专题04与平行四边形有关的折叠问题 期中复习专项训练2025-2026学年八年级数学下学期（苏科版）

专题04 与平行四边形有关的折叠问题 （期中复习专项训练） 【题型1折叠平行四边形求角度】 1 【题型2折叠平行四边形求线段长度】 2 【题型3折叠平行四边形求面积】 3 【题型4折叠平行四边形求周长】 4 【题型5折叠平行四边形求最值】 5 【题型6折叠平行四边形进行证明】 6 【题型7折叠构造平行四边形求值】 8 【题型1折叠平行四边形求角度】 【典例1】．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【变式3】．在平行四边形中，点，在边上，把沿直线AE折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为 ___ ． 【题型2折叠平行四边形求线段长度】 【典例2】．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【变式1】．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时，________．    【变式2】．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时，________．    【变式3】．如图，将折叠，使点与重合，折痕为．若，，，则的长为______． 【题型3折叠平行四边形求面积】 【典例3】．如图，将一张纸片沿着折叠，点B的对应点F恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分的面积是______． 【变式1】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为________． 【变式2】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是______． 【变式3】．如图，点O是对角线的中点，沿过点O的直线将折叠，使点A，B分别落在，处，交于点E，交于点F，若点E是的中点，且，则与四边形的面积比为________． 【题型4折叠平行四边形求周长】 【典例4】．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【变式1】．如图，平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F，若的周长为12，的长为3，则的周长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式2】．如图，在平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在边的点F上，若的周长为12，的长为3，则的周长为_______． 【变式3】．如图，平行四边形中，点在边上，以为折痕，将折叠，使点A正好与上的点重合，若的周长为16，的周长为28，则的长为______． 【题型5折叠平行四边形求最值】 【典例5】．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【变式1】．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ） A． B．6 C．4 D． 【变式2】．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有______．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    【变式3】．如图，在平行四边形纸片中，，，．E是线段的中点，点F在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是______． 【题型6折叠平行四边形进行证明】 【典例6】．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【变式1】．问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【变式2】．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【变式3】．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【题型7折叠构造平行四边形求值】 【典例7】．如图，在中，，，，以为边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 【变式1】．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 【变式2】．已知，在中，点是边的中点． (1)【问题解决】 如图1，将沿折叠得到，请直接写出与的数量关系___________； (2)【问题探究】 如图2，在（1）的条件下，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，点是边上一点，将沿折叠得到，点落在边下方，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】．如图1，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于E． (1)①求点B的坐标； ②求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长； (3)如图1，连接，在线段上有一动点M，连接，直接写出的最小值为______． (4)若去掉题干中这个条件，点F为外一点，连接，若，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 与平行四边形有关的折叠问题 （期中复习专项训练） 【题型1折叠平行四边形求角度】 1 【题型2折叠平行四边形求线段长度】 2 【题型3折叠平行四边形求面积】 3 【题型4折叠平行四边形求周长】 4 【题型5折叠平行四边形求最值】 5 【题型6折叠平行四边形进行证明】 6 【题型7折叠构造平行四边形求值】 8 【题型1折叠平行四边形求角度】 【典例1】．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1】．将一张平行四边形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后点，，C在同一直线上，连接，．已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，设，先根据平行四边形的性质得到，然后根据等要三角形的性质得到，求出的度数，然后根据列方程解答即可． 【详解】解：设， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：A． 【变式2】．如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】．在平行四边形中，点，在边上，把沿直线AE折叠，沿直线折叠，使点，落在对角线上的点处，若，则的度数为 ___ ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握翻折的性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质和折叠的性质得到线段之间的关系，再利用等腰三角形的性质和平行线的性质，得出角之间的数量关系，求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵沿直线折叠，沿直线折叠，点，落在对角线上的点处， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2折叠平行四边形求线段长度】 【典例2】．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式1】．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时，________．    【答案】 【分析】先由折叠的性质得，，，，，据此可求出，再根据得，进而得，在中可求出，然后中再根据点为斜边的中点可得出的长．此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的折叠变换和性质，理解在直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 即为直角三角形， 在中，，， 解得， ，，， ， 即点为的中点， 在中，点为斜边的中点， ． 故答案为：． 【变式2】．如图，将四边形纸片沿折叠，使点落在上的点处，点在上；再将、分别沿、折叠，此时点、都落在上的点处．若，则当四边形是平行四边形时，________．    【答案】 【分析】先由折叠的性质得，，，，，据此可求出，再根据得，进而得，在中可求出，然后中再根据点为斜边的中点可得出的长． 【详解】解：由折叠的性质得：，，，，， ， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， 即为直角三角形， 在中，，， ， ，，， ， 即点为的中点， 在中，点为斜边的中点， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握图形的折叠变换和性质，理解在直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【变式3】．如图，将折叠，使点与重合，折痕为．若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，根据平行四边形的性质可得，然后求出，根据直角三角形的性质以及勾股定理求出，设，则由折叠可得，再对运用勾股定理求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则由折叠可得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为． 【题型3折叠平行四边形求面积】 【典例3】．如图，将一张纸片沿着折叠，点B的对应点F恰好落在上，连接，若，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质可得，，，再由折叠性质可得，，即有，从而可证明△是等边三角形，过作于点，然后由勾股定理和面积公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ， ， 由折叠可知，， ，， 是等边三角形， ， 过作于点， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，正确进行计算是解题关键． 【变式1】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时恰为等边三角形，则图中重叠部分图形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题，解答本题的关键重叠部分是等腰三角形． 根据翻折的性质及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴， 所以， ∴三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点作， 则有， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴，所以，， ∴，A，B三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点C作， 则有， ∴， ∴， ∴折叠重合部分的面积是． 故答案为：． 【变式3】．如图，点O是对角线的中点，沿过点O的直线将折叠，使点A，B分别落在，处，交于点E，交于点F，若点E是的中点，且，则与四边形的面积比为________． 【答案】 【分析】 连接，先根据三角形的中位线性质得到， ，证明，得到，，由折叠的性质得，易证，推出，求出，设中边上的高为，进而可求解． 【详解】解析：连接， 四边形是平行四边形， ， 点E是的中点，点O是对角线的中点， ，， ， ∴， 点O是对角线的中点， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ， ， 设中边上的高为， ∴， ∴， ∴， 与四边形的面积比为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线性质、折叠性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练拿握相关知识的联系与运用，得到面积之间的关系是解答的关键． 【题型4折叠平行四边形求周长】 【典例4】．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 【变式1】．如图，平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F，若的周长为12，的长为3，则的周长为（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折的性质，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．根据翻折的性质得到，求出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：， ， 以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在上的点F， ， ， ， ， ， 即， 故选C． 【变式2】．如图，在平行四边形中，点E 在边上，以为折痕，将折叠，使点A 恰好落在边的点F上，若的周长为12，的长为3，则的周长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、三角形周长的计算，由折叠的性质得出，由的周长得出，即可求出的周长． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长； 故答案为：6． 【变式3】．如图，平行四边形中，点在边上，以为折痕，将折叠，使点A正好与上的点重合，若的周长为16，的周长为28，则的长为______． 【答案】6 【分析】根据翻折前后两图形全等以及平行四边形对边相等的性质，进行等量代换解题． 【详解】∵是由翻折， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为6． 【点睛】本题考查了翻折变换(翻折、对称、折叠前后两图形全等)，平行四边形的性质(对边相等)，解题的关键是用翻折前后两图形全等的性质． 【题型5折叠平行四边形求最值】 【典例5】．将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等角对等边、折叠等知识．分二种情况画出图形，利用平行四边形的性质和等角对等边进行解答即可． 【详解】解：如图1， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 如图2， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴， ∵点，，，相邻两点间的距离相等， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， 综上可知，的长为2或4， 故选：C． 【变式1】．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，两点之间线段最短的综合应用，勾股定理，含角的直角三角形，确定点的位置，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 点的运动轨迹以E为圆心，以的长为半径的圆，则当点落在上时，取最小值，根据折叠的性质利用勾股定理即可求解． 【详解】解：点的运动轨迹以E为圆心，以的长为半径的圆，则当点落在上时，取最小值，如图，过点E作的延长线于点H，延长交于点G，有， ∵，E是边的中点， ∴， 由沿所在直线折叠得到， ∴， 在平行四边形中， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， ∴的最小值是， 故选：D． 【变式2】．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有______．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    【答案】②③④ 【分析】①延长交于M，过P作直线，由和是等边三角形，可得四边形是平行四边形，而P为中点，知P为中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出，即可判断①是否正确；②由，即可得：当共线时，最小，最小值为的长度，求出即可判断②是否正确；③过D作于K，过C作于T，由和是等边三角形，得，有，得到周长，即可判断③是否正确；④设，用m表示，再配方，即可知四边形面积的最小值，从而可判断④是否正确． 【详解】解：①如图，延长交于M，过P作直线，   和是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点， 为中点， 在线段上运动， 在直线l上运动， 由知等边三角形的高为， 到直线l的距离，P到直线的距离都为， 作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小， 此时最小值，故①错误； ②， ， 当共线时，最小，最小值为的长度， 为的中点， ， 为等边三角形的高， 的最小值为，故②正确； 过D作于K，过C作于T，如图，   和是等边三角形， ， ， ，即， ， 周长的最小值为6，故③正确； ④设，则， ，，，， ， 当时，四边形面积的最小值为，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查轴对称-最短路径问题，涉及轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，等边三角形的性质，三角形面积计算等知识，解题的关键是判断出点P的运动轨迹是直线l 【变式3】．如图，在平行四边形纸片中，，，．E是线段的中点，点F在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，折叠的性质， 先作，交的延长线于点G，连接，根据平行四边形的性质,，再根据三角形三边之间的关系可知当点共线时最小，然后根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，进而得出答案. 【详解】解：如图所示，过点A作，交的延长线于点G，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴. ∵，点E是线段的中点， ∴,. 根据折叠的性质得. 根据三角形三边之间的关系，可得， 当点共线时，最小， ∵， ∴， ∴. 根据勾股定理，得， 解得， ∴. 根据勾股定理，得， ∴最小值是. 故答案为：. 【题型6折叠平行四边形进行证明】 【典例6】．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长． (3)改变点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证利是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握折叠的性质，平行四边形的性质，是解题的关键． 【变式1】．问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．综合与实践 问题情境： 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． 分析探究： （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，三角形的形状为 ____ ． 问题解决： （2）如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3）． 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，根据即可得是等边三角形； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的数量关系； （3）由折叠可知：，，易知为等腰直角三角形，延长交于，可知，由平行四边形的性质可得，，，进而可知由的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，则 由折叠可知：，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， 则， ∴， 由三角形外角可知：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； （3）由折叠可知：，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 延长交于，则 ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，，即：， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定及性质，翻折的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 【变式3】．如图1，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点T，交线段于点H，交线段于点G，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)如图2，若，求、的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4； 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明，得到．根据折叠性质，得到．等量代换即可得证． （2）根据平行四边形的性质，折叠的性质，证明，，继而证明，延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L，证明，得到，，根据等腰三角形的三线合一性质即可证明． （3）过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接，过点C作于点K，得到，根据折叠的性质，勾股定理等证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴．， 在和中， ∵， ∴， ∴． ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴． ∴． （2）证明：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，，，， ， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交的延长线于点K，延长交的延长线于点L， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：过点H作交的延长线于点Q，过点O作于点R，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， 过点C作于点K， ，， ， ， 根据折叠的性质，得， ； ，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 根据（2）证明，得， ， ， ． 【题型7折叠构造平行四边形求值】 【典例7】．如图，在中，，，，以为边，在外作等边三角形，是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图，将图中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及勾股定理的应用，图形的翻折变换，含角的直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形的判定定理． （1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，进而算出，再证明，，进而证出四边形是平行四边形； （2）设，由折叠可得：，再利用含角的直角三角形的性质及勾股定理可计算出，再利用勾股定理计算出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，为的中点， ，， ， ， 又为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形； （2）解：设， 由折叠可得：， 在中，，，， ， 在中，，即， 解得：， ． 【变式1】．如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）延长交于，由（1）可知，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：延长交于，连接，如图， 由（1）可知，，，， 四边形是平行四边形， ， 则， ， ， ， ， ， 即椅子最高点A到地面的距离是． 【变式2】．已知，在中，点是边的中点． (1)【问题解决】 如图1，将沿折叠得到，请直接写出与的数量关系___________； (2)【问题探究】 如图2，在（1）的条件下，连接，请判断与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图3，点是边上一点，将沿折叠得到，点落在边下方，连接，当时，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）由折叠的性质和中点直接可得出； （2）观察和，发现它们是一组内错角，所以证出即可，折叠会出现边相等、角相等，特别是有平角的关系需要利用，由折叠得到，由平角得，再利用关系推导即可得证； （3）由折叠可知，所以过C作构造平行四边形，从而再证即可得证. 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵点是边的中点， ∴， ∴. （2）解：，理由如下： 设，则， 由折叠的性质得：， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）解：，理由如下： 过C作，交于点G， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（2）知， ∴， ∴，， ∵折叠性质， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴. 【变式3】．如图1，在中，，点A在x轴上，以为一边，在外作等边三角形，D是的中点，连接并延长交于E． (1)①求点B的坐标； ②求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，将图1中的四边形折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长； (3)如图1，连接，在线段上有一动点M，连接，直接写出的最小值为______． (4)若去掉题干中这个条件，点F为外一点，连接，若，则当线段的长度最小时，______，的最小值是______； 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3) (4)；4 【分析】（1）①利用直角三角形性质和勾股定理即可求得答案； ②首先可得，是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可证得，又由是等边三角形，可得，根据内错角相等，两直线平行，可证得，继而可得四边形是平行四边形； （2）设，则，运用勾股定理建立方程求解即可求得答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，可得，当、、、在同一条直线上时，为最小值，再运用勾股定理即可求得； （4）以为边在内部作等边三角形，连接，可证得，得出，当线段的长度．最小时，最小，即可求得答案． 【详解】（1）解：①在中，， ， ∴点的坐标为； ②证明：∵， ∴轴， ∵轴轴， ∴轴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，设， ∵是等边三角形， ∴， ， 由折叠得， 在中，， 即， 解得：， ∴的长为； （3）解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 则， ∴是等边三角形， ， ， 当、、、在同一条直线上时，为最小值， ∵是的中点，， ∴， ∴是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形， ， ∴点是的中点， ， ， ∴、、三点在同一条直线上， ， ， 故答案为：； （4）解：如图，以为边在内部作等边三角形，连接， 则， ∵是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 当线段的长度最小时，最小， ， ∴的最小值为4，此时点落在线段上，， ∴的最小值为4； 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠变换和旋转变换的性质，勾股定理，两点之间线段最短等，正确添加辅助线是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $