第七章 相交线与平行线 单元同步测试培优卷 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 单元同步测试培优卷 一、选择题 1．如图所示，下列说法错误的是（　　） A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠5是同位角 C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠5和∠6是内错角 2．如图，△ABC沿直线BD向右平移，得到△ECD，若BD=10cm，则A、E两点的距离为（　　） A．10cm B．5cm C． D．不能确定 3．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，直线，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 5．下列命题是真命题的个数是（　　） ①内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④若，，则；⑤若，，则．⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，五边形ABCDE中，ABCD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．180° C．210° D．270° 7．如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，将三角形沿射线平移到三角形的位置，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，将沿射线平移得到，则下列线段的长度中表示平移距离的是（　　） A． B． C． D． 10．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　） A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180° 二、填空题 11． 如图，直线a，b相交，，则度数为　 　． 12．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合.若固定三角板，改变三角板的位置（绕A点旋转三角板），则当　 　时，. 13．如图所示， 将三角形 沿 方向平移到三角形 的位置． 已知 ， 三角形 的周长为 8 ， 则四边形 的周长为　 　. 14．如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50°，则∠2=　 　． 15．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=35°，则∠2的度数为　 　． 16．如图是一块长方形的场地，长AB=a(m)，宽AD=b(m).已知从A，B两处入口的小路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为　 　m². 三、综合题 17．如图，已知线段，分别以点A，B为端点作射线，C，D，E三点分别在上，过点C的直线与线段分别交于点F，H，已知，． （1）判断与的位置关系并加以证明； （2）若，，求的度数． 18．如图，已知，． （1）证明：； （2）若，，求的度数． 19．如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q， （1）AB与ED平行吗？为什么？ （2）∠1与∠2是否相等？说说你的理由. 20．如图，直线，相交于点O，. （1）若，求的度数； （2）如果，那么与互相垂直吗？请说明理由. 21．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系． （1）请你完成这道思考题； （2）若将题中的条件“∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点”改为“∠AED=∠C，∠B=∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由． 22．已知：如图，AB∥CD，DE∥BC. （1）判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由. （2）若∠B=（105-2x）°，∠D=（5x+15）°，求∠B的度数. 23．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．求证： （1）∠1+∠2=90°； （2）BE∥DF． 24．三角形ABC中，D是AB上一点，DEBC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°． （1）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数； （2）如图3，在（1）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝3：5，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数． 答案 一、选择题 1．如图所示，下列说法错误的是（　　） A．∠1和∠3是同位角 B．∠1和∠5是同位角 C．∠1和∠2是同旁内角 D．∠5和∠6是内错角 【答案】B 【解析】【解答】解：A选项：∠1和∠3是同位角，故A选项正确，不符合题意； B选项：∠1和∠5不存在联系，故∠1和∠5不是同位角，故B选项错误，符合题意； C选项：∠1和∠2是同旁内角，故C选项正确，不符合题意； D选项：∠5和∠6是内错角，故D选项正确，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】根据同位角、内错角以及同旁内角的意义进行分析，即可得到答案． 2．如图，△ABC沿直线BD向右平移，得到△ECD，若BD=10cm，则A、E两点的距离为（　　） A．10cm B．5cm C． D．不能确定 【答案】B 【解析】【解答】解：解：∵ △ ABC沿直线BD向右平移，得到 △ ECD， ∴AE=BC=CD， ∴BD=2BC=2CD=10cm， ∴AE=BC=5cm. 故答案为：B. 【分析】直接利用平移的性质得出对应边和对应点连线的关系BC=CD=AE进而得出答案． 3．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：A、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合； B、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项符合； C、，根据内错角相等，两直线平行可得：，故此选项不符合； D、，根据同旁内角互补，两直线平行可得：，故此选项不符合． 故答案为：B． 【分析】根据平行线的判定方法对每个选项一一判断即可。 4．如图，直线，则下列式子成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，作 则 ∴ ∵ ∴ 故答案为：D． 【分析】根据平行线的性质，即可解答. 5．下列命题是真命题的个数是（　　） ①内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④若，，则；⑤若，，则．⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】【解答】解：①两直线平行，内错角相等；原来命题为假命题， ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；真命题； ③一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；原来命题为假命题， ④若，，则；真命题 ⑤同一平面内，若 ，，则．原来命题为假命题， ⑥直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离．原来命题为假命题， 所以真命题有2个. 故答案为：B. 【分析】根据平行线的性质与判定，垂直的含义，点到直线的距离定义，以及平行线公理等学过的命题定理，逐一判断命题的真假即可. 6．如图，五边形ABCDE中，ABCD，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（　　） A．90° B．180° C．210° D．270° 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点E作EFAB， ∵ABCD， ∴EFABCD， ∴∠1=∠4，∠3=∠5， ∴∠1+∠2+∠3=∠2+∠4+∠5=180°， 故答案为：B 【分析】过点E作EFAB，根据直线平行性质可得EFABCD，则∠1=∠4，∠3=∠5，再根据角之间的转换即可求出答案. 7．如图，，，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：过点C作，过点D作， ∵， ∴， ∴， ∵，， 由①②得：． 即 故答案为：B． 【分析】过点C作，过点D作，则，利用平行线的性质可得，即得，，利用①+②即可求解. 8．如图，将三角形沿射线平移到三角形的位置，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：由平移的性质可知：，，，， 故答案为：A.说法不正确，符合题意； 选项B、C、D说法正确，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】由平移的性质可知：AC=DF，AD=BE，AC∥DF，∠C=∠F，据此判断. 9．如图，将沿射线平移得到，则下列线段的长度中表示平移距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点，点与点是对应点， ∴线段、可表示平移距离. 故答案为：C. 【分析】根据平移的性质可得点B与点E是对应点，点C与点F是对应点，据此可得平移距离. 10．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　） A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180° 【答案】B 【解析】【解答】解：如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4， ∴∠1=∠3，∠2=∠4， ∴γ=∠1+∠2①， 又∵入射角与折射角的度数比为3：2， ∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β）， ∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β）， ∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ. 故答案为：B. 【分析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，从而得γ=∠1+∠2，再根据入射角与折射角的度数比为3：2，分别求得∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），再代入①式中，整理化简即可得到（α+β）=120°-γ. 二、填空题 11． 如图，直线a，b相交，，则度数为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵， ∴， 故答案为： 【分析】根据邻补角的定义可知，并结合进行计算即可求解。 12．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B，D重合.若固定三角板，改变三角板的位置（绕A点旋转三角板），则当　 　时，. 【答案】或 【解析】【解答】解：如图所示：当时，； 如图所示，当时，， ； 故答案为：或． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，分 和 ，结合平行线的性质，求得的度数，即可得到答案． 13．如图所示， 将三角形 沿 方向平移到三角形 的位置． 已知 ， 三角形 的周长为 8 ， 则四边形 的周长为　 　. 【答案】12 【解析】【解答】解：∵ 三角形 沿 方向平移到三角形 ∴AD=CF=2，AC=DF ∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD=AB+BC+AC+CF+AD=三角形ABC的周长+2AD=8+4=12 故答案为：12. 【分析】根据平移的性质，可得AD=CF=2，AC=DF；根据四边形的周长公式和等量代换原则，即可求解. 14．如图，直线a∥b，直线l与a相交于点P，与直线b相交于点Q，PM⊥l于点P，若∠1=50°，则∠2=　 　． 【答案】40° 【解析】【解答】解：如图： ∵直线a∥b， ∴∠3=∠1=50°， 又∵PM⊥l于点P， ∴∠MPQ=90°， ∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣50°=40°． 故答案是：40． 【分析】根据两直线平行，内错角相等得∠3=∠1=50°，根据垂直定义得∠2=90°﹣50°=40°. 15．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=35°，则∠2的度数为　 　． 【答案】55° 【解析】【解答】解：如图： ∵三角板的直角顶点在直线b上，∠1=35°， ∵a∥b， ∴∠3=∠1=35°， ∴∠4=90°﹣∠3=55°， ∴∠4=55°． 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得出∠2=∠4=55°，则∠4=55°，根据两直线平行，同位角相等，得出∠2=55°． 16．如图是一块长方形的场地，长AB=a(m)，宽AD=b(m).已知从A，B两处入口的小路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为　 　m². 【答案】(ab-a-2b+2) 【解析】【解答】解：由图片可看出，种植草坪的面积正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为(a-2)m，这个长方形的宽为(b-1)m， ∴草坪的面积为：(a-2)(b-1)=(ab-a-2b+2)m2. 故答案为：(ab-a-2b+2). 【分析】从图中可以看出，利用平移的方法，种植草坪的面积正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积. 三、综合题 17．如图，已知线段，分别以点A，B为端点作射线，C，D，E三点分别在上，过点C的直线与线段分别交于点F，H，已知，． （1）判断与的位置关系并加以证明； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）解：，证明如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1），证明：由对顶角相等可得∠EFH=∠1=110°，从而得出，根据同旁内角互补两直线平行即证结论； （2）由两直线平行同位角相等可得， 再利用两直线平行内错相等可得． 18．如图，已知，． （1）证明：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：， ， ， ． ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 【解析】【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行得AC∥DE，由二直线平行，内错角相等得∠2=∠ADE，结合已知可得∠ADE+∠4=180°，进而再根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥FE； （2）由二直线平行，同位角相等得∠BAD=∠3=80°，由已知易得∠2=40°，最后根据∠BAC=∠BAD-∠2计算即可. 19．如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q， （1）AB与ED平行吗？为什么？ （2）∠1与∠2是否相等？说说你的理由. 【答案】（1）解：AB∥ED，理由如下， ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：∠1=∠2，理由如下， ∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵（已证） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等式性质） 即 【解析】【分析】（1）由平行线的判定“同旁内角互补，两直线平行”可得AB∥DE； （2）由平行线的判定“ 内错角相等，两直线平行 ”可得PB∥CQ，由平行线的性质“ 两直线平行，内错角相等”可得∠PBC=∠QCB，∠ABC=∠DCB，再由角的构成和等式的性质可求解. 20．如图，直线，相交于点O，. （1）若，求的度数； （2）如果，那么与互相垂直吗？请说明理由. 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：，理由如下： 由（1）知：， ∵， ∴，即， ∴. 【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得∠AOM=90°，根据角的和差由∠AOC=∠AOM-∠1算出∠AOC的度数，进而根据对顶角相等得∠BOD的度数； （2）ON⊥CD，理由如下：根据角的和差得∠1+∠AOC=90°，结合∠1=∠2，利用等量代换得∠2+∠AOC=90°，即∠CON=90°，根据垂直的定义即可得出结论. 21．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系． （1）请你完成这道思考题； （2）若将题中的条件“∠ADE=90°，∠DEF=90°，点P是FC上一点”改为“∠AED=∠C，∠B=∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由． 【答案】（1）结论：∠BDP+∠EGP=180°． 理由：∵∠ADE=∠DEF=90°， ∴AB∥EF， ∴∠BDP=∠DGE， ∵∠DGE+∠EGP=180°， ∴∠BDP+∠EGP=180°． （2）解：结论不变． 画出的图形如图所示， ∵∠AED=∠C， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B， ∵∠B=∠DEF， ∴∠ADE=∠DEF， ∴AB∥EF， ∴∠BDG=∠DGE， ∵∠DGE+∠EGP=180°， ∴∠BDP+∠EGP=180°． 【解析】【分析】（1）结论：∠BDP+∠EGP=180°．证明AB//EF即可； （2）结论不变，证明AB//EF即可。 22．已知：如图，AB∥CD，DE∥BC. （1）判断∠B与∠D的数量关系，并说明理由. （2）若∠B=（105-2x）°，∠D=（5x+15）°，求∠B的度数. 【答案】（1）解：∵AB∥CD；∴∠B=∠BCD； 又∵DE∥BC；∴∠BCD+∠D=180° ∴∠B+∠D=180° （2）解：∠B=（105-2x）°，∠D=（5x+15）°时， （105-2x）+（5x+15）=180 解得：x=20 ∴∠B=（105-2x）°=65° 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据（1）的结论，列出方程求解即可. 23．四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线．求证： （1）∠1+∠2=90°； （2）BE∥DF． 【答案】（1）证明：（1）∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线， ∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF， ∵∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∴2（∠1+∠2）=180°， ∴∠1+∠2=90°； （2）证明：在△FCD中，∵∠C=90°， ∴∠DFC+∠2=90°， ∵∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠DFC， ∴BE∥DF． 【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出． 24．三角形ABC中，D是AB上一点，DEBC交AC于点E，点F是线段DE延长线上一点，连接FC，∠BCF+∠ADE＝180°． （1）如图2，连接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度数； （2）如图3，在（1）的条件下，点G是线段FC延长线上一点，若∠EBC：∠ECB＝3：5，BE平分∠ABG，求∠CBG的度数． 【答案】（1）解：证明：过点E作EKAB ∵DEBC， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵∠BCF+∠ADE＝180° ∴∠BCF+∠ABC＝180° ∴CFAB； ∵EKAB ∴CFE K，∠BEK＝∠ABE＝40°， ∴∠CEK＝∠ACF＝60°， ∴∠BEC＝∠BEK+∠CEK＝40°+60°＝100°； （2）解：∵BE平分∠ABG， ∴∠EBG＝∠ABE＝40°， ∵∠EBC：∠ECB＝3：5， ∴设∠EBC＝3x°，则∠ECB＝5x°， ∵DEBC， ∴∠DEB＝∠EBC＝3x°，∠AED＝∠ECB＝5x°， ∵∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°， ∴3x+5x+100＝180， 解得x＝10， ∴∠EBC＝3x°＝30°， ∴∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC＝40°﹣30°＝10°． 【解析】【分析】（1） 过点E作EKAB ，可得CF∥EKAB，利用平行线的性质即可得解； （2）由∠EBC：∠ECB＝3：5，可设∠EBC＝3x°，则∠ECB＝5x°， 根据∠AED+∠DEB+∠BEC＝180°，可得关于x的方程并解之得 x＝10，即得∠EBC＝3x°＝30°， 根据∠CBG＝∠EBG﹣∠EBC 即可求解. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $