1B),PB1A=P4画 P(A) P(A) 所以PB1)+PB1)=PAB)+PMB=P④=L,故A选项错误： P(A) P(A) 选项B,因为P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),又P(A+B)≤1， 高三数学试题第9页（共26页） 故P(A)+P(B)-P(AB),从而得P(A)+P(B)≤1+P(AB),故选项B正确： 选项C,不妨设P(A)=a,P(B)=b,0<a≤b<1, 设P(AB)=x,因为P(AB)≤P(A),所以x≤a, ≤1 所以r4)-PPB)=x-aba-absa-a2=-a-+ 41 当且仅当A=B,P0-时，P4B)-PPB取到最大值} 由B可知a+b≤1+x, 所以PAB-P4PB=x-ab≥-a+b=x-+I=- 4 (x-1)2, 4 4 因为0≤x<1,所以PAB)-PAPB≥- 4 当且仅当AnB=⑦，且P(A)=P(B)=时取到等号： 综上，可得1P4B)-PAP(AI≤ ,故C正确. 选项D:P(B|A)·P(AB)= P(AB)P(AB)P(AB).P(AB) P(A)P(B)P(A)P(B) 当A,B独立时，则P(B|A)P(AB)=P(AB)成立， 若A,B不独立时，则P(BA)·P(AB)≠P(AB),所以D不正确， 故选BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知函数f(x)=tanx+ax-1,f(1)=2,则f(-1)= 【命题意图】 本小题主要考查函数的性质与图象，考查逻辑推理能力；考查数形结合思想：体现基础 性；导向逻辑推理等核心素养的关注。 【答案】-4. 【试题解析】 解：因为g(x)=f(x)+1=tanx+ax为奇函数，g(①)=f(1)+1=3,所以g(-1)=-3, 所以f(-1)=g(-1)-1=-4. 13.对于复数z,22,定义z2为z22的实部.若名，=i,z22=1,则z2可以为一·（写 出一个满足条件的答案) 高三数学试题第10页（共26页） 【命题意图】 本小题以复数的新定义为载体，考查复数的有关概念、运算等基础知识；考查运算求解 能力等：体现基础性，创新性：导向对数学运算等核心素养的关注， 【答案】i(答案不唯一，只要虚部为1的复数都正确) 【试题解析】 设z2=c+di,(c,d∈R),所以z2=c-di, 则zz,=i(c-d)=d+ci,所以z1*z2=d,故d=1. 14.已知E,F为双曲线E的焦点，点P在E上，点M,G分别为△PFF,的内心和重心，若 MG/FR,且sm∠FP阴-}则E的商心率为 【命题意图】 本小题主要考查双曲线的定义、几何性质、焦点三角形性质、三角形的四心等基础知 识；考查运算求解、推理论证等能力；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程等 思想：体现基础性与综合性，导向对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注。 【答案】 6 2 【试题解析】 解法一：由对称性，不妨设双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，P在E的右支上， 设E:ry2 a存=1(a>0,b>0,c=V+F),则1F5=2c,PR-P5上2a. 设△PF5的内切圆的半径为r,Saw听5=2×FBr=Cr, XSAm=7(PFI+IPF1+IRFDr. 由题意F5/MG,故S6=5a5,由重心的性质得Sac5- 3 高三数学试题第11页（共26页） 所以SAMR= 3SAmEGCPE+PF+1. 故可得|PE|+|PF=4c,解得|PF=2c+a,|PF,=2c-a. 因为sn∠FP所-}注意到PG上2c+aFE卡2，故∠RPR不是△PFB中的最大 角， 故∠FPR必为镜角，故cos∠RPR=-(-号 在根据余弦定理|FE,PPF2+PF,2-2 PF PF cos∠FPF, 56 解法二：由对称性，不妨设双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，P在E的右支上， 设E:r、2 a-1a>0,b>0,c=Va+b),则1FE卡2cP5-P5=2a,如图. 在△PEF中，连接PO,ME,MF,MP,延长PM交x轴于点N 因为G为重心，所以GP=2,又因为FE∥MG,所以GP-MP1=2. IGO IGOI IMNI 又因为M为△PFE的内心，故直线M,平分∠FEP,所以EP=MP=2, ENIMN 所以|PE=2|FN|；同理|PF=2|FN 所以|FP|+|FP=2(EN|+|NE,)=4c,又|EP|-|FP=2a, 解得|PE=2c+a,|PF,=2c-a. 又因为sin∠FP5-号，注意到PR上2c+aF5F2c, 故∠FPF,不是△PEE,中的最大角，故∠EPF,必为锐角， 高三数学试题第12页（共26页） 记为20,20e(0,3,则0∈(0，)，故0<tan0<1 因为sin20= 2tan9,所以3tan20-10tan0+3=0,解得tan日=】或tan0=3. 1+tan20 3 设△PK6的面积为S,一方面5 IPFI1PE.i∠RPR-c+ac-o×号 1 化简得S=34c2-a2): 10 另一方面S=bcot∠FP吗，其中anFP5=} ,化简得S=3b2: 2 23 故36=（4c-),解得离心率e=6 10 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知△ABC的面积为6，且AB=2. (1)若∠ABC= 4,求BC: (2)若BC=2DB,且BC=10,求sin∠BAD 【命题意图】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识：考查运算求解 能力、逻辑推理能力等：考查函数与方程思想、化归与转化思想等；涉及逻辑推理、数学运 算等学科核心素养，体现基础性、综合性 【试题解析】 解：(（105c号40-BCn∠aC,2分 由题意知S△BC=6,AB=2,代入上式，解得BC=6√2， …4分 (2)由Sc=)BA-BC.sin∠ABC=6,又BC=10, 解得sin∠ABC=3 …5分 5 3 因为∠ABC+∠ABD=π，所以sin∠ABD= 6分 情况一：若∠ABC是钝角，则∠ABD是锐角，所以cOs∠ABD>0, 所以cos∠ABD=-sin∠ABD- 4 …7分 高三数学试题第13页（共26页） 由余弦定理得AD=BA2+BD2-2BA·BD.cos∠ABD…8分 解得AD=√仍，…9分 n∠BAD=313 13 B C BD AD 在△ABD中，由正弦定理 sin∠BAD sin∠ABD' …10分 得sin∠BAD=3=313 …11分 V1313 情况二：若∠ABC是锐角，则cOs∠ABD<0,解得cos∠ABD=-5, 4 由余弦定理得AD2=BA+BD2-2BA·BD.cos.∠ABD,解得AD=3V5,…12分 A sin∠BAD=V5 B 在△ABD中，由正弦定理 BD AD sin∠BAD sin∠ABD' 得sin∠BAD= …13分 16.(15分) 某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有 4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不 少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率： (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费M元，按规定返现Y 元.若事件“Y=100”的概率最大，求M的最小值. 【命题意图】 本小题主要考查事件的概率，二项分布等知识；考查运算求解能力等；化归与转化思想、 或然与必然思想等：体现综合性、应用性，导向对数学抽象、数学建模、数学运算核心素养 的关注 【试题解析】 解：(1)箱子里共有4个红球、2个黑球共6个球，摸出3个球， 高三数学试题第14页（共26页） 则基本事件的总数为C%=20,… …………1分 若摸出红球不少于2个，即“2红1黑”或“3红”两种情况，…2分 “2红1黑”有CC)种不同基本事件；…3分 “3红”有CC种不同的基本事件， 一共有CC+CC9=16个基本事件，…4分 所以一次抽奖的获奖概率为16-4 205 …5分 (2)由题意得，Y=100表明中奖10次， …6分 设该顾客按规定一共抽奖n次，恰好中奖次数为X, 则根据题意，每次中奖概率为4，且各次抽奖互不影响， 5 故该抽奖过程是符合的次独立重复试验，…7分 恰好中奖次数为X,X服从二项分布，即X~B(,), …8分 从而PX=k)=C0--=C((白，k=01,29分 PX=k)列， P(X=k-1) 要找到k使得P(X=k)最大，必须满足： PX=k+≤1， 10分 P(X=k) c.G 即 12分 -≤1， c 解得弘-4≤≤5张+1 …13分 4 由题意得k=10,代入上式得46≤n≤5到 4 因为n∈N,故n=12.… …14分 所以为使得获奖10次的概率最大，一共抽奖12次， 则按规定，消费金额M的最小值为12×100=1200元…15分 17.(15分) 高三数学试题第15页（共26页） 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=30°，BC=1,BP⊥AD于P,BP=2.将 △ABP沿BP翻折至△ABP,使得A'C=√7，如图2. (1)证明：AP⊥平面BCDP; (2)已知四棱锥A-BCDP的体积为10 3 ,若点Q在线段C上，且二面角Q-PD-B 的大小为60°，求直线A'D与平面OPD所成角的正弦值. D B 图1 图2 【命题意图】 本小题主要考查空间几何体的体积、直线与平面的位置关系、求二面角、线面角等基础 知识：考查空间想象、推理论证、运算求解等能力：考查化归与转化等思想，函数与方程思 想；体现基础性和综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注， 【试题解析】 解法一：(1)证明：因为BP⊥AD,即BP⊥AP,即BP⊥AP,…1分 在△MBP中，∠BAD=30°，BP=2,所以BP p=tan∠BAP=J 3 解得AP=2√3，即AP'=25.…2分 因为BP⊥AD,又AD∥BC,所以BP⊥BC,…3分 连结CP,在△PBC中，CP=VPB2+BC2=√5， …4分 A 0 B 又在△'PC中，得A'P2+PC2=17=A'C2,得A'P⊥PC, …5分 又因为BP∩PC=P,BP,PCc面BCDP,所以A'P⊥平面BCDP,…6分 高三数学试题第16页（共26页） (2)由(1)可知，A'P⊥平面BCDP,所以AP是四棱锥A'-BCDP的高， 则四棱锥A-BCDP的体积r=?SucorAP, 3 即y=xx1+PD)×2x25=2 (I+PD), 32 3 又由题意知r=103, 3，故解得PD=4, …7分 因为A'P⊥平面BCDP,又PB⊥PD,故以P为原点，PB,PD,PA分别为x,y,z轴建立 空间直角坐标系P一yz,…8分 可得，A(0,0,2N5),D(0,4,0,B(2,0,0,C(2,1,0), 得A℃=(2,1，-2V3),PD=(0,4,0),D=(0,4,-25),…9分 设AQ=tA'C(0<t<1), 则P0=PA+A0=PA+tAC=(0,0,25)+(2,t-2V3)=(2i,t,251-t》,…10分 设平面PQD的法向量为n1=(x,y,z), 可得mP见=0，即2+y+251-z=0, n·PD=0 y=0 7 A-s------ D>y B 1: 令x=5.解得：，所以=5,0，白 …11分 又知平面PBD的一个法向量为n2=(0,0,1), 由题意知，二面角0-D-B的平面角为60，故c0s<%,%牛…12分 即1cos<,n n1·n2 t-1 =,解得1= …13分 |n2| 21 求得，=(N3,0,1), 高三数学试题第17页（共26页） 设直线4D与平面QPD所成角为0，则sn0os<D,m>M历.nL, …14分 |A'D‖h 将D=(0,425),B=(50,1),代入上式，解得sin0=② 14 所以，直线AD与平面QPD所成角的正弦值为 …15分 14 解法二：(1)同解法一； (2)由(1)可知，A'P⊥平面BCDP,所以AP是四棱锥A'-BCDP的高， 则四楼锥A-BCDP的体积/-兮5aP, r-兮0-mj22w-20+m 又由题意知r=10W5 ,解得PD=4,…7分 3 所以AD=VPA2+PD2=V12+16=2W7.…8分 下求A'到平面QPD的距离d, 如图，过点Q作QE∥BC,交A'B于点E,连EP, 0 A D B C 又因为BC∥AD,所以EQ∥PD,所以E,Q,D,P四点共面…9分 因为DP⊥PB,DP⊥A'P,PB∩A'P=P,PB,A'Pc面ABP, 所以DP⊥平面APB,…10分 因为EPC面A'PB,所以DP⊥EP, 又DP⊥BP,BPC平面BCDP,平面BCDP∩平面QDP=DP, 故∠EPB为二面角Q-PD-B的平面角，所以∠EPB=60°，…11分 在Rt△A'BP中，己知A'P=2W3,PB=2,可得A'B=4,其面积S△MBP=2N5. 可得tan∠A'BP=√3，故∠A'BP=60°，即∠EBP=60°， 又因为∠EPB=60°，所以△BEP为等边三角形，所以BE=BP=2, 高三数学试题第18页（共26页） 因为AB=4,所以E为AB的中点，……I2分 又因EO∥BC,所以Q为AC的中点，所以QE=BC=}, 2 2 1 所以Sar=2Sarm=5, 所以三棱锥Q-AEP的体积e-m-E0= …13分 3 6 因为，o=,所以5- 6=3Shme'd, 因为QE1BP,所以5OEEP极解得d=5. …14分 所以直线4D与平面QPD所成角的正弦值为·三5-V回 ……15分 AD2714 解法三：(1)同解法一： (2)由(I)可知，A'P⊥平面BCDP,所以AP是四棱锥A-BCDP的高， 则四棱锥A'-BCDP的体积V= 3xSaconAP, r-写ru+mx226-2a,0 又由题意知V=10V3 ,解得PD=4,…7分 3 所以A'D=√PA2+PD2=V12+16=2√万.…8分 下求A'到平面QPD的距离d. 如图，过点Q作QE∥BC,交AB于点E,连EP, A A- 小 又因为BC∥AD,所以EQ∥PD,所以E,Q,D,P四点共面 .9分 因为DP⊥PB,DP⊥A'P,PB∩A'P=P,PB,A'PC面ABP, 所以DP平面PB,…10分 因为EPC面A'PB,所以DP⊥EP, 高三数学试题第19页（共26页） 又DP⊥BP,BPC平面BCDP,平面BCDP∩平面QDP=DP, 故∠EPB为二面角Q-PD-B的平面角，所以∠EPB=60°，…11分 在Rt△A'BP中，已知A'P=2N3,PB=2,可得AB=4, 可得tan∠ABP=√3，故∠ABP=60°，即∠EBP=60°， 又因为∠EPB=60°，所以△BEP为等边三角形，所以BE=BP=2, 因为AB=4,所以E为AB的中点，…12分 E∈平面BCDP,故A'到平面EQDP的距离总等于点B到平面EQDP的距离，·13分 A 0 D B 过B作EP的垂线交EP于点F,即BF⊥EP, 因为DP⊥平面ABP,又因为BFc平面A'PB, 所以BF⊥DP,又因为EP∩DP=P,所以BF⊥平面PDQE, 因为F∈平面PDOE,所以点B到平面BCDP的距离为BF, 因为BF=√5，所以点A到面BCDP的距离d为5.…14分 所以，直线AD与平面QPD所成角的正弦值为d=5-V2 …15分 AD2√714 18.(17分) 已知椭圆C:号+2-1分别与y辅正半轴、x轴正半轴交于1B两点 (1)求直线AB的方程： (2)设M,N为椭圆上的两个动点，在四边形AMNB中，MN∥AB. (i)证明：直线AM与BN的斜率之积为定值； (i)设O为坐标原点，过O的直线交C于P,Q两点，OM+ON=OP,其中2≠0.判 断是否存在直径为3的圆经过M,N,P,Q四点？若存在，求入；若不存在，说明理由. 【命题意图】 本题主要考查椭圆的标准方程、简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，直线的平行与 垂直、点到直线的距离公式，圆的方程、四点共圆的性质等知识：考查运算求解能力、逻辑 高三数学试题第20页（共26页） 推理能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；体现基础性、综合 性，创新性，导向对数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养的关注， 【试题解析】 解法一：1)由C:+=1,令x=0,解得y=士2，故40，V,…1分 令y=0,解得x=±1，故B(1,0),… …2分 所以直线AB的斜率为5-0。-5， …3分 0-1 即AB:y=-V2x+√2. …4分 (2)由(1)知AB直线的斜率为-V2,因为MN∥AB,所以MN的斜率为-√2.…5分 y=-√2x+t, 得直线MN:y=-√2x+t,将MN与椭圆联立 += 2 可得4x2-2V2x+t2-2=0.…(2),… …6分 其判别式△=8t2-4×4(t2-2)>0,得-2<t<2. 设M(x,),N(x2y2),所以x+x2= 2, t2-2 t,X X2= …7分 2 4 又因为y=-V2x,+t,i=1,2, 可得yy2=(-V2x+)(-V2x,+)=2xx2-V2(化+x)+t2, 化简得-「子 …8分 又y+y2=(-V2x+)+(←V2x2+)=-2x+x2)+21, 化简得y+y2=t, 根据题意得大w片二巨，w=上 …9分 七3-1 所以wk=当=2.凸==-出-+y+4 X x2-1 xx2-x x2-X1 -2-N2+2(-2x+0 2-2-2x 所以KM·kN= 2 2 =2.…10分 t2-2 4 理由如下：由(2)知，将MN方程与椭圆方程联立，得4x2-2√2+2-2=0…(2)， 高三数学试题第21页（共26页） 所以x+x2= v 2-2 1,XX2=- 2 4 ，y+y2=t, 设P(x,y),由题意中OM+ON=1OP, 可解得x=+5=21 22%=4+业。 ……12分 因为P,)在椭圆上，即2鸟+白=2，即2=，1H.…13分 2 由于P,Q为椭圆上关于O对称，不妨设元=t>0, 敌可得=艺-9=兰- - …14分 所以直线PQ:y=V2x,可得PQ垂直平分线？方程为y=- -x, 2 寻N的中点坐标为（十之，为+），即，（心 2 2 所以MN的垂直平分线L,:y子=(x-了 ),化简得y=+ 4 2x+4 若符合题目条件的圆存在，则圆心一定是，2的交点，设圆心为O', V= x+ 联立1,12方程 2 41 解得0(2：， …15分 8’81 V=- -x. 2 所以的年倒100=号+-专0440+， 化简得1oQ5P+32,又因为=亡，故o0=5VP+32, 根据题意，所求的圆的半径为，令OQ上5R+2 P 21 可得2=16，故|2=4.…16分 由(2)中(2)的判别式△>0，得-2<t<2,即|2K2,与1=4矛盾， 故元无解，所以不存在符合题目条件的圆.…………17分 解法二：1D由C号+产=1，令x=0,解得y=2,枚0 ，…1分 高三数学试题第22页（共26页） 令y=0,解得x=士1，故B(l,0),…2分 所以直线极：片+方 =1 4分 即AB:y=-√2x+√2，（不转化成一般式或斜截式的不扣分） (2)由(1)知AB直线的斜率为-√2，又因为MN∥AB, 所以MN的斜率为-√2.… …5分 设MGy,Nx,),得占-业=-2， X-X2 即y-2=-V2(-x2)①…6分 又因为M,N都在椭圆上，故 y2+2x=2,两式相减 y2+2x32=2, 可得(0y-y2)y1+y2)=-2(x-x2)x1+x2),… 7分 将①代入上式，得y+为2=2(x+x)② 故①十②得，25=2W2x,即y=V2x2: 同理①-②得为2=√2x:… ……………………8分 因为大w-二5，w=上 x32-11 …9分 X 所以kkaw=当：5.为，2-225=2. ……10分 x x2-1 x x3-1 (3)同解法一. 解法三：(1)同解法一； (2)同解法一： (3)不存在符合题目条件的圆.…11分 理由如下：设P(x,y),由题意中OM+ON=OP, 可解得x=十5，=十卢 因为P在椭圆上，故2+5)2+（凸）>=2，即得2x+x}+0+}=22, 整理得(2x2+y2)+(2x2+y2)+2(2x2+yy2)=222, 因为M,N在椭圆上，故分别有2x2+y2=2与2x2+22=2,代入上式 得2xX2十y2=2-2…①，…12分 高三数学试题第23页（共26页） 由(2)知xx2= 2-2 t2-2 4 ，y2= 2 所以2x+y3=2-2…②， 根据①②，可得12=t2即|九曰t|,… …13分 由于P,2为椭圆上关于O对称，不妨设元=t>0, 故可得=+52 2。=当+2= 2). …14分 直线PQ:y=V2x,即y-V2x=0;直线MN:y=-V2x+t,即MN:y+V2x-t=0. 因为M,N,P,Q都在椭圆上， 经过这四点的二次曲线系方程C:y-2x)y+V2x-)+(2x2+y2-2)=0(μ为实数)， 整理得C:(2-2)x2+(u+1)y2+V2-y-2μ=0， 若C为圆的方程，必要地24-2=+1，即4=3，代入C方程， 经+y-0,15分 得C:x+2 -4y2 国方可得G+受心专子器 8 故（的圆心为（专，半径为， 88 +3即为5V52+. V264 题意知该的半径为，令2±22解得2E4,16分 8 由(2)中(2)的判别式△>0，得-2<t<2,即|九K2,与2=4矛盾， 所以几无解，故不存在符合题目条件的圆.…17分 19.(17分) 已知函数f(x)=x+ln(1+x),其中k≥0，数列{an}满足a=2,an=f(ant) （1)设g)=f-x-x,若&=0，求8)的最大值： (2)证明：若k=1,当m≥2时，(a+2a,+2)a,+2)>2； (3)当1≤n≤2026时，an<an1,求k的取值范围. 【命题意图】 高三数学试题第24页（共26页) 本题主要考查等差、等比数列的性质、求和，数列的递推关系，应用导数工具研究函数 的性质、不等式的证明等知识：考查运算求解能力、推理论证能力等；考查化归与转化思想、 函数与方程思想等；体现基础性、综合性、创新性，导向对数学运算、数学抽象，逻辑推理 等核心素养的关注。 【试题解析】 19.解法一：(1)当k=0时，g()=n(1+x)-(5x2+),其定义域为(-1，+o),…1分 8+=2 (x>-1), …2分 1+x 在x∈(-1,0)，g'(x)>0,g(x)单调递增： …3分 在x∈(0，+0)，g'(x)<0,g(x)单调递减： 故x=0时，g(x)取到最大值g(0)=0.… …4分 (2)当k=1时，f(x)=x+ln(1+x), 由题意得an=an+1+ln(l+ai)≤a+l+anl=2an, …5分 所以，若an>0,则an1>0, 又因为a>0,所以a2>0,…,依此类推an>0,…6分 由行g0.@x+r方+2， 所以a,=fau)a2+2a出，即a+2)a+2，……7分 不等式两边取对数，得1og,a,+2o8,+le,a+2门=2g,a+2》-1, 不等式两边同减去1，得1og2(an+2)-1≤2[log2(a+1+2)-刂， …8分 因为an>0,所以(an+2)2>4,所以1og2(an+2)-1>log22-1>0. 故1og,a.+2-1Pog.a.1+2）-小，1og,a1+2)-1Pog,a+2)-1… 1og,a,+2)-1eog,a+2)-=2 累乘可得16g,a+2)-P2,即og:a+222+1,9分 故当n≥2时， 1og,a+2220+2)=n+2-分'≥n+ 3 …10分 所以(a,+2)(a2+2)…(an+2)≥22，本题得证. …11分 高三数学试题第25页（共26页） (3)由题意得，数列{a,}单调递增，故必要地a,<a, 因为f(x)在(-l,+oo)上单调递增，则f(a)<f(a2), 又因为f(a2)=a,所以f(a)<a.…12分 因为a=2,所以f2)<2,得2k+n3<2,解得k<1-n3 2 又因为k≥0，故k∈[0,1-3)为数列a,}单调递增的必要条件.…13分 下证充分性： 当k∈0,1-3)，因为f-x=k-x+n1+)<3 2 )x+ln(1+x),…14分 设=(3x+h0+(≥2， 四-；2受号0，所以9卫+国上年周运该 所以h(x)<h(2)=-ln3+n3=0,所以f(x)<x,(x≥2).…15分 因为a2>a=2,即f(a)>f(a2)=2, 因为f(x)在(-1，+o)单调递增，故43>a2,… …16分 可得a43>a2>41=2,…,依此类推，可得a226>a225>…>a42>4=2. 当1≤n≤2026时，an<a1,充分性得证. 综上k的取值范围为0,1-h3) …17分 高三数学试题第26页（共26页）保密★使用前 2026届高中毕业班适应性练习题库 2026.05 高三数学 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 ★稳扎稳打金榜题名★ 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（，黑色线框)内作 答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号： 非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设集合A=L,2,3,4,B={x2<8;,则Venn图中阴影部分表示的集合是 A.{4 B.{1,2} B C.{3,4} D.{2,3,4} 2.己知点A(0,2),向量n=(-1,1),若n与直线1：y=垂直，则A到1的距离等于 A.1 B.√2 C.2 D.2V2 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量， 本人数（单位：月人） 95 收集并整理了2025年国庆期间该市A和B两个景区的日 8.8 8.6 7.8 以B 接待人数的数据（单位：万人），绘制了如下折线图，则 10 6.4 5.8 A.景区A这7日数据的第80%分位数是8.7 15 42 3.7 B.景区B这7日数据的极差是1.7 13.1 C.景区A这7日数据的平均数比景区B的两倍小 D.景区B这7日数据的方差比景区A的大 1234567 2025年10月 4.在公差为2的等差数列{an}中，a,a4,a,成等比数列，则{an}的前7项和为 A.3 B.5 C.9 D.21 高三数学试题第1页（共4页） 5.在平面直角坐标系xOy中，已知两抛物线C:y2=2px和C,:x2=2py,且F为C的焦点， Q为C与C,的公共点.若1OQ=2√2，则|FQ A.2 B. C.5 D.3 6.“函数f)=号x+r在区间(a-4,)内存在最小值的充分不必要条件可以是 A.0<a<2 B.1<a<4 C.1≤a<4 D.-2<a<2 7.某超市在售的西瓜均可视为实心球体，且瓜皮厚度均匀相等.已知大、小两种西瓜的售价 分别为80元/个、10元/个，且半径之比约为2：1.若以西瓜瓜瓤的体积与其售价的比值作 为西瓜的性价比，则 A.大西瓜的性价比高 B.小西瓜的性价比高 C.大、小西瓜的性价比一样 D.大、小西瓜的性价比的高低不确定 8.已知是函数f(x)=sin(ox- 3@>0)的一个零点，当x∈（牙受）时，)<0，则方程 4’8 2f(x)=1-f(x)在区间(0,3)内所有根的和为 C.15m 21π D. 4 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.记Sn为数列{an}的前n项和，若a=1,an1=Sn,则 A.a=2 B.{an}为等比数列 C.S=16 D.{log2Sn}为等差数列 10.己知点A在直线1：y=V3x+4上，点B,C在圆O:x2+y2=2(r>0)上，若|AB曰AC,且 BC∥I,则下列说法正确的是 A.当r=2时，直线1与圆O相切 B.直线OA倾斜角为150° C.当r=√2时，∠BAC可能为90° D.若∠BAC=60°，则r的取值范围为(1，+o) 11.已知随机事件A,B均包含于必然事件2，若0<P()<1,0<P(B)<1,则 A.P(B A)+P(B A)=P(A) B.P(A)+P(B)≤1+P(AB) C.Pa-RPB≤ D.P(B A)P(A B)=P(AB) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=tanx+ax-1,fI)=2,则f(-1)= 高三数学试题第2页（共4页） 13.对于复数，2，定义22为z2的实部.若名=i,22,=1,则z2可以为一·（写 出一个满足条件的答案) 14.已知F,F,为双曲线E的焦点，点P在E上，点M,G分别为△PFF,的内心和重心.若 MGFg,且sm∠RPR-}则E的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知锐角△ABC的面积为6，且AB=2. (1)若∠ABC=元，求BC: (2)若BC=2DB,且BC=10,求sin∠BAD. 16.(15分) 某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有 4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不 少于2个则中奖，否则不中奖，各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费M元，按规定返现Y 元.若事件“Y=100”的概率最大，求M的最小值. 高三数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠BAD=30°，BC=1,BP⊥AD于P,BP=2.将 △ABP沿BP翻折至△A'BP,使得AC=17,如图2 (1)证明：AP⊥平面BCDP; (2)已知四棱锥A-BCDP的体积为105，若点Q在线段4C上，且二面角Q-PD-B 3 的大小为60°，求直线AD与平面QPD所成角的正弦值， Q 图1 图2 18.(17分) 已知椭圆C号+P=1分别与y轴正半轴、x抽正半轴交于AB两点 (1)求直线AB的方程： (2)设M,N为椭圆上的两个动点，在四边形AMNB中，MN∥AB. (i)证明：直线AM与BN的斜率之积为定值； (i)设O为坐标原点，过O的直线交C于P,Q两点，OM+ON=2OP,其中2≠0.判 断是否存在直径为3的圆经过M,N,P,Q四点？若存在，求2；若不存在，说明理由. 19.(17分) 已知函数f(x)=ar+ln(1+x),其中k≥0，数列{an}满足a1=2,，an=f(an+). 1D设g6)=f方-X,若长=0，求g的最大值： （2)若k=l,证明：当n≥2时，a+2X4,+2》a,+2>2片： (3)当1≤n≤2026时，a,<a1，求k的取值范围. 高三数学试题第4页（共4页)