江苏无锡市2025—2026学年下学期七年级数学期末复习试卷

**基本信息** 江苏省无锡市七年级下学期期末复习试卷，以科技前沿（单原子层金属科学记数法）、文化传承（锡绣采购）为情境，通过基础计算、几何变换及新定义“互优角”等题，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|轴对称与中心对称、无理数、不等式解集等|图形辨识结合概念辨析，如第1题考查对称性质| |填空题|8/24|幂运算、折叠角度计算、面积差问题|第16题用平方差公式求阴影面积，体现几何直观| |解答题|8/46|几何证明、应用题、新定义“互优角”|第26题通过折叠探究角关系，发展创新意识与推理能力|

江苏省无锡市2025—2026学年下学期七年级数学期末复习试卷 一、单选题(共10小题，每小题3分，满分30分) 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在近期热播电影《哪吒之魔童闹海》里，哪吒用莲藕“重塑肉身”，近期我国科研团队用“莲藕重塑”思维，研制出厚度约为0.0000000005米的单原子层金属，成功为金属“重塑金身”，开创了二维金属研究新领域，将数0.0000000005用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．在四个实数，0，，3.14 中，是无理数的是（    ） A． B．0 C． D．3.14 4．已知  ， 则的值为（   ） A．11 B．6 C．5 D．1 5．如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（    ） A．或 B． C．或 D． 6．下列命题中，假命题是（    ） A．三角形的内角和等于外角和 B．两直线平行，同旁内角互补 C．一个三角形最多有一个钝角 D．平行于同一条直线的两条直线平行 7．已知关于x、y的方程的解满足，则k的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 9．如图，，点是外一点（点不在直线、、上），连接、．若，，，对于①；②；③；④，则的度数可能是（    ）    A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 10．如图，中，，，，，D为AB中点．将绕点B旋转一周，设点A、C对应的点分别为、，的面积为S，则S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题(共8小题，每小题3分，满分24分) 11．计算：________． 12．不等式的最大整数解是_____． 13．若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是______． 14．已知，则的值是______． 15．如图，将绕点逆时针旋转一定角度得到，若，且，则______． 16．如图，大正方形与小正方形的面积差为12，则阴影部分的面积为______． 17．如图，在中，，D、E分别为上一点，将分别沿折叠，点A与重合，点B与重合，．若点与重合，则=______°；______°（用含x的代数式表示）． 18．如图，在长为20、宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题(共8小题，满分46分) 19．计算： (1)； (2)． 20．（1）解方程组 （2）解不等式组 21．先化简，再求值：，其中，． 22．如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边．    (1)画出线段的垂直平分线； (2)画出关于直线成轴对称的； (3)画出关于点成中心对称的． 23．如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，． (1)求证：． (2)若恰好平分，求的度数． 24．锡绣是无锡著名的民间传统手工艺，享誉海内外，某旅行社计划采购，两种无锡风光主题的锡绣作品作为旅行社的特色礼品，已知购买1件种锡绣作品与2件种锡绣作品共需550元，购买2件种锡绣作品与3件种锡绣作品共需950元． (1)求，两种锡绣作品的单价分别为多少元? (2)该旅行社计划采购，两种锡绣作品共200件，总费用不超过35000元，那么最多能采购种锡绣作品多少件? 25．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)______； (2)对于有理数、，若，． ①求的值： ②将长方形和长方形按照如图方式进行放置，其中点在同一条直线上，点在边上，连接．若，图中阴影部分的面积为45，求的值． 26．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”．即若，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______； (2)如图1，将一长方形纸片沿着折叠，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； (3)再将纸片沿着折叠（点在线段或上），使点落在．若与互为“互优角”，则______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《江苏省无锡市2025—2026学年下学期七年级数学期末复习试卷》参考答案 1．D 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意． B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：A、是分数，可表示为两个整数的比，属于有理数，故不符合题意； B、0是整数，属于有理数，故不符合题意； C、是开方不尽的数，其小数部分无限不循环，属于无理数，故符合题意； D、3.14 是有限小数，可化为分数，属于有理数，故不符合题意； 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果即可得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上的表示方法进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，， 故选：B． 6．A 【分析】此题考查了命题的真假，三角形内角和和外角和，平行线的性质，平行公理推论， 根据以上知道逐一分析各选项的正确性，判断是否为假命题． 【详解】A选项：三角形的内角和为，外角和为，显然不相等，故A是假命题． B选项：两直线平行，同旁内角互补，故B是真命题； C选项：一个三角形最多有一个钝角，故C是真命题； D选项：平行于同一直线的两直线互相平行（平行公理推论），故D是真命题； 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式的应用，过D作于F，根据角平分线的性质求出，根据和三角形面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过D作于F， ∵是中的角平分线，于点E，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 8．C 【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，判断选项A、B、D，再根据角的数量关系，即可判断选项C． 【详解】解：∵， ∴，，，故选项A、B、D正确； ∴， ∵， ∴，故选项C不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解本题的关键在准确找出对应边和对应角． 9．D 【分析】根据点P与的位置关系，分情况画出可能的图形，利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质求解即可作出判断． 【详解】解：如图1，则， ∴，则①正确；    如图2，延长交于点O，则，， ∴，故②正确；    如图3，延长交于点O，则，， ∴，故③正确；    如图4，则，， ∴， ∴，故④正确，    综上，的度数可能是①②③④， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． 10．A 【分析】本题考查旋转，三角形的面积，中点，正确作出图形是解题的关键． 过点D作所在的直线，确定：①当两点重合时，取得最小值，②当在同一直线上时，取得最大值，此时两点重合，逐一求解，即可解答． 【详解】解：过点D作所在的直线，如图，有，， 即， ①当两点重合时，取得最小值，如图 ∴， ∴， ②当在同一直线上时，取得最大值，此时两点重合，如图 ∴， ∴， 综上所述，． 故选A． 11．1 【分析】本题考查了积的乘方．根据积的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 12．4 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的最大整数解，按照移项，合并同类项的步骤求出不等式的解集，进而求出求最大整数解即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， ∴不等式的最大整数解是4， 故答案为：4． 13． 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项．熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算是解题的关键． 先进行多项式乘多项式的运算，使结果中x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵乘积中，不含x的一次项， ∴， ∴ 故答案为： 14．/ 【分析】本题考查了代数式求值，幂的乘方的逆用，负整数指数幂，掌握相关运算法则是解题关键．由已知等式可得，将变形为，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15．/度 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形内角和，根据旋转角求出，再利用内角和求解即可． 【详解】绕点逆时针旋转得到 故答案为：． 16．6 【分析】本题考查利用平方差公式求图形的面积．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，得到，，再根据阴影部分的面积等于进行求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为，由题意和图可知：，，，， ∴阴影部分的面积 ． 故答案为：6． 17． 100 【分析】本题考查轴对称图形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．由三角形的内角和求得，由折叠可得，，因此．根据三角形外角的性质得到，从而得到，再由即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴． ∵， ∴， ∵， 由折叠有， ∴． 故答案为：100； 18．60 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 由题意得：， 解得：， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：60． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，整式的运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数幂，再计算加法即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 20．（1）（2） 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）分别求解不等式，进而求得不等式组的解集． 【详解】（1）解： 解：由①②得， ． 将代入②得． ； （2）解： 解：由①得， 由②得， 不等式组的解集为． 21． 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差和完全平方公式，合并同类项是解题的关键． 先利用平方差和完全平方公式化简，再代入求值，即可求解． 【详解】解： ． 当，时，原式． 22．(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】本题考查作图——旋转变换、作图——轴对称变换、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，中心对称的性质，轴对称的性质是解题的关键． （）结合线段垂直平分线的性质画图即可； （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；    （2）解：如图，即为所求；    （3）解：如图，即为所求．    23．(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、折叠的性质． 根据折叠的性质可知，根据平角的定义可以求出，从而可求，根据内错角相等，两直线平行，可证结论成立； 根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】（1）证明：由折叠可知， ， ， ， ， ； （2）解：是的外角， ， ， ， 平分， ， 在中，， ． 24．(1)A种锡绣作品的单价为250元，B种锡绣作品的单价为150元 (2)最多能采购A种锡绣作品50件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种锡绣作品的单价为x元，B种锡绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种锡绣作品与2件B种锡绣作品共需550元，购买2件A种锡绣作品与3件B种锡绣作品共需950元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出结论； （2）设采购A种锡绣作品m件，则采购B种锡绣作品件，根据总价单价数量，结合总价不超过35000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种锡绣作品的单价为x元，B种锡绣作品的单价为y元 根据题意得：， 解得：， 答：A种锡绣作品的单价为250元，B种锡绣作品的单价为150元； （2）设采购A种锡绣作品m件，则采购B种锡绣作品件， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为50． 答：最多能采购A种锡绣作品50件． 25．(1) (2)①56；②2 【分析】本题主要考查了新定义，完全平方公式在几何图形中的应用： （1）直接根据计算即可； （2）①先根据新定义化简，再利用完全平方公式变形求解即可； ②根据图形用含x，y的式子表示出阴影部分的面积，再根据①中的结果代入即可求出n． 【详解】（1）解：原式． 故答案为：； （2）解：①原式 ， ∵，， ∴，， ∴； ②由图知：， ∴， 化简得， ∴， 由①得，，， ∴， ∴． 26．(1)或 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （）利用“互优角”定义即可求解； （）由与互为互优角，分当；当时，两种情况即可； （3）分三种情况讨论，根据折叠的性质以及平角的性质即可求即可求解． 【详解】（1）解：∵和互为互优角， ∴当，， ∴或， 解得 或， 故答案为：或； （2）①∵与互为互优角，如图1 当时，， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． ②当时，如图 ， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述，的值为或． （3）当点F在边上时，如图： 显然， ∵与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质： 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， ， 解得：， 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 故的度数为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $