2025-2026学年度高中毕业班模拟检测（九）高三数学

**基本信息** 2025-2026高三数学模拟卷以“智慧社区”“全民健身”等现实情境为载体，通过新定义双曲函数、动态轨迹问题等创新设计，考查集合、导数、统计等核心知识，融合数学眼光、思维与语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数、向量、函数图像|8题新定义双曲函数，考查抽象能力与创新意识| |填空题|3题/15分|排列组合、等比数列、切线问题|14题圆与曲线公切线，体现几何直观与空间观念| |解答题|5题/77分|统计（相关系数）、立体几何翻折、导数零点证明|15题用社区锻炼数据考回归分析，19题动态轨迹求最值，注重数学建模与逻辑推理|

2025-2026学年度高中毕业班模拟检测（九） 2026.05 高三数学 ★以梦为马，不负韶华★ 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的最大值为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 3. 已知向量，，且，则 A. B. C. D. 4. 已知函数的部分图像如图，则函数的解析式可能是 A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 5. 为推进“智慧社区建设”，某社区开展智能设备使用培训活动，现随机抽取一位居民，其每日在线学习积分的取值分别为0，1，3，若，，则 A. 0.92 B. 0.94 C. 0.96 D. 0.98 6. 已知 成等差数列，，， 则 A. B. C. D. 7. 已知过点A的直线与圆：交于B，C两点，，则A的坐标可能为 A. B. C. D. 8. 定义：双曲正弦函数＝，双曲余弦函数＝，双曲正切函数＝，则 A. 函数是偶函数 B. 函数在R上单调递减 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 数列中，，，则 A. 当，时， B. 当3，时， C. 当，时， D. 当2，1时， 10. 在棱长为1的正方体中，点E，F分别满足， ，则 A. 当时，三棱锥的体积不变 B. 当时，存在使得点A，B到平面的距离不等 C. 当时，总有 D. 存在使得平面 11. 已知双曲线C：1的左、右焦点分别为，，直线l过点，且与双 曲线的右支交于A，B两点，其中A点位于第一象限.若，的周长为18， 点T为双曲线C上的一个动点，则 A. B. 点T到两点渐近线的距离之积为 C. 过点的直线与双曲线C相交于M，N两点，且满足D为线段MN的中点的 则直线为 D. 若，则的内切圆面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 某实践团有4个男生，3个女生，从中任选3人发起问卷调研，那么恰好有2个女生被 选中的方法有 种. 13. 记为等比数列的前n项和，若成等差数列，则等比数列的公比 为 . 14. 若存在4条不同的直线既是圆的切线，也是曲线的切线， 则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）为了响应“全民健身”的号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时 长（单位：小时）与身体活力指数的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民A 居民B 居民C 居民D 居民E 2 4 6 8 10 4 5 6 8 7 （1）根据表中数据，计算样本相关系数r，并推断它们的相关程度； （2）求身体活力指数关于每周锻炼时长的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民D 的身体活力指数残差. 附：相关系数 ；回归系数 . 16.（15分）在平面四边形中,，，，， 将沿AC翻折至，且满足. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17.（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，. 向量，，，点在边上，是角的平分线． （1）求角A； （2）求 AM 的长． 18.（17分）已知函数． （1）求的单调区间； （2）若有两个正零点，求的取值范围； （3）设有两个零点分别为，求证：. 19.（17分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段AB的两个端点分别在x轴， y轴上滑动，，点M是线段AB上一点，且，点M随线段AB的滑动而运动． （1）求动点M的轨迹的方程； （2）直线与交于C，D两点，若直线OC，OD的斜率之积为，求k的值； （3）若点P，Q，R，S在上，动点N在内，点O，N，P，R四点共线，且，求四边形PQRS面积的最大值． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中毕业班模拟检测（九） 2026.05 高三数学参考答案 ★以梦为马，不负韶华★ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D B C B D A C ABD AD ABD 12 13 14 12 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.解：（1）由数据得 ……………………2分 ……………………3分 ………………………………………………4分 ………………………………………………5分 ……………………………………………7分 所以y与x成正相关，有较强的相关性. ……………………………………………………8分 （2）由（1）得 ………10分 求得一元线性回归方程为，当时，， ……11分 所以居民的身体活力指数残差为8－6.9=1.1. …………………………………………13分 16.解：（1），. 又平面，平面， 平面. ……………………………………………………………………………4分 （2）以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，……………………………5分 ， ，…………………8分 设平面的一个法向量为，……………………9分 则，取.…………………10分 设平面的一个法向量为，………………………11分 则，取，…………………………………12分 设二面角的平面角为，则， ………………………14分 所以二面角的余弦值为. ……………………………………………………15分 17.解：（1）因为，所以， ……………………………………………………1分 故， 由正弦定理可得，…………3分 由于，所以，…………………………………………………………5分 结合，则；……………………………………………………………………7分 （2）由于AM 是角A 的平分线，，…………………………………………………8分 由余弦定理可得，解得，………………10分 又，……13分 解得. …………………………………………………………………………………15分 18.解：（1）由题意可得，， …………………………………………………1分 当时，，在上单调递增； …………………………………2分 当时，由解得，由解得， 所以，在上单调递减，在上单调递增. ……………………………3分 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增.………………………4分 （2）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 且，，…………………………………6分 所以， 解得，所以的取值范围．……………………………………………………8分 （3）有两个零点， 令，则，在时恒成立，∴在时单调递增， ∴有两个零点，等价于有两个零点. ∵ ，∴当时，，单调递增，不可能有两个零点； 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减，∴， 若，得，此时恒成立，没有零点； 若，得，此时有一个零点； 若，得，∵，， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以，即， 故在上单调递增，所以， 即， ∴在与上各存在一个零点，符合题意， 综上，的取值范围为.………………………………………………………………14分 因为，不等式两边同时取对数化简可得， 要证即证：， 即证，由，，∴只需证. ∵，，∴，， ∴ ，只需证. 设，令， 则，∴只需证 ， 即证 ， 令，，则 ，， 即当时， 成立.∴，即. 所以. ……………………………………………………………………………17分 19.解：（1）解：设，因为，所以①，…………………1分 设，由，且，可得， 则，可得②，……………………………………………………2分 将②代入①，可得，所以动点M的轨迹的方程为.………………3分 （2）解：设，所以，………………………………4分 则，整理得， …………………………5分 ∴，且，…………7分 所以，即， 因为，故，所以. ………………………………………………9分 （3）解：设点Q到直线PR的距离为d，因为， 所以点Q到直线PR的距离是点S到直线PR的距离的2倍； 故四边形PQRS的面积；………10分 当直线轴时，， 故点Q到直线PR的距离d的最大值为2，此时；……………………12分 当直线PR不与x轴垂直时，设直线， 联立方程组，解得，所以， 设过点Q与直线PR平行的直线l的方程为， 联立方程组，整理得， ………………………14分 则，可得，故， 故，当且时，上述等号成立，………16分 综上所述，四边形PQRS面积的最大值为3. ………………………………………………17分 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度高中毕业班模拟检测（九) 2026.05 高三数学 ★以梦为马，不负韶华★ 本试卷共19题，满分150分，共4页。考试用时120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx2-3x-4≤0}，B={xy=ln(1-x)},则AnB= A.[-1,1 B.[-1,1) C.（-1,1 D.（-1,1) 2.若复数z满足|z+2i=3,则z的最大值为 A.1 B.2 C.4 D.5 3.已知向量a=(t,1),=(2,-3),且a/a-,则t= A号 B c D.- 4.已知函数f(x)的部分图像如图，则函数f(x)的解析式可能是 A.f)=- 1+e-x B.f)=-1+e 1 c.f)=1+e 光 0阅 5.为推进“智慧社区建设”，某社区开展智能设备使用培训活动，现随机抽取一位居民， 其每日在线学习积分X的取值分别为0,1,3，若E(X)=1.4,P(X≥1)=0.9，则D(X)= A.0.92 B.0.94 C.0.96 D.0.98 6.已知，B,Y成等差数列，3sina-siny=3cosB,3cosa+cosy=4sinB, 则cos(a+y)= A品 B c.- D 7.已知过点A的直线与圆0：x2+y2=16交于B,C两点，SA0Bc=8,则A的坐标可能为 A.(2,-V⑤ B.(-3,2) C.(-2,3D.(1,2 第1页共4页 8定义：双曲正改函数smh()=二，双曲余弦函数cos)=+e 一，双曲正切函数 tan h(x)= sinh(x) 则 cosh(x) A.函数tanh(x)是偶函数 B.函数tanh(x)在R上单调递减 C.cos h(sin h(-1))+cos h(sinh(1))<2cosh(sin h(2)) D.sin h(cos h(-1))>sinh(cosh(2)) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.数列{an}中，a1=2,a+1=1a+,则 A.当1=1，u=3时，am=3n-1 B.当孔=3，u=0时，am=2·3m-1 C.当1=-1，u=2时，a2026=2 D.当1=2,4=1时，a=3n-1 10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别满足AE=λAB,AF=uAD (a∈[0,1]，u∈[0,1])，则 A.当=时，三棱锥B1-A1EF的体积不变 B.当λ=时，存在μ使得点A,B到平面A1EF的距离不等 C.当=时，总有B1F1D1E D.存在λ，使得AC1⊥平面A1EF 1.已知双曲线C:兰-兰=1(a>0)的左、右焦点分别为B,F2,直线I过点F,且与双 曲线的右支交于A,B两点，其中A点位于第一象限若AB|=7,△F1AB的周长为18， 点T为双曲线C上的一个动点，则 A.a=1 B.点T到两点渐近线的距离之积为 C.过点D(1,1)的直线l1与双曲线C相交于M,N两点，且满足D为线段MN的中点的 则直线l1为3x-y-2=0 D.若LFTF2=子则△FTF2的内切圆面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某实践团有4个男生，3个女生，从中任选3人发起问卷调研，那么恰好有2个女生被 选中的方法有_种. 第2页共4页 13.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S2,S4,S3成等差数列，则等比数列{an}的公比 为一 14.若存在4条不同的直线既是圆x2+y2=1的切线，也是曲线y=ax+(a>0)的切线， 则a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分)为了响应“全民健身”的号召，某社区统计了5名居民每周参与体育锻炼的时 长x(单位：小时)与身体活力指数y的对应数据，结果如下表所示： 特征量 居民A 居民B 居民C 居民D 居民E 2 4 8 10 2 4 5 8 7 (1)根据表中数据，计算样本相关系数r,并推断它们的相关程度； (2)求身体活力指数y关于每周锻炼时长x的一元线性回归方程，并利用该方程计算居民D 的身体活力指数残差 ∑x-x)y-) 26-0,-列 附：相关系数r= 回归系数6= ∑（代-）2 J= 16.(15分)在平面四边形ABCD中，∠DAB=150°，AC⊥AD,DA=AB=3,AC=2, 将△DAC沿AC翻折至△PAC,且满足PA⊥BC. (1)求证：PA⊥平面ABC; (2)求二面角A-PC-B的余弦值. 第3页共4页 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2c,a=3V7. 向量m=(V3b,a),元=(cosA,sinB),元1元，点M在边BC上，AM是角A的平分线. (1)求角A: (2)求AM的长. 18.(17分)已知函数f(x)=e-ax(a∈R). (1)求f(x)的单调区间： (2)若f(x)有两个正零点，求a的取值范围； (3)设g)=c(x-1)-r+f(田有两个零点分别为，名，求证：4，> e+5 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点分别在x轴， y轴上滑动，|AB=3,点M是线段AB上一点，且AM=1,点M随线段AB的滑动而运动. (1)求动点M的轨迹T的方程： (2)直线l:y=c+(m≠0，≠±1)与T交于C,D两点，若直线OC,OD的斜率之积为k2, 求k的值； (3)若点P,Q,R,S在T上，动点N在Γ内，点O,N,P,R四点共线，且Q=2N, 求四边形PQRS面积的最大值. 第4页共4页2025-2026学年度高中毕业班模拟检测（九) 2026.05 高三数学参考答案 ★以梦为马，不负韶华★ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B D B C B D A c ABD AD ABD 12 13 14 1 12 3 2 ，+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 x- +4+6+8+10=6y=4+5+6+8+7 6 15.解：(1)由数据得 5 …2分 2s-0-刀=(49(-)-(2(0-00+2x2+41=18 …3分 2x-0=(-4+(-2+0+2+4=40 …4分 -=-2+P0+2+0 …5分 三化--可 18 T= =0.9 -2y- 5 V40×10 1=1 …7分 所以y与X成正相关，有较强的相关性。……8分 ∑x-)y-) 18 =0.45,a=y-bx=6-0.45×6=3.3 40 ∑代-)2 (2)由(1)得 …10分 求得一元线性回归方程为=045x+3.3,当=8时，房=045×8+3.3=6.9，…11分 所以居民D的身体活力指数残差为8一6.91.1。…13分 第1页共5页 16解：(1)DA⊥AC,PA⊥AC 又：PA⊥BC,AC∩BC=C,ACC平面ABC,BCC平面ABC, .PAL平面ABC.……4分 (2)以点A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系A一xyz,…5分 A(0,0,0),P(0,0,3),C（√3,1,0)，B(0,3,0) PC=(V3,1,-3,AP=(0,0,3),Bc=(V3,-2,0), …8分 设平面PAC的一个法向量为乃=(x1,y1,之)，…9分 B 则 pc元=3+y-3名=0，取元=(1-5,0）…10外 AP2=3z1=0 设平面PBC的一个法向量为n2=（x2,y2,Z2),…11分 则 PCm,=V3x2+y2-352=0 ,取2=(2,3，V3), …12分 BCn,=√3x2-2y,=0 设二面角A-PC-B的平面角为O,则cos= n1·h2 W10 …14分 20 所以二面角A-PC-B的余弦值为四 eeg▣egg。g。。ggeg …15分 20 17.解：(1)因为m⊥，所以mn=0, …1分 故√3 bcosA+asin B=0,由正弦定理可得√3 sin B cosA+sinAsin B=0,…3分 由于sinB≠0，所以anA=-√3，…5分 结合A∈(0，元)，则4=2 。n0050。e0。nga。。00001000.5。 (2)由于AM是角A的平分线，b=2C,…8分 由余弦定理可得8C=2+(2c-2.c-2c.c0s20-3万，解得c=3,10分 3 π1 SMS oM=.4BAM.sinc.AM.sin 2 AB:AC.si 32 32 3，…13分 解得AM=2.………………………15分 第2页共5页 18.解：(1)由题意可得，'(x)=e-a,…1分 当a≤0时，f(x)=e-a>0,f(x)在R上单调递增； …2分 当a>0时，由f(x)=e-a>0解得x>lna,由f'(x)=e*-a<0解得x<lna, 所以，f(x)在(0，h上单调递减，在(ha,+o)上单调递增.…3分 综上，当a≤O时，f(x)在R上单调递增： 当a>0时，f(x)在(o,la上单调递减，在(ha,+o）上单调递增.…4分 (2)由题意知方程∫(x)=e-ax=0有两个不同的正实根x,x,, 由(1)知当a≤0时，f(x)=e-a>0,f()在R上单调递增，不合题意： 当a>0时，f(x)在（-o,lnad上单调递减，在(ha,+o)上单调递增. 且f(0)=e°-ax0=l,f(lha)=em-ax Ina=a-alna,…6分 a-ana<0 所以a>0’ 解得a>e,所以a的取值范围(e,十oo). …8分 (3)g(x)=xe-a(hr+x)=xe-n(xe)(x>0)有两个零点， 令t=xe*,则t=(x+l)e>0,在x>0时恒成立，.t=xe在x>0时单调递增， .g(x)=xe*-an(xe）有两个零点，等价于g(t)=t-alnt有两个零点 :g0=1-=一0，当a≤0时，g0>0,g)单调递增，不可能有两个零点 当a>0时，令g'()>0,得t>a,g(t)单调递增， 令g'(t)<0,得0<t<a,g(t)单调递减，.g(t)mim=g(a）=a-dna, 若g(a)>0,得0<a<e,此时gt)>0恒成立，没有零点； 若g(a=0,得a=e,此时g(t)有一个零点； 若g(a)<0,得a>e,,g(1)=1>0,g(e)=e-a<0, 记(x)=e-x2,x>e,则l(x)=e-2x, 记n(x)=e-2x,x>e,则n'(x)=e-2>0, 第3页共5页 所以n(x)在(e,+o)上单调递增，所以n(x)>n(e)=e-2e>0,即l(x)>0, 故m(x)在(e,+o)上单调递增，所以m(a)=e-a2>m(e)=e-e2>0, 即g(e)=e-d>0, ∴.g(t)在(1，e)与(e,e)上各存在一个零点，符合题意， 综上，☑的取值范围为(e,十0).… …14分 因为名。，不等式两边同时取对数化简可得5+，>2-化+5》 要证nx+nx2>2-(x+x2)即证：x1+nx+x2+nx2>2, 即证hn(xe)+ln(x,e)>2,由t=xe,t2=x,e2,∴.只需证lht+ht2>2. .alnt=,alnt,=t .a(Int,-Int )=t,-,a(Int,+nt)=+, (在+in +1n m,+I此=+长(u,-1城)=生，上，只需证店，互>2 t,- 2-1 t2-1 t 设0(6，令-子则加1，识清证m号用证m 2-2>0, t L+1 +1 4 14(0m-1)2 令h(m）=hm+ -2,>1,则h(m= +1 mm+ym+>0,h(则>h)=0, 即当m>1时，+ 4-2>0成立证+l,>2,即+，>2-名+名) + 所以xx2 e2 e书 …17分 19.解：(1)解：设A(a,0),B(0,b),因为AB=3,所以d+b2=9①，…1分 设M,),由AM=1,且AM=1AB,可得AM=x-a),AB=(←ab), 3 1 x-Q=- 则 ，可得a= ,b=3y②， 3 …2分 y= 路②代入①，可得+y1,所以动点M的轨迹T的方程为入+少1.…… 4 第4页共5页 (2)解：设C(,y),D(s,),所以kc=当，o=当 ，…4分 则=众+m x2+42-4=0,整理得(1+42)r+8%+4(m-1)=0,…5分 x1+x2=1 0-.且A-6f1604ec-1小07分 8km 1+4k2 所以=业-+++m-女，即-87 xx2 XX2 1+4h2+m=0, 因为m学0，m士山，故=京：所以=号 ……9分 (3)解：设点Q到直线PR的距离为d,因为QN=2S, 所以点Q到直线PR的距离是点S到直线PR的距离的2倍； 故四边形POs的面积9=o+a专院d叶引阳号子Rd:…10分 当直线PR⊥x轴时，PR上2， 故点Q到直线PR的距离d的最大值为2，此时S。s=×2x2=3:…12分 当直线PR不与x轴垂直时，设直线PR:y=x, y=tx 4 联立方程组{x +=1'解得x=土 +4,所以PRV+t. 4V1+t2 4 V1+4V1+4t2 设过点Q与直线PR平行的直线I的方程为y=x+b, v=ix+b 联立方程组x +y=1'整理得(0+4)r+8br+46:-4=0, …14分 则A'=(8b-4+4r)46-4)20,可得≤1+4)，故d=1b-0s4+ Vt2+1V+1 做8跟43，=0咀01时，5述等号皮立，6分 综上所述，四边形PQRS面积的最大值为3.……17分 第5页共5页