精品解析：广西南宁市第三中学2025-2026学年下学期期中质量监测八年级数学试题

2025~2026学年度春季学期期中质量监测 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器、考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ） A. 三角形的稳定形 B. 四边形的不稳定性 C. 勾股定理 D. 黄金分割 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 5. 将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 3或5 8. 如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 9. 平面直角坐标系中，一次函数（是不等于0的常数）的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（ ） A. N处 B. P处 C. Q处 D. M处 11. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（ ） A. 13尺 B. 12尺 C. 24尺 D. 26尺 12. 定义新运算：，例如：，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 函数图象与轴的交点为 D. 若点、在函数图象上，则 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 14. 如图，菱形中，对角线，相交于点O，菱形的周长为20，，点P是线段的中点，则的周长为_________． 15. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 16. 如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l交于点O；连接并延长，在延长线上截取，使得，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 19. 图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 20. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）求直线的表达式和a的值； （2）若点P在线段上，且，求点P的坐标． 21. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）；…… （1）请你直接写出_________，_________； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________． （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 22. 综合与实践：壮美广西·绿色出行 【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况． 【实验数据】 实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2； 表1： 表2： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量 0 20 30 80 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 100 160 200 显示剩余电量 100 70 52 40 【建立模型】 （1）表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________ 【解决问题】 （2）五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量和已行驶里程数s（千米）的变化关系如下图所示： ①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%． ②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？ ③若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．为了保证仪表盘不亮黄灯，该车在服务区至少需要充电多少分钟？ 23. 【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 【操作探究】 （1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接、请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度春季学期期中质量监测 八年级数学 （考试形式：闭卷 考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器、考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列式子是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式定义，形如的式子是二次根式，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分数，不是根式，不符合要求； B、的被开方数，无意义，不符合要求； C、根指数为2，被开方数，符合二次根式定义； D、根指数为3，属于三次根式，不符合要求． 2. 学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是（ ） A. 三角形的稳定形 B. 四边形的不稳定性 C. 勾股定理 D. 黄金分割 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 故选：B 【点睛】本题考查四边形的不稳定性，抓住题意的关键词从而解决问题． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式合并，绝对值和算术平方根的性质，根据相关运算法则逐一判断即可得到结果． 【详解】解：选项A：，该选项符合题意； 选项B：，该选项不符合题意； 选项C：，该选项不符合题意； 选项D：，该选项不符合题意． 4. 历来中国茶杯的各种造型从杯口形状，到杯身的样子，既是匠心，也是美丽的几何．如图所示，南宋哥窑青釉八方杯最具代表性，杯口呈八边形．则八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据边形的内角和为，进行求解即可. 【详解】解：. 5. 将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数平移规则“上加下减”，向上平移时在函数值上加平移单位数．本题考查一次函数图像的平移，掌握“左加右减，上加下减”的规则是关键． 【详解】解：将直线向上平移6个单位长度后所得的直线的解析式为 ． 故选：C． 6. 某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径，恰好互相垂直，小径的中点与点被湖隔开，若测得小径的长为，则，两点距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，恰好互相垂直， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选：A． 7. 已知函数是正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 3或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 8. 如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中，不正确的是（ ） A. 当时，四边形是矩形 B. 当时，四边形是菱形 C. 当时，四边形是矩形 D. 当时，四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．， ， 是矩形， 故结论正确，但不符合题意； B．， 是菱形， 故结论正确，但不符合题意； C．四边形是平行四边形， ，， 又， ， 是矩形， 故结论正确，但不符合题意； D．当时，四边形不一定是菱形， 故结论错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键． 9. 平面直角坐标系中，一次函数（是不等于0的常数）的图象如图所示，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，先利用一次函数的性质确定a，b的符号是解题的关键．根据一次函数（a，b为非零实数）的图象经过第一、二、四象限，可得，，从而得出一次函数的图象经过一、三、四象限． 【详解】解：∵一次函数（a，b为非零实数）的图象经过第一、二、四象限， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限． 故选：D． 10. 如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当时，点R应运动到（ ） A. N处 B. P处 C. Q处 D. M处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小；再结合图2分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图1可得，点从点向点运动时，三角形面积增加；点在上运动时，三角形的面积不变；点从点向点运动时，三角形面积变小； 故结合图2可得当时，点在处， 故选：C． 11. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是（ ） A. 13尺 B. 12尺 C. 24尺 D. 26尺 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正确勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题是学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设芦苇长为尺，水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设芦苇长为尺，水深尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 即芦苇的长度13尺． 故选：A． 12. 定义新运算：，例如：，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 点在函数图象上 B. 图象经过第一、三、四象限 C. 函数图象与轴的交点为 D. 若点、在函数图象上，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 先根据题目所给新定义，得出该函数的解析式， 再根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：根据题意可得： ， A、把代入得，∴点在函数图象上，故A正确，符合题意； B、∵，∴图象经过第一、二、三象限，故B不正确，不符合题意； C、把代入得，解得，∴函数图象与轴的交点为，故C不正确，不符合题意； D、∵，∴y随x的增大而增大，∵点、在函数图象上，，∴，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得， 解得． 故答案为：． 14. 如图，菱形中，对角线，相交于点O，菱形的周长为20，，点P是线段的中点，则的周长为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知菱形的四条边相等且对角线互相垂直，结合周长求出边长，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出的长，最后计算三角形周长． 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为20， ∴，， ∵， 在中，， ∵P是的中点，， 在中，，， ∴． 15. 直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出a值，再根据图象得到直线在直线的上方部分的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：将点代入中，得，解得， ∴， 由图象知，当时，直线在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为 ． 16. 如图，点E、G、H分别为矩形的边、、的中点，连接、、，点M为上的动点，过M作于P，于Q，点F为边上一动点，连接，已知，，则的最小值为_________． 【答案】##15.6 【解析】 【分析】利用矩形的性质结合中点的性质得出，，利用勾股定理求得的长度，从而求得的面积，再利用求得，从而得出的最小值为的最小值，当最小时，最小，而最小值为，并最终求得结果． 【详解】解：∵点E，G，H分别为矩形的边，，的中点， ∴，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵， ∴， ∴的最小值为的最小值， 即当最小时，最小， ∵最小值为， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）分别化简二次根式、计算零指数幂和绝对值，再依次加减即可； （2）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简式，最后代入x的值计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，已知，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l交于点O；连接并延长，在延长线上截取，使得，连接，；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 解：如图所示为所求： （2） 证明：由作图可知，直线l是线段的垂直平分线， ∴， 又∵在延长线上截取，使得， ∵点O为斜边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）先分别以点A，C为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧分别在线段的上下两端交于两点，连接两点与交于点O，则线段的垂直平分线l即为所求；再连接并延长，以点O为圆心，为半径画弧，交延长线于点D，则； （2）由作图可得，，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而得到，证得四边形是平行四边形，最后由矩形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） （1）求线段的长度； （2）安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】（1）线段的长度为 （2） 解：该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， 即该车符合安全标准． 【解析】 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，． 【小问2详解】 略 20. 如图，已知直线经过点，，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）求直线的表达式和a的值； （2）若点P在线段上，且，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将点，代入，利用待定系数法即可求解直线的解析式，进而求出点M的坐标，再将点M的坐标代入直线中即可求得a的值； （2）设，求出，进而得到，根据三角形面积公式列方程计算即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点，， 将点，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线与直线相交于点M，点M的横坐标为， ∴当时，， ∴， 将点代入直线得：， 解得：． 【小问2详解】 解：∵直线与x轴交于点D， 由（1）知，， ∴， 令，得，解得， ∴， ∴， ∵点P在线段上，且， 设， ∴，即， 解得， ∴． 21. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题： ，（是的面积）； ，（是的面积）； ，（是的面积）；…… （1）请你直接写出_________，_________； （2）请用含有n（n为正整数）的式子填空：_________，_________． （3）我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值． 【答案】（1）7， （2）n， （3）88 【解析】 【分析】（1）结合图形及已知的、、及面积，即可求解； （2）结合图形及已知的、、及面积找出规律，即可求解； （3）原式化为，仿照已知的方法求解即可． 【小问1详解】 解：，． 【小问2详解】 解：，． 【小问3详解】 解：原式 ． 22. 综合与实践：壮美广西·绿色出行 【背景情境】为响应绿城南宁绿色出行号召，助力广西生态旅游发展，某校数学实践小组针对某款新能源汽车，开展“充电”与“续航”相关实验，调研南宁周边热门旅游线路出行情况． 【实验数据】 实验I：探究电池充电状态下，仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1；实验Ⅱ：探究行驶过程中，仪表盘显示剩余电量e（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2； 表1： 表2： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 15 40 增加的电量 0 20 30 80 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 100 160 200 显示剩余电量 100 70 52 40 【建立模型】 （1）表1、表2中的函数关系均可近似看为一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为_________，e关于s的函数表达式为_________ 【解决问题】 （2）五一假期，小聪一家驾驶该款新能源汽车，从南宁出发前往约450千米的贺州黄姚古镇，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，全程保持匀速行驶，单位里程耗电量恒定．其显示剩余电量和已行驶里程数s（千米）的变化关系如下图所示： ①该车到达贺州黄姚古镇时，显示剩余电量e为_________%；该车进入服务区充电前显示剩余电量e为_________%． ②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点多少千米？ ③若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．为了保证仪表盘不亮黄灯，该车在服务区至少需要充电多少分钟？ 【答案】（1）， （2）①15，40；②当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点110或或200千米；③该车在服务区至少需要充电27.5分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据图象可得出时，e的值，再将代入即可； ②分情况讨论：当汽车离开服务区前，当汽车离开服务区后，当汽车在服务区充电时，三种情况求解即可； ③设该车在服务区充电y分钟，根据题意列出电量与时间和行驶路程的关系式，由保证仪表盘不亮起黄灯得出，从而列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，两个函数都为一次函数， 设，， 将，代入得： ，解得， ∴函数解析式为：； 将，代入得： ，解得， ∴函数解析式为：． 【小问2详解】 解：①由图可知，该车到达贺州黄姚古镇时，，显示剩余电量e为； 该车进入服务区充电前，， 将代入，得：， ∴该车进入服务区充电前显示剩余电量e为； ②由题意知，汽车每千米耗电量为：， 设该车距离出发点x千米， （i）当汽车到达服务区前， ， 解得：； （ii）当汽车离开服务区后，走完剩余路程的耗电量为， ∴， 解得：； （iii）当汽车在服务区充电时，汽车最终达到的电量为：， 汽车显示剩余电量e的值为从40变为90， ∴当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点200千米， 综上所述，当汽车显示剩余电量e的值为67时，该车距出发点110或或200千米； ③设该车在服务区充电y分钟， 由题意知，， ∴， ∴该车在服务区至少需要充电27.5分钟． 23. 【问题情境】在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 【操作探究】 （1）如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是_________． （2）若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F，连接、请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）若，，当以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】（1）正方形 （2） 解：①四边形为菱形， 理由：根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为菱形； ②， 理由：∵E，F为边的三等分点， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． （3）或4 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，再根据，证明四边形为矩形，根据，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，，，，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， 根据折叠可知：，，， 如图，当时，过点M作， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴此时点M在上， 由（1）可知，此时四边形为正方形， ∴； 如图，连接， 由勾股定理得：， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相等不存在， 综上所述，或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $